MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec10 Structured version   Unicode version

Theorem dec10 11016
Description: The decimal form of 10. NB: In our presentations of large numbers later on, we will use our symbol for 10 at the highest digits when advantageous, because we can use this theorem to convert back to "long form" (where each digit is in the range 0-9) with no extra effort. However, we cannot do this for lower digits while maintaining the ease of use of the decimal system, since it requires nontrivial number knowledge (more than just equality theorems) to convert back. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
dec10  |-  10  = ; 1 0

Proof of Theorem dec10
StepHypRef Expression
1 10nn 10708 . . . 4  |-  10  e.  NN
21nncni 10553 . . 3  |-  10  e.  CC
32addid1i 9770 . 2  |-  ( 10  +  0 )  =  10
4 dec10p 11015 . 2  |-  ( 10  +  0 )  = ; 1
0
53, 4eqtr3i 2474 1  |-  10  = ; 1 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   10c10 10600  ;cdc 10986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-dec 10987
This theorem is referenced by:  decaddc2  11029  decaddci2  11032  6p5e11  11036  7p4e11  11038  8p3e11  11042  9p2e11  11048  10p10e20  11056  2exp16  14557  139prm  14591  163prm  14592  317prm  14593  631prm  14594  1259lem1  14595  1259lem2  14596  1259lem3  14597  1259lem4  14598  2503lem1  14601  2503lem2  14602  2503lem3  14603  4001lem1  14605  4001lem3  14607  4001lem4  14608  4001prm  14609  odrngstr  14786  imasvalstr  14831  ipostr  15762  cnfldstr  18401  thlle  18706  log2ublem3  23257  log2ub  23258
  Copyright terms: Public domain W3C validator