Theorem decmul2c 11036

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1c.1	|- P e. NN0
decmul1c.2	|- A e. NN0
decmul1c.3	|- B e. NN0
decmul1c.4	|- N = ; A B
decmul1c.5	|- D e. NN0
decmul1c.6	|- E e. NN0
decmul2c.7	|- ( ( P x. A ) + E ) = C
decmul2c.8	|- ( P x. B ) = ; E D

Assertion

Ref	Expression
decmul2c	|- ( P x. N ) = ; C D

Proof of Theorem decmul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 10832	. . 3 |- 10 e. NN0
2		decmul1c.1	. . 3 |- P e. NN0
3		decmul1c.2	. . 3 |- A e. NN0
4		decmul1c.3	. . 3 |- B e. NN0
5		decmul1c.4	. . . 4 |- N = ; A B
6		df-dec 10989	. . . 4 |- ; A B = ( ( 10 x. A ) + B )
7	5, 6	eqtri 2496	. . 3 |- N = ( ( 10 x. A ) + B )
8		decmul1c.5	. . 3 |- D e. NN0
9		decmul1c.6	. . 3 |- E e. NN0
10		decmul2c.7	. . 3 |- ( ( P x. A ) + E ) = C
11		decmul2c.8	. . . 4 |- ( P x. B ) = ; E D
12		df-dec 10989	. . . 4 |- ; E D = ( ( 10 x. E ) + D )
13	11, 12	eqtri 2496	. . 3 |- ( P x. B ) = ( ( 10 x. E ) + D )
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul2c 11025	. 2 |- ( P x. N ) = ( ( 10 x. C ) + D )
15		df-dec 10989	. 2 |- ; C D = ( ( 10 x. C ) + D )
16	14, 15	eqtr4i 2499	1 |- ( P x. N ) = ; C D

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767  (class class class)co 6295   + caddc 9507   x. cmul 9509   10c10 10605   NN0cn0 10807  ;cdc 10988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-dec 10989

This theorem is referenced by:  2exp8  14449  2exp16  14450  prmlem2  14480  37prm  14481  1259lem2  14489  1259lem3  14490  1259lem4  14491  1259prm  14493  2503lem1  14494  2503lem2  14495  2503prm  14497  4001lem1  14498  4001lem2  14499  4001lem3  14500  4001prm  14502  log2ublem3  23145  log2ub  23146  birthday  23150