MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlema Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasumlema 23406
Description: Lemma for dchrvmasum 23431 and dchrvmasumif 23409. Apply dchrisum 23398 for the function  log ( y )  /  y, which is decreasing above  _e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumlema.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, c,
y,  .1.    F, c, t, y    a, c, t, y    N, c, t, y    ph, c, t    y, Z    D, c, t, y    L, a, c, t, y    X, a, c, t, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, a, c)    N( a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrvmasumlema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 fveq2 5857 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  ( log `  n )  =  ( log `  x
) )
10 id 22 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  n  =  x )
119, 10oveq12d 6293 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
( log `  n
)  /  n )  =  ( ( log `  x )  /  x
) )
12 3nn 10683 . . . 4  |-  3  e.  NN
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  3  e.  NN )
14 relogcl 22684 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( log `  n )  e.  RR )
15 rerpdivcl 11236 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )
1614, 15mpancom 669 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
1716adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
18 simp3r 1020 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
19 simp2l 1017 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR+ )
2019rpred 11245 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR )
21 ere 13675 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  e.  RR )
23 3re 10598 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  3  e.  RR )
25 egt2lt3 13789 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
2625simpri 462 . . . . . . . 8  |-  _e  <  3
2721, 23, 26ltleii 9696 . . . . . . 7  |-  _e  <_  3
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  3
)
29 simp3l 1019 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  3  <_  n
)
3022, 24, 20, 28, 29letrd 9727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  n
)
31 simp2r 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
3231rpred 11245 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
3322, 20, 32, 30, 18letrd 9727 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  x
)
34 logdivle 22728 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  _e  <_  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  _e  <_  x )
)  ->  ( n  <_  x  <->  ( ( log `  x )  /  x
)  <_  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
3520, 30, 32, 33, 34syl22anc 1224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( ( log `  x
)  /  x )  <_  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
3618, 35mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( ( log `  x )  /  x
)  <_  ( ( log `  n )  /  n ) )
37 rpcn 11217 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  CC )
3837cxp1d 22808 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  ^c  1 )  =  n )
3938oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  1 ) )  =  ( ( log `  n )  /  n
) )
4039mpteq2ia 4522 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  n ) )
41 1rp 11213 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
42 cxploglim 23028 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
4341, 42mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
4440, 43syl5eqbrr 4474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  n ) )  ~~> r  0 )
45 dchrvmasumlema.f . . . 4  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
46 fveq2 5857 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
4746fveq2d 5861 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
48 fveq2 5857 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( log `  a )  =  ( log `  n
) )
49 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  a  =  n )
5048, 49oveq12d 6293 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  (
( log `  a
)  /  a )  =  ( ( log `  n )  /  n
) )
5147, 50oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
5251cbvmptv 4531 . . . 4  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
5345, 52eqtri 2489 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 53dchrisum 23398 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) ) ) )
55 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  y
) )
5655fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) ) )
5756oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )
5857fveq2d 5861 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) ) )
59 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( log `  x )  =  ( log `  y
) )
60 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
6159, 60oveq12d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  y )  /  y
) )
6261oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
c  x.  ( ( log `  x )  /  x ) )  =  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )
6358, 62breq12d 4453 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) )  <->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6463cbvralv 3081 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) )  <->  A. y  e.  ( 3 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )
6564anbi2i 694 . . . 4  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6665rexbii 2958 . . 3  |-  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6766exbii 1639 . 2  |-  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  E. t E. c  e.  (
0 [,) +oo )
(  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6854, 67sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   +oocpnf 9614    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   3c3 10575   RR+crp 11209   [,)cico 11520   |_cfl 11884    seqcseq 12063   abscabs 13017    ~~> cli 13256    ~~> r crli 13257   _eceu 13649   Basecbs 14479   0gc0g 14684   ZRHomczrh 18297  ℤ/nczn 18300   logclog 22663    ^c ccxp 22664  DChrcdchr 23228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-e 13655  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-phi 14144  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-divs 14753  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-ghm 16053  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-rnghom 17141  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301  df-zn 18304  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-cxp 22666  df-dchr 23229
This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  23409
  Copyright terms: Public domain W3C validator