Theorem ddemeas 29011

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	|- δ e. (measures ` ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables k a x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9593	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
2	1	rexri 9644	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
3		0le1 10088	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
4		pnfge 11383	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR* -> 1 <_ +oo )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 1 <_ +oo
6		0xr 9638	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
7		pnfxr 11363	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
8		elicc1 11631	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 676	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) )
10	2, 3, 5, 9	mpbir3an 1187	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] +oo )
11		0e0iccpnf 11694	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
12	10, 11	keepel 3921	. . . 4 |- if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
13	12	rgenw 2726	. . 3 |- A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
14		df-dde 29008	. . . 4 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
15	14	fmpt 6002	. . 3 |- ( A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
16	13, 15	mpbi 211	. 2 |- δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
17		0ss 3736	. . 3 |- (/) C_ RR
18		noel 3708	. . 3 |- -. 0 e. (/)
19		ddeval0 29010	. . 3 |- ( ( (/) C_ RR /\ -. 0 e. (/) ) -> (δ ` (/) ) = 0 )
20	17, 18, 19	mp2an 676	. 2 |- (δ ` (/) ) = 0
21		rabxm 3728	. . . . . . . . 9 |- x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } )
22		esumeq1 28807	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y )
24		nfv 1755	. . . . . . . . 9 |- F/ y x e. ~P ~P RR
25		nfcv 2569	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { a e. x | 0 e. a }
26		nfcv 2569	. . . . . . . . 9 |- F/_ y { a e. x | -. 0 e. a }
27		rabexg 4517	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | 0 e. a } e. _V )
28		rabexg 4517	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | -. 0 e. a } e. _V )
29		rabnc 3729	. . . . . . . . . 10 |- ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/) )
31		elrabi 3168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } -> y e. x )
32	31	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. x )
33		simpl 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
34		elelpwi 3935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> y e. ~P RR )
35	32, 33, 34	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
36	16	ffvelrni 5980	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P RR -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
38		elrabi 3168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> y e. x )
39	38	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. x )
40		simpl 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
41	39, 40, 34	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
42	41, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
43	24, 25, 26, 27, 28, 30, 37, 42	esumsplit 28826	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
44	23, 43	syl5eq 2474	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
45	44	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
46		esumeq1 28807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
47	46	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
48		simp-4l 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> x e. ~P ~P RR )
49		vex 3025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
50	49	rabsnel 28081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> k e. x )
51	50	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> k e. x )
52		eleq2 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = k -> ( 0 e. a <-> 0 e. k ) )
53	49, 52	rabsnt 4020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> 0 e. k )
54	53	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> 0 e. k )
55		elelpwi 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> k e. ~P RR )
56	55	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ k e. x ) -> k e. ~P RR )
57	56	adantrr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k e. ~P RR )
58		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> y = k )
59	58	fveq2d 5829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> (δ ` y ) = (δ ` k ) )
60	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> k e. _V )
61	16	ffvelrni 5980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> (δ ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
62	59, 60, 61	esumsn 28838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ~P RR -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
63	57, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
64	57	elpwid 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k C_ RR )
65		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> 0 e. k )
66		ddeval1 29009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k C_ RR /\ 0 e. k ) -> (δ ` k ) = 1 )
67	64, 65, 66	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> (δ ` k ) = 1 )
68	63, 67	eqtrd 2462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
69	48, 51, 54, 68	syl12anc 1262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
70	47, 69	eqtrd 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
71		df-disj 4338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Disj y e. x y <-> A. k E* y e. x k e. y )
72		c0ex 9588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. _V
73		eleq1 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k e. y <-> 0 e. y ) )
74	73	rmobidv 2957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( E* y e. x k e. y <-> E* y e. x 0 e. y ) )
75	72, 74	spcv 3115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k E* y e. x k e. y -> E* y e. x 0 e. y )
76	71, 75	sylbi 198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Disj y e. x y -> E* y e. x 0 e. y )
77		rmo5 2988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E* y e. x 0 e. y <-> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
78	77	biimpi 197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E* y e. x 0 e. y -> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
79	78	imp 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E* y e. x 0 e. y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
80	76, 79	sylan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
81		reusn 4016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! y e. x 0 e. y <-> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
82	80, 81	sylib 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
83		eleq2 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = y -> ( 0 e. a <-> 0 e. y ) )
84	83	cbvrabv 3021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { a e. x | 0 e. a } = { y e. x | 0 e. y }
85	84	eqeq1i 2433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> { y e. x | 0 e. y } = { k } )
86	50	ancri 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
87	85, 86	sylbir 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. x | 0 e. y } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
88	87	eximi 1701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
89		df-rex 2720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
90	88, 89	sylibr 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
91	82, 90	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
92	91	adantll 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
93	70, 92	r19.29a 2909	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
94		elpwi 3933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P ~P RR -> x C_ ~P RR )
95		sspwuni 4331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ ~P RR <-> U. x C_ RR )
96	94, 95	sylib 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P ~P RR -> U. x C_ RR )
97		eluni2 4166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. U. x <-> E. y e. x 0 e. y )
98	97	biimpri 209	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. x 0 e. y -> 0 e. U. x )
99		ddeval1 29009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. x C_ RR /\ 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
100	96, 98, 99	syl2an 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
101	100	adantlr 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
102	93, 101	eqtr4d 2465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
103		nfre1 2825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y E. y e. x 0 e. y
104	103	nfn 1960	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y -. E. y e. x 0 e. y
105	83	elrab 3171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } <-> ( y e. x /\ 0 e. y ) )
106	105	exbii 1712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y y e. { a e. x | 0 e. a } <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
107		neq0 3715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y y e. { a e. x | 0 e. a } )
108		df-rex 2720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. y e. x 0 e. y <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
109	106, 107, 108	3bitr4i 280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y e. x 0 e. y )
110	109	biimpi 197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) -> E. y e. x 0 e. y )
111	110	con1i 132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> { a e. x | 0 e. a } = (/) )
112	104, 111	esumeq1d 28808	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. (/) (δ ` y ) )
113		esumnul 28821	. . . . . . . . . . 11 |- Σ* y e. (/) (δ ` y ) = 0
114	112, 113	syl6eq 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
115	114	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
116	97	biimpi 197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. U. x -> E. y e. x 0 e. y )
117	116	con3i 140	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> -. 0 e. U. x )
118		ddeval0 29010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. x C_ RR /\ -. 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
119	96, 117, 118	syl2an 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
120	119	adantlr 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
121	115, 120	eqtr4d 2465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
122	102, 121	pm2.61dan 798	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
123	41	elpwid 3934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y C_ RR )
124	83	notbid 295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( -. 0 e. a <-> -. 0 e. y ) )
125	124	elrab 3171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } <-> ( y e. x /\ -. 0 e. y ) )
126	125	simprbi 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> -. 0 e. y )
127	126	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> -. 0 e. y )
128		ddeval0 29010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ RR /\ -. 0 e. y ) -> (δ ` y ) = 0 )
129	123, 127, 128	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) = 0 )
130	129	esumeq2dv 28811	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 )
131		vex 3025	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
132	131	rabex 4518	. . . . . . . . . 10 |- { a e. x | -. 0 e. a } e. _V
133	26	esum0 28822	. . . . . . . . . 10 |- ( { a e. x | -. 0 e. a } e. _V -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0 )
134	132, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0
135	130, 134	syl6eq 2478	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
136	135	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
137	122, 136	oveq12d 6267	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) = ( (δ ` U. x ) +e 0 ) )
138	131	uniex 6545	. . . . . . . . . 10 |- U. x e. _V
139	138	elpw 3930	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR <-> U. x C_ RR )
140	139	biimpri 209	. . . . . . . 8 |- ( U. x C_ RR -> U. x e. ~P RR )
141		iccssxr 11668	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
142	16	ffvelrni 5980	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
143	141, 142	sseldi 3405	. . . . . . . 8 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. RR* )
144		xaddid1 11483	. . . . . . . 8 |- ( (δ ` U. x ) e. RR* -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
145	96, 140, 143, 144	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
146	145	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
147	45, 137, 146	3eqtrrd 2467	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
148	147	adantrl 720	. . . 4 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
149	148	ex 435	. . 3 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) )
150	149	rgen 2724	. 2 |- A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
151		reex 9581	. . . 4 |- RR e. _V
152		pwsiga 28904	. . . 4 |- ( RR e. _V -> ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) )
153	151, 152	ax-mp 5	. . 3 |- ~P RR e. (sigAlgebra ` RR )
154		elrnsiga 28900	. . 3 |- ( ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) -> ~P RR e. U. ran sigAlgebra )
155		ismeas 28973	. . 3 |- ( ~P RR e. U. ran sigAlgebra -> (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) ) )
156	153, 154, 155	mp2b 10	. 2 |- (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) )
157	16, 20, 150, 156	mpbir3an 1187	1 |- δ e. (measures ` ~P RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   E!wreu 2716   E*wrmo 2717   {crab 2718   _Vcvv 3022   u. cun 3377   i^i cin 3378   C_ wss 3379   (/)c0 3704   ifcif 3854   ~Pcpw 3924   {csn 3941   U.cuni 4162  Disj wdisj 4337   class class class wbr 4366   ran crn 4797   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   omcom 6650   ~<_ cdom 7522   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   +oocpnf 9623   RR*cxr 9625   <_ cle 9627   +ecxad 11358   [,]cicc 11589  Σ^*cesum 28800  sigAlgebracsiga 28881  measurescmeas 28969  δcdde 29007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-ordt 15342  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-ps 16389  df-tsr 16390  df-plusf 16430  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-subg 16757  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-cring 17726  df-subrg 17949  df-abv 17988  df-lmod 18036  df-scaf 18037  df-sra 18338  df-rgmod 18339  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-tmd 21029  df-tgp 21030  df-tsms 21083  df-trg 21116  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-nm 21539  df-ngp 21540  df-nrg 21542  df-nlm 21543  df-ii 21851  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764  df-log 23448  df-esum 28801  df-siga 28882  df-meas 28970  df-dde 29008

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