Theorem ddemeas 29108

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	|- δ e. (measures ` ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables k a x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9668	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
2	1	rexri 9719	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
3		0le1 10165	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
4		pnfge 11461	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR* -> 1 <_ +oo )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 1 <_ +oo
6		0xr 9713	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
7		pnfxr 11441	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8		elicc1 11709	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 683	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) )
10	2, 3, 5, 9	mpbir3an 1196	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] +oo )
11		0e0iccpnf 11772	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
12	10, 11	keepel 3960	. . . 4 |- if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
13	12	rgenw 2761	. . 3 |- A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
14		df-dde 29105	. . . 4 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
15	14	fmpt 6066	. . 3 |- ( A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
16	13, 15	mpbi 213	. 2 |- δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
17		0ss 3775	. . 3 |- (/) C_ RR
18		noel 3747	. . 3 |- -. 0 e. (/)
19		ddeval0 29107	. . 3 |- ( ( (/) C_ RR /\ -. 0 e. (/) ) -> (δ ` (/) ) = 0 )
20	17, 18, 19	mp2an 683	. 2 |- (δ ` (/) ) = 0
21		rabxm 3767	. . . . . . . . 9 |- x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } )
22		esumeq1 28904	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y )
24		nfv 1772	. . . . . . . . 9 |- F/ y x e. ~P ~P RR
25		nfcv 2603	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { a e. x | 0 e. a }
26		nfcv 2603	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { a e. x | -. 0 e. a }
27		rabexg 4567	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | 0 e. a } e. _V )
28		rabexg 4567	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | -. 0 e. a } e. _V )
29		rabnc 3768	. . . . . . . . . 10 |- ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/) )
31		elrabi 3205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } -> y e. x )
32	31	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. x )
33		simpl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
34		elelpwi 3974	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> y e. ~P RR )
35	32, 33, 34	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
36	16	ffvelrni 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P RR -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
38		elrabi 3205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> y e. x )
39	38	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. x )
40		simpl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
41	39, 40, 34	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
42	41, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	24, 25, 26, 27, 28, 30, 37, 42	esumsplit 28923	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
44	23, 43	syl5eq 2508	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
45	44	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
46		esumeq1 28904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
47	46	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
48		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> x e. ~P ~P RR )
49		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
50	49	rabsnel 28187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> k e. x )
51	50	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> k e. x )
52		eleq2 2529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = k -> ( 0 e. a <-> 0 e. k ) )
53	49, 52	rabsnt 4062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> 0 e. k )
54	53	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> 0 e. k )
55		elelpwi 3974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> k e. ~P RR )
56	55	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ k e. x ) -> k e. ~P RR )
57	56	adantrr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k e. ~P RR )
58		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> y = k )
59	58	fveq2d 5892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> (δ ` y ) = (δ ` k ) )
60	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> k e. _V )
61	16	ffvelrni 6044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> (δ ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
62	59, 60, 61	esumsn 28935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ~P RR -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
63	57, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
64	57	elpwid 3973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k C_ RR )
65		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> 0 e. k )
66		ddeval1 29106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k C_ RR /\ 0 e. k ) -> (δ ` k ) = 1 )
67	64, 65, 66	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> (δ ` k ) = 1 )
68	63, 67	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
69	48, 51, 54, 68	syl12anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
70	47, 69	eqtrd 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
71		df-disj 4388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Disj y e. x y <-> A. k E* y e. x k e. y )
72		c0ex 9663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
73		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k e. y <-> 0 e. y ) )
74	73	rmobidv 2992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( E* y e. x k e. y <-> E* y e. x 0 e. y ) )
75	72, 74	spcv 3152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k E* y e. x k e. y -> E* y e. x 0 e. y )
76	71, 75	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Disj y e. x y -> E* y e. x 0 e. y )
77		rmo5 3023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E* y e. x 0 e. y <-> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
78	77	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* y e. x 0 e. y -> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
79	78	imp 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E* y e. x 0 e. y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
80	76, 79	sylan 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
81		reusn 4058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! y e. x 0 e. y <-> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
82	80, 81	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
83		eleq2 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = y -> ( 0 e. a <-> 0 e. y ) )
84	83	cbvrabv 3056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { a e. x | 0 e. a } = { y e. x | 0 e. y }
85	84	eqeq1i 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> { y e. x | 0 e. y } = { k } )
86	50	ancri 559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
87	85, 86	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. x | 0 e. y } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
88	87	eximi 1718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
89		df-rex 2755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
90	88, 89	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
91	82, 90	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
92	91	adantll 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
93	70, 92	r19.29a 2944	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
94		elpwi 3972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P ~P RR -> x C_ ~P RR )
95		sspwuni 4381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ ~P RR <-> U. x C_ RR )
96	94, 95	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P ~P RR -> U. x C_ RR )
97		eluni2 4216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. U. x <-> E. y e. x 0 e. y )
98	97	biimpri 211	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. x 0 e. y -> 0 e. U. x )
99		ddeval1 29106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. x C_ RR /\ 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
100	96, 98, 99	syl2an 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
101	100	adantlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
102	93, 101	eqtr4d 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
103		nfre1 2860	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y E. y e. x 0 e. y
104	103	nfn 1994	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y -. E. y e. x 0 e. y
105	83	elrab 3208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } <-> ( y e. x /\ 0 e. y ) )
106	105	exbii 1729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y y e. { a e. x | 0 e. a } <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
107		neq0 3754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y y e. { a e. x | 0 e. a } )
108		df-rex 2755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y e. x 0 e. y <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
109	106, 107, 108	3bitr4i 285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y e. x 0 e. y )
110	109	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) -> E. y e. x 0 e. y )
111	110	con1i 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> { a e. x | 0 e. a } = (/) )
112	104, 111	esumeq1d 28905	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. (/) (δ ` y ) )
113		esumnul 28918	. . . . . . . . . . 11 |- Σ* y e. (/) (δ ` y ) = 0
114	112, 113	syl6eq 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
115	114	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
116	97	biimpi 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. U. x -> E. y e. x 0 e. y )
117	116	con3i 142	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> -. 0 e. U. x )
118		ddeval0 29107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. x C_ RR /\ -. 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
119	96, 117, 118	syl2an 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
120	119	adantlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
121	115, 120	eqtr4d 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
122	102, 121	pm2.61dan 805	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
123	41	elpwid 3973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y C_ RR )
124	83	notbid 300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( -. 0 e. a <-> -. 0 e. y ) )
125	124	elrab 3208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } <-> ( y e. x /\ -. 0 e. y ) )
126	125	simprbi 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> -. 0 e. y )
127	126	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> -. 0 e. y )
128		ddeval0 29107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ RR /\ -. 0 e. y ) -> (δ ` y ) = 0 )
129	123, 127, 128	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) = 0 )
130	129	esumeq2dv 28908	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 )
131		vex 3060	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
132	131	rabex 4568	. . . . . . . . . 10 |- { a e. x | -. 0 e. a } e. _V
133	26	esum0 28919	. . . . . . . . . 10 |- ( { a e. x | -. 0 e. a } e. _V -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0 )
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0
135	130, 134	syl6eq 2512	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
136	135	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
137	122, 136	oveq12d 6333	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) = ( (δ ` U. x ) +e 0 ) )
138	131	uniex 6614	. . . . . . . . . 10 |- U. x e. _V
139	138	elpw 3969	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR <-> U. x C_ RR )
140	139	biimpri 211	. . . . . . . 8 |- ( U. x C_ RR -> U. x e. ~P RR )
141		iccssxr 11746	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
142	16	ffvelrni 6044	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
143	141, 142	sseldi 3442	. . . . . . . 8 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. RR* )
144		xaddid1 11561	. . . . . . . 8 |- ( (δ ` U. x ) e. RR* -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
145	96, 140, 143, 144	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
146	145	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
147	45, 137, 146	3eqtrrd 2501	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
148	147	adantrl 727	. . . 4 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
149	148	ex 440	. . 3 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) )
150	149	rgen 2759	. 2 |- A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
151		reex 9656	. . . 4 |- RR e. _V
152		pwsiga 29001	. . . 4 |- ( RR e. _V -> ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) )
153	151, 152	ax-mp 5	. . 3 |- ~P RR e. (sigAlgebra ` RR )
154		elrnsiga 28997	. . 3 |- ( ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) -> ~P RR e. U. ran sigAlgebra )
155		ismeas 29070	. . 3 |- ( ~P RR e. U. ran sigAlgebra -> (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) ) )
156	153, 154, 155	mp2b 10	. 2 |- (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) )
157	16, 20, 150, 156	mpbir3an 1196	1 |- δ e. (measures ` ~P RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   A.wal 1453   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   E!wreu 2751   E*wrmo 2752   {crab 2753   _Vcvv 3057   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ifcif 3893   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4212  Disj wdisj 4387   class class class wbr 4416   ran crn 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   omcom 6719   ~<_ cdom 7593   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   +oocpnf 9698   RR*cxr 9700   <_ cle 9702   +ecxad 11436   [,]cicc 11667  Σ^*cesum 28897  sigAlgebracsiga 28978  measurescmeas 29066  δcdde 29104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-disj 4388  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-fac 12492  df-bc 12520  df-hash 12548  df-shft 13179  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-limsup 13575  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-ef 14170  df-sin 14172  df-cos 14173  df-pi 14175  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-ordt 15448  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-ps 16495  df-tsr 16496  df-plusf 16536  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-mhm 16631  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-mulg 16725  df-subg 16863  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-cring 17832  df-subrg 18055  df-abv 18094  df-lmod 18142  df-scaf 18143  df-sra 18444  df-rgmod 18445  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-lp 20201  df-perf 20202  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-tmd 21136  df-tgp 21137  df-tsms 21190  df-trg 21223  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-nm 21646  df-ngp 21647  df-nrg 21649  df-nlm 21650  df-ii 21958  df-cncf 21959  df-limc 22870  df-dv 22871  df-log 23555  df-esum 28898  df-siga 28979  df-meas 29067  df-dde 29105

This theorem is referenced by: (None)