Theorem ddemeas 26652

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	|- δ e. (measures ` ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables k a x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9385	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
2	1	rexri 9436	. . . . . . 7 |- 1 e. RR*
3		0le1 9863	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
4		pnfge 11110	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR* -> 1 <_ +oo )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 <_ +oo
6		0xr 9430	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
7		pnfxr 11092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
8		elicc1 11344	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) )
10	2, 3, 5, 9	mpbir3an 1170	. . . . . 6 |- 1 e. ( 0 [,] +oo )
11		0e0iccpnf 11396	. . . . . 6 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
12	10, 11	keepel 3857	. . . . 5 |- if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
13	12	rgenw 2783	. . . 4 |- A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
14		df-dde 26649	. . . . 5 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
15	14	fmpt 5864	. . . 4 |- ( A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
16	13, 15	mpbi 208	. . 3 |- δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
17		0ss 3666	. . . 4 |- (/) C_ RR
18		noel 3641	. . . 4 |- -. 0 e. (/)
19		ddeval0 26651	. . . 4 |- ( ( (/) C_ RR /\ -. 0 e. (/) ) -> (δ ` (/) ) = 0 )
20	17, 18, 19	mp2an 672	. . 3 |- (δ ` (/) ) = 0
21		exmidd 416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. x -> ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) )
22	21	rgen 2781	. . . . . . . . . . . 12 |- A. a e. x ( 0 e. a \/ -. 0 e. a )
23		rabid2 2898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { a e. x | ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) } <-> A. a e. x ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) )
24	22, 23	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- x = { a e. x | ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) }
25		unrab 3621	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) = { a e. x | ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) }
26	24, 25	eqtr4i 2466	. . . . . . . . . 10 |- x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } )
27		esumeq1 26490	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y )
29		nfv 1673	. . . . . . . . . 10 |- F/ y x e. ~P ~P RR
30		nfcv 2579	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y { a e. x | 0 e. a }
31		nfcv 2579	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y { a e. x | -. 0 e. a }
32		vex 2975	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
33	32	rabex 4443	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. x | 0 e. a } e. _V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | 0 e. a } e. _V )
35	32	rabex 4443	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. x | -. 0 e. a } e. _V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | -. 0 e. a } e. _V )
37		rabnc 3661	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/) )
39		elrabi 3114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } -> y e. x )
40	39	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. x )
41		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
42		elelpwi 3871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> y e. ~P RR )
43	40, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
44	16	ffvelrni 5842	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P RR -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
46		elrabi 3114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> y e. x )
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. x )
48		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
49	47, 48, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
50	49, 44	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51	29, 30, 31, 34, 36, 38, 45, 50	esumsplit 26506	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
52	28, 51	syl5eq 2487	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
54		esumeq1 26490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
56		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> x e. ~P ~P RR )
57		vex 2975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- k e. _V
58	57	rabsnel 25887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> k e. x )
59	58	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> k e. x )
60		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = k -> ( 0 e. a <-> 0 e. k ) )
61	57, 60	rabsnt 3952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> 0 e. k )
62	61	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> 0 e. k )
63		elelpwi 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> k e. ~P RR )
64	63	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ k e. x ) -> k e. ~P RR )
65	64	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k e. ~P RR )
66		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> y = k )
67	66	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> (δ ` y ) = (δ ` k ) )
68	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P RR -> k e. _V )
69	16	ffvelrni 5842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P RR -> (δ ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
70	67, 68, 69	esumsn 26515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
71	65, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
72		elpwi 3869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P RR -> k C_ RR )
73	65, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k C_ RR )
74		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> 0 e. k )
75		ddeval1 26650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k C_ RR /\ 0 e. k ) -> (δ ` k ) = 1 )
76	73, 74, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> (δ ` k ) = 1 )
77	71, 76	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
78	56, 59, 62, 77	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
79	55, 78	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
80		df-disj 4263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Disj y e. x y <-> A. k E* y e. x k e. y )
81	6	elexi 2982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. _V
82		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 0 -> ( k e. y <-> 0 e. y ) )
83	82	rmobidv 2910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( E* y e. x k e. y <-> E* y e. x 0 e. y ) )
84	81, 83	spcv 3063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k E* y e. x k e. y -> E* y e. x 0 e. y )
85	80, 84	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Disj y e. x y -> E* y e. x 0 e. y )
86		rmo5 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E* y e. x 0 e. y <-> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
87	86	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E* y e. x 0 e. y -> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
88	87	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E* y e. x 0 e. y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
89	85, 88	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
90		reusn 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! y e. x 0 e. y <-> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
91	89, 90	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
92		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = y -> ( 0 e. a <-> 0 e. y ) )
93	92	cbvrabv 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { a e. x | 0 e. a } = { y e. x | 0 e. y }
94	93	eqeq1i 2450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> { y e. x | 0 e. y } = { k } )
95	58	ancri 552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
96	94, 95	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y e. x | 0 e. y } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
97	96	eximi 1625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
98		df-rex 2721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
99	97, 98	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
100	91, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
101	100	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
102	79, 101	r19.29a 2862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
103		elpwi 3869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ~P RR -> x C_ ~P RR )
104		sspwuni 4256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x C_ ~P RR <-> U. x C_ RR )
105	103, 104	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P ~P RR -> U. x C_ RR )
106		eluni2 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. U. x <-> E. y e. x 0 e. y )
107	106	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y e. x 0 e. y -> 0 e. U. x )
108	105, 107	anim12i 566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ E. y e. x 0 e. y ) -> ( U. x C_ RR /\ 0 e. U. x ) )
109		ddeval1 26650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. x C_ RR /\ 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
110	108, 109	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
111	110	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
112	102, 111	eqtr4d 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
113		nfre1 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y E. y e. x 0 e. y
114	113	nfn 1835	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y -. E. y e. x 0 e. y
115	93	rabeq2i 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } <-> ( y e. x /\ 0 e. y ) )
116	115	exbii 1634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y y e. { a e. x | 0 e. a } <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
117		neq0 3647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y y e. { a e. x | 0 e. a } )
118		df-rex 2721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y e. x 0 e. y <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
119	116, 117, 118	3bitr4i 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y e. x 0 e. y )
120	119	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) -> E. y e. x 0 e. y )
121	120	con1i 129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> { a e. x | 0 e. a } = (/) )
122	114, 121	esumeq1d 26491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. (/) (δ ` y ) )
123		esumnul 26502	. . . . . . . . . . . 12 |- Σ* y e. (/) (δ ` y ) = 0
124	122, 123	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
125	124	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
126	106	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. U. x -> E. y e. x 0 e. y )
127	126	con3i 135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> -. 0 e. U. x )
128	105, 127	anim12i 566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> ( U. x C_ RR /\ -. 0 e. U. x ) )
129		ddeval0 26651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. x C_ RR /\ -. 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
130	128, 129	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
131	130	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
132	125, 131	eqtr4d 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
133	112, 132	pm2.61dan 789	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
134		elpwi 3869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P RR -> y C_ RR )
135	49, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y C_ RR )
136	92	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = y -> ( -. 0 e. a <-> -. 0 e. y ) )
137	136	elrab 3117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } <-> ( y e. x /\ -. 0 e. y ) )
138	137	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> -. 0 e. y )
139	138	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> -. 0 e. y )
140		ddeval0 26651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ RR /\ -. 0 e. y ) -> (δ ` y ) = 0 )
141	135, 139, 140	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) = 0 )
142	141	ralrimiva 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P ~P RR -> A. y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
143		esumeq2 26492	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 )
144	142, 143	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 )
145	31	esum0 26503	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a e. x | -. 0 e. a } e. _V -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0 )
146	35, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0
147	144, 146	syl6eq 2491	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
148	147	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
149	133, 148	oveq12d 6109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) = ( (δ ` U. x ) +e 0 ) )
150	32	uniex 6376	. . . . . . . . . . 11 |- U. x e. _V
151	150	elpw 3866	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x e. ~P RR <-> U. x C_ RR )
152	151	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( U. x C_ RR -> U. x e. ~P RR )
153		iccssxr 11378	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
154	16	ffvelrni 5842	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
155	153, 154	sseldi 3354	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. RR* )
156		xaddid1 11209	. . . . . . . . 9 |- ( (δ ` U. x ) e. RR* -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
157	105, 152, 155, 156	4syl 21	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
158	157	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
159	53, 149, 158	3eqtrrd 2480	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
160	159	adantrl 715	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
161	160	ex 434	. . . 4 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) )
162	161	rgen 2781	. . 3 |- A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
163	16, 20, 162	3pm3.2i 1166	. 2 |- (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) )
164		reex 9373	. . . 4 |- RR e. _V
165		pwsiga 26573	. . . 4 |- ( RR e. _V -> ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) )
166	164, 165	ax-mp 5	. . 3 |- ~P RR e. (sigAlgebra ` RR )
167		elrnsiga 26569	. . 3 |- ( ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) -> ~P RR e. U. ran sigAlgebra )
168		ismeas 26613	. . 3 |- ( ~P RR e. U. ran sigAlgebra -> (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) ) )
169	166, 167, 168	mp2b 10	. 2 |- (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) )
170	163, 169	mpbir 209	1 |- δ e. (measures ` ~P RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   E!wreu 2717   E*wrmo 2718   {crab 2719   _Vcvv 2972   u. cun 3326   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091  Disj wdisj 4262   class class class wbr 4292   ran crn 4841   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476   ~<_ cdom 7308   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   <_ cle 9419   +ecxad 11087   [,]cicc 11303  Σ^*cesum 26483  sigAlgebracsiga 26550  measurescmeas 26609  δcdde 26648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-ordt 14439  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-ps 15370  df-tsr 15371  df-mnd 15415  df-plusf 15416  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-subrg 16863  df-abv 16902  df-lmod 16950  df-scaf 16951  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tmd 19643  df-tgp 19644  df-tsms 19697  df-trg 19734  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-nm 20175  df-ngp 20176  df-nrg 20178  df-nlm 20179  df-ii 20453  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-esum 26484  df-siga 26551  df-meas 26610  df-dde 26649

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