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Theorem ddemeas 29011
Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ddemeas  |- δ  e.  (measures `  ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas
Dummy variables  k 
a  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9593 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
21rexri 9644 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
3 0le1 10088 . . . . . 6  |-  0  <_  1
4 pnfge 11383 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR*  ->  1  <_ +oo )
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  <_ +oo
6 0xr 9638 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
7 pnfxr 11363 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
8 elicc1 11631 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e.  RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo ) ) )
96, 7, 8mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e. 
RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo )
)
102, 3, 5, 9mpbir3an 1187 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] +oo )
11 0e0iccpnf 11694 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1210, 11keepel 3921 . . . 4  |-  if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
1312rgenw 2726 . . 3  |-  A. a  e.  ~P  RR if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
14 df-dde 29008 . . . 4  |- δ  =  ( a  e.  ~P RR  |->  if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 ) )
1514fmpt 6002 . . 3  |-  ( A. a  e.  ~P  RR if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1613, 15mpbi 211 . 2  |- δ : ~P RR
--> ( 0 [,] +oo )
17 0ss 3736 . . 3  |-  (/)  C_  RR
18 noel 3708 . . 3  |-  -.  0  e.  (/)
19 ddeval0 29010 . . 3  |-  ( (
(/)  C_  RR  /\  -.  0  e.  (/) )  -> 
(δ `  (/) )  =  0 )
2017, 18, 19mp2an 676 . 2  |-  (δ `  (/) )  =  0
21 rabxm 3728 . . . . . . . . 9  |-  x  =  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )
22 esumeq1 28807 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  -> Σ* y  e.  x
(δ `  y )  = Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |- Σ* y  e.  x
(δ `  y )  = Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
)
24 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  ~P ~P RR
25 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { a  e.  x  |  0  e.  a }
26 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }
27 rabexg 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  { a  e.  x  |  0  e.  a }  e.  _V )
28 rabexg 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V )
29 rabnc 3729 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  i^i  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  =  (/)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  i^i  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  =  (/) )
31 elrabi 3168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  ->  y  e.  x )
3231adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  y  e.  x )
33 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
34 elelpwi 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ~P ~P RR )  ->  y  e. 
~P RR )
3532, 33, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  y  e.  ~P RR )
3616ffvelrni 5980 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P RR  ->  (δ `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  (δ `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
38 elrabi 3168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  ->  y  e.  x )
3938adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  e.  x )
40 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
4139, 40, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  e.  ~P RR )
4241, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  (δ `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4324, 25, 26, 27, 28, 30, 37, 42esumsplit 28826 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
)  =  (Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
4423, 43syl5eq 2474 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  x (δ `  y
)  =  (Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
4544adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  x
(δ `  y )  =  (Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y ) +eΣ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
46 esumeq1 28807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  = Σ* y  e. 
{ k }  (δ `  y ) )
4746adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  = Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )
)
48 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
49 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
5049rabsnel 28081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  k  e.  x
)
5150adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  k  e.  x )
52 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  k  ->  (
0  e.  a  <->  0  e.  k ) )
5349, 52rabsnt 4020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  0  e.  k )
5453adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  0  e.  k )
55 elelpwi 3935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  x  /\  x  e.  ~P ~P RR )  ->  k  e. 
~P RR )
5655ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  ~P RR )
5756adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
k  e.  ~P RR )
58 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ~P RR  /\  y  =  k )  ->  y  =  k )
5958fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ~P RR  /\  y  =  k )  ->  (δ `  y )  =  (δ `  k )
)
6049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P RR  ->  k  e.  _V )
6116ffvelrni 5980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P RR  ->  (δ `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6259, 60, 61esumsn 28838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ~P RR  -> Σ* y  e. 
