MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma2c Structured version   Unicode version

Theorem decma2c 11007
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1  |-  A  e. 
NN0
decma.2  |-  B  e. 
NN0
decma.3  |-  C  e. 
NN0
decma.4  |-  D  e. 
NN0
decma.5  |-  M  = ; A B
decma.6  |-  N  = ; C D
decma2c.7  |-  P  e. 
NN0
decma2c.8  |-  F  e. 
NN0
decma2c.9  |-  G  e. 
NN0
decma2c.10  |-  ( ( P  x.  A )  +  ( C  +  G ) )  =  E
decma2c.11  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  = ; G F
Assertion
Ref Expression
decma2c  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decma2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 10811 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decma.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.5 . . . 4  |-  M  = ; A B
7 df-dec 10968 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2491 . . 3  |-  M  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
9 decma.6 . . . 4  |-  N  = ; C D
10 df-dec 10968 . . . 4  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2491 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
12 decma2c.7 . . 3  |-  P  e. 
NN0
13 decma2c.8 . . 3  |-  F  e. 
NN0
14 decma2c.9 . . 3  |-  G  e. 
NN0
15 decma2c.10 . . 3  |-  ( ( P  x.  A )  +  ( C  +  G ) )  =  E
16 decma2c.11 . . . 4  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  = ; G F
17 df-dec 10968 . . . 4  |- ; G F  =  ( ( 10  x.  G
)  +  F )
1816, 17eqtri 2491 . . 3  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  =  ( ( 10  x.  G )  +  F
)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18numma2c 11000 . 2  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  =  ( ( 10  x.  E )  +  F
)
20 df-dec 10968 . 2  |- ; E F  =  ( ( 10  x.  E
)  +  F )
2119, 20eqtr4i 2494 1  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762  (class class class)co 6277    + caddc 9486    x. cmul 9488   10c10 10584   NN0cn0 10786  ;cdc 10967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-ltxr 9624  df-sub 9798  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-dec 10968
This theorem is referenced by:  2exp16  14424  43prm  14456  83prm  14457  139prm  14458  163prm  14459  317prm  14460  631prm  14461  1259lem1  14462  1259lem2  14463  1259lem3  14464  1259lem4  14465  1259lem5  14466  2503lem1  14468  2503lem2  14469  2503lem3  14470  2503prm  14471  4001lem1  14472  4001lem2  14473  4001lem3  14474  4001lem4  14475  4001prm  14476  log2ublem3  23002  log2ub  23003
  Copyright terms: Public domain W3C validator