MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma2c Structured version   Unicode version

Theorem decma2c 11059
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1  |-  A  e. 
NN0
decma.2  |-  B  e. 
NN0
decma.3  |-  C  e. 
NN0
decma.4  |-  D  e. 
NN0
decma.5  |-  M  = ; A B
decma.6  |-  N  = ; C D
decma2c.7  |-  P  e. 
NN0
decma2c.8  |-  F  e. 
NN0
decma2c.9  |-  G  e. 
NN0
decma2c.10  |-  ( ( P  x.  A )  +  ( C  +  G ) )  =  E
decma2c.11  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  = ; G F
Assertion
Ref Expression
decma2c  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decma2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 10861 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decma.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.5 . . . 4  |-  M  = ; A B
7 df-dec 11020 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2431 . . 3  |-  M  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
9 decma.6 . . . 4  |-  N  = ; C D
10 df-dec 11020 . . . 4  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2431 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
12 decma2c.7 . . 3  |-  P  e. 
NN0
13 decma2c.8 . . 3  |-  F  e. 
NN0
14 decma2c.9 . . 3  |-  G  e. 
NN0
15 decma2c.10 . . 3  |-  ( ( P  x.  A )  +  ( C  +  G ) )  =  E
16 decma2c.11 . . . 4  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  = ; G F
17 df-dec 11020 . . . 4  |- ; G F  =  ( ( 10  x.  G
)  +  F )
1816, 17eqtri 2431 . . 3  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  =  ( ( 10  x.  G )  +  F
)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18numma2c 11052 . 2  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  =  ( ( 10  x.  E )  +  F
)
20 df-dec 11020 . 2  |- ; E F  =  ( ( 10  x.  E
)  +  F )
2119, 20eqtr4i 2434 1  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278    + caddc 9525    x. cmul 9527   10c10 10634   NN0cn0 10836  ;cdc 11019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-dec 11020
This theorem is referenced by:  2exp16  14784  43prm  14816  83prm  14817  139prm  14818  163prm  14819  317prm  14820  631prm  14821  1259lem1  14822  1259lem2  14823  1259lem3  14824  1259lem4  14825  1259lem5  14826  2503lem1  14828  2503lem2  14829  2503lem3  14830  2503prm  14831  4001lem1  14832  4001lem2  14833  4001lem3  14834  4001lem4  14835  4001prm  14836  log2ublem3  23604  log2ub  23605
  Copyright terms: Public domain W3C validator