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Theorem dcubic1lem 20636
Description: Lemma for dcubic1 20638 and dcubic2 20637: simplify the cubic equation under the substitution  X  =  U  -  M  /  U. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
dcubic.d  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
dcubic.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dcubic.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dcubic.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
dcubic.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
dcubic.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
dcubic.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
dcubic.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
dcubic.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
dcubic2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
dcubic2.z  |-  ( ph  ->  U  =/=  0 )
dcubic2.2  |-  ( ph  ->  X  =  ( U  -  ( M  /  U ) ) )
Assertion
Ref Expression
dcubic1lem  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <-> 
( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  =  0 ) )

Proof of Theorem dcubic1lem
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2 3nn0 10195 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN0
3 expcl 11354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( U ^ 3 )  e.  CC )
41, 2, 3sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U ^ 3 )  e.  CC )
54sqvald 11475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 ) ^ 2 )  =  ( ( U ^ 3 )  x.  ( U ^
3 ) ) )
65oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( ( ( U ^ 3 )  x.  ( U ^
3 ) )  / 
( U ^ 3 ) ) )
7 dcubic2.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =/=  0 )
8 3nn 10090 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
98nnzi 10261 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
109a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  ZZ )
111, 7, 10expne0d 11484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U ^ 3 )  =/=  0 )
124, 4, 11divcan4d 9752 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( U ^
3 ) )
136, 12eqtr2d 2437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U ^ 3 )  =  ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  /  ( U ^
3 ) ) )
14 dcubic.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
15 dcubic.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
16 dcubic.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
17 3cn 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
19 3ne0 10041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
2116, 18, 20divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  /  3
)  e.  CC )
2215, 21eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
23 expcl 11354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( M ^ 3 )  e.  CC )
2422, 2, 23sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ^ 3 )  e.  CC )
2524, 4, 11divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) )  e.  CC )
2614, 25negsubd 9373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  =  ( Q  -  ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
2714, 4, 11divcan4d 9752 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  Q )
2827oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  / 
( U ^ 3 ) )  -  (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  =  ( Q  -  ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
2926, 28eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^
3 ) )  -  ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
30 dcubic.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3116, 30mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  X
)  e.  CC )
3231negcld 9354 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  X )  e.  CC )
3325negcld 9354 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) )  e.  CC )
3432, 33, 31, 14add42d 9246 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X
) )  +  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
3516, 30mulneg2d 9443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  -u X
)  =  -u ( P  x.  X )
)
36 dcubic2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  ( U  -  ( M  /  U ) ) )
3736negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u X  =  -u ( U  -  ( M  /  U ) ) )
3822, 1, 7divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  /  U
)  e.  CC )
391, 38negsubdid 9382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( U  -  ( M  /  U
) )  =  (
-u U  +  ( M  /  U ) ) )
4037, 39eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u X  =  (
-u U  +  ( M  /  U ) ) )
4140oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  -u X
)  =  ( P  x.  ( -u U  +  ( M  /  U ) ) ) )
4235, 41eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  X )  =  ( P  x.  ( -u U  +  ( M  /  U ) ) ) )
431negcld 9354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u U  e.  CC )
4416, 43, 38adddid 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( -u U  +  ( M  /  U ) ) )  =  ( ( P  x.  -u U
)  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) ) )
4516, 1mulneg2d 9443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  -u U
)  =  -u ( P  x.  U )
)
4645oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  -u U )  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) )  =  ( -u ( P  x.  U
)  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) ) )
4742, 44, 463eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  X )  =  (
-u ( P  x.  U )  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) ) )
4847oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  =  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
4916, 1mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  U
)  e.  CC )
5049negcld 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  U )  e.  CC )
5116, 38mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( M  /  U ) )  e.  CC )
5250, 51, 33addassd 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  =  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
5348, 52eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  =  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
5453oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) ) )
5532, 31addcomd 9224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X
) )  =  ( ( P  x.  X
)  +  -u ( P  x.  X )
) )
5631negidd 9357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  X )  +  -u ( P  x.  X
) )  =  0 )
5755, 56eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X
) )  =  0 )
5857oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X ) )  +  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( Q  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) )
5914, 33addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  e.  CC )
6059addid2d 9223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6158, 60eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X ) )  +  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6234, 54, 613eqtr3d 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6314, 4mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  e.  CC )
6463, 24, 4, 11divsubdird 9785 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^
3 ) )  -  ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6529, 62, 643eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) ) )
6613, 65oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 )  +  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) ) )  =  ( ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  /  ( U ^ 3 ) )  +  ( ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
671, 38negsubd 9373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  -u ( M  /  U
) )  =  ( U  -  ( M  /  U ) ) )
6836, 67eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =  ( U  +  -u ( M  /  U ) ) )
6968oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  =  ( ( U  +  -u ( M  /  U ) ) ^ 3 ) )
7038negcld 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( M  /  U )  e.  CC )
71 binom3 11455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  CC  /\  -u ( M  /  U
)  e.  CC )  ->  ( ( U  +  -u ( M  /  U ) ) ^
3 )  =  ( ( ( U ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  +  ( -u ( M  /  U ) ^
3 ) ) ) )
721, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  -u ( M  /  U
) ) ^ 3 )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U
) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u ( M  /  U ) ^
3 ) ) ) )
731sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U ^ 2 )  e.  CC )
7473, 38mulneg2d 9443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  -u ( M  /  U ) )  =  -u ( ( U ^ 2 )  x.  ( M  /  U
) ) )
7573, 22, 1, 7div12d 9782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( M  x.  ( ( U ^
2 )  /  U
) ) )
761sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U ^ 2 )  =  ( U  x.  U ) )
7776oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  /  U
)  =  ( ( U  x.  U )  /  U ) )
781, 1, 7divcan4d 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  U )  /  U
)  =  U )
7977, 78eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  /  U
)  =  U )
8079oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( U ^ 2 )  /  U ) )  =  ( M  x.  U ) )
8175, 80eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( M  x.  U ) )
8281negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( U ^ 2 )  x.  ( M  /  U
) )  =  -u ( M  x.  U
) )
8374, 82eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  -u ( M  /  U ) )  =  -u ( M  x.  U ) )
8483oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) )  =  ( 3  x.  -u ( M  x.  U ) ) )
8522, 1mulcld 9064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  U
)  e.  CC )
8618, 85mulneg2d 9443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  -u ( M  x.  U )
)  =  -u (
3  x.  ( M  x.  U ) ) )
8718, 22, 1mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  U
)  =  ( 3  x.  ( M  x.  U ) ) )
8815oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  M
)  =  ( 3  x.  ( P  / 
3 ) ) )
8916, 18, 20divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( P  /  3 ) )  =  P )
9088, 89eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  M
)  =  P )
9190oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  U
)  =  ( P  x.  U ) )
9287, 91eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( M  x.  U )
)  =  ( P  x.  U ) )
9392negeqd 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 3  x.  ( M  x.  U
) )  =  -u ( P  x.  U
) )
9484, 86, 933eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) )  =  -u ( P  x.  U )
)
9594oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) ) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  -u ( P  x.  U ) ) )
96 sqneg 11397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  /  U )  e.  CC  ->  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 )  =  ( ( M  /  U ) ^
2 ) )
9738, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
2 )  =  ( ( M  /  U
) ^ 2 ) )
9838sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  U ) ^ 2 )  =  ( ( M  /  U )  x.  ( M  /  U ) ) )
9997, 98eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
2 )  =  ( ( M  /  U
)  x.  ( M  /  U ) ) )
10099oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 ) )  =  ( U  x.  ( ( M  /  U )  x.  ( M  /  U
) ) ) )
1011, 38, 38mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  ( M  /  U
) )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( U  x.  ( ( M  /  U )  x.  ( M  /  U ) ) ) )
10222, 1, 7divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( M  /  U ) )  =  M )
103102oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  ( M  /  U
) )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( M  x.  ( M  /  U
) ) )
104100, 101, 1033eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 ) )  =  ( M  x.  ( M  /  U ) ) )
105104oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( M  x.  ( M  /  U ) ) ) )
10618, 22, 38mulassd 9067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( 3  x.  ( M  x.  ( M  /  U ) ) ) )
10790oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )
108105, 106, 1073eqtr2d 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  =  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )
1098a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  NN )
110 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
111 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
112 1nn 9967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
113 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
114113mulid1i 9048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
115114oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
116 2p1e3 10059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  +  1 )  =  3
117115, 116eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
118 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
119110, 111, 112, 117, 118ndvdsi 12885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  ||  3
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  3
)
121 oexpneg 12866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  /  U
)  e.  CC  /\  3  e.  NN  /\  -.  2  ||  3 )  -> 
( -u ( M  /  U ) ^ 3 )  =  -u (
( M  /  U
) ^ 3 ) )
12238, 109, 120, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
3 )  =  -u ( ( M  /  U ) ^ 3 ) )
1232a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
12422, 1, 7, 123expdivd 11492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  U ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( U ^
3 ) ) )
125124negeqd 9256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M  /  U ) ^
3 )  =  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )
126122, 125eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
3 )  =  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )
127108, 126oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 ) ) )  +  (
-u ( M  /  U ) ^ 3 ) )  =  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
12895, 127oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  +  ( -u ( M  /  U ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  -u ( P  x.  U ) )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
12969, 72, 1283eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  -u ( P  x.  U )
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) )
13051, 33addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  e.  CC )
1314, 50, 130addassd 9066 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  + 
-u ( P  x.  U ) )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) ) )
132129, 131eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) ) )
133132oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) )
13450, 130addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  e.  CC )
13531, 14addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q
)  e.  CC )
1364, 134, 135addassd 9066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( (
-u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) ) )
137133, 136eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( ( -u ( P  x.  U
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) ) )
1384sqcld 11476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 ) ^ 2 )  e.  CC )
13963, 24subcld 9367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
140138, 139, 4, 11divdird 9784 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  /  ( U ^
3 ) )  +  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
14166, 137, 1403eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) )  =  ( ( ( ( U ^
3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  /  ( U ^
3 ) ) )
142141eqeq1d 2412 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <-> 
( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  0 ) )
143138, 139addcld 9063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  e.  CC )
144143, 4, 11diveq0ad 9756 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  0  <->  ( (
( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  =  0 ) )
145142, 144bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <-> 
( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ^cexp 11337    || cdivides 12807
This theorem is referenced by:  dcubic2  20637  dcubic1  20638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808
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