MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrh1 Structured version   Unicode version

Theorem dchrzrh1 23898
Description: Value of a Dirichlet character at one. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrelbas4.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
dchrzrh1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrzrh1  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )

Proof of Theorem dchrzrh1
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrmhm.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.b . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
42, 3dchrrcl 23894 . . . . . 6  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
51, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10892 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 dchrmhm.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
87zncrng 18879 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
9 crngring 17527 . . . 4  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
10 dchrelbas4.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
11 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
1210, 11zrh1 18848 . . . 4  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  Z
) )
136, 8, 9, 124syl 21 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  1
)  =  ( 1r
`  Z ) )
1413fveq2d 5852 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  ( X `
 ( 1r `  Z ) ) )
152, 7, 3dchrmhm 23895 . . . 4  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
1615, 1sseldi 3439 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
17 eqid 2402 . . . . 5  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
1817, 11ringidval 17473 . . . 4  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
19 eqid 2402 . . . . 5  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
20 cnfld1 18761 . . . . 5  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2119, 20ringidval 17473 . . . 4  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
2218, 21mhm0 16296 . . 3  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
2316, 22syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
2414, 23eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   1c1 9522   NNcn 10575   NN0cn0 10835   Basecbs 14839   MndHom cmhm 16286  mulGrpcmgp 17459   1rcur 17471   Ringcrg 17516   CRingccrg 17517  ℂfldccnfld 18738   ZRHomczrh 18835  ℤ/nczn 18838  DChrcdchr 23886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-0g 15054  df-imas 15120  df-qus 15121  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-nsg 16521  df-eqg 16522  df-ghm 16587  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-rnghom 17682  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-lidl 18138  df-rsp 18139  df-2idl 18198  df-cnfld 18739  df-zring 18807  df-zrh 18839  df-zn 18842  df-dchr 23887
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  24058  dchrvmasum2lem  24060
  Copyright terms: Public domain W3C validator