MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2dvds Structured version   Unicode version

Theorem dec2dvds 14404
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2dvds.1  |-  A  e. 
NN0
dec2dvds.2  |-  B  e. 
NN0
dec2dvds.3  |-  ( B  x.  2 )  =  C
dec2dvds.4  |-  D  =  ( C  +  1 )
Assertion
Ref Expression
dec2dvds  |-  -.  2  || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds
StepHypRef Expression
1 5nn0 10811 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
21nn0zi 10885 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
3 2z 10892 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
4 dvdsmul2 13863 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 5  x.  2 ) )
52, 3, 4mp2an 672 . . . . . . 7  |-  2  ||  ( 5  x.  2 )
6 5t2e10 10686 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
75, 6breqtri 4470 . . . . . 6  |-  2  ||  10
8 10nn0 10816 . . . . . . . 8  |-  10  e.  NN0
98nn0zi 10885 . . . . . . 7  |-  10  e.  ZZ
10 dec2dvds.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
NN0
1110nn0zi 10885 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
12 dvdsmultr1 13875 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  10  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  10  ->  2 
||  ( 10  x.  A ) ) )
133, 9, 11, 12mp3an 1324 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  10  ->  2  ||  ( 10  x.  A
) )
147, 13ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  ||  ( 10  x.  A
)
15 dec2dvds.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
NN0
1615nn0zi 10885 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
17 dvdsmul2 13863 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( B  x.  2 ) )
1816, 3, 17mp2an 672 . . . . . 6  |-  2  ||  ( B  x.  2 )
19 dec2dvds.3 . . . . . 6  |-  ( B  x.  2 )  =  C
2018, 19breqtri 4470 . . . . 5  |-  2  ||  C
218, 10nn0mulcli 10830 . . . . . . 7  |-  ( 10  x.  A )  e. 
NN0
2221nn0zi 10885 . . . . . 6  |-  ( 10  x.  A )  e.  ZZ
23 2nn0 10808 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2415, 23nn0mulcli 10830 . . . . . . . 8  |-  ( B  x.  2 )  e. 
NN0
2519, 24eqeltrri 2552 . . . . . . 7  |-  C  e. 
NN0
2625nn0zi 10885 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
27 dvds2add 13872 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 10  x.  A
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A
)  /\  2  ||  C )  ->  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
) ) )
283, 22, 26, 27mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A )  /\  2  ||  C )  -> 
2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C ) )
2914, 20, 28mp2an 672 . . . 4  |-  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
)
30 df-dec 10973 . . . 4  |- ; A C  =  ( ( 10  x.  A
)  +  C )
3129, 30breqtrri 4472 . . 3  |-  2  || ; A C
3210, 25deccl 10986 . . . . 5  |- ; A C  e.  NN0
3332nn0zi 10885 . . . 4  |- ; A C  e.  ZZ
34 2nn 10689 . . . 4  |-  2  e.  NN
35 1lt2 10698 . . . 4  |-  1  <  2
36 ndvdsp1 13922 . . . 4  |-  ( (; A C  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  || ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1 ) ) )
3733, 34, 35, 36mp3an 1324 . . 3  |-  ( 2 
|| ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1
) )
3831, 37ax-mp 5 . 2  |-  -.  2  ||  (; A C  +  1
)
39 dec2dvds.4 . . . . 5  |-  D  =  ( C  +  1 )
4039eqcomi 2480 . . . 4  |-  ( C  +  1 )  =  D
41 eqid 2467 . . . 4  |- ; A C  = ; A C
4210, 25, 40, 41decsuc 10995 . . 3  |-  (; A C  +  1 )  = ; A D
4342breq2i 4455 . 2  |-  ( 2 
||  (; A C  +  1 )  <->  2  || ; A D )
4438, 43mtbi 298 1  |-  -.  2  || ; A D
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624   NNcn 10532   2c2 10581   5c5 10584   10c10 10589   NN0cn0 10791   ZZcz 10860  ;cdc 10972    || cdivides 13843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-dvds 13844
This theorem is referenced by:  11prm  14454  13prm  14455  17prm  14456  19prm  14457  23prm  14458  37prm  14460  43prm  14461  83prm  14462  139prm  14463  163prm  14464  317prm  14465  631prm  14466
  Copyright terms: Public domain W3C validator