Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ddemeas Structured version   Unicode version

Theorem ddemeas 28081
Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ddemeas  |- δ  e.  (measures `  ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas
Dummy variables  k 
a  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9598 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
21rexri 9649 . . . . . 6  |-  1  e.  RR*
3 0le1 10082 . . . . . 6  |-  0  <_  1
4 pnfge 11348 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR*  ->  1  <_ +oo )
52, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  <_ +oo
6 0xr 9643 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
7 pnfxr 11330 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
8 elicc1 11582 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e.  RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo ) ) )
96, 7, 8mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 1  e. 
RR*  /\  0  <_  1  /\  1  <_ +oo )
)
102, 3, 5, 9mpbir3an 1179 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] +oo )
11 0e0iccpnf 11640 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1210, 11keepel 3994 . . . 4  |-  if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
1312rgenw 2804 . . 3  |-  A. a  e.  ~P  RR if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
14 df-dde 28078 . . . 4  |- δ  =  ( a  e.  ~P RR  |->  if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 ) )
1514fmpt 6037 . . 3  |-  ( A. a  e.  ~P  RR if ( 0  e.  a ,  1 ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1613, 15mpbi 208 . 2  |- δ : ~P RR
--> ( 0 [,] +oo )
17 0ss 3800 . . 3  |-  (/)  C_  RR
18 noel 3774 . . 3  |-  -.  0  e.  (/)
19 ddeval0 28080 . . 3  |-  ( (
(/)  C_  RR  /\  -.  0  e.  (/) )  -> 
(δ `  (/) )  =  0 )
2017, 18, 19mp2an 672 . 2  |-  (δ `  (/) )  =  0
21 rabxm 3794 . . . . . . . . 9  |-  x  =  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )
22 esumeq1 27920 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  -> Σ* y  e.  x
(δ `  y )  = Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |- Σ* y  e.  x
(δ `  y )  = Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
)
24 nfv 1694 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  ~P ~P RR
25 nfcv 2605 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { a  e.  x  |  0  e.  a }
26 nfcv 2605 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }
27 rabexg 4587 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  { a  e.  x  |  0  e.  a }  e.  _V )
28 rabexg 4587 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V )
29 rabnc 3795 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  i^i  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  =  (/)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  i^i  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  =  (/) )
31 elrabi 3240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  ->  y  e.  x )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  y  e.  x )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
34 elelpwi 4008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  ~P ~P RR )  ->  y  e. 
~P RR )
3532, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  y  e.  ~P RR )
3616ffvelrni 6015 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P RR  ->  (δ `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a } )  ->  (δ `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
38 elrabi 3240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  ->  y  e.  x )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  e.  x )
40 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
4139, 40, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  e.  ~P RR )
4241, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  (δ `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4324, 25, 26, 27, 28, 30, 37, 42esumsplit 27936 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  u.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a } ) (δ `  y
)  =  (Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
4423, 43syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  x (δ `  y
)  =  (Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
4544adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  x
(δ `  y )  =  (Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y ) +eΣ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) ) )
46 esumeq1 27920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  = Σ* y  e. 
{ k }  (δ `  y ) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  = Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )
)
48 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  x  e.  ~P ~P RR )
49 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  k  e. 
_V
5049rabsnel 27274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  k  e.  x
)
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  k  e.  x )
52 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  k  ->  (
0  e.  a  <->  0  e.  k ) )
5349, 52rabsnt 4092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  0  e.  k )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  ->  0  e.  k )
55 elelpwi 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  x  /\  x  e.  ~P ~P RR )  ->  k  e. 
~P RR )
5655ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  ~P RR )
5756adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
k  e.  ~P RR )
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ~P RR  /\  y  =  k )  ->  y  =  k )
5958fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ~P RR  /\  y  =  k )  ->  (δ `  y )  =  (δ `  k )
)
6049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P RR  ->  k  e.  _V )
6116ffvelrni 6015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P RR  ->  (δ `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6259, 60, 61esumsn 27945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ~P RR  -> Σ* y  e. 
{ k }  (δ `  y )  =  (δ `  k ) )
6357, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )  =  (δ `  k ) )
6457elpwid 4007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
k  C_  RR )
65 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
0  e.  k )
66 ddeval1 28079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  C_  RR  /\  0  e.  k )  ->  (δ `  k )  =  1 )
6764, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> 
(δ `  k )  =  1 )
6863, 67eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( k  e.  x  /\  0  e.  k ) )  -> Σ* y  e.  { k }  (δ `  y )  =  1 )
6948, 51, 54, 68syl12anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
k }  (δ `  y
)  =  1 )
7047, 69eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y
)  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  /\  k  e.  x )  /\  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  1 )
71 df-disj 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  y  e.  x  y  <->  A. k E* y  e.  x  k  e.  y )
72 c0ex 9593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
73 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  (
k  e.  y  <->  0  e.  y ) )
7473rmobidv 3033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  ( E* y  e.  x  k  e.  y  <->  E* y  e.  x  0  e.  y ) )
7572, 74spcv 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k E* y  e.  x  k  e.  y  ->  E* y  e.  x  0  e.  y )
7671, 75sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Disj  y  e.  x  y  ->  E* y  e.  x  0  e.  y )
77 rmo5 3062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E* y  e.  x  0  e.  y  <->  ( E. y  e.  x  0  e.  y  ->  E! y  e.  x  0  e.  y ) )
7877biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E* y  e.  x  0  e.  y  ->  ( E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  E! y  e.  x 
0  e.  y ) )
7978imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E* y  e.  x 
0  e.  y  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  E! y  e.  x 
0  e.  y )
8076, 79sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E! y  e.  x  0  e.  y )
81 reusn 4088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! y  e.  x  0  e.  y  <->  E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
8280, 81sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
83 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
0  e.  a  <->  0  e.  y ) )
8483cbvrabv 3094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { y  e.  x  |  0  e.  y }
8584eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  <->  { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k } )
8650ancri 552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  ->  ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
8785, 86sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  { k }  ->  ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
8887eximi 1643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  {
k }  ->  E. k
( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
89 df-rex 2799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k  e.  x  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k }  <->  E. k ( k  e.  x  /\  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } ) )
9088, 89sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. k { y  e.  x  |  0  e.  y }  =  {
k }  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  {
k } )
9182, 90syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (Disj  y  e.  x  y  /\  E. y  e.  x 
0  e.  y )  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  { k } )
9291adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  E. k  e.  x  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  {
k } )
9370, 92r19.29a 2985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  1 )
94 elpwi 4006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  x  C_  ~P RR )
95 sspwuni 4401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ~P RR  <->  U. x  C_  RR )
9694, 95sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  U. x  C_  RR )
97 eluni2 4238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  U. x  <->  E. y  e.  x  0  e.  y )
9897biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  0  e.  y  ->  0  e.  U. x )
99 ddeval1 28079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. x  C_  RR  /\  0  e.  U. x
)  ->  (δ `  U. x )  =  1 )
10096, 98, 99syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ `  U. x )  =  1 )
101100adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ ` 
U. x )  =  1 )
10293, 101eqtr4d 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  (δ `  U. x ) )
103 nfre1 2904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y E. y  e.  x 
0  e.  y
104103nfn 1887 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  -.  E. y  e.  x  0  e.  y
10583elrab 3243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  <->  ( y  e.  x  /\  0  e.  y ) )
106105exbii 1654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  <->  E. y ( y  e.  x  /\  0  e.  y ) )
107 neq0 3781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  <->  E. y 
y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a } )
108 df-rex 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  e.  x  0  e.  y  <->  E. y
( y  e.  x  /\  0  e.  y
) )
109106, 107, 1083bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  <->  E. y  e.  x  0  e.  y )
110109biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
{ a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/)  ->  E. y  e.  x  0  e.  y )
111110con1i 129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  { a  e.  x  |  0  e.  a }  =  (/) )
112104, 111esumeq1d 27921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  = Σ* y  e.  (/) (δ `  y ) )
113 esumnul 27932 . . . . . . . . . . 11  |- Σ* y  e.  (/) (δ `  y )  =  0
114112, 113syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
115114adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
11697biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  U. x  ->  E. y  e.  x 
0  e.  y )
117116con3i 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. y  e.  x 
0  e.  y  ->  -.  0  e.  U. x
)
118 ddeval0 28080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. x  C_  RR  /\ 
-.  0  e.  U. x )  ->  (δ ` 
U. x )  =  0 )
11996, 117, 118syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  ->  (δ ` 
U. x )  =  0 )
120119adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> 
(δ `  U. x )  =  0 )
121115, 120eqtr4d 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  -.  E. y  e.  x  0  e.  y )  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  (δ `  U. x ) )
122102, 121pm2.61dan 791 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y )  =  (δ `  U. x ) )
12341elpwid 4007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  y  C_  RR )
12483notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  y  ->  ( -.  0  e.  a  <->  -.  0  e.  y ) )
125124elrab 3243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  <->  ( y  e.  x  /\  -.  0  e.  y ) )
126125simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  ->  -.  0  e.  y )
127126adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  -.  0  e.  y )
128 ddeval0 28080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  RR  /\  -.  0  e.  y )  ->  (δ `  y )  =  0 )
129123, 127, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } )  ->  (δ `  y )  =  0 )
130129esumeq2dv 27924 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  = Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0 )
131 vex 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
132131rabex 4588 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V
13326esum0 27933 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  e.  _V  -> Σ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0  =  0 )
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a } 0  =  0
135130, 134syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  -> Σ* y  e.  { a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
136135adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Σ* y  e.  {
a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
)  =  0 )
137122, 136oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (Σ* y  e.  { a  e.  x  |  0  e.  a }  (δ `  y
) +eΣ* y  e. 
{ a  e.  x  |  -.  0  e.  a }  (δ `  y
) )  =  ( (δ `  U. x ) +e 0 ) )
138131uniex 6581 . . . . . . . . . 10  |-  U. x  e.  _V
139138elpw 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  e.  ~P RR  <->  U. x  C_  RR )
140139biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  C_  RR  ->  U. x  e.  ~P RR )
141 iccssxr 11616 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
14216ffvelrni 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  e.  ~P RR  ->  (δ `  U. x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
143141, 142sseldi 3487 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  e.  ~P RR  ->  (δ `  U. x )  e.  RR* )
144 xaddid1 11447 . . . . . . . 8  |-  ( (δ `  U. x )  e. 
RR*  ->  ( (δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
14596, 140, 143, 1444syl 21 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( (δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
146145adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
(δ `  U. x ) +e 0 )  =  (δ `  U. x ) )
14745, 137, 1463eqtrrd 2489 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) )
148147adantrl 715 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P ~P RR  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (δ ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) )
149148ex 434 . . 3  |-  ( x  e.  ~P ~P RR  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y
) ) )
150149rgen 2803 . 2  |-  A. x  e.  ~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) )
151 reex 9586 . . . 4  |-  RR  e.  _V
152 pwsiga 28003 . . . 4  |-  ( RR  e.  _V  ->  ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR ) )
153151, 152ax-mp 5 . . 3  |-  ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR )
154 elrnsiga 27999 . . 3  |-  ( ~P RR  e.  (sigAlgebra `  RR )  ->  ~P RR  e.  U.
ran sigAlgebra )
155 ismeas 28043 . . 3  |-  ( ~P RR  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (δ 
e.  (measures `  ~P RR )  <-> 
(δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (δ `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
(δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) ) ) ) )
156153, 154, 155mp2b 10 . 2  |-  (δ  e.  (measures `  ~P RR )  <-> 
(δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (δ `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  ~P RR ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> 
(δ `  U. x )  = Σ* y  e.  x (δ `  y ) ) ) )
15716, 20, 150, 156mpbir3an 1179 1  |- δ  e.  (measures `  ~P RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974   A.wal 1381    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   E!wreu 2795   E*wrmo 2796   {crab 2797   _Vcvv 3095    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234  Disj wdisj 4407   class class class wbr 4437   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   omcom 6685    ~<_ cdom 7516   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    <_ cle 9632   +ecxad 11325   [,]cicc 11541  Σ*cesum 27913  sigAlgebracsiga 27980  measurescmeas 28039  δcdde 28077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-ordt 14775  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-plusf 15745  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-subrg 17301  df-abv 17340  df-lmod 17388  df-scaf 17389  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-tmd 20444  df-tgp 20445  df-tsms 20498  df-trg 20535  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-nm 20976  df-ngp 20977  df-nrg 20979  df-nlm 20980  df-ii 21254  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144  df-log 22816  df-esum 27914  df-siga 27981  df-meas 28040  df-dde 28078
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator