MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmac Structured version   Unicode version

Theorem decmac 11039
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1  |-  A  e. 
NN0
decma.2  |-  B  e. 
NN0
decma.3  |-  C  e. 
NN0
decma.4  |-  D  e. 
NN0
decma.5  |-  M  = ; A B
decma.6  |-  N  = ; C D
decmac.7  |-  P  e. 
NN0
decmac.8  |-  F  e. 
NN0
decmac.9  |-  G  e. 
NN0
decmac.10  |-  ( ( A  x.  P )  +  ( C  +  G ) )  =  E
decmac.11  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  = ; G F
Assertion
Ref Expression
decmac  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decmac
StepHypRef Expression
1 10nn0 10841 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decma.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.5 . . . 4  |-  M  = ; A B
7 df-dec 11001 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2486 . . 3  |-  M  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
9 decma.6 . . . 4  |-  N  = ; C D
10 df-dec 11001 . . . 4  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2486 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
12 decmac.7 . . 3  |-  P  e. 
NN0
13 decmac.8 . . 3  |-  F  e. 
NN0
14 decmac.9 . . 3  |-  G  e. 
NN0
15 decmac.10 . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  ( C  +  G ) )  =  E
16 decmac.11 . . . 4  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  = ; G F
17 df-dec 11001 . . . 4  |- ; G F  =  ( ( 10  x.  G
)  +  F )
1816, 17eqtri 2486 . . 3  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  =  ( ( 10  x.  G )  +  F
)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18nummac 11032 . 2  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  =  ( ( 10  x.  E )  +  F
)
20 df-dec 11001 . 2  |- ; E F  =  ( ( 10  x.  E
)  +  F )
2119, 20eqtr4i 2489 1  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819  (class class class)co 6296    + caddc 9512    x. cmul 9514   10c10 10614   NN0cn0 10816  ;cdc 11000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-dec 11001
This theorem is referenced by:  2exp16  14587  37prm  14618  43prm  14619  83prm  14620  139prm  14621  163prm  14622  317prm  14623  631prm  14624  1259lem1  14625  1259lem2  14626  1259lem3  14627  1259lem4  14628  1259lem5  14629  1259prm  14630  2503lem1  14631  2503lem2  14632  2503lem3  14633  2503prm  14634  4001lem1  14635  4001lem2  14636  4001lem3  14637  4001prm  14639  log2ublem3  23405  log2ub  23406
  Copyright terms: Public domain W3C validator