MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrh1 Structured version   Unicode version

Theorem dchrzrh1 23244
Description: Value of a Dirichlet character at one. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrelbas4.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
dchrzrh1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrzrh1  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )

Proof of Theorem dchrzrh1
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrmhm.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.b . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
42, 3dchrrcl 23240 . . . . . 6  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10848 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 dchrmhm.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
87zncrng 18347 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
9 crngrng 16993 . . . 4  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
10 dchrelbas4.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
11 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
1210, 11zrh1 18314 . . . 4  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  Z
) )
136, 8, 9, 124syl 21 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  1
)  =  ( 1r
`  Z ) )
1413fveq2d 5868 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  ( X `
 ( 1r `  Z ) ) )
152, 7, 3dchrmhm 23241 . . . 4  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
1615, 1sseldi 3502 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
17 eqid 2467 . . . . 5  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
1817, 11rngidval 16942 . . . 4  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
19 eqid 2467 . . . . 5  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
20 cnfld1 18211 . . . . 5  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2119, 20rngidval 16942 . . . 4  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
2218, 21mhm0 15782 . . 3  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
2316, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
2414, 23eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   NNcn 10532   NN0cn0 10791   Basecbs 14483   MndHom cmhm 15772  mulGrpcmgp 16928   1rcur 16940   Ringcrg 16983   CRingccrg 16984  ℂfldccnfld 18188   ZRHomczrh 18301  ℤ/nczn 18304  DChrcdchr 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12071  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-imas 14756  df-divs 14757  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-nsg 15991  df-eqg 15992  df-ghm 16057  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-rnghom 17145  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-lidl 17600  df-rsp 17601  df-2idl 17659  df-cnfld 18189  df-zring 18254  df-zrh 18305  df-zn 18308  df-dchr 23233
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  23404  dchrvmasum2lem  23406
  Copyright terms: Public domain W3C validator