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Theorem dcubic 23851
Description: Solutions to the depressed cubic, a special case of cubic 23854. (The definitions of  M ,  N ,  G ,  T here differ from mcubic 23852 by scale factors of  -u 9,  5 4,  5 4 and  -u 2
7 respectively, to simplify the algebra and presentation.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
dcubic.d  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
dcubic.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dcubic.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dcubic.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
dcubic.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
dcubic.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
dcubic.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
dcubic.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
dcubic.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
dcubic  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    M, r    P, r    ph, r    Q, r    T, r    X, r
Allowed substitution hints:    G( r)    N( r)

Proof of Theorem dcubic
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dcubic.0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
21adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  T  =/=  0 )
3 dcubic.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
43adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  T  e.  CC )
5 3z 10994 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
6 expne0i 12342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 )
75, 6mp3an3 1379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  -> 
( T ^ 3 )  =/=  0 )
87ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T  =/=  0  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 ) )
94, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( T  =/=  0  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 ) )
10 dcubic.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
1110ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
12 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
1312ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  G  e.  CC )
14 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
1514ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
16 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
1716ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  N  =  ( Q  /  2
) )
18 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  X  = 
0 )
1918oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  =  ( P  x.  0 ) )
20 dcubic.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
2120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  P  e.  CC )
2221mul01d 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  0 )  =  0 )
2319, 22eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  =  0 )
2423oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  =  ( 0  +  Q ) )
2518oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
26 3nn 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  3  e.  NN
27 0exp 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
2925, 28syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 3 )  =  0 )
3029oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( 0  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) )
31 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )
32 0cnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  0  e.  CC )
3323, 32eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  e.  CC )
34 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
3534ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  Q  e.  CC )
3633, 35addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  e.  CC )
3736addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )
3830, 31, 373eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  =  0 )
3935addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  Q )  =  Q )
4024, 38, 393eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  Q  = 
0 )
4140oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( Q  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
42 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
43 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
4442, 43div0i 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  /  2 )  =  0
4541, 44syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( Q  /  2 )  =  0 )
4617, 45eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  N  = 
0 )
4746sq0id 12406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( N ^ 2 )  =  0 )
48 dcubic.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
49 3cn 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  e.  CC
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
51 3ne0 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  3  =/=  0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
5320, 50, 52divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( P  /  3
)  e.  CC )
5448, 53eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
5554ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  M  e.  CC )
56 4cn 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  e.  CC
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  4  e.  CC )
58 4ne0 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  =/=  0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  4  =/=  0 )
6018sq0id 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 2 )  =  0 )
6160oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  =  ( 0  +  ( 4  x.  M ) ) )
62 dcubic.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
6362sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
64 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 4  x.  M
)  e.  CC )
6556, 54, 64sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  M
)  e.  CC )
6663, 65addcld 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) )  e.  CC )
6766ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  e.  CC )
68 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 )
6967, 68sqr00d 13580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  =  0 )
7065ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  e.  CC )
7170addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  ( 4  x.  M ) )  =  ( 4  x.  M
) )
7261, 69, 713eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  =  0 )
7356mul01i 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  x.  0 )  =  0
7472, 73syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  =  ( 4  x.  0 ) )
7555, 32, 57, 59, 74mulcanad 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  M  = 
0 )
7675oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( M ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
7776, 28syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( M ^ 3 )  =  0 )
7847, 77oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^ 3 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
79 00id 9826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  0 )  =  0
8078, 79syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^ 3 ) )  =  0 )
8115, 80eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  0 )
8213, 81sqeq0d 12453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  G  = 
0 )
8382, 46oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G  -  N )  =  ( 0  -  0 ) )
84 0m0e0 10741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  0 )  =  0
8583, 84syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G  -  N )  =  0 )
8611, 85eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  0 )
8786ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 )  -> 
( T ^ 3 )  =  0 ) )
8887necon3ad 2656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( ( T ^ 3 )  =/=  0  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
899, 88syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( T  =/=  0  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
902, 89mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )
91 oveq12 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( 0  +  0 ) )
