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Theorem dchrvmasumlem2 24320
Description: Lemma for dchrvmasum 24347. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.f  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  F  e.  CC )
dchrvmasum.g  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  F  =  K )
dchrvmasum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dchrvmasum.1  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 3 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_ 
( C  x.  (
( log `  m
)  /  m ) ) )
dchrvmasum.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dchrvmasum.2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m,  .1.    m, d, x, C    F, d, x    m, K   
m, N, x    ph, d, m, x    T, d, m, x    R, d, m, x   
m, Z, x    D, m, x    L, d, m, x    X, d, m, x
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    F( m)    G( x, m, d)    K( x, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1red 9658 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2 dchrvmasum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3 elrege0 11738 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
42, 3sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
54simpld 460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
65adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
7 fzfid 12185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
8 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
9 elfznn 11828 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
109nnrpd 11339 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  RR+ )
11 rpdivcl 11325 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
x  /  d )  e.  RR+ )
128, 10, 11syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR+ )
13 relogcl 23509 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  d )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  RR )
1412, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  RR )
158adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
1614, 15rerpdivcld 11369 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x )  e.  RR )
177, 16fsumrecl 13785 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  e.  RR )
186, 17remulcld 9671 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  RR )
19 dchrvmasum.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
20 3nn 10768 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
21 nnrp 11311 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
22 relogcl 23509 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR+  ->  ( log `  3 )  e.  RR )
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( log `  3 )  e.  RR
24 1re 9642 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
2523, 24readdcli 9656 . . . . 5  |-  ( ( log `  3 )  +  1 )  e.  RR
26 remulcl 9624 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( ( log `  3
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
2719, 25, 26sylancl 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
2827adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R  x.  ( ( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
29 rpssre 11312 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
305recnd 9669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
31 o1const 13668 . . . . 5  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  C  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  C )  e.  O(1) )
3229, 30, 31sylancr 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  C )  e.  O(1) )
33 logfacrlim2 24138 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  ~~> r  1
34 rlimo1 13665 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  ~~> r  1  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
3533, 34mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
366, 17, 32, 35o1mul2 13673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )  e.  O(1) )
3727recnd 9669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  CC )
38 o1const 13668 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) )  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
3929, 37, 38sylancr 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
4018, 28, 36, 39o1add2 13672 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )  e.  O(1) )
4118, 28readdcld 9670 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
42 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  F  e.  CC )
4342ralrimiva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  RR+  F  e.  CC )
4443ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. m  e.  RR+  F  e.  CC )
45 dchrvmasum.g . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  F  =  K )
4645eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( F  e.  CC  <->  K  e.  CC ) )
4746rspcv 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  /  d )  e.  RR+  ->  ( A. m  e.  RR+  F  e.  CC  ->  K  e.  CC ) )
4812, 44, 47sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  K  e.  CC )
49 dchrvmasum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
5049ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
5148, 50subcld 9986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K  -  T )  e.  CC )
5251abscld 13483 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  e.  RR )
539adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
5452, 53nndivred 10658 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( K  -  T ) )  / 
d )  e.  RR )
557, 54fsumrecl 13785 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d )  e.  RR )
5655recnd 9669 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d )  e.  CC )
5753nnrpd 11339 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
5851absge0d 13491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
5952, 57, 58divge0d 11378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
607, 54, 59fsumge0 13840 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
6155, 60absidd 13470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
6261, 55eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  RR )
6341recnd 9669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
6463abscld 13483 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
65 3re 10683 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  3  e.  RR )
67 1le3 10826 . . . . . . 7  |-  1  <_  3
6866, 67jctir 540 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 3  e.  RR  /\  1  <_  3 ) )
6919adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R  e.  RR )
7024rexri 9693 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR*
7165rexri 9693 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR*
72 1lt3 10778 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
73 lbico1 11689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  3  e.  RR*  /\  1  <  3 )  ->  1  e.  ( 1 [,) 3
) )
7470, 71, 72, 73mp3an 1360 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 1 [,) 3
)
75 0red 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  e.  RR )
76 elico2 11698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR* )  -> 
( m  e.  ( 1 [,) 3 )  <-> 
( m  e.  RR  /\  1  <_  m  /\  m  <  3 ) ) )
7724, 71, 76mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  <->  ( m  e.  RR  /\  1  <_  m  /\  m  <  3
) )
7877simp1bi 1020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  m  e.  RR )
79 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  e.  RR )
80 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  1  e.  RR )
81 0lt1 10136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  <  1 )
8377simp2bi 1021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  1  <_  m )
8479, 80, 78, 82, 83ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  <  m )
8578, 84elrpd 11338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  m  e.  RR+ )
8649adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
8742, 86subcld 9986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( F  -  T )  e.  CC )
8887abscld 13483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( F  -  T
) )  e.  RR )
8985, 88sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  e.  RR )
9019adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  R  e.  RR )
9187absge0d 13491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( F  -  T ) ) )
9285, 91sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F  -  T )
) )
93 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
9493r19.21bi 2794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_  R )
9575, 89, 90, 92, 94letrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  <_  R )
9695ralrimiva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) 0  <_  R )
97 biidd 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
0  <_  R  <->  0  <_  R ) )
9897rspcv 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  ( A. m  e.  (
1 [,) 3 ) 0  <_  R  ->  0  <_  R ) )
9974, 96, 98mpsyl 65 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
10099adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  R )
10169, 100jca 534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
10252recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  e.  CC )
