Theorem ddemeas 28445

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	|- δ e. (measures ` ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables k a x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9584	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
2	1	rexri 9635	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
3		0le1 10072	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
4		pnfge 11342	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR* -> 1 <_ +oo )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 1 <_ +oo
6		0xr 9629	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
7		pnfxr 11324	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8		elicc1 11576	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 670	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) )
10	2, 3, 5, 9	mpbir3an 1176	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] +oo )
11		0e0iccpnf 11634	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
12	10, 11	keepel 3996	. . . 4 |- if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
13	12	rgenw 2815	. . 3 |- A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
14		df-dde 28442	. . . 4 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
15	14	fmpt 6028	. . 3 |- ( A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
16	13, 15	mpbi 208	. 2 |- δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
17		0ss 3813	. . 3 |- (/) C_ RR
18		noel 3787	. . 3 |- -. 0 e. (/)
19		ddeval0 28444	. . 3 |- ( ( (/) C_ RR /\ -. 0 e. (/) ) -> (δ ` (/) ) = 0 )
20	17, 18, 19	mp2an 670	. 2 |- (δ ` (/) ) = 0
21		rabxm 3807	. . . . . . . . 9 |- x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } )
22		esumeq1 28263	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y )
24		nfv 1712	. . . . . . . . 9 |- F/ y x e. ~P ~P RR
25		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { a e. x | 0 e. a }
26		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { a e. x | -. 0 e. a }
27		rabexg 4587	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | 0 e. a } e. _V )
28		rabexg 4587	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | -. 0 e. a } e. _V )
29		rabnc 3808	. . . . . . . . . 10 |- ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/) )
31		elrabi 3251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } -> y e. x )
32	31	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. x )
33		simpl 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
34		elelpwi 4010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> y e. ~P RR )
35	32, 33, 34	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
36	16	ffvelrni 6006	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P RR -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
38		elrabi 3251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> y e. x )
39	38	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. x )
40		simpl 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
41	39, 40, 34	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
42	41, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	24, 25, 26, 27, 28, 30, 37, 42	esumsplit 28282	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
44	23, 43	syl5eq 2507	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
45	44	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
46		esumeq1 28263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
47	46	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
48		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> x e. ~P ~P RR )
49		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
50	49	rabsnel 27601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> k e. x )
51	50	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> k e. x )
52		eleq2 2527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = k -> ( 0 e. a <-> 0 e. k ) )
53	49, 52	rabsnt 4093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> 0 e. k )
54	53	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> 0 e. k )
55		elelpwi 4010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> k e. ~P RR )
56	55	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ k e. x ) -> k e. ~P RR )
57	56	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k e. ~P RR )
58		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> y = k )
59	58	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> (δ ` y ) = (δ ` k ) )
60	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> k e. _V )
61	16	ffvelrni 6006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> (δ ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
62	59, 60, 61	esumsn 28294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ~P RR -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
63	57, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
64	57	elpwid 4009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k C_ RR )
65		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> 0 e. k )
66		ddeval1 28443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k C_ RR /\ 0 e. k ) -> (δ ` k ) = 1 )
67	64, 65, 66	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> (δ ` k ) = 1 )
68	63, 67	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
69	48, 51, 54, 68	syl12anc 1224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
70	47, 69	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
71		df-disj 4411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Disj y e. x y <-> A. k E* y e. x k e. y )
72		c0ex 9579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
73		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k e. y <-> 0 e. y ) )
74	73	rmobidv 3044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( E* y e. x k e. y <-> E* y e. x 0 e. y ) )
75	72, 74	spcv 3197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k E* y e. x k e. y -> E* y e. x 0 e. y )
76	71, 75	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Disj y e. x y -> E* y e. x 0 e. y )
77		rmo5 3073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E* y e. x 0 e. y <-> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
78	77	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* y e. x 0 e. y -> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
79	78	imp 427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E* y e. x 0 e. y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
80	76, 79	sylan 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
81		reusn 4089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! y e. x 0 e. y <-> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
82	80, 81	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
83		eleq2 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = y -> ( 0 e. a <-> 0 e. y ) )
84	83	cbvrabv 3105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { a e. x | 0 e. a } = { y e. x | 0 e. y }
85	84	eqeq1i 2461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> { y e. x | 0 e. y } = { k } )
86	50	ancri 550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
87	85, 86	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. x | 0 e. y } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
88	87	eximi 1661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
89		df-rex 2810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
90	88, 89	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
91	82, 90	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
92	91	adantll 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
93	70, 92	r19.29a 2996	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
94		elpwi 4008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P ~P RR -> x C_ ~P RR )
95		sspwuni 4404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ ~P RR <-> U. x C_ RR )
96	94, 95	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P ~P RR -> U. x C_ RR )
97		eluni2 4239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. U. x <-> E. y e. x 0 e. y )
98	97	biimpri 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. x 0 e. y -> 0 e. U. x )
99		ddeval1 28443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. x C_ RR /\ 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
100	96, 98, 99	syl2an 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
101	100	adantlr 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
102	93, 101	eqtr4d 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
103		nfre1 2915	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y E. y e. x 0 e. y
104	103	nfn 1906	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y -. E. y e. x 0 e. y
105	83	elrab 3254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } <-> ( y e. x /\ 0 e. y ) )
106	105	exbii 1672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y y e. { a e. x | 0 e. a } <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
107		neq0 3794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y y e. { a e. x | 0 e. a } )
108		df-rex 2810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y e. x 0 e. y <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
109	106, 107, 108	3bitr4i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y e. x 0 e. y )
110	109	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) -> E. y e. x 0 e. y )
111	110	con1i 129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> { a e. x | 0 e. a } = (/) )
112	104, 111	esumeq1d 28264	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. (/) (δ ` y ) )
113		esumnul 28277	. . . . . . . . . . 11 |- Σ* y e. (/) (δ ` y ) = 0
114	112, 113	syl6eq 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
115	114	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
116	97	biimpi 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. U. x -> E. y e. x 0 e. y )
117	116	con3i 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> -. 0 e. U. x )
118		ddeval0 28444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. x C_ RR /\ -. 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
119	96, 117, 118	syl2an 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
120	119	adantlr 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
121	115, 120	eqtr4d 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
122	102, 121	pm2.61dan 789	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
123	41	elpwid 4009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y C_ RR )
124	83	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( -. 0 e. a <-> -. 0 e. y ) )
125	124	elrab 3254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } <-> ( y e. x /\ -. 0 e. y ) )
126	125	simprbi 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> -. 0 e. y )
127	126	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> -. 0 e. y )
128		ddeval0 28444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ RR /\ -. 0 e. y ) -> (δ ` y ) = 0 )
129	123, 127, 128	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) = 0 )
130	129	esumeq2dv 28267	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 )
131		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
132	131	rabex 4588	. . . . . . . . . 10 |- { a e. x | -. 0 e. a } e. _V
133	26	esum0 28278	. . . . . . . . . 10 |- ( { a e. x | -. 0 e. a } e. _V -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0 )
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0
135	130, 134	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
136	135	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
137	122, 136	oveq12d 6288	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) = ( (δ ` U. x ) +e 0 ) )
138	131	uniex 6569	. . . . . . . . . 10 |- U. x e. _V
139	138	elpw 4005	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR <-> U. x C_ RR )
140	139	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( U. x C_ RR -> U. x e. ~P RR )
141		iccssxr 11610	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
142	16	ffvelrni 6006	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
143	141, 142	sseldi 3487	. . . . . . . 8 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. RR* )
144		xaddid1 11441	. . . . . . . 8 |- ( (δ ` U. x ) e. RR* -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
145	96, 140, 143, 144	4syl 21	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
146	145	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
147	45, 137, 146	3eqtrrd 2500	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
148	147	adantrl 713	. . . 4 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
149	148	ex 432	. . 3 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) )
150	149	rgen 2814	. 2 |- A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
151		reex 9572	. . . 4 |- RR e. _V
152		pwsiga 28360	. . . 4 |- ( RR e. _V -> ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) )
153	151, 152	ax-mp 5	. . 3 |- ~P RR e. (sigAlgebra ` RR )
154		elrnsiga 28356	. . 3 |- ( ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) -> ~P RR e. U. ran sigAlgebra )
155		ismeas 28407	. . 3 |- ( ~P RR e. U. ran sigAlgebra -> (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) ) )
156	153, 154, 155	mp2b 10	. 2 |- (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) )
157	16, 20, 150, 156	mpbir3an 1176	1 |- δ e. (measures ` ~P RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   E!wreu 2806   E*wrmo 2807   {crab 2808   _Vcvv 3106   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   {csn 4016   U.cuni 4235  Disj wdisj 4410   class class class wbr 4439   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673   ~<_ cdom 7507   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616   <_ cle 9618   +ecxad 11319   [,]cicc 11535  Σ^*cesum 28256  sigAlgebracsiga 28337  measurescmeas 28403  δcdde 28441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-plusf 16070  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-abv 17661  df-lmod 17709  df-scaf 17710  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tmd 20737  df-tgp 20738  df-tsms 20791  df-trg 20828  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-nrg 21272  df-nlm 21273  df-ii 21547  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-esum 28257  df-siga 28338  df-meas 28404  df-dde 28442

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