MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul1c Structured version   Unicode version

Theorem decmul1c 11106
Description: The product of a numeral with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1c.1  |-  P  e. 
NN0
decmul1c.2  |-  A  e. 
NN0
decmul1c.3  |-  B  e. 
NN0
decmul1c.4  |-  N  = ; A B
decmul1c.5  |-  D  e. 
NN0
decmul1c.6  |-  E  e. 
NN0
decmul1c.7  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
decmul1c.8  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
Assertion
Ref Expression
decmul1c  |-  ( N  x.  P )  = ; C D

Proof of Theorem decmul1c
StepHypRef Expression
1 10nn0 10902 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decmul1c.1 . . 3  |-  P  e. 
NN0
3 decmul1c.2 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decmul1c.3 . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 decmul1c.4 . . . 4  |-  N  = ; A B
6 df-dec 11060 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
75, 6eqtri 2451 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
8 decmul1c.5 . . 3  |-  D  e. 
NN0
9 decmul1c.6 . . 3  |-  E  e. 
NN0
10 decmul1c.7 . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  E )  =  C
11 decmul1c.8 . . . 4  |-  ( B  x.  P )  = ; E D
12 df-dec 11060 . . . 4  |- ; E D  =  ( ( 10  x.  E
)  +  D )
1311, 12eqtri 2451 . . 3  |-  ( B  x.  P )  =  ( ( 10  x.  E )  +  D
)
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul1c 11095 . 2  |-  ( N  x.  P )  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
15 df-dec 11060 . 2  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
1614, 15eqtr4i 2454 1  |-  ( N  x.  P )  = ; C D
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1872  (class class class)co 6306    + caddc 9550    x. cmul 9552   10c10 10675   NN0cn0 10877  ;cdc 11059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-ltxr 9688  df-sub 9870  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-dec 11060
This theorem is referenced by:  2exp6OLD  15059  2exp8  15060  2exp16  15061  prmlem2  15091  37prm  15092  631prm  15098  1259lem1  15102  1259lem2  15103  1259lem3  15104  1259lem4  15105  1259prm  15107  2503lem1  15108  2503lem2  15109  2503prm  15111  4001lem1  15112  4001lem2  15113  4001lem3  15114  4001prm  15116  log2ublem3  23873  log2ub  23874  bpos1  24210  wallispi2lem2  37875
  Copyright terms: Public domain W3C validator