Theorem ddeval0 26815

Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddeval0	|- ( ( A C_ RR /\ -. 0 e. A ) -> (δ ` A ) = 0 )

Proof of Theorem ddeval0

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 9487	. . . . 5 |- RR e. _V
2	1	ssex 4547	. . . 4 |- ( A C_ RR -> A e. _V )
3		elpwg 3979	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P RR <-> A C_ RR ) )
4	3	biimpar 485	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A C_ RR ) -> A e. ~P RR )
5	2, 4	mpancom 669	. . 3 |- ( A C_ RR -> A e. ~P RR )
6		eleq2 2527	. . . . 5 |- ( a = A -> ( 0 e. a <-> 0 e. A ) )
7	6	ifbid 3922	. . . 4 |- ( a = A -> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
8		df-dde 26813	. . . 4 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
9		1ex 9495	. . . . 5 |- 1 e. _V
10		c0ex 9494	. . . . 5 |- 0 e. _V
11	9, 10	ifex 3969	. . . 4 |- if ( 0 e. A , 1 , 0 ) e. _V
12	7, 8, 11	fvmpt 5886	. . 3 |- ( A e. ~P RR -> (δ ` A ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
13	5, 12	syl 16	. 2 |- ( A C_ RR -> (δ ` A ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
14		iffalse 3910	. 2 |- ( -. 0 e. A -> if ( 0 e. A , 1 , 0 ) = 0 )
15	13, 14	sylan9eq 2515	1 |- ( ( A C_ RR /\ -. 0 e. A ) -> (δ ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   ifcif 3902   ~Pcpw 3971   ` cfv 5529   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397  δcdde 26812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-mulcl 9458  ax-i2m1 9464

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-dde 26813

This theorem is referenced by:  ddemeas  26816