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Theorem ddemeas 26652
Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ddemeas  |- δ  e.  (measures `  ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas
Dummy variables  k 
a  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9385 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
21rexri 9436 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR*
3 0le1 9863 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
4 pnfge 11110 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR*  ->  1  <_ +oo )
52, 4ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  1  <_ +oo
6 0xr 9430 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
7 pnfxr 11092 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
8 elicc1 11344 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e.  RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo ) ) )
96, 7, 8mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e. 
RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo )
)
102, 3, 5, 9mpbir3an 1170 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] +oo )
11 0e0iccpnf 11396 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1210, 11keepel 3857 . . . . 5  |-  if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
1312rgenw 2783 . . . 4  |-  A. a  e.  ~P  RR if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
14 df-dde 26649 . . . . 5  |- δ  =  ( a  e.  ~P RR  |->  if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 ) )
1514fmpt 5864 . . . 4  |-  ( A. a  e.  ~P  RR if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1613, 15mpbi 208 . . 3  |- δ : ~P RR
--> ( 0 [,] +oo )
17 0ss 3666 . . . 4  |-  (/)  C_  RR
18 noel 3641 . . . 4  |-  -.  0  e.  (/)
19 ddeval0 26651 . . . 4  |-  ( (
(/)  C_  RR  /\  -.  0  e.  (/) )  -> 
(δ `  (/) )  =  0 )
2017, 18, 19mp2an 672 . . 3  |-  (δ `  (/) )  =  0
21 exmidd 416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  x  ->  (
0  e.  a  \/ 
-.  0  e.  a ) )
2221rgen 2781 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. a  e.  x  ( 0  e.  a  \/  -.  0  e.  a )
23 rabid2 2898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { a  e.  x  |  ( 0  e.  a  \/  -.  0  e.  a ) } 
<-> 
A. a  e.  x  ( 0  e.  a  \/  -.  0  e.  a ) )
2422, 23mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  x  =  { a  e.  x  |  ( 0  e.  a  \/  -.  0  e.  a ) }
25 unrab 3621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  =  { a  e.  x  |  ( 0  e.  a  \/  -.  0  e.  a ) }
2624, 25eqtr4i 2466 . . . . . . . . . 10  |-  x  =  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )
27 esumeq1 26490 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  -> Σ* y  e.  x
(δ `  y )  = Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- Σ* y  e.  x
(δ `  y )  = Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
)
29 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  x  e.  ~P ~P RR
30 nfcv 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y { a  e.  x  |  0  e.  a }
31 nfcv 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }
32 vex 2975 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3332rabex 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  x  |  0  e.  a }  e.  _V
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  { a  e.  x  |  0  e.  a }  e.  _V )
3532rabex 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V )
37 rabnc 3661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  i^i  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  =  (/)
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  i^i  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  =  (/) )
39 elrabi 3114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  ->  y  e.  x )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  y  e.  x )
41 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
42 elelpwi 3871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ~P ~P RR )  ->  y  e. 
~P RR )
4340, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  y  e.  ~P RR )
4416ffvelrni 5842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P RR  ->  (δ `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  (δ `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
46 elrabi 3114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  ->  y  e.  x )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  e.  x )
48 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
4947, 48, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  e.  ~P RR )
5049, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  (δ `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5129, 30, 31, 34, 36, 38, 45, 50esumsplit 26506 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
)  =  (Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
5228, 51syl5eq 2487 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  x (δ `  y
)  =  (Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
5352adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  x
(δ `  y )  =  (Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y ) +eΣ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
54 esumeq1 26490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  = Σ* y  e. 
{ k }  (δ `  y ) )
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  = Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )
)
56 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
57 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  k  e. 
_V
5857rabsnel 25887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  k  e.  x
)
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  k  e.  x )
60 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  k  ->  (
0  e.  a  <->  0  e.  k ) )
6157, 60rabsnt 3952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  0  e.  k )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  0  e.  k )
63 elelpwi 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  x  /\  x  e.  ~P ~P RR )  ->  k  e. 
~P RR )
6463ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  ~P RR )
6564adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
k  e.  ~P RR )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  ~P RR  /\  y  =  k )  ->  y  =  k )
6766fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ~P RR  /\  y  =  k )  ->  (δ `  y )  =  (δ `  k )
)
6857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ~P RR  ->  k  e.  _V )
6916ffvelrni 5842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ~P RR  ->  (δ `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7067, 68, 69esumsn 26515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P RR  -> Σ* y  e. 
{ k }  (δ `  y )  =  (δ `  k ) )
7165, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )  =  (δ `  k ) )
72 elpwi 3869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ~P RR  ->  k 
C_  RR )
7365, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
k  C_  RR )
74 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
0  e.  k )
75 ddeval1 26650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  C_  RR  /\  0  e.  k )  ->  (δ `  k )  =  1 )
7673, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
(δ `  k )  =  1 )
7771, 76eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )  =  1 )
7856, 59, 62, 77syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
k }  (δ `  y
)  =  1 )
7955, 78eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  1 )
80 df-disj 4263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Disj  y  e.  x  y  <->  A. k E* y  e.  x  k  e.  y )
816elexi 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
82 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  (
k  e.  y  <->  0  e.  y ) )
8382rmobidv 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( E* y  e.  x  k  e.  y  <->  E* y  e.  x  0  e.  y ) )
8481, 83spcv 3063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k E* y  e.  x  k  e.  y  ->  E* y  e.  x  0  e.  y )
8580, 84sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  y  e.  x  y  ->  E* y  e.  x  0  e.  y )
86 rmo5 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E* y  e.  x  0  e.  y  <->  ( E. y  e.  x  0  e.  y  ->  E! y  e.  x  0  e.  y ) )
8786biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E* y  e.  x  0  e.  y  ->  ( E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  E! y  e.  x 
0  e.  y ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E* y  e.  x 
0  e.  y  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  E! y  e.  x 
0  e.  y )
8985, 88sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E! y  e.  x  0  e.  y )
90 reusn 3948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! y  e.  x  0  e.  y  <->  E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
9189, 90sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
92 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  y  ->  (
0  e.  a  <->  0  e.  y ) )
9392cbvrabv 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { y  e.  x  |  0  e.  y }
9493eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  <->  { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
9558ancri 552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
9694, 95sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k }  ->  ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
9796eximi 1625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  {
k }  ->  E. k
( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
98 df-rex 2721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. k  e.  x  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  <->  E. k ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
9997, 98sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  {
k }  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  {
k } )
10091, 99syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )
101100adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  {
k } )
10279, 101r19.29a 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  1 )
103 elpwi 3869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  x  C_  ~P RR )
104 sspwuni 4256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  ~P RR  <->  U. x  C_  RR )
105103, 104sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  U. x  C_  RR )
106 eluni2 4095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  U. x  <->  E. y  e.  x  0  e.  y )
107106biimpri 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  x  0  e.  y  ->  0  e.  U. x )
108105, 107anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  ( U. x  C_  RR  /\  0  e.  U. x ) )
109 ddeval1 26650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. x  C_  RR  /\  0  e.  U. x
)  ->  (δ `  U. x )  =  1 )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ `  U. x )  =  1 )
111110adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ ` 
U. x )  =  1 )
112102, 111eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  (δ `  U. x ) )
113 nfre1 2772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y E. y  e.  x 
0  e.  y
114113nfn 1835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  -.  E. y  e.  x  0  e.  y
11593rabeq2i 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  <->  ( y  e.  x  /\  0  e.  y ) )
116115exbii 1634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  <->  E. y ( y  e.  x  /\  0  e.  y ) )
117 neq0 3647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  <->  E. y 
y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a } )
118 df-rex 2721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  x  0  e.  y  <->  E. y
( y  e.  x  /\  0  e.  y
) )
119116, 117, 1183bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  <->  E. y  e.  x  0  e.  y )
120119biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  ->  E. y  e.  x  0  e.  y )
121120con1i 129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/) )
122114, 121esumeq1d 26491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  = Σ* y  e.  (/) (δ `  y ) )
123 esumnul 26502 . . . . . . . . . . . 12  |- Σ* y  e.  (/) (δ `  y )  =  0
124122, 123syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
