MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5nprm Structured version   Unicode version

Theorem dec5nprm 15031
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dec2nprm.1  |-  A  e.  NN
Assertion
Ref Expression
dec5nprm  |-  -. ; A 5  e.  Prime

Proof of Theorem dec5nprm
StepHypRef Expression
1 2nn 10769 . . . 4  |-  2  e.  NN
2 dec2nprm.1 . . . 4  |-  A  e.  NN
31, 2nnmulcli 10635 . . 3  |-  ( 2  x.  A )  e.  NN
4 peano2nn 10623 . . 3  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  +  1 )  e.  NN )
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  ( ( 2  x.  A )  +  1 )  e.  NN
6 5nn 10772 . 2  |-  5  e.  NN
7 1nn0 10887 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 1lt2 10778 . . 3  |-  1  <  2
91, 2, 7, 7, 8numlti 11077 . 2  |-  1  <  ( ( 2  x.  A )  +  1 )
10 1lt5 10787 . 2  |-  1  <  5
111nncni 10621 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
122nncni 10621 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
13 5cn 10691 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
1411, 12, 13mul32i 9831 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  5 )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  A
)
15 5t2e10 10766 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
1613, 11, 15mulcomli 9652 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
1716oveq1i 6313 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  A )  =  ( 10  x.  A
)
1814, 17eqtri 2452 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  5 )  =  ( 10  x.  A
)
1913mulid2i 9648 . . . 4  |-  ( 1  x.  5 )  =  5
2018, 19oveq12i 6315 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )  =  ( ( 10  x.  A )  +  5 )
213nncni 10621 . . . 4  |-  ( 2  x.  A )  e.  CC
22 ax-1cn 9599 . . . 4  |-  1  e.  CC
2321, 22, 13adddiri 9656 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  +  1 )  x.  5 )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )
24 df-dec 11054 . . 3  |- ; A 5  =  ( ( 10  x.  A
)  +  5 )
2520, 23, 243eqtr4i 2462 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  +  1 )  x.  5 )  = ; A
5
265, 6, 9, 10, 25nprmi 14632 1  |-  -. ; A 5  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1869  (class class class)co 6303   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546   NNcn 10611   2c2 10661   5c5 10664   10c10 10669  ;cdc 11053   Primecprime 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-dvds 14299  df-prm 14616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator