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Theorem dcubic 23002
Description: Solutions to the depressed cubic, a special case of cubic 23005. (The definitions of  M ,  N ,  G ,  T here differ from mcubic 23003 by scale factors of  -u 9,  5 4,  5 4 and  -u 2
7 respectively, to simplify the algebra and presentation.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
dcubic.d  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
dcubic.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dcubic.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dcubic.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
dcubic.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
dcubic.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
dcubic.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
dcubic.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
dcubic.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
dcubic  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    M, r    P, r    ph, r    Q, r    T, r    X, r
Allowed substitution hints:    G( r)    N( r)

Proof of Theorem dcubic
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dcubic.0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
21adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  T  =/=  0 )
3 dcubic.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  T  e.  CC )
5 3z 10898 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
6 expne0i 12167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 )
75, 6mp3an3 1313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  -> 
( T ^ 3 )  =/=  0 )
87ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T  =/=  0  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 ) )
94, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( T  =/=  0  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 ) )
10 dcubic.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
12 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  G  e.  CC )
14 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
16 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  N  =  ( Q  /  2
) )
18 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  X  = 
0 )
1918oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  =  ( P  x.  0 ) )
20 dcubic.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  P  e.  CC )
2221mul01d 9779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  0 )  =  0 )
2319, 22eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  =  0 )
2423oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  =  ( 0  +  Q ) )
2518oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
26 3nn 10695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  3  e.  NN
27 0exp 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
2925, 28syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 3 )  =  0 )
3029oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( 0  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) )
31 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )
32 0cnd 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  0  e.  CC )
3323, 32eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  e.  CC )
34 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  Q  e.  CC )
3633, 35addcld 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  e.  CC )
3736addid2d 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )
3830, 31, 373eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  =  0 )
3935addid2d 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  Q )  =  Q )
4024, 38, 393eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  Q  = 
0 )
4140oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( Q  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
42 2cn 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
43 2ne0 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
4442, 43div0i 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  /  2 )  =  0
4541, 44syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( Q  /  2 )  =  0 )
4617, 45eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  N  = 
0 )
4746sq0id 12230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( N ^ 2 )  =  0 )
48 dcubic.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
49 3cn 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  e.  CC
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
51 3ne0 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  =/=  0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
5320, 50, 52divcld 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( P  /  3
)  e.  CC )
5448, 53eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  M  e.  CC )
56 4cn 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  e.  CC
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  4  e.  CC )
58 4ne0 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  =/=  0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  4  =/=  0 )
6018sq0id 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 2 )  =  0 )
6160oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  =  ( 0  +  ( 4  x.  M ) ) )
62 dcubic.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
6362sqcld 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
64 mulcl 9577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 4  x.  M
)  e.  CC )
6556, 54, 64sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  M
)  e.  CC )
6663, 65addcld 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) )  e.  CC )
6766ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  e.  CC )
68 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 )
6967, 68sqr00d 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  =  0 )
7065ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  e.  CC )
7170addid2d 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  ( 4  x.  M ) )  =  ( 4  x.  M
) )
7261, 69, 713eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  =  0 )
7356mul01i 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  x.  0 )  =  0
7472, 73syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  =  ( 4  x.  0 ) )
7555, 32, 57, 59, 74mulcanad 10185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  M  = 
0 )
7675oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( M ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
7776, 28syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( M ^ 3 )  =  0 )
7847, 77oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^ 3 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
79 00id 9755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  0 )  =  0
8078, 79syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^ 3 ) )  =  0 )
8115, 80eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  0 )
8213, 81sqeq0d 12278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  G  = 
0 )
8382, 46oveq12d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G  -  N )  =  ( 0  -  0 ) )
84 0m0e0 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  0 )  =  0
8583, 84syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G  -  N )  =  0 )
8611, 85eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  0 )
8786ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 )  -> 
( T ^ 3 )  =  0 ) )
8887necon3ad 2677 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( ( T ^ 3 )  =/=  0  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
899, 88syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( T  =/=  0  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
902, 89mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )
91 oveq12 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( 0  +  0 ) )
9291, 79syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 )
93 oveq12 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( 0  -  0 ) )
9493, 84syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 )
9592, 94jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  0  /\  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 ) )
9666sqrtcld 13234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  e.  CC )
97 halfaddsub 10773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  X  /\  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
9862, 96, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  X  /\  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
9998simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  X )
10099eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0  <->  X  = 
0 ) )
10198simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  -  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )
102101eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  -  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0  <->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )
103100, 102anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0  /\  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  -  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0 )  <->  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 ) ) )
10495, 103syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =  0  /\  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =  0 )  ->  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
105104con3d 133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 )  ->  -.  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =  0  /\  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
106 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  u  e.  CC )
107106adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  u  e.  CC )
10854adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  M  e.  CC )
109 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  u  =/=  0
)
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  u  =/=  0 )
111108, 107, 110divcld 10321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( M  /  u
)  e.  CC )
11262adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  X  e.  CC )
113107, 111, 112subaddd 9949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  -  ( M  /  u
) )  =  X  <-> 
( ( M  /  u )  +  X
)  =  u ) )
114 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  ( u  -  ( M  /  u ) )  =  X )
115 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( ( M  /  u )  +  X )  <->  ( ( M  /  u )  +  X )  =  u )
116113, 114, 1153bitr4g 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  =  ( u  -  ( M  /  u ) )  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
117107sqcld 12277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u ^ 2 )  e.  CC )
118112, 107mulcld 9617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  x.  u
)  e.  CC )
119118, 108addcld 9616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X  x.  u )  +  M
)  e.  CC )
120117, 119subeq0ad 9941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
( u ^ 2 )  =  ( ( X  x.  u )  +  M ) ) )
121107sqvald 12276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u ^ 2 )  =  ( u  x.  u ) )
122111, 112, 107adddird 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( M  /  u )  +  X )  x.  u
)  =  ( ( ( M  /  u
)  x.  u )  +  ( X  x.  u ) ) )
123108, 107, 110divcan1d 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( M  /  u )  x.  u
)  =  M )
124123oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( M  /  u )  x.  u )  +  ( X  x.  u ) )  =  ( M  +  ( X  x.  u ) ) )
125108, 118addcomd 9782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( M  +  ( X  x.  u ) )  =  ( ( X  x.  u )  +  M ) )
126122, 124, 1253eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X  x.  u )  +  M
)  =  ( ( ( M  /  u
)  +  X )  x.  u ) )
127121, 126eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u ^
2 )  =  ( ( X  x.  u
)  +  M )  <-> 
( u  x.  u
)  =  ( ( ( M  /  u
)  +  X )  x.  u ) ) )
128111, 112addcld 9616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( M  /  u )  +  X
)  e.  CC )
129107, 128, 107, 110mulcan2d 10184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  x.  u )  =  ( ( ( M  /  u )  +  X
)  x.  u )  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
130120, 127, 1293bitrd 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
131 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  e.  CC )
133 ax-1ne0 9562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  =/=  0 )
13562negcld 9918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  CC )
136135adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u X  e.  CC )
13754negcld 9918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  CC )
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u M  e.  CC )
139 sqneg 12197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  CC  ->  ( -u X ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
140112, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u X ^ 2 )  =  ( X ^ 2 ) )
141138mulid2d 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  x.  -u M
)  =  -u M
)
142141oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  (
1  x.  -u M
) )  =  ( 4  x.  -u M
) )
143 mulneg2 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 4  x.  -u M
)  =  -u (
4  x.  M ) )
14456, 108, 143sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  -u M
)  =  -u (
4  x.  M ) )
145142, 144eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  (
1  x.  -u M
) )  =  -u ( 4  x.  M
) )
146140, 145oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X ^ 2 )  -  ( 4  x.  (
1  x.  -u M
) ) )  =  ( ( X ^
2 )  -  -u (
4  x.  M ) ) )
14763adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X ^ 2 )  e.  CC )
14865adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  M
)  e.  CC )
149147, 148subnegd 9938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X ^
2 )  -  -u (
4  x.  M ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )
150146, 149eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) )  =  ( (
-u X ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( 1  x.  -u M ) ) ) )
151132, 134, 136, 138, 107, 150quad 22996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( u ^
2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  0  <->  ( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  \/  u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) ) ) ) )
152117mulid2d 9615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  x.  (
u ^ 2 ) )  =  ( u ^ 2 ) )
153112, 107mulneg1d 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u X  x.  u
)  =  -u ( X  x.  u )
)
154153oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X  x.  u )  +  -u M )  =  (
-u ( X  x.  u )  +  -u M ) )
155118, 108negdid 9944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( ( X  x.  u )  +  M
)  =  ( -u ( X  x.  u
)  +  -u M
) )
156154, 155eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X  x.  u )  +  -u M )  =  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) )
157152, 156oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  x.  ( u ^ 2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  ( ( u ^
2 )  +  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) ) )
158117, 119negsubd 9937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u ^
2 )  +  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M ) ) )
159157, 158eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  x.  ( u ^ 2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  ( ( u ^
2 )  -  (
( X  x.  u
)  +  M ) ) )
160159eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( u ^
2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  0  <->  ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0 ) )
161112negnegd 9922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u -u X  =  X
)
162161oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u -u X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  =  ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
163 2t1e2 10685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 2  x.  1 )  =  2 )
165162, 164oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )
166165eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  <->  u  =  (
( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) ) )
167161oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u -u X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  =  ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
168167, 164oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )
169168eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  <->  u  =  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) )
170166, 169orbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  \/  u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) ) )  <->  ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) ) ) )
171151, 160, 1703bitr3d 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) ) )
172116, 130, 1713bitr2d 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  =  ( u  -  ( M  /  u ) )  <-> 
( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) ) )
173172rexbidva 2970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) ) ) )
174 r19.43 3017 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  <-> 
( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) ) )
175173, 174syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  ( E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  \/  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) ) ) )
176 risset 2987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <->  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) )
17762, 96addcld 9616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  e.  CC )
178177halfcld 10784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC )
179 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) )
180179baib 901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) )
181178, 180syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
182176, 181syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  <->  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
183 risset 2987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )
18462, 96subcld 9931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  e.  CC )
185184halfcld 10784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC )
186 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  CC  /\  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =/=  0
) )
187186baib 901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  CC  ->  ( (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =/=  0
) )
188185, 187syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
189183, 188syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  <->  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
190182, 189orbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  <->  ( (
( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0  \/  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) ) )
191 neorian 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0  \/  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =/=  0 )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) )
192190, 191syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
193175, 192bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
194105, 193sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) ) )
195194imp 429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) )
19690, 195syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) )
19720ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
19834ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
19962ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  X  e.  CC )
2003ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
20110ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
20212ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  G  e.  CC )
20314ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
20448ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  M  =  ( P  / 
3 ) )
20516ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  N  =  ( Q  / 
2 ) )
2061ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
207106ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  u  e.  CC )
208109ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  u  =/=  0 )
209 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) )
210 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )
211197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210dcubic2 23000 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) )
212196, 211rexlimddv 2959 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) )
213212ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
21420ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
21534ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
21662ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  X  e.  CC )
217 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  r  e.  CC )
2183ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
219217, 218mulcld 9617 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r  x.  T )  e.  CC )
220 3nn0 10814 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
221220a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  3  e.  NN0 )
222217, 218, 221mulexpd 12294 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r  x.  T ) ^ 3 )  =  ( ( r ^
3 )  x.  ( T ^ 3 ) ) )
223 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r ^ 3 )  =  1 )
224223oveq1d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r ^ 3 )  x.  ( T ^
3 ) )  =  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) ) )
225 expcl 12153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( T ^ 3 )  e.  CC )
2263, 220, 225sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  e.  CC )
227226mulid2d 9615 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) )  =  ( T ^
3 ) )
228227, 10eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) )  =  ( G  -  N ) )
229228ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  ( T ^
3 ) )  =  ( G  -  N
) )
230222, 224, 2293eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r  x.  T ) ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
23112ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  G  e.  CC )
23214ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
23348ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  M  =  ( P  /  3
) )
23416ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  N  =  ( Q  /  2
) )
235133a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  1  =/=  0 )
236223, 235eqnetrd 2760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r ^ 3 )  =/=  0 )
237 oveq1 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
238237, 28syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
239238necon3i 2707 . . . . . . 7  |-  ( ( r ^ 3 )  =/=  0  ->  r  =/=  0 )
240236, 239syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  r  =/=  0 )
2411ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
242217, 218, 240, 241mulne0d 10202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r  x.  T )  =/=  0
)
243 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )
244214, 215, 216, 219, 230, 231, 232, 233, 234, 242, 243dcubic1 23001 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )
245244ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  ( ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 ) )
246245rexlimdva 2955 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 ) )
247213, 246impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    \ cdif 3473   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    - cmin 9806   -ucneg 9807    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   3c3 10587   4c4 10588   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ^cexp 12135   sqrcsqrt 13032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-dvds 13851
This theorem is referenced by:  mcubic  23003
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