MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Structured version   Unicode version

Theorem deccl 10990
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1  |-  A  e. 
NN0
deccl.2  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
deccl  |- ; A B  e.  NN0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10977 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 10816 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 deccl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 deccl.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 10987 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2538 1  |- ; A B  e.  NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1823  (class class class)co 6270    + caddc 9484    x. cmul 9486   10c10 10589   NN0cn0 10791  ;cdc 10976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-dec 10977
This theorem is referenced by:  dec2dvds  14633  dec5dvds2  14635  2exp6OLD  14657  2exp8  14658  2exp16  14659  prmlem2  14689  37prm  14690  43prm  14691  83prm  14692  139prm  14693  163prm  14694  317prm  14695  631prm  14696  1259lem1  14697  1259lem2  14698  1259lem3  14699  1259lem4  14700  1259lem5  14701  1259prm  14702  2503lem1  14703  2503lem2  14704  2503lem3  14705  2503prm  14706  4001lem1  14707  4001lem2  14708  4001lem3  14709  4001lem4  14710  4001prm  14711  slotsbhcdif  14909  tnglem  21320  quart1cl  23382  quart1lem  23383  quart1  23384  log2ublem3  23476  log2ub  23477  log2le1  23478  birthday  23482  bpos1  23756  bpos  23766  1kp2ke3k  25369  kur14lem9  28922  bpoly4  30049  fsumcube  30050  inductionexd  38419
  Copyright terms: Public domain W3C validator