9291, 79syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 )
93 oveq12 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( 0  -  0 ) )
9493, 84syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 )
9592, 94jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  0  /\  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 ) )
9666sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  e.  CC )
97 halfaddsub 10869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  X  /\  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
9862, 96, 97syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  X  /\  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
9998simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  X )
10099eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0  <->  X  = 
0 ) )
10198simprd 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  -  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )
102101eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  -  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0  <->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )
103100, 102anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0  /\  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  -  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0 )  <->  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 ) ) )
10495, 103syl5ib 227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =  0  /\  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =  0 )  ->  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
105104con3d 140 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 )  ->  -.  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =  0  /\  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
106 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  u  e.  CC )
107106adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  u  e.  CC )
10854adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  M  e.  CC )
109 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  u  =/=  0
)
110109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  u  =/=  0 )
111108, 107, 110divcld 10405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( M  /  u
)  e.  CC )
11262adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  X  e.  CC )
113107, 111, 112subaddd 10023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  -  ( M  /  u
) )  =  X  <-> 
( ( M  /  u )  +  X
)  =  u ) )
114 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  ( u  -  ( M  /  u ) )  =  X )
115 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( ( M  /  u )  +  X )  <->  ( ( M  /  u )  +  X )  =  u )
116113, 114, 1153bitr4g 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  =  ( u  -  ( M  /  u ) )  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
117107sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u ^ 2 )  e.  CC )
118112, 107mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  x.  u
)  e.  CC )
119118, 108addcld 9680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X  x.  u )  +  M
)  e.  CC )
120117, 119subeq0ad 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
( u ^ 2 )  =  ( ( X  x.  u )  +  M ) ) )
121107sqvald 12451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u ^ 2 )  =  ( u  x.  u ) )
122111, 112, 107adddird 9686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( M  /  u )  +  X )  x.  u
)  =  ( ( ( M  /  u
)  x.  u )  +  ( X  x.  u ) ) )
123108, 107, 110divcan1d 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( M  /  u )  x.  u
)  =  M )
124123oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( M  /  u )  x.  u )  +  ( X  x.  u ) )  =  ( M  +  ( X  x.  u ) ) )
125108, 118addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( M  +  ( X  x.  u ) )  =  ( ( X  x.  u )  +  M ) )
126122, 124, 1253eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X  x.  u )  +  M
)  =  ( ( ( M  /  u
)  +  X )  x.  u ) )
127121, 126eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u ^
2 )  =  ( ( X  x.  u
)  +  M )  <-> 
( u  x.  u
)  =  ( ( ( M  /  u
)  +  X )  x.  u ) ) )
128111, 112addcld 9680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( M  /  u )  +  X
)  e.  CC )
129107, 128, 107, 110mulcan2d 10268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  x.  u )  =  ( ( ( M  /  u )  +  X
)  x.  u )  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
130120, 127, 1293bitrd 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
131 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  e.  CC )
132 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  0
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  =/=  0 )
13462negcld 9992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  CC )
135134adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u X  e.  CC )
13654negcld 9992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  CC )
137136adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u M  e.  CC )
138 sqneg 12373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  CC  ->  ( -u X ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
139112, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u X ^ 2 )  =  ( X ^ 2 ) )
140137mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  x.  -u M
)  =  -u M
)
141140oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  (
1  x.  -u M
) )  =  ( 4  x.  -u M
) )
142 mulneg2 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 4  x.  -u M
)  =  -u (
4  x.  M ) )
14356, 108, 142sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  -u M
)  =  -u (
4  x.  M ) )
144141, 143eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  (
1  x.  -u M
) )  =  -u ( 4  x.  M
) )
145139, 144oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X ^ 2 )  -  ( 4  x.  (
1  x.  -u M
) ) )  =  ( ( X ^
2 )  -  -u (
4  x.  M ) ) )
14663adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X ^ 2 )  e.  CC )
14765adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  M
)  e.  CC )
148146, 147subnegd 10012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X ^
2 )  -  -u (
4  x.  M ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )
149145, 148eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) )  =  ( (
-u X ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( 1  x.  -u M ) ) ) )
150131, 133, 135, 137, 107, 149quad 23845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( u ^
2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  0  <->  ( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  \/  u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) ) ) ) )
151117mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  x.  (
u ^ 2 ) )  =  ( u ^ 2 ) )
152112, 107mulneg1d 10092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u X  x.  u
)  =  -u ( X  x.  u )
)
153152oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X  x.  u )  +  -u M )  =  (
-u ( X  x.  u )  +  -u M ) )
154118, 108negdid 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( ( X  x.  u )  +  M
)  =  ( -u ( X  x.  u
)  +  -u M
) )
155153, 154eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X  x.  u )  +  -u M )  =  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) )
156151, 155oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  x.  ( u ^ 2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  ( ( u ^
2 )  +  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) ) )
157117, 119negsubd 10011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u ^
2 )  +  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M ) ) )
158156, 157eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  x.  ( u ^ 2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  ( ( u ^
2 )  -  (
( X  x.  u
)  +  M ) ) )
159158eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( u ^
2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  0  <->  ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0 ) )
160112negnegd 9996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u -u X  =  X
)
