MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deccl Structured version   Unicode version

Theorem deccl 10986
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deccl.1  |-  A  e. 
NN0
deccl.2  |-  B  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
deccl  |- ; A B  e.  NN0

Proof of Theorem deccl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10973 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 10816 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 deccl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 deccl.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
52, 3, 4numcl 10983 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e. 
NN0
61, 5eqeltri 2551 1  |- ; A B  e.  NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767  (class class class)co 6282    + caddc 9491    x. cmul 9493   10c10 10589   NN0cn0 10791  ;cdc 10972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-dec 10973
This theorem is referenced by:  dec2dvds  14404  dec5dvds2  14406  2exp6  14427  2exp8  14428  2exp16  14429  prmlem2  14459  37prm  14460  43prm  14461  83prm  14462  139prm  14463  163prm  14464  317prm  14465  631prm  14466  1259lem1  14467  1259lem2  14468  1259lem3  14469  1259lem4  14470  1259lem5  14471  1259prm  14472  2503lem1  14473  2503lem2  14474  2503lem3  14475  2503prm  14476  4001lem1  14477  4001lem2  14478  4001lem3  14479  4001lem4  14480  4001prm  14481  tnglem  20889  quart1cl  22913  quart1lem  22914  quart1  22915  log2ublem3  23007  log2ub  23008  birthday  23012  bpos1  23286  bpos  23296  1kp2ke3k  24844  log2le1  27663  kur14lem9  28298  bpoly4  29398  fsumcube  29399
  Copyright terms: Public domain W3C validator