MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlema Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasumlema 22729
Description: Lemma for dchrvmasum 22754 and dchrvmasumif 22732. Apply dchrisum 22721 for the function  log ( y )  /  y, which is decreasing above  _e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumlema.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, c,
y,  .1.    F, c, t, y    a, c, t, y    N, c, t, y    ph, c, t    y, Z    D, c, t, y    L, a, c, t, y    X, a, c, t, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, a, c)    N( a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrvmasumlema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 fveq2 5686 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  ( log `  n )  =  ( log `  x
) )
10 id 22 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  n  =  x )
119, 10oveq12d 6104 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
( log `  n
)  /  n )  =  ( ( log `  x )  /  x
) )
12 3nn 10472 . . . 4  |-  3  e.  NN
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  3  e.  NN )
14 relogcl 22007 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( log `  n )  e.  RR )
15 rerpdivcl 11010 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )
1614, 15mpancom 669 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
1716adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
18 simp3r 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
19 simp2l 1014 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR+ )
2019rpred 11019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR )
21 ere 13366 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  e.  RR )
23 3re 10387 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  3  e.  RR )
25 egt2lt3 13480 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
2625simpri 462 . . . . . . . 8  |-  _e  <  3
2721, 23, 26ltleii 9489 . . . . . . 7  |-  _e  <_  3
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  3
)
29 simp3l 1016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  3  <_  n
)
3022, 24, 20, 28, 29letrd 9520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  n
)
31 simp2r 1015 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
3231rpred 11019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
3322, 20, 32, 30, 18letrd 9520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  x
)
34 logdivle 22051 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  _e  <_  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  _e  <_  x )
)  ->  ( n  <_  x  <->  ( ( log `  x )  /  x
)  <_  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
3520, 30, 32, 33, 34syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( ( log `  x
)  /  x )  <_  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
3618, 35mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( ( log `  x )  /  x
)  <_  ( ( log `  n )  /  n ) )
37 rpcn 10991 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  CC )
3837cxp1d 22131 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  ^c  1 )  =  n )
3938oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  1 ) )  =  ( ( log `  n )  /  n
) )
4039mpteq2ia 4369 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  n ) )
41 1rp 10987 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
42 cxploglim 22351 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
4341, 42mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
4440, 43syl5eqbrr 4321 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  n ) )  ~~> r  0 )
45 dchrvmasumlema.f . . . 4  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
46 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
4746fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
48 fveq2 5686 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( log `  a )  =  ( log `  n
) )
49 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  a  =  n )
5048, 49oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  (
( log `  a
)  /  a )  =  ( ( log `  n )  /  n
) )
5147, 50oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
5251cbvmptv 4378 . . . 4  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
5345, 52eqtri 2458 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 53dchrisum 22721 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) ) ) )
55 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  y
) )
5655fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) ) )
5756oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )
5857fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) ) )
59 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( log `  x )  =  ( log `  y
) )
60 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
6159, 60oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  y )  /  y
) )
6261oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
c  x.  ( ( log `  x )  /  x ) )  =  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )
6358, 62breq12d 4300 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) )  <->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6463cbvralv 2942 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) )  <->  A. y  e.  ( 3 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )
6564anbi2i 694 . . . 4  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6665rexbii 2735 . . 3  |-  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6766exbii 1634 . 2  |-  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  E. t E. c  e.  (
0 [,) +oo )
(  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6854, 67sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   +oocpnf 9407    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   RR+crp 10983   [,)cico 11294   |_cfl 11632    seqcseq 11798   abscabs 12715    ~~> cli 12954    ~~> r crli 12955   _eceu 13340   Basecbs 14166   0gc0g 14370   ZRHomczrh 17911  ℤ/nczn 17914   logclog 21986    ^c ccxp 21987  DChrcdchr 22551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-phi 13833  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-divs 14439  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-rnghom 16796  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16994  df-lsp 17033  df-sra 17233  df-rgmod 17234  df-lidl 17235  df-rsp 17236  df-2idl 17294  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-zring 17864  df-zrh 17915  df-zn 17918  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-cxp 21989  df-dchr 22552
This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  22732
  Copyright terms: Public domain W3C validator