Theorem decmul2c 10918

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1c.1	|- P e. NN0
decmul1c.2	|- A e. NN0
decmul1c.3	|- B e. NN0
decmul1c.4	|- N = ; A B
decmul1c.5	|- D e. NN0
decmul1c.6	|- E e. NN0
decmul2c.7	|- ( ( P x. A ) + E ) = C
decmul2c.8	|- ( P x. B ) = ; E D

Assertion

Ref	Expression
decmul2c	|- ( P x. N ) = ; C D

Proof of Theorem decmul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 10719	. . 3 |- 10 e. NN0
2		decmul1c.1	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1c.2	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1c.3	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1c.4	. . . 4 |- N = ; A B
6		df-dec 10871	. . . 4 |- ; A B = ( ( 10 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2483	. . 3 |- N = ( ( 10 x. A ) + B )
8		decmul1c.5	. . 3 |- D e. NN0
9		decmul1c.6	. . 3 |- E e. NN0
10		decmul2c.7	. . 3 |- ( ( P x. A ) + E ) = C
11		decmul2c.8	. . . 4 |- ( P x. B ) = ; E D
12		df-dec 10871	. . . 4 |- ; E D = ( ( 10 x. E ) + D )
13	11, 12	eqtri 2483	. . 3 |- ( P x. B ) = ( ( 10 x. E ) + D )
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul2c 10907	. 2 |- ( P x. N ) = ( ( 10 x. C ) + D )
15		df-dec 10871	. 2 |- ; C D = ( ( 10 x. C ) + D )
16	14, 15	eqtr4i 2486	1 |- ( P x. N ) = ; C D

Syntax hints:   = wceq 1370   e. wcel 1758  (class class class)co 6203   + caddc 9400   x. cmul 9402   10c10 10494   NN0cn0 10694  ;cdc 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-ltxr 9538  df-sub 9712  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-dec 10871

This theorem is referenced by:  2exp8  14238  2exp16  14239  prmlem2  14269  37prm  14270  1259lem2  14278  1259lem3  14279  1259lem4  14280  1259prm  14282  2503lem1  14283  2503lem2  14284  2503prm  14286  4001lem1  14287  4001lem2  14288  4001lem3  14289  4001prm  14291  log2ublem3  22486  log2ub  22487  birthday  22491