MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decaddci Structured version   Unicode version

Theorem decaddci 10898
Description: Add two numerals  M and  N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1  |-  A  e. 
NN0
decaddi.2  |-  B  e. 
NN0
decaddi.3  |-  N  e. 
NN0
decaddi.4  |-  M  = ; A B
decaddci.5  |-  ( A  +  1 )  =  D
decaddci.6  |-  C  e. 
NN0
decaddci.7  |-  ( B  +  N )  = ; 1 C
Assertion
Ref Expression
decaddci  |-  ( M  +  N )  = ; D C

Proof of Theorem decaddci
StepHypRef Expression
1 decaddi.1 . 2  |-  A  e. 
NN0
2 decaddi.2 . 2  |-  B  e. 
NN0
3 0nn0 10692 . 2  |-  0  e.  NN0
4 decaddi.3 . 2  |-  N  e. 
NN0
5 decaddi.4 . 2  |-  M  = ; A B
64dec0h 10869 . 2  |-  N  = ; 0 N
71nn0cni 10689 . . . . 5  |-  A  e.  CC
87addid1i 9654 . . . 4  |-  ( A  +  0 )  =  A
98oveq1i 6197 . . 3  |-  ( ( A  +  0 )  +  1 )  =  ( A  +  1 )
10 decaddci.5 . . 3  |-  ( A  +  1 )  =  D
119, 10eqtri 2479 . 2  |-  ( ( A  +  0 )  +  1 )  =  D
12 decaddci.6 . 2  |-  C  e. 
NN0
13 decaddci.7 . 2  |-  ( B  +  N )  = ; 1 C
141, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13decaddc 10895 1  |-  ( M  +  N )  = ; D C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6187   0cc0 9380   1c1 9381    + caddc 9383   NN0cn0 10677  ;cdc 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-ltxr 9521  df-sub 9695  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-dec 10854
This theorem is referenced by:  decaddci2  10899  6t4e24  10932  7t3e21  10936  7t5e35  10938  7t6e42  10939  8t3e24  10942  8t4e32  10943  8t7e56  10946  8t8e64  10947  9t3e27  10949  9t4e36  10950  9t5e45  10951  9t6e54  10952  9t7e63  10953  9t8e72  10954  9t9e81  10955  2exp8  14215  prmlem2  14246  43prm  14248  83prm  14249  317prm  14252  631prm  14253  1259lem1  14254  1259lem2  14255  1259lem3  14256  1259lem4  14257  1259lem5  14258  2503lem1  14260  2503lem2  14261  2503lem3  14262  4001lem1  14264  4001lem2  14265  4001lem4  14267  log2ublem3  22456  log2ub  22457
  Copyright terms: Public domain W3C validator