Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ddemeas Structured version   Unicode version

Theorem ddemeas 28445
Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ddemeas  |- δ  e.  (measures `  ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas
Dummy variables  k 
a  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9584 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
21rexri 9635 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
3 0le1 10072 . . . . . 6  |-  0  <_  1
4 pnfge 11342 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR*  ->  1  <_ +oo )
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  <_ +oo
6 0xr 9629 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
7 pnfxr 11324 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
8 elicc1 11576 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e.  RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo ) ) )
96, 7, 8mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e. 
RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo )
)
102, 3, 5, 9mpbir3an 1176 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] +oo )
11 0e0iccpnf 11634 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1210, 11keepel 3996 . . . 4  |-  if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
1312rgenw 2815 . . 3  |-  A. a  e.  ~P  RR if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
14 df-dde 28442 . . . 4  |- δ  =  ( a  e.  ~P RR  |->  if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 ) )
1514fmpt 6028 . . 3  |-  ( A. a  e.  ~P  RR if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1613, 15mpbi 208 . 2  |- δ : ~P RR
--> ( 0 [,] +oo )
17 0ss 3813 . . 3  |-  (/)  C_  RR
18 noel 3787 . . 3  |-  -.  0  e.  (/)
19 ddeval0 28444 . . 3  |-  ( (
(/)  C_  RR  /\  -.  0  e.  (/) )  -> 
(δ `  (/) )  =  0 )
2017, 18, 19mp2an 670 . 2  |-  (δ `  (/) )  =  0
21 rabxm 3807 . . . . . . . . 9  |-  x  =  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )
22 esumeq1 28263 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  -> Σ* y  e.  x
(δ `  y )  = Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |- Σ* y  e.  x
(δ `  y )  = Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
)
24 nfv 1712 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  ~P ~P RR
25 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { a  e.  x  |  0  e.  a }
26 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }
27 rabexg 4587 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  { a  e.  x  |  0  e.  a }  e.  _V )
28 rabexg 4587 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V )
29 rabnc 3808 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  i^i  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  =  (/)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  i^i  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  =  (/) )
31 elrabi 3251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  ->  y  e.  x )
3231adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  y  e.  x )
33 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
34 elelpwi 4010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ~P ~P RR )  ->  y  e. 
~P RR )
3532, 33, 34syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  y  e.  ~P RR )
3616ffvelrni 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P RR  ->  (δ `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  (δ `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
38 elrabi 3251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  ->  y  e.  x )
3938adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  e.  x )
40 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
4139, 40, 34syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  e.  ~P RR )
4241, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  (δ `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4324, 25, 26, 27, 28, 30, 37, 42esumsplit 28282 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
)  =  (Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
4423, 43syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  x (δ `  y
)  =  (Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
4544adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  x
(δ `  y )  =  (Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y ) +eΣ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
46 esumeq1 28263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  = Σ* y  e. 
{ k }  (δ `  y ) )
4746adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  = Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )
)
48 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
49 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
5049rabsnel 27601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  k  e.  x
)
5150adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  k  e.  x )
52 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  k  ->  (
0  e.  a  <->  0  e.  k ) )
5349, 52rabsnt 4093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  0  e.  k )
5453adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  0  e.  k )
55 elelpwi 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  x  /\  x  e.  ~P ~P RR )  ->  k  e. 
~P RR )
5655ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  ~P RR )
5756adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
k  e.  ~P RR )
58 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ~P RR  /\  y  =  k )  ->  y  =  k )
5958fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ~P RR  /\  y  =  k )  ->  (δ `  y )  =  (δ `  k )
)
6049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P RR  ->  k  e.  _V )
6116ffvelrni 6006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P RR  ->  (δ `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6259, 60, 61esumsn 28294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ~P RR  -> Σ* y  e. 
{ k }  (δ `  y )  =  (δ `  k ) )
6357, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )  =  (δ `  k ) )
6457elpwid 4009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
k  C_  RR )
65 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
0  e.  k )
66 ddeval1 28443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  C_  RR  /\  0  e.  k )  ->  (δ `  k )  =  1 )
6764, 65, 66syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
(δ `  k )  =  1 )
6863, 67eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )  =  1 )
6948, 51, 54, 68syl12anc 1224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
k }  (δ `  y
)  =  1 )
7047, 69eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  1 )
71 df-disj 4411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  y  e.  x  y  <->  A. k E* y  e.  x  k  e.  y )
72 c0ex 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
73 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  (
k  e.  y  <->  0  e.  y ) )
7473rmobidv 3044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  ( E* y  e.  x  k  e.  y  <->  E* y  e.  x  0  e.  y ) )
7572, 74spcv 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k E* y  e.  x  k  e.  y  ->  E* y  e.  x  0  e.  y )
7671, 75sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Disj  y  e.  x  y  ->  E* y  e.  x  0  e.  y )
77 rmo5 3073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E* y  e.  x  0  e.  y  <->  ( E. y  e.  x  0  e.  y  ->  E! y  e.  x  0  e.  y ) )
7877biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E* y  e.  x  0  e.  y  ->  ( E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  E! y  e.  x 
0  e.  y ) )
7978imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E* y  e.  x 
0  e.  y  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  E! y  e.  x 
0  e.  y )
8076, 79sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E! y  e.  x  0  e.  y )
81 reusn 4089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! y  e.  x  0  e.  y  <->  E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
8280, 81sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
83 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
0  e.  a  <->  0  e.  y ) )
8483cbvrabv 3105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { y  e.  x  |  0  e.  y }
8584eqeq1i 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  <->  { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
8650ancri 550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
8785, 86sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k }  ->  ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
8887eximi 1661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  {
k }  ->  E. k
( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
89 df-rex 2810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k  e.  x  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  <->  E. k ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
9088, 89sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  {
k }  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  {
k } )
9182, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )
9291adantll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  {
k } )
9370, 92r19.29a 2996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  1 )
94 elpwi 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  x  C_  ~P RR )
95 sspwuni 4404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ~P RR  <->  U. x  C_  RR )
9694, 95sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  U. x  C_  RR )
97 eluni2 4239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  U. x  <->  E. y  e.  x  0  e.  y )
9897biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  0  e.  y  ->  0  e.  U. x )
99 ddeval1 28443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. x  C_  RR  /\  0  e.  U. x
)  ->  (δ `  U. x )  =  1 )
10096, 98, 99syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ `  U. x )  =  1 )
101100adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ ` 
U. x )  =  1 )
10293, 101eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  (δ `  U. x ) )
103 nfre1 2915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y E. y  e.  x 
0  e.  y
104103nfn 1906 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  -.  E. y  e.  x  0  e.  y
10583elrab 3254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  <->  ( y  e.  x  /\  0  e.  y ) )
106105exbii 1672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  <->  E. y ( y  e.  x  /\  0  e.  y ) )
107 neq0 3794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  <->  E. y 
y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a } )
108 df-rex 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  x  0  e.  y  <->  E. y
( y  e.  x  /\  0  e.  y
) )
109106, 107, 1083bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  <->  E. y  e.  x  0  e.  y )
110109biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  ->  E. y  e.  x  0  e.  y )
111110con1i 129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/) )
112104, 111esumeq1d 28264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  = Σ* y  e.  (/) (δ `  y ) )
113 esumnul 28277 . . . . . . . . . . 11  |- Σ* y  e.  (/) (δ `  y )  =  0
114112, 113syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
115114adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
11697biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  U. x  ->  E. y  e.  x 
0  e.  y )
117116con3i 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  -.  0  e.  U. x
)
118 ddeval0 28444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. x  C_  RR  /\ 
-.  0  e.  U. x )  ->  (δ ` 
U. x )  =  0 )
11996, 117, 118syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ ` 
U. x )  =  0 )
120119adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> 
(δ `  U. x )  =  0 )
121115, 120eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  (δ `  U. x ) )
122102, 121pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  (δ `  U. x ) )
12341elpwid 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  C_  RR )
12483notbid 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  ( -.  0  e.  a  <->  -.  0  e.  y ) )
125124elrab 3254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  <->  ( y  e.  x  /\  -.  0  e.  y ) )
126125simprbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  ->  -.  0  e.  y )
127126adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  -.  0  e.  y )
128 ddeval0 28444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  RR  /\  -.  0  e.  y )  ->  (δ `  y )  =  0 )
129123, 127, 128syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  (δ `  y )  =  0 )
130129esumeq2dv 28267 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  = Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0 )
131 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
132131rabex 4588 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V
13326esum0 28278 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V  -> Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0  =  0 )
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0  =  0
135130, 134syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
136135adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
137122, 136oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) )  =  ( (δ `  U. x ) +e 0 ) )
138131uniex 6569 . . . . . . . . . 10  |-  U. x  e.  _V
139138elpw 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  e.  ~P RR  <->  U. x  C_  RR )
140139biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  C_  RR  ->  U. x  e.  ~P RR )
141 iccssxr 11610 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
14216ffvelrni 6006 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  e.  ~P RR  ->  (δ `  U. x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
143141, 142sseldi 3487 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  e.  ~P RR  ->  (δ `  U. x )  e.  RR* )
144 xaddid1 11441 . . . . . . . 8  |-  ( (δ `  U. x )  e. 
RR*  ->  ( (δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
14596, 140, 143, 1444syl 21 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( (δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
146145adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
(δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
14745, 137, 1463eqtrrd 2500 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) )
148147adantrl 713 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (δ ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) )
149148ex 432 . . 3  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) ) )
150149rgen 2814 . 2  |-  A. x  e.  ~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) )
151 reex 9572 . . . 4  |-  RR  e.  _V
152 pwsiga 28360 . . . 4  |-  ( RR  e.  _V  ->  ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR ) )
153151, 152ax-mp 5 . . 3  |-  ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR )
154 elrnsiga 28356 . . 3  |-  ( ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR )  ->  ~P RR  e.  U.
ran sigAlgebra )
155 ismeas 28407 . . 3  |-  ( ~P RR  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (δ 
e.  (measures `  ~P RR )  <-> 
(δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (δ `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
(δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) ) ) ) )
156153, 154, 155mp2b 10 . 2  |-  (δ  e.  (measures `  ~P RR )  <-> 
(δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (δ `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
(δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) ) ) )
15716, 20, 150, 156mpbir3an 1176 1  |- δ  e.  (measures `  ~P RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   E!wreu 2806   E*wrmo 2807   {crab 2808   _Vcvv 3106    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235  Disj wdisj 4410   class class class wbr 4439   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673    ~<_ cdom 7507   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    <_ cle 9618   +ecxad 11319   [,]cicc 11535  Σ*cesum 28256  sigAlgebracsiga 28337  measurescmeas 28403  δcdde 28441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-plusf 16070  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-abv 17661  df-lmod 17709  df-scaf 17710  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tmd 20737  df-tgp 20738  df-tsms 20791  df-trg 20828  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-nrg 21272  df-nlm 21273  df-ii 21547  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-esum 28257  df-siga 28338  df-meas 28404  df-dde 28442
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator