Theorem ddeval0 28670

Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddeval0	|- ( ( A C_ RR /\ -. 0 e. A ) -> (δ ` A ) = 0 )

Proof of Theorem ddeval0

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 9612	. . . . 5 |- RR e. _V
2	1	ssex 4537	. . . 4 |- ( A C_ RR -> A e. _V )
3		elpwg 3962	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P RR <-> A C_ RR ) )
4	3	biimpar 483	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A C_ RR ) -> A e. ~P RR )
5	2, 4	mpancom 667	. . 3 |- ( A C_ RR -> A e. ~P RR )
6		eleq2 2475	. . . . 5 |- ( a = A -> ( 0 e. a <-> 0 e. A ) )
7	6	ifbid 3906	. . . 4 |- ( a = A -> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
8		df-dde 28668	. . . 4 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
9		1ex 9620	. . . . 5 |- 1 e. _V
10		c0ex 9619	. . . . 5 |- 0 e. _V
11	9, 10	ifex 3952	. . . 4 |- if ( 0 e. A , 1 , 0 ) e. _V
12	7, 8, 11	fvmpt 5931	. . 3 |- ( A e. ~P RR -> (δ ` A ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
13	5, 12	syl 17	. 2 |- ( A C_ RR -> (δ ` A ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
14		iffalse 3893	. 2 |- ( -. 0 e. A -> if ( 0 e. A , 1 , 0 ) = 0 )
15	13, 14	sylan9eq 2463	1 |- ( ( A C_ RR /\ -. 0 e. A ) -> (δ ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   _Vcvv 3058   C_ wss 3413   ifcif 3884   ~Pcpw 3954   ` cfv 5568   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522  δcdde 28667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-mulcl 9583  ax-i2m1 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-dde 28668

This theorem is referenced by:  ddemeas  28671