MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrhmul Structured version   Unicode version

Theorem dchrzrhmul 22584
Description: A Dirichlet character is completely multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrelbas4.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
dchrzrh1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrzrh1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
dchrzrh1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
dchrzrhmul  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  A ) )  x.  ( X `  ( L `  C )
) ) )

Proof of Theorem dchrzrhmul
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrmhm.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.b . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( Base `  G
)
42, 3dchrrcl 22578 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10635 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 dchrmhm.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
87zncrng 17976 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
96, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
10 crngrng 16654 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
12 dchrelbas4.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
1312zrhrhm 17942 . . . . 5  |-  ( Z  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Z ) )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (ring RingHom  Z ) )
15 dchrzrh1.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
16 dchrzrh1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
17 zringbas 17888 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
18 zringmulr 17891 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` ring )
19 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
2017, 18, 19rhmmul 16816 . . . 4  |-  ( ( L  e.  (ring RingHom  Z )  /\  A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( A  x.  C ) )  =  ( ( L `  A ) ( .r
`  Z ) ( L `  C ) ) )
2114, 15, 16, 20syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  ( A  x.  C )
)  =  ( ( L `  A ) ( .r `  Z
) ( L `  C ) ) )
2221fveq2d 5694 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( X `  ( ( L `  A ) ( .r
`  Z ) ( L `  C ) ) ) )
232, 7, 3dchrmhm 22579 . . . 4  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
2423, 1sseldi 3353 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
25 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
2617, 25rhmf 16815 . . . . 5  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
2714, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
2827, 15ffvelrnd 5843 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Z ) )
2927, 16ffvelrnd 5843 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  C
)  e.  ( Base `  Z ) )
30 eqid 2442 . . . . 5  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
3130, 25mgpbas 16596 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  (mulGrp `  Z
) )
3230, 19mgpplusg 16594 . . . 4  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
33 eqid 2442 . . . . 5  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
34 cnfldmul 17823 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3533, 34mgpplusg 16594 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3631, 32, 35mhmlin 15470 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  ( L `  A )  e.  (
Base `  Z )  /\  ( L `  C
)  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  (
( L `  A
) ( .r `  Z ) ( L `
 C ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 A ) )  x.  ( X `  ( L `  C ) ) ) )
3724, 28, 29, 36syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  (
( L `  A
) ( .r `  Z ) ( L `
 C ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 A ) )  x.  ( X `  ( L `  C ) ) ) )
3822, 37eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  A ) )  x.  ( X `  ( L `  C )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    x. cmul 9286   NNcn 10321   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   Basecbs 14173   .rcmulr 14238   MndHom cmhm 15461  mulGrpcmgp 16590   Ringcrg 16644   CRingccrg 16645   RingHom crh 16803  ℂfldccnfld 17817  ℤringzring 17882   ZRHomczrh 17930  ℤ/nczn 17933  DChrcdchr 22570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-ec 7102  df-qs 7106  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-fz 11437  df-seq 11806  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-0g 14379  df-imas 14445  df-divs 14446  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-nsg 15678  df-eqg 15679  df-ghm 15744  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-oppr 16714  df-rnghom 16805  df-subrg 16862  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-lsp 17052  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-lidl 17254  df-rsp 17255  df-2idl 17313  df-cnfld 17818  df-zring 17883  df-zrh 17934  df-zn 17937  df-dchr 22571
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  22742  dchrvmasumlem1  22743  dchrvmasum2lem  22744  dchrisum0fmul  22754
  Copyright terms: Public domain W3C validator