MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decexp2 Structured version   Unicode version

Theorem decexp2 14420
Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decexp2.1  |-  M  e. 
NN0
decexp2.2  |-  ( M  +  2 )  =  N
Assertion
Ref Expression
decexp2  |-  ( ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  +  0 )  =  ( 2 ^ N
)

Proof of Theorem decexp2
StepHypRef Expression
1 2cn 10606 . . . . 5  |-  2  e.  CC
2 2nn0 10812 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
3 decexp2.1 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
42, 3nn0expcli 12160 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ M )  e. 
NN0
54nn0cni 10807 . . . . 5  |-  ( 2 ^ M )  e.  CC
61, 5mulcli 9601 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 2 ^ M ) )  e.  CC
7 expp1 12141 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) )
81, 3, 7mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) )  =  ( ( 2 ^ M )  x.  2 )
95, 1mulcomi 9602 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ M )  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
2 ^ M ) )
108, 9eqtr2i 2497 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( 2 ^ M ) )  =  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )
1110oveq1i 6294 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  ( 2 ^ M ) )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  x.  2 )
126, 1, 11mulcomli 9603 . . 3  |-  ( 2  x.  ( 2  x.  ( 2 ^ M
) ) )  =  ( ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  x.  2 )
134decbin0 11079 . . 3  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( 2 ^ M ) ) )
14 peano2nn0 10836 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
153, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  e. 
NN0
16 expp1 12141 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( M  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  x.  2 ) )
171, 15, 16mp2an 672 . . 3  |-  ( 2 ^ ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  x.  2 )
1812, 13, 173eqtr4i 2506 . 2  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  =  ( 2 ^ (
( M  +  1 )  +  1 ) )
19 4nn0 10814 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
2019, 4nn0mulcli 10834 . . . 4  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  e. 
NN0
2120nn0cni 10807 . . 3  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  e.  CC
2221addid1i 9766 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  +  0 )  =  ( 4  x.  (
2 ^ M ) )
233nn0cni 10807 . . . . 5  |-  M  e.  CC
24 ax-1cn 9550 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2523, 24, 24addassi 9604 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) )
26 df-2 10594 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2726oveq2i 6295 . . . 4  |-  ( M  +  2 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) )
28 decexp2.2 . . . 4  |-  ( M  +  2 )  =  N
2925, 27, 283eqtr2ri 2503 . . 3  |-  N  =  ( ( M  + 
1 )  +  1 )
3029oveq2i 6295 . 2  |-  ( 2 ^ N )  =  ( 2 ^ (
( M  +  1 )  +  1 ) )
3118, 22, 303eqtr4i 2506 1  |-  ( ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  +  0 )  =  ( 2 ^ N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   2c2 10585   4c4 10587   NN0cn0 10795   ^cexp 12134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-seq 12076  df-exp 12135
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator