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Theorem dcubic1lem 23756
Description: Lemma for dcubic1 23758 and dcubic2 23757: simplify the cubic equation under the substitution  X  =  U  -  M  /  U. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
dcubic.d  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
dcubic.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dcubic.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dcubic.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
dcubic.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
dcubic.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
dcubic.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
dcubic.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
dcubic.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
dcubic2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
dcubic2.z  |-  ( ph  ->  U  =/=  0 )
dcubic2.2  |-  ( ph  ->  X  =  ( U  -  ( M  /  U ) ) )
Assertion
Ref Expression
dcubic1lem  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <-> 
( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  =  0 ) )

Proof of Theorem dcubic1lem
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2 3nn0 10888 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN0
3 expcl 12290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( U ^ 3 )  e.  CC )
41, 2, 3sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U ^ 3 )  e.  CC )
54sqvald 12413 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 ) ^ 2 )  =  ( ( U ^ 3 )  x.  ( U ^
3 ) ) )
65oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( ( ( U ^ 3 )  x.  ( U ^
3 ) )  / 
( U ^ 3 ) ) )
7 dcubic2.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =/=  0 )
8 3z 10971 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
98a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  ZZ )
101, 7, 9expne0d 12422 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U ^ 3 )  =/=  0 )
114, 4, 10divcan4d 10390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( U ^
3 ) )
126, 11eqtr2d 2464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U ^ 3 )  =  ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  /  ( U ^
3 ) ) )
13 dcubic.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
14 dcubic.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
15 dcubic.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
16 3cn 10685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
18 3ne0 10705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
2015, 17, 19divcld 10384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  /  3
)  e.  CC )
2114, 20eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
22 expcl 12290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( M ^ 3 )  e.  CC )
2321, 2, 22sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ^ 3 )  e.  CC )
2423, 4, 10divcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) )  e.  CC )
2513, 24negsubd 9993 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  =  ( Q  -  ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
2613, 4, 10divcan4d 10390 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  Q )
2726oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  / 
( U ^ 3 ) )  -  (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  =  ( Q  -  ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
2825, 27eqtr4d 2466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^
3 ) )  -  ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
29 dcubic.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3015, 29mulcld 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  X
)  e.  CC )
3130negcld 9974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  X )  e.  CC )
3224negcld 9974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) )  e.  CC )
3331, 32, 30, 13add42d 9860 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X
) )  +  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
3415, 29mulneg2d 10073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  -u X
)  =  -u ( P  x.  X )
)
35 dcubic2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  ( U  -  ( M  /  U ) ) )
3635negeqd 9870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u X  =  -u ( U  -  ( M  /  U ) ) )
3721, 1, 7divcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  /  U
)  e.  CC )
381, 37negsubdid 10002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( U  -  ( M  /  U
) )  =  (
-u U  +  ( M  /  U ) ) )
3936, 38eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u X  =  (
-u U  +  ( M  /  U ) ) )
4039oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  -u X
)  =  ( P  x.  ( -u U  +  ( M  /  U ) ) ) )
4134, 40eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  X )  =  ( P  x.  ( -u U  +  ( M  /  U ) ) ) )
421negcld 9974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u U  e.  CC )
4315, 42, 37adddid 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( -u U  +  ( M  /  U ) ) )  =  ( ( P  x.  -u U
)  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) ) )
4415, 1mulneg2d 10073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  -u U
)  =  -u ( P  x.  U )
)
4544oveq1d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  -u U )  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) )  =  ( -u ( P  x.  U
)  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) ) )
4641, 43, 453eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  X )  =  (
-u ( P  x.  U )  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) ) )
4746oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  =  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
4815, 1mulcld 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  U
)  e.  CC )
4948negcld 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  U )  e.  CC )
5015, 37mulcld 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( M  /  U ) )  e.  CC )
5149, 50, 32addassd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  =  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
5247, 51eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  =  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
5352oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) ) )
5431, 30addcomd 9836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X
) )  =  ( ( P  x.  X
)  +  -u ( P  x.  X )
) )
5530negidd 9977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  X )  +  -u ( P  x.  X
) )  =  0 )
5654, 55eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X
) )  =  0 )
5756oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X ) )  +  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( Q  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) )
5813, 32addcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  e.  CC )
5958addid2d 9835 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6057, 59eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X ) )  +  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6133, 53, 603eqtr3d 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6213, 4mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  e.  CC )
6362, 23, 4, 10divsubdird 10423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^
3 ) )  -  ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6428, 61, 633eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) ) )
6512, 64oveq12d 6320 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 )  +  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) ) )  =  ( ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  /  ( U ^ 3 ) )  +  ( ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
661, 37negsubd 9993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  -u ( M  /  U
) )  =  ( U  -  ( M  /  U ) ) )
6735, 66eqtr4d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =  ( U  +  -u ( M  /  U ) ) )
6867oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  =  ( ( U  +  -u ( M  /  U ) ) ^ 3 ) )
6937negcld 9974 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( M  /  U )  e.  CC )
70 binom3 12393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  CC  /\  -u ( M  /  U
)  e.  CC )  ->  ( ( U  +  -u ( M  /  U ) ) ^
3 )  =  ( ( ( U ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  +  ( -u ( M  /  U ) ^
3 ) ) ) )
711, 69, 70syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  -u ( M  /  U
) ) ^ 3 )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U
) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u ( M  /  U ) ^
3 ) ) ) )
721sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U ^ 2 )  e.  CC )
7372, 37mulneg2d 10073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  -u ( M  /  U ) )  =  -u ( ( U ^ 2 )  x.  ( M  /  U
) ) )
7472, 21, 1, 7div12d 10420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( M  x.  ( ( U ^
2 )  /  U
) ) )
751sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U ^ 2 )  =  ( U  x.  U ) )
7675oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  /  U
)  =  ( ( U  x.  U )  /  U ) )
771, 1, 7divcan4d 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  U )  /  U
)  =  U )
7876, 77eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  /  U
)  =  U )
7978oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( U ^ 2 )  /  U ) )  =  ( M  x.  U ) )
8074, 79eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( M  x.  U ) )
8180negeqd 9870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( U ^ 2 )  x.  ( M  /  U
) )  =  -u ( M  x.  U
) )
8273, 81eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  -u ( M  /  U ) )  =  -u ( M  x.  U ) )
8382oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) )  =  ( 3  x.  -u ( M  x.  U ) ) )
8421, 1mulcld 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  U
)  e.  CC )
8517, 84mulneg2d 10073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  -u ( M  x.  U )
)  =  -u (
3  x.  ( M  x.  U ) ) )
8617, 21, 1mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  U
)  =  ( 3  x.  ( M  x.  U ) ) )
8714oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  M
)  =  ( 3  x.  ( P  / 
3 ) ) )
8815, 17, 19divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( P  /  3 ) )  =  P )
8987, 88eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  M
)  =  P )
9089oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  U
)  =  ( P  x.  U ) )
9186, 90eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( M  x.  U )
)  =  ( P  x.  U ) )
9291negeqd 9870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 3  x.  ( M  x.  U
) )  =  -u ( P  x.  U
) )
9383, 85, 923eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) )  =  -u ( P  x.  U )
)
9493oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) ) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  -u ( P  x.  U ) ) )
95 sqneg 12335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  /  U )  e.  CC  ->  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 )  =  ( ( M  /  U ) ^
2 ) )
9637, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
2 )  =  ( ( M  /  U
) ^ 2 ) )
9737sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  U ) ^ 2 )  =  ( ( M  /  U )  x.  ( M  /  U ) ) )
9896, 97eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
2 )  =  ( ( M  /  U
)  x.  ( M  /  U ) ) )
9998oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 ) )  =  ( U  x.  ( ( M  /  U )  x.  ( M  /  U
) ) ) )
1001, 37, 37mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  ( M  /  U
) )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( U  x.  ( ( M  /  U )  x.  ( M  /  U ) ) ) )
10121, 1, 7divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( M  /  U ) )  =  M )
102101oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  ( M  /  U
) )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( M  x.  ( M  /  U
) ) )
10399, 100, 1023eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 ) )  =  ( M  x.  ( M  /  U ) ) )
104103oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( M  x.  ( M  /  U ) ) ) )
10517, 21, 37mulassd 9667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( 3  x.  ( M  x.  ( M  /  U ) ) ) )
10689oveq1d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )
107104, 105, 1063eqtr2d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  =  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )
108 3nn 10769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  NN )
110 2nn 10768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
111 1nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
112 1nn 10621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
113 2t1e2 10759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
114113oveq1i 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
115 2p1e3 10734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  +  1 )  =  3
116114, 115eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
117 1lt2 10777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
118110, 111, 112, 116, 117ndvdsi 14379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  ||  3
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  3
)
120 oexpneg 14356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  /  U
)  e.  CC  /\  3  e.  NN  /\  -.  2  ||  3 )  -> 
( -u ( M  /  U ) ^ 3 )  =  -u (
( M  /  U
) ^ 3 ) )
12137, 109, 119, 120syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
3 )  =  -u ( ( M  /  U ) ^ 3 ) )
1222a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
12321, 1, 7, 122expdivd 12430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  U ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( U ^
3 ) ) )
124123negeqd 9870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M  /  U ) ^
3 )  =  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )
125121, 124eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
3 )  =  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )
126107, 125oveq12d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 ) ) )  +  (
-u ( M  /  U ) ^ 3 ) )  =  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
12794, 126oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  +  ( -u ( M  /  U ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  -u ( P  x.  U ) )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
12868, 71, 1273eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  -u ( P  x.  U )
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) )
12950, 32addcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  e.  CC )
1304, 49, 129addassd 9666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  + 
-u ( P  x.  U ) )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) ) )
131128, 130eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) ) )
132131oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) )
13349, 129addcld 9663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  e.  CC )
13430, 13addcld 9663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q
)  e.  CC )
1354, 133, 134addassd 9666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( (
-u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) ) )
136132, 135eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( ( -u ( P  x.  U
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) ) )
1374sqcld 12414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 ) ^ 2 )  e.  CC )
13862, 23subcld 9987 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
139137, 138, 4, 10divdird 10422 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  /  ( U ^
3 ) )  +  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
14065, 136, 1393eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) )  =  ( ( ( ( U ^
3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  /  ( U ^
3 ) ) )
141140eqeq1d 2424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <-> 
( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  0 ) )
142137, 138addcld 9663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  e.  CC )
143142, 4, 10diveq0ad 10394 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  0  <->  ( (
( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  =  0 ) )
144141, 143bitrd 256 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <-> 
( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420  (class class class)co 6302   CCcc 9538   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    - cmin 9861   -ucneg 9862    / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   3c3 10661   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   ^cexp 12272    || cdvds 14293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-dvds 14294
This theorem is referenced by:  dcubic2  23757  dcubic1  23758
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