{ k }  (δ `  y )  =  (δ `  k ) )
6357, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )  =  (δ `  k ) )
6457elpwid 3934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
k  C_  RR )
65 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
0  e.  k )
66 ddeval1 29009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  C_  RR  /\  0  e.  k )  ->  (δ `  k )  =  1 )
6764, 65, 66syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
(δ `  k )  =  1 )
6863, 67eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )  =  1 )
6948, 51, 54, 68syl12anc 1262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
k }  (δ `  y
)  =  1 )
7047, 69eqtrd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  1 )
71 df-disj 4338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  y  e.  x  y  <->  A. k E* y  e.  x  k  e.  y )
72 c0ex 9588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
73 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  (
k  e.  y  <->  0  e.  y ) )
7473rmobidv 2957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  ( E* y  e.  x  k  e.  y  <->  E* y  e.  x  0  e.  y ) )
7572, 74spcv 3115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k E* y  e.  x  k  e.  y  ->  E* y  e.  x  0  e.  y )
7671, 75sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Disj  y  e.  x  y  ->  E* y  e.  x  0  e.  y )
77 rmo5 2988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E* y  e.  x  0  e.  y  <->  ( E. y  e.  x  0  e.  y  ->  E! y  e.  x  0  e.  y ) )
7877biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E* y  e.  x  0  e.  y  ->  ( E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  E! y  e.  x 
0  e.  y ) )
7978imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E* y  e.  x 
0  e.  y  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  E! y  e.  x 
0  e.  y )
8076, 79sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E! y  e.  x  0  e.  y )
81 reusn 4016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! y  e.  x  0  e.  y  <->  E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
8280, 81sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
83 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
0  e.  a  <->  0  e.  y ) )
8483cbvrabv 3021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { y  e.  x  |  0  e.  y }
8584eqeq1i 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  <->  { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
8650ancri 554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
8785, 86sylbir 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k }  ->  ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
8887eximi 1701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  {
k }  ->  E. k
( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
89 df-rex 2720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k  e.  x  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  <->  E. k ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
9088, 89sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  {
k }  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  {
k } )
9182, 90syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )
9291adantll 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  {
k } )
9370, 92r19.29a 2909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  1 )
94 elpwi 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  x  C_  ~P RR )
95 sspwuni 4331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ~P RR  <->  U. x  C_  RR )
9694, 95sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  U. x  C_  RR )
97 eluni2 4166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  U. x  <->  E. y  e.  x  0  e.  y )
9897biimpri 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  0  e.  y  ->  0  e.  U. x )
99 ddeval1 29009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. x  C_  RR  /\  0  e.  U. x
)  ->  (δ `  U. x )  =  1 )
10096, 98, 99syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ `  U. x )  =  1 )
101100adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ ` 
U. x )  =  1 )
10293, 101eqtr4d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  (δ `  U. x ) )
103 nfre1 2825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y E. y  e.  x 
0  e.  y
104103nfn 1960 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  -.  E. y  e.  x  0  e.  y
10583elrab 3171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  <->  ( y  e.  x  /\  0  e.  y ) )
106105exbii 1712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  <->  E. y ( y  e.  x  /\  0  e.  y ) )
107 neq0 3715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  <->  E. y 
y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a } )
108 df-rex 2720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  x  0  e.  y  <->  E. y
( y  e.  x  /\  0  e.  y
) )
109106, 107, 1083bitr4i 280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  <->  E. y  e.  x  0  e.  y )
110109biimpi 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  ->  E. y  e.  x  0  e.  y )
111110con1i 132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/) )
112104, 111esumeq1d 28808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  = Σ* y  e.  (/) (δ `  y ) )
113 esumnul 28821 . . . . . . . . . . 11  |- Σ* y  e.  (/) (δ `  y )  =  0
114112, 113syl6eq 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
115114adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
11697biimpi 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  U. x  ->  E. y  e.  x 
0  e.  y )
117116con3i 140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  -.  0  e.  U. x
)
118 ddeval0 29010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. x  C_  RR  /\ 
-.  0  e.  U. x )  ->  (δ ` 
U. x )  =  0 )
11996, 117, 118syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ ` 
U. x )  =  0 )
120119adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> 
(δ `  U. x )  =  0 )
121115, 120eqtr4d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  (δ `  U. x ) )
122102, 121pm2.61dan 798 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  (δ `  U. x ) )
12341elpwid 3934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  C_  RR )
12483notbid 295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  ( -.  0  e.  a  <->  -.  0  e.  y ) )
125124elrab 3171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  <->  ( y  e.  x  /\  -.  0  e.  y ) )
126125simprbi 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  ->  -.  0  e.  y )
127126adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  -.  0  e.  y )
128 ddeval0 29010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  RR  /\  -.  0  e.  y )  ->  (δ `  y )  =  0 )
129123, 127, 128syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  (δ `  y )  =  0 )
130129esumeq2dv 28811 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  = Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0 )
131 vex 3025 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
132131rabex 4518 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V
13326esum0 28822 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V  -> Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0  =  0 )
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0  =  0
135130, 134syl6eq 2478 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
136135adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
137122, 136oveq12d 6267 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) )  =  ( (δ `  U. x ) +e 0 ) )
138131uniex 6545 . . . . . . . . . 10  |-  U. x  e.  _V
139138elpw 3930 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  e.  ~P RR  <->  U. x  C_  RR )
140139biimpri 209 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  C_  RR  ->  U. x  e.  ~P RR )
141 iccssxr 11668 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
14216ffvelrni 5980 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  e.  ~P RR  ->  (δ `  U. x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
143141, 142sseldi 3405 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  e.  ~P RR  ->  (δ `  U. x )  e.  RR* )
144 xaddid1 11483 . . . . . . . 8  |-  ( (δ `  U. x )  e. 
RR*  ->  ( (δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
14596, 140, 143, 1444syl 19 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( (δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
146145adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
(δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
14745, 137, 1463eqtrrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) )
148147adantrl 720 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (δ ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) )
149148ex 435 . . 3  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) ) )
150149rgen 2724 . 2  |-  A. x  e.  ~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) )
151 reex 9581 . . . 4  |-  RR  e.  _V
152 pwsiga 28904 . . . 4  |-  ( RR  e.  _V  ->  ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR ) )
153151, 152ax-mp 5 . . 3  |-  ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR )
154 elrnsiga 28900 . . 3  |-  ( ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR )  ->  ~P RR  e.  U.
ran sigAlgebra )
155 ismeas 28973 . . 3  |-  ( ~P RR  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (δ 
e.  (measures `  ~P RR )  <-> 
(δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (δ `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
(δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) ) ) ) )
156153, 154, 155mp2b 10 . 2  |-  (δ  e.  (measures `  ~P RR )  <-> 
(δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (δ `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
(δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) ) ) )
15716, 20, 150, 156mpbir3an 1187 1  |- δ  e.  (measures `  ~P RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   E!wreu 2716   E*wrmo 2717   {crab 2718   _Vcvv 3022    u. cun 3377    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ifcif 3854   ~Pcpw 3924   {csn 3941   U.cuni 4162  Disj wdisj 4337   class class class wbr 4366   ran crn 4797   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   omcom 6650    ~<_ cdom 7522   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   +oocpnf 9623   RR*cxr 9625    <_ cle 9627   +ecxad 11358   [,]cicc 11589  Σ*cesum 28800  sigAlgebracsiga 28881  measurescmeas 28969  δcdde 29007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-ordt 15342  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-ps 16389  df-tsr 16390  df-plusf 16430  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-subg 16757  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-cring 17726  df-subrg 17949  df-abv 17988  df-lmod 18036  df-scaf 18037  df-sra 18338  df-rgmod 18339  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-tmd 21029  df-tgp 21030  df-tsms 21083  df-trg 21116  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-nm 21539  df-ngp 21540  df-nrg 21542  df-nlm 21543  df-ii 21851  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764  df-log 23448  df-esum 28801  df-siga 28882  df-meas 28970  df-dde 29008
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