Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcomex Structured version   Unicode version

Theorem dcomex 8828
 Description: The Axiom of Dependent Choice implies Infinity, the way we have stated it. Thus, we have Inf+AC implies DC and DC implies Inf, but AC does not imply Inf. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dcomex

Proof of Theorem dcomex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4688 . . 3
2 1on 7138 . . . . . . . . . 10
32elexi 3123 . . . . . . . . 9
43, 3fvsn 6095 . . . . . . . 8
53, 3funsn 5636 . . . . . . . . 9
63snid 4055 . . . . . . . . . 10
73dmsnop 5482 . . . . . . . . . 10
86, 7eleqtrri 2554 . . . . . . . . 9
9 funbrfvb 5910 . . . . . . . . 9
105, 8, 9mp2an 672 . . . . . . . 8
114, 10mpbi 208 . . . . . . 7
12 breq12 4452 . . . . . . . 8
133, 3, 12spc2ev 3206 . . . . . . 7
1411, 13ax-mp 5 . . . . . 6
15 breq 4449 . . . . . . 7
16152exbidv 1692 . . . . . 6
1714, 16mpbiri 233 . . . . 5
18 ssid 3523 . . . . . . 7
193rnsnop 5489 . . . . . . 7
2018, 19, 73sstr4i 3543 . . . . . 6
21 rneq 5228 . . . . . . 7
22 dmeq 5203 . . . . . . 7
2321, 22sseq12d 3533 . . . . . 6
2420, 23mpbiri 233 . . . . 5
25 pm5.5 336 . . . . 5
2617, 24, 25syl2anc 661 . . . 4
27 breq 4449 . . . . . 6
2827ralbidv 2903 . . . . 5
2928exbidv 1690 . . . 4
3026, 29bitrd 253 . . 3
31 ax-dc 8827 . . 3
321, 30, 31vtocl 3165 . 2
33 1n0 7146 . . . . . . . 8
34 df-br 4448 . . . . . . . . 9
35 elsni 4052 . . . . . . . . . 10
36 fvex 5876 . . . . . . . . . . 11
37 fvex 5876 . . . . . . . . . . 11
3836, 37opth1 4720 . . . . . . . . . 10
3935, 38syl 16 . . . . . . . . 9
4034, 39sylbi 195 . . . . . . . 8
41 tz6.12i 5886 . . . . . . . 8
4233, 40, 41mpsyl 63 . . . . . . 7
43 vex 3116 . . . . . . . 8
4443, 3breldm 5207 . . . . . . 7
4542, 44syl 16 . . . . . 6
4645ralimi 2857 . . . . 5
47 dfss3 3494 . . . . 5
4846, 47sylibr 212 . . . 4
49 vex 3116 . . . . . 6
5049dmex 6718 . . . . 5
5150ssex 4591 . . . 4
5248, 51syl 16 . . 3
5352exlimiv 1698 . 2
5432, 53ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  cvv 3113   wss 3476  c0 3785  csn 4027  cop 4033   class class class wbr 4447  con0 4878   csuc 4880   cdm 4999   crn 5000   wfun 5582  cfv 5588  com 6685  c1o 7124 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-dc 8827 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596  df-1o 7131 This theorem is referenced by:  axdc2lem  8829  axdc3lem  8831  axdc4lem  8836  axcclem  8838
 Copyright terms: Public domain W3C validator