MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Structured version   Unicode version

Theorem deccl 10872
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1  |-  A  e. 
NN0
deccl.2  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
deccl  |- ; A B  e.  NN0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10859 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 10707 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 deccl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 deccl.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 10869 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2535 1  |- ; A B  e.  NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758  (class class class)co 6192    + caddc 9388    x. cmul 9390   10c10 10482   NN0cn0 10682  ;cdc 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-ltxr 9526  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-dec 10859
This theorem is referenced by:  dec2dvds  14196  dec5dvds2  14198  2exp6  14219  2exp8  14220  2exp16  14221  prmlem2  14251  37prm  14252  43prm  14253  83prm  14254  139prm  14255  163prm  14256  317prm  14257  631prm  14258  1259lem1  14259  1259lem2  14260  1259lem3  14261  1259lem4  14262  1259lem5  14263  1259prm  14264  2503lem1  14265  2503lem2  14266  2503lem3  14267  2503prm  14268  4001lem1  14269  4001lem2  14270  4001lem3  14271  4001lem4  14272  4001prm  14273  tnglem  20344  quart1cl  22367  quart1lem  22368  quart1  22369  log2ublem3  22461  log2ub  22462  birthday  22466  bpos1  22740  bpos  22750  1kp2ke3k  23790  log2le1  26602  kur14lem9  27238  bpoly4  28338  fsumcube  28339
  Copyright terms: Public domain W3C validator