Theorem ddeval0 26603

Description: Value of the delta measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddeval0	|- ( ( A C_ RR /\ -. 0 e. A ) -> (δ ` A ) = 0 )

Proof of Theorem ddeval0

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 9365	. . . . 5 |- RR e. _V
2	1	ssex 4431	. . . 4 |- ( A C_ RR -> A e. _V )
3		elpwg 3863	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P RR <-> A C_ RR ) )
4	3	biimpar 485	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A C_ RR ) -> A e. ~P RR )
5	2, 4	mpancom 669	. . 3 |- ( A C_ RR -> A e. ~P RR )
6		eleq2 2499	. . . . 5 |- ( a = A -> ( 0 e. a <-> 0 e. A ) )
7	6	ifbid 3806	. . . 4 |- ( a = A -> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
8		df-dde 26601	. . . 4 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
9		1ex 9373	. . . . 5 |- 1 e. _V
10		c0ex 9372	. . . . 5 |- 0 e. _V
11	9, 10	ifex 3853	. . . 4 |- if ( 0 e. A , 1 , 0 ) e. _V
12	7, 8, 11	fvmpt 5769	. . 3 |- ( A e. ~P RR -> (δ ` A ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
13	5, 12	syl 16	. 2 |- ( A C_ RR -> (δ ` A ) = if ( 0 e. A , 1 , 0 ) )
14		iffalse 3794	. 2 |- ( -. 0 e. A -> if ( 0 e. A , 1 , 0 ) = 0 )
15	13, 14	sylan9eq 2490	1 |- ( ( A C_ RR /\ -. 0 e. A ) -> (δ ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   ifcif 3786   ~Pcpw 3855   ` cfv 5413   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275  δcdde 26600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-mulcl 9336  ax-i2m1 9342

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-dde 26601

This theorem is referenced by:  ddemeas  26604