MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1c Structured version   Unicode version

Theorem decmul1c 10914
Description: The product of a numeral with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1c.1  |-  P  e. 
NN0
decmul1c.2  |-  A  e. 
NN0
decmul1c.3  |-  B  e. 
NN0
decmul1c.4  |-  N  = ; A B
decmul1c.5  |-  D  e. 
NN0
decmul1c.6  |-  E  e. 
NN0
decmul1c.7  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
decmul1c.8  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
Assertion
Ref Expression
decmul1c  |-  ( N  x.  P )  = ; C D

Proof of Theorem decmul1c
StepHypRef Expression
1 10nn0 10716 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decmul1c.1 . . 3  |-  P  e. 
NN0
3 decmul1c.2 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decmul1c.3 . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 decmul1c.4 . . . 4  |-  N  = ; A B
6 df-dec 10868 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
75, 6eqtri 2483 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
8 decmul1c.5 . . 3  |-  D  e. 
NN0
9 decmul1c.6 . . 3  |-  E  e. 
NN0
10 decmul1c.7 . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
11 decmul1c.8 . . . 4  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
12 df-dec 10868 . . . 4  |- ; E D  =  ( ( 10  x.  E
)  +  D )
1311, 12eqtri 2483 . . 3  |-  ( B  x.  P )  =  ( ( 10  x.  E )  +  D
)
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul1c 10903 . 2  |-  ( N  x.  P )  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
15 df-dec 10868 . 2  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
1614, 15eqtr4i 2486 1  |-  ( N  x.  P )  = ; C D
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6201    + caddc 9397    x. cmul 9399   10c10 10491   NN0cn0 10691  ;cdc 10867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-ltxr 9535  df-sub 9709  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-dec 10868
This theorem is referenced by:  2exp6  14234  2exp8  14235  2exp16  14236  prmlem2  14266  37prm  14267  631prm  14273  1259lem1  14274  1259lem2  14275  1259lem3  14276  1259lem4  14277  1259prm  14279  2503lem1  14280  2503lem2  14281  2503prm  14283  4001lem1  14284  4001lem2  14285  4001lem3  14286  4001prm  14288  log2ublem3  22477  log2ub  22478  bpos1  22756  wallispi2lem2  30016
  Copyright terms: Public domain W3C validator