125124adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
126106biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  U. x  ->  E. y  e.  x 
0  e.  y )
127126con3i 135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  -.  0  e.  U. x
)
128105, 127anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  ( U. x  C_  RR  /\  -.  0  e.  U. x
) )
129 ddeval0 26651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. x  C_  RR  /\ 
-.  0  e.  U. x )  ->  (δ ` 
U. x )  =  0 )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ ` 
U. x )  =  0 )
131130adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> 
(δ `  U. x )  =  0 )
132125, 131eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  (δ `  U. x ) )
133112, 132pm2.61dan 789 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  (δ `  U. x ) )
134 elpwi 3869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ~P RR  ->  y 
C_  RR )
13549, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  C_  RR )
13692notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  ( -.  0  e.  a  <->  -.  0  e.  y ) )
137136elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  <->  ( y  e.  x  /\  -.  0  e.  y ) )
138137simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  ->  -.  0  e.  y )
139138adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  -.  0  e.  y )
140 ddeval0 26651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  RR  /\  -.  0  e.  y )  ->  (δ `  y )  =  0 )
141135, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  (δ `  y )  =  0 )
142141ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  A. y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
143 esumeq2 26492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 
(δ `  y )  =  0  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  = Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0 )
144142, 143syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  = Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0 )
14531esum0 26503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V  -> Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0  =  0 )
14635, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |- Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0  =  0
147144, 146syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
148147adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
149133, 148oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) )  =  ( (δ `  U. x ) +e 0 ) )
15032uniex 6376 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  e.  _V
151150elpw 3866 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. x  e.  ~P RR  <->  U. x  C_  RR )
152151biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  C_  RR  ->  U. x  e.  ~P RR )
153 iccssxr 11378 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
15416ffvelrni 5842 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. x  e.  ~P RR  ->  (δ `  U. x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
155153, 154sseldi 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  e.  ~P RR  ->  (δ `  U. x )  e.  RR* )
156 xaddid1 11209 . . . . . . . . 9  |-  ( (δ `  U. x )  e. 
RR*  ->  ( (δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
157105, 152, 155, 1564syl 21 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( (δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
158157adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
(δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
15953, 149, 1583eqtrrd 2480 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) )
160159adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (δ ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) )
161160ex 434 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) ) )
162161rgen 2781 . . 3  |-  A. x  e.  ~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) )
16316, 20, 1623pm3.2i 1166 . 2  |-  (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (δ `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) ) )
164 reex 9373 . . . 4  |-  RR  e.  _V
165 pwsiga 26573 . . . 4  |-  ( RR  e.  _V  ->  ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR ) )
166164, 165ax-mp 5 . . 3  |-  ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR )
167 elrnsiga 26569 . . 3  |-  ( ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR )  ->  ~P RR  e.  U.
ran sigAlgebra )
168 ismeas 26613 . . 3  |-  ( ~P RR  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (δ 
e.  (measures `  ~P RR )  <-> 
(δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (δ `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
(δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) ) ) ) )
169166, 167, 168mp2b 10 . 2  |-  (δ  e.  (measures `  ~P RR )  <-> 
(δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (δ `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
(δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) ) ) )
170163, 169mpbir 209 1  |- δ  e.  (measures `  ~P RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   E!wreu 2717   E*wrmo 2718   {crab 2719   _Vcvv 2972    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091  Disj wdisj 4262   class class class wbr 4292   ran crn 4841   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476    ~<_ cdom 7308   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    <_ cle 9419   +ecxad 11087   [,]cicc 11303  Σ*cesum 26483  sigAlgebracsiga 26550  measurescmeas 26609  δcdde 26648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-ordt 14439  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-ps 15370  df-tsr 15371  df-mnd 15415  df-plusf 15416  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-subrg 16863  df-abv 16902  df-lmod 16950  df-scaf 16951  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tmd 19643  df-tgp 19644  df-tsms 19697  df-trg 19734  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-nm 20175  df-ngp 20176  df-nrg 20178  df-nlm 20179  df-ii 20453  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-esum 26484  df-siga 26551  df-meas 26610  df-dde 26649
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