161160oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u -u X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  =  ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
162 2t1e2 10781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 2  x.  1 )  =  2 )
164161, 163oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )
165164eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  <->  u  =  (
( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) ) )
166160oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u -u X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  =  ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
167166, 163oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )
168167eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  <->  u  =  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) )
169165, 168orbi12d 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  \/  u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) ) )  <->  ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) ) ) )
170150, 159, 1693bitr3d 291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) ) )
171116, 130, 1703bitr2d 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  =  ( u  -  ( M  /  u ) )  <-> 
( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) ) )
172171rexbidva 2889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) ) ) )
173 r19.43 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  <-> 
( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) ) )
174172, 173syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  ( E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  \/  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) ) ) )
175 risset 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <->  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) )
17662, 96addcld 9680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  e.  CC )
177176halfcld 10880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC )
178 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) )
179178baib 919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) )
180177, 179syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
181175, 180syl5bbr 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  <->  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
182 risset 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )
18362, 96subcld 10005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  e.  CC )
184183halfcld 10880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC )
185 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  CC  /\  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =/=  0
) )
186185baib 919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  CC  ->  ( (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =/=  0
) )
187184, 186syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
188182, 187syl5bbr 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  <->  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
189181, 188orbi12d 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  <->  ( (
( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0  \/  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) ) )
190 neorian 2737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0  \/  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =/=  0 )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) )
191189, 190syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
192174, 191bitrd 261 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
193105, 192sylibrd 242 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) ) )
194193imp 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) )
19590, 194syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) )
19620ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
19734ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
19862ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  X  e.  CC )
1993ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
20010ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
20112ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  G  e.  CC )
20214ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
20348ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  M  =  ( P  / 
3 ) )
20416ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  N  =  ( Q  / 
2 ) )
2051ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
206106ad2antrl 742 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  u  e.  CC )
207109ad2antrl 742 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  u  =/=  0 )
208 simprr 774 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) )
209 simplr 770 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )
210196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209dcubic2 23849 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) )
211195, 210rexlimddv 2875 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) )
212211ex 441 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
21320ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
21434ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
21562ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  X  e.  CC )
216 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  r  e.  CC )
2173ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
218216, 217mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r  x.  T )  e.  CC )
219 3nn0 10911 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
220219a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  3  e.  NN0 )
221216, 217, 220mulexpd 12469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r  x.  T ) ^ 3 )  =  ( ( r ^
3 )  x.  ( T ^ 3 ) ) )
222 simprl 772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r ^ 3 )  =  1 )
223222oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r ^ 3 )  x.  ( T ^
3 ) )  =  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) ) )
224 expcl 12328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( T ^ 3 )  e.  CC )
2253, 219, 224sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  e.  CC )
226225mulid2d 9679 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) )  =  ( T ^
3 ) )
227226, 10eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) )  =  ( G  -  N ) )
228227ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  ( T ^
3 ) )  =  ( G  -  N
) )
229221, 223, 2283eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r  x.  T ) ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
23012ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  G  e.  CC )
23114ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
23248ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  M  =  ( P  /  3
) )
23316ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  N  =  ( Q  /  2
) )
234132a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  1  =/=  0 )
235222, 234eqnetrd 2710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r ^ 3 )  =/=  0 )
236 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
237236, 28syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
238237necon3i 2675 . . . . . . 7  |-  ( ( r ^ 3 )  =/=  0  ->  r  =/=  0 )
239235, 238syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  r  =/=  0 )
2401ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
241216, 217, 239, 240mulne0d 10286 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r  x.  T )  =/=  0
)
242 simprr 774 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )
243213, 214, 215, 218, 229, 230, 231, 232, 233, 241, 242dcubic1 23850 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )
244243ex 441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  ( ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 ) )
245244rexlimdva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 ) )
246212, 245impbid 195 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757    \ cdif 3387   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   4c4 10683   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383
This theorem is referenced by:  mcubic  23852
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