Theorem ddemeas 27864

Description: The Dirac delta measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ddemeas	|- δ e. (measures ` ~P RR )

Proof of Theorem ddemeas

Dummy variables k a x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9594	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
2	1	rexri 9645	. . . . . . 7 |- 1 e. RR*
3		0le1 10075	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
4		pnfge 11338	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR* -> 1 <_ +oo )
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 <_ +oo
6		0xr 9639	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
7		pnfxr 11320	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
8		elicc1 11572	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 1 e. RR* /\ 0 <_ 1 /\ 1 <_ +oo ) )
10	2, 3, 5, 9	mpbir3an 1178	. . . . . 6 |- 1 e. ( 0 [,] +oo )
11		0e0iccpnf 11630	. . . . . 6 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
12	10, 11	keepel 4007	. . . . 5 |- if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
13	12	rgenw 2825	. . . 4 |- A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo )
14		df-dde 27861	. . . . 5 |- δ = ( a e. ~P RR |-> if ( 0 e. a , 1 , 0 ) )
15	14	fmpt 6041	. . . 4 |- ( A. a e. ~P RR if ( 0 e. a , 1 , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) )
16	13, 15	mpbi 208	. . 3 |- δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
17		0ss 3814	. . . 4 |- (/) C_ RR
18		noel 3789	. . . 4 |- -. 0 e. (/)
19		ddeval0 27863	. . . 4 |- ( ( (/) C_ RR /\ -. 0 e. (/) ) -> (δ ` (/) ) = 0 )
20	17, 18, 19	mp2an 672	. . 3 |- (δ ` (/) ) = 0
21		exmidd 416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. x -> ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) )
22	21	rgen 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- A. a e. x ( 0 e. a \/ -. 0 e. a )
23		rabid2 3039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = { a e. x | ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) } <-> A. a e. x ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) )
24	22, 23	mpbir 209	. . . . . . . . . . 11 |- x = { a e. x | ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) }
25		unrab 3769	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) = { a e. x | ( 0 e. a \/ -. 0 e. a ) }
26	24, 25	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . 10 |- x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } )
27		esumeq1 27703	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Σ* y e. x (δ ` y ) = Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y )
29		nfv 1683	. . . . . . . . . 10 |- F/ y x e. ~P ~P RR
30		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y { a e. x | 0 e. a }
31		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y { a e. x | -. 0 e. a }
32		vex 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
33	32	rabex 4598	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. x | 0 e. a } e. _V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | 0 e. a } e. _V )
35	32	rabex 4598	. . . . . . . . . . 11 |- { a e. x | -. 0 e. a } e. _V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P ~P RR -> { a e. x | -. 0 e. a } e. _V )
37		rabnc 3809	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( { a e. x | 0 e. a } i^i { a e. x | -. 0 e. a } ) = (/) )
39		elrabi 3258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } -> y e. x )
40	39	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. x )
41		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
42		elelpwi 4021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> y e. ~P RR )
43	40, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
44	16	ffvelrni 6019	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P RR -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
46		elrabi 3258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> y e. x )
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. x )
48		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> x e. ~P ~P RR )
49	47, 48, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y e. ~P RR )
50	49, 44	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51	29, 30, 31, 34, 36, 38, 45, 50	esumsplit 27719	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. ( { a e. x | 0 e. a } u. { a e. x | -. 0 e. a } ) (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
52	28, 51	syl5eq 2520	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. x (δ ` y ) = (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) )
54		esumeq1 27703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
55	54	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { k } (δ ` y ) )
56		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> x e. ~P ~P RR )
57		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- k e. _V
58	57	rabsnel 27094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> k e. x )
59	58	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> k e. x )
60		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = k -> ( 0 e. a <-> 0 e. k ) )
61	57, 60	rabsnt 4104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> 0 e. k )
62	61	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> 0 e. k )
63		elelpwi 4021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. x /\ x e. ~P ~P RR ) -> k e. ~P RR )
64	63	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ k e. x ) -> k e. ~P RR )
65	64	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k e. ~P RR )
66		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> y = k )
67	66	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ~P RR /\ y = k ) -> (δ ` y ) = (δ ` k ) )
68	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P RR -> k e. _V )
69	16	ffvelrni 6019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P RR -> (δ ` k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
70	67, 68, 69	esumsn 27728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ~P RR -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
71	65, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = (δ ` k ) )
72		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ~P RR -> k C_ RR )
73	65, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> k C_ RR )
74		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> 0 e. k )
75		ddeval1 27862	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k C_ RR /\ 0 e. k ) -> (δ ` k ) = 1 )
76	73, 74, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> (δ ` k ) = 1 )
77	71, 76	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( k e. x /\ 0 e. k ) ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
78	56, 59, 62, 77	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { k } (δ ` y ) = 1 )
79	55, 78	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) /\ k e. x ) /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
80		df-disj 4418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Disj y e. x y <-> A. k E* y e. x k e. y )
81	6	elexi 3123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. _V
82		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 0 -> ( k e. y <-> 0 e. y ) )
83	82	rmobidv 3051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( E* y e. x k e. y <-> E* y e. x 0 e. y ) )
84	81, 83	spcv 3204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k E* y e. x k e. y -> E* y e. x 0 e. y )
85	80, 84	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Disj y e. x y -> E* y e. x 0 e. y )
86		rmo5 3080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E* y e. x 0 e. y <-> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
87	86	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E* y e. x 0 e. y -> ( E. y e. x 0 e. y -> E! y e. x 0 e. y ) )
88	87	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E* y e. x 0 e. y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
89	85, 88	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E! y e. x 0 e. y )
90		reusn 4100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! y e. x 0 e. y <-> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
91	89, 90	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } )
92		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = y -> ( 0 e. a <-> 0 e. y ) )
93	92	cbvrabv 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { a e. x | 0 e. a } = { y e. x | 0 e. y }
94	93	eqeq1i 2474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> { y e. x | 0 e. y } = { k } )
95	58	ancri 552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { a e. x | 0 e. a } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
96	94, 95	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y e. x | 0 e. y } = { k } -> ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
97	96	eximi 1635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
98		df-rex 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } <-> E. k ( k e. x /\ { a e. x | 0 e. a } = { k } ) )
99	97, 98	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k { y e. x | 0 e. y } = { k } -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
100	91, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Disj y e. x y /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
101	100	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> E. k e. x { a e. x | 0 e. a } = { k } )
102	79, 101	r19.29a 3003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 1 )
103		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P ~P RR -> x C_ ~P RR )
104		sspwuni 4411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x C_ ~P RR <-> U. x C_ RR )
105	103, 104	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P ~P RR -> U. x C_ RR )
106		eluni2 4249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. U. x <-> E. y e. x 0 e. y )
107	106	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y e. x 0 e. y -> 0 e. U. x )
108	105, 107	anim12i 566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ E. y e. x 0 e. y ) -> ( U. x C_ RR /\ 0 e. U. x ) )
109		ddeval1 27862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. x C_ RR /\ 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
110	108, 109	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
111	110	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 1 )
112	102, 111	eqtr4d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
113		nfre1 2925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y E. y e. x 0 e. y
114	113	nfn 1849	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y -. E. y e. x 0 e. y
115	93	rabeq2i 3110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { a e. x | 0 e. a } <-> ( y e. x /\ 0 e. y ) )
116	115	exbii 1644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y y e. { a e. x | 0 e. a } <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
117		neq0 3795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y y e. { a e. x | 0 e. a } )
118		df-rex 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y e. x 0 e. y <-> E. y ( y e. x /\ 0 e. y ) )
119	116, 117, 118	3bitr4i 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) <-> E. y e. x 0 e. y )
120	119	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. { a e. x | 0 e. a } = (/) -> E. y e. x 0 e. y )
121	120	con1i 129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> { a e. x | 0 e. a } = (/) )
122	114, 121	esumeq1d 27704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. (/) (δ ` y ) )
123		esumnul 27715	. . . . . . . . . . . 12 |- Σ* y e. (/) (δ ` y ) = 0
124	122, 123	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
125	124	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
126	106	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. U. x -> E. y e. x 0 e. y )
127	126	con3i 135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. E. y e. x 0 e. y -> -. 0 e. U. x )
128	105, 127	anim12i 566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> ( U. x C_ RR /\ -. 0 e. U. x ) )
129		ddeval0 27863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. x C_ RR /\ -. 0 e. U. x ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
130	128, 129	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
131	130	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> (δ ` U. x ) = 0 )
132	125, 131	eqtr4d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) /\ -. E. y e. x 0 e. y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
133	112, 132	pm2.61dan 789	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) = (δ ` U. x ) )
134		elpwi 4019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P RR -> y C_ RR )
135	49, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> y C_ RR )
136	92	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = y -> ( -. 0 e. a <-> -. 0 e. y ) )
137	136	elrab 3261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } <-> ( y e. x /\ -. 0 e. y ) )
138	137	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. { a e. x | -. 0 e. a } -> -. 0 e. y )
139	138	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> -. 0 e. y )
140		ddeval0 27863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ RR /\ -. 0 e. y ) -> (δ ` y ) = 0 )
141	135, 139, 140	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ y e. { a e. x | -. 0 e. a } ) -> (δ ` y ) = 0 )
142	141	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P ~P RR -> A. y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
143		esumeq2 27705	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 )
144	142, 143	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 )
145	31	esum0 27716	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a e. x | -. 0 e. a } e. _V -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0 )
146	35, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } 0 = 0
147	144, 146	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P RR -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
148	147	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> Σ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) = 0 )
149	133, 148	oveq12d 6301	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (Σ* y e. { a e. x | 0 e. a } (δ ` y ) +eΣ* y e. { a e. x | -. 0 e. a } (δ ` y ) ) = ( (δ ` U. x ) +e 0 ) )
150	32	uniex 6579	. . . . . . . . . . 11 |- U. x e. _V
151	150	elpw 4016	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x e. ~P RR <-> U. x C_ RR )
152	151	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( U. x C_ RR -> U. x e. ~P RR )
153		iccssxr 11606	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
154	16	ffvelrni 6019	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
155	153, 154	sseldi 3502	. . . . . . . . 9 |- ( U. x e. ~P RR -> (δ ` U. x ) e. RR* )
156		xaddid1 11437	. . . . . . . . 9 |- ( (δ ` U. x ) e. RR* -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
157	105, 152, 155, 156	4syl 21	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
158	157	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> ( (δ ` U. x ) +e 0 ) = (δ ` U. x ) )
159	53, 149, 158	3eqtrrd 2513	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
160	159	adantrl 715	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P ~P RR /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
161	160	ex 434	. . . 4 |- ( x e. ~P ~P RR -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) )
162	161	rgen 2824	. . 3 |- A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) )
163	16, 20, 162	3pm3.2i 1174	. 2 |- (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) )
164		reex 9582	. . . 4 |- RR e. _V
165		pwsiga 27786	. . . 4 |- ( RR e. _V -> ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) )
166	164, 165	ax-mp 5	. . 3 |- ~P RR e. (sigAlgebra ` RR )
167		elrnsiga 27782	. . 3 |- ( ~P RR e. (sigAlgebra ` RR ) -> ~P RR e. U. ran sigAlgebra )
168		ismeas 27826	. . 3 |- ( ~P RR e. U. ran sigAlgebra -> (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) ) )
169	166, 167, 168	mp2b 10	. 2 |- (δ e. (measures ` ~P RR ) <-> (δ : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ (δ ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P ~P RR ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> (δ ` U. x ) = Σ* y e. x (δ ` y ) ) ) )
170	163, 169	mpbir 209	1 |- δ e. (measures ` ~P RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816   E*wrmo 2817   {crab 2818   _Vcvv 3113   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447   ran crn 5000   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   omcom 6679   ~<_ cdom 7514   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492   +oocpnf 9624   RR*cxr 9626   <_ cle 9628   +ecxad 11315   [,]cicc 11531  Σ^*cesum 27696  sigAlgebracsiga 27763  measurescmeas 27822  δcdde 27860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-ef 13664  df-sin 13666  df-cos 13667  df-pi 13669  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-ordt 14755  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-ps 15686  df-tsr 15687  df-mnd 15731  df-plusf 15732  df-mhm 15783  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-subrg 17222  df-abv 17261  df-lmod 17309  df-scaf 17310  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-tmd 20322  df-tgp 20323  df-tsms 20376  df-trg 20413  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-nm 20854  df-ngp 20855  df-nrg 20857  df-nlm 20858  df-ii 21132  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022  df-log 22688  df-esum 27697  df-siga 27764  df-meas 27823  df-dde 27861

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