MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decaddci Structured version   Unicode version

Theorem decaddci 11063
Description: Add two numerals  M and  N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1  |-  A  e. 
NN0
decaddi.2  |-  B  e. 
NN0
decaddi.3  |-  N  e. 
NN0
decaddi.4  |-  M  = ; A B
decaddci.5  |-  ( A  +  1 )  =  D
decaddci.6  |-  C  e. 
NN0
decaddci.7  |-  ( B  +  N )  = ; 1 C
Assertion
Ref Expression
decaddci  |-  ( M  +  N )  = ; D C

Proof of Theorem decaddci
StepHypRef Expression
1 decaddi.1 . 2  |-  A  e. 
NN0
2 decaddi.2 . 2  |-  B  e. 
NN0
3 0nn0 10850 . 2  |-  0  e.  NN0
4 decaddi.3 . 2  |-  N  e. 
NN0
5 decaddi.4 . 2  |-  M  = ; A B
64dec0h 11034 . 2  |-  N  = ; 0 N
71nn0cni 10847 . . . . 5  |-  A  e.  CC
87addid1i 9800 . . . 4  |-  ( A  +  0 )  =  A
98oveq1i 6287 . . 3  |-  ( ( A  +  0 )  +  1 )  =  ( A  +  1 )
10 decaddci.5 . . 3  |-  ( A  +  1 )  =  D
119, 10eqtri 2431 . 2  |-  ( ( A  +  0 )  +  1 )  =  D
12 decaddci.6 . 2  |-  C  e. 
NN0
13 decaddci.7 . 2  |-  ( B  +  N )  = ; 1 C
141, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13decaddc 11060 1  |-  ( M  +  N )  = ; D C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6277   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524   NN0cn0 10835  ;cdc 11018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-sub 9842  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-dec 11019
This theorem is referenced by:  decaddci2  11064  6t4e24  11097  7t3e21  11101  7t5e35  11103  7t6e42  11104  8t3e24  11107  8t4e32  11108  8t7e56  11111  8t8e64  11112  9t3e27  11114  9t4e36  11115  9t5e45  11116  9t6e54  11117  9t7e63  11118  9t8e72  11119  9t9e81  11120  2exp8  14781  prmlem2  14812  43prm  14814  83prm  14815  317prm  14818  631prm  14819  1259lem1  14820  1259lem2  14821  1259lem3  14822  1259lem4  14823  1259lem5  14824  2503lem1  14826  2503lem2  14827  2503lem3  14828  4001lem1  14830  4001lem2  14831  4001lem4  14833  log2ublem3  23602  log2ub  23603
  Copyright terms: Public domain W3C validator