MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrhcl Structured version   Unicode version

Theorem dchrzrhcl 23276
Description: A Dirichlet character takes values in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrelbas4.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
dchrzrh1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrzrh1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
dchrzrhcl  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  A )
)  e.  CC )

Proof of Theorem dchrzrhcl
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrzrh1.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 23273 . 2  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
71, 3dchrrcl 23271 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
8 nnnn0 10802 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
95, 7, 83syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 dchrelbas4.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
112, 4, 10znzrhfo 18381 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
12 fof 5795 . . . 4  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
139, 11, 123syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
14 dchrzrh1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
1513, 14ffvelrnd 6022 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Z ) )
166, 15ffvelrnd 6022 1  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  A )
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588   CCcc 9490   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   Basecbs 14490   ZRHomczrh 18332  ℤ/nczn 18335  DChrcdchr 23263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-imas 14763  df-divs 14764  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-nsg 16004  df-eqg 16005  df-ghm 16070  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-rnghom 17165  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-lidl 17620  df-rsp 17621  df-2idl 17679  df-cnfld 18220  df-zring 18285  df-zrh 18336  df-zn 18339  df-dchr 23264
This theorem is referenced by:  dchrisumlem1  23430  dchrisumlem2  23431  dchrisumlem3  23432  dchrisum  23433  dchrmusumlema  23434  dchrmusum2  23435  dchrvmasumlem1  23436  dchrvmasum2lem  23437  dchrvmasum2if  23438  dchrvmasumlem3  23440  dchrvmasumiflem1  23442  dchrvmasumiflem2  23443  dchrvmaeq0  23445  dchrisum0fmul  23447  dchrisum0lema  23455  dchrisum0lem1b  23456  dchrisum0lem1  23457  dchrisum0lem2a  23458  dchrisum0lem2  23459  dchrisum0lem3  23460  dchrisum0  23461  dchrmusumlem  23463  dchrvmasumlem  23464
  Copyright terms: Public domain W3C validator