MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlema Unicode version

Theorem dchrvmasumlema 21147
Description: Lemma for dchrvmasum 21172 and dchrvmasumif 21150. Apply dchrisum 21139 for the function  log ( y )  /  y, which is decreasing above  _e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumlema.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, c,
y,  .1.    F, c, t, y    a, c, t, y    N, c, t, y    ph, c, t    y, Z    D, c, t, y    L, a, c, t, y    X, a, c, t, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, a, c)    N( a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrvmasumlema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  ( log `  n )  =  ( log `  x
) )
10 id 20 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  n  =  x )
119, 10oveq12d 6058 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
( log `  n
)  /  n )  =  ( ( log `  x )  /  x
) )
12 3nn 10090 . . . 4  |-  3  e.  NN
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  3  e.  NN )
14 relogcl 20426 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( log `  n )  e.  RR )
15 rerpdivcl 10595 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )
1614, 15mpancom 651 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
1716adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
18 simp3r 986 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
19 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR+ )
2019rpred 10604 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR )
21 ere 12646 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  e.  RR )
23 3re 10027 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  3  e.  RR )
25 egt2lt3 12760 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
2625simpri 449 . . . . . . . 8  |-  _e  <  3
2721, 23, 26ltleii 9152 . . . . . . 7  |-  _e  <_  3
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  3
)
29 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  3  <_  n
)
3022, 24, 20, 28, 29letrd 9183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  n
)
31 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
3231rpred 10604 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
3322, 20, 32, 30, 18letrd 9183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  x
)
34 logdivle 20470 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  _e  <_  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  _e  <_  x )
)  ->  ( n  <_  x  <->  ( ( log `  x )  /  x
)  <_  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
3520, 30, 32, 33, 34syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( ( log `  x
)  /  x )  <_  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
3618, 35mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( ( log `  x )  /  x
)  <_  ( ( log `  n )  /  n ) )
37 rpcn 10576 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  CC )
3837cxp1d 20550 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  ^ c  1 )  =  n )
3938oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  1 ) )  =  ( ( log `  n )  /  n
) )
4039mpteq2ia 4251 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  n ) )
41 1rp 10572 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
42 cxploglim 20769 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
4341, 42mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
4440, 43syl5eqbrr 4206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  n ) )  ~~> r  0 )
45 dchrvmasumlema.f . . . 4  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
46 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
4746fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
48 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( log `  a )  =  ( log `  n
) )
49 id 20 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  a  =  n )
5048, 49oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  (
( log `  a
)  /  a )  =  ( ( log `  n )  /  n
) )
5147, 50oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
5251cbvmptv 4260 . . . 4  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
5345, 52eqtri 2424 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 53dchrisum 21139 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) ) ) )
55 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  y
) )
5655fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) ) )
5756oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )
5857fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) ) )
59 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( log `  x )  =  ( log `  y
) )
60 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
6159, 60oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  y )  /  y
) )
6261oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
c  x.  ( ( log `  x )  /  x ) )  =  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )
6358, 62breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) )  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6463cbvralv 2892 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) )  <->  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) )
6564anbi2i 676 . . . 4  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6665rexbii 2691 . . 3  |-  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6766exbii 1589 . 2  |-  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  E. t E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6854, 67sylib 189 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   RR+crp 10568   [,)cico 10874   |_cfl 11156    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233    ~~> r crli 12234   _eceu 12620   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736   logclog 20405    ^ c ccxp 20406  DChrcdchr 20969
This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  21150
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-phi 13110  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-dchr 20970
  Copyright terms: Public domain W3C validator