Theorem ddeval0 29058

Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddeval0	|- ( ( A C_ RR /\ -. 0 e. A ) -> (δ ` A ) = 0 )

Proof of Theorem ddeval0

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 9630	. . . . 5 |- RR e. _V
2	1	ssex 4547	. . . 4 |- ( A C_ RR -> A e. _V )
3		elpwg 3959	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P RR <-> A C_ RR ) )
4	3	biimpar 488	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A C_ RR ) -> A e. ~P RR )
5	2, 4	mpancom 675	. . 3 |- ( A C_ RR -> A e. ~P RR )
6		eleq2 2518	. . . . 5 |- ( a = A -> ( 0 e. a <-> 0 e. A ) )
7	6	ifbid 3903	. . . 4 |- ( a = A -> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
8		df-dde 29056	. . . 4 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
9		1ex 9638	. . . . 5 |- 1 e. _V
10		c0ex 9637	. . . . 5 |- 0 e. _V
11	9, 10	ifex 3949	. . . 4 |- if ( 0 e. A , 1 , 0 ) e. _V
12	7, 8, 11	fvmpt 5948	. . 3 |- ( A e. ~P RR -> (δ ` A ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
13	5, 12	syl 17	. 2 |- ( A C_ RR -> (δ ` A ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
14		iffalse 3890	. 2 |- ( -. 0 e. A -> if ( 0 e. A , 1 , 0 ) = 0 )
15	13, 14	sylan9eq 2505	1 |- ( ( A C_ RR /\ -. 0 e. A ) -> (δ ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   ` cfv 5582   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540  δcdde 29055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-mulcl 9601  ax-i2m1 9607

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-dde 29056

This theorem is referenced by:  ddemeas  29059