1035ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
104103, 16remulcld 9671 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  RR )
1054ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
106 log1 23519 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  1 )  =  0
10753nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  CC )
108107mulid2d 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  =  d )
109 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
110109adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
111 fznnfl 12088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
113112simplbda 628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x )
114108, 113eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  <_  x )
115 1red 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
116109ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
117115, 116, 57lemuldivd 11387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  d )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  d ) ) )
118114, 117mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  d ) )
119 1rp 11306 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR+ )
121120, 12logled 23560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  <_  ( x  / 
d )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( x  / 
d ) ) ) )
122118, 121mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( x  / 
d ) ) )
123106, 122syl5eqbrr 4455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  ( x  /  d ) ) )
124 rpregt0 11315 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
125124ad2antlr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
126 divge0 10474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  (
x  /  d ) ) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )
12714, 123, 125, 126syl21anc 1263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )
128 mulge0 10132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  ( ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
) ) )  -> 
0  <_  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )
129105, 16, 127, 128syl12anc 1262 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) ) )
130 absidm 13372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  T )  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
13151, 130syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
132131adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
133 nndivre 10645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  /  d
)  e.  RR )
134110, 9, 133syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
135134adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
136 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  3  <_  ( x  /  d ) )
137 elicopnf 11730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  RR  ->  (
( x  /  d
)  e.  ( 3 [,) +oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  3  <_  ( x  /  d
) ) ) )
13865, 137ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) +oo )  <->  ( ( x  /  d )  e.  RR  /\  3  <_ 
( x  /  d
) ) )
139135, 136, 138sylanbrc 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) +oo ) )
140 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 3 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_ 
( C  x.  (
( log `  m
)  /  m ) ) )
141140ralrimiva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 3 [,) +oo )
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
142141ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  A. m  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
14345oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( F  -  T )  =  ( K  -  T ) )
144143fveq2d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  =  ( abs `  ( K  -  T )
) )
145 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( log `  m )  =  ( log `  (
x  /  d ) ) )
146 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  m  =  ( x  / 
d ) )
147145, 146oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( log `  m
)  /  m )  =  ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  (
x  /  d ) ) )
148147oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( C  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  =  ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) ) )
149144, 148breq12d 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  <->  ( abs `  ( K  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) ) ) )
150149rspcv 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) +oo )  ->  ( A. m  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( F  -  T ) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) ) ) ) )
151139, 142, 150sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) ) ) )
15214recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  CC )
153 rpcnne0 11319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
154153ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
15557rpcnne0d 11350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
156 divdiv2 10319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  -> 
( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) )  =  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  x.  d )  /  x ) )
157152, 154, 155, 156syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  x.  d )  /  x ) )
158 div23 10289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  CC  /\  d  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  x.  d )  /  x )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) )
159152, 107, 154, 158syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  d ) )  x.  d )  /  x )  =  ( ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
)  x.  d ) )
160157, 159eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) )
161160oveq2d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) ) )
16230ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
16316recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x )  e.  CC )
164162, 163, 107mulassd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x ) )  x.  d )  =  ( C  x.  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) ) )
165161, 164eqtr4d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
166165adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
167151, 166breqtrd 4445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  (
( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
168132, 167eqbrtrd 4441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  <_  (
( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
169131adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
170134adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
171118adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  1  <_  ( x  /  d ) )
172 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  <  3 )
173 elico2 11698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR* )  -> 
( ( x  / 
d )  e.  ( 1 [,) 3 )  <-> 
( ( x  / 
d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d )  /\  ( x  /  d
)  <  3 ) ) )
17424, 71, 173mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3 )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
)  /\  ( x  /  d )  <  3 ) )
175170, 171, 172, 174syl3anbrc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3
) )
17693ad3antrrr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3
) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
177144breq1d 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R  <->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  R
) )
178177rspcv 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  ( A. m  e.  (
1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R  ->  ( abs `  ( K  -  T ) )  <_  R ) )
179175, 176, 178sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  R
)
180169, 179eqbrtrd 4441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  <_  R
)
1818, 68, 101, 102, 104, 129, 168, 180fsumharmonic 23921 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3
)  +  1 ) ) ) )
18230adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
1837, 182, 163fsummulc2 13830 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )
184183oveq1d 6316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )
185181, 184breqtrrd 4447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )
18641leabsd 13462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
18762, 41, 64, 185, 186letrd 9792 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
188187adantrr 721 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
1891, 40, 41, 56, 188o1le 13701 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775    C_ wss 3436   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   3c3 10660   RR+crp 11302   [,)cico 11637   ...cfz 11784   |_cfl 12025   abscabs 13283    ~~> r crli 13534   O(1)co1 13535   sum_csu 13737   Basecbs 15106   0gc0g 15323   ZRHomczrh 19055  ℤ/nczn 19058   logclog 23488  DChrcdchr 24144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13116  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-limsup 13511  df-clim 13537  df-rlim 13538  df-o1 13539  df-lo1 13540  df-sum 13738  df-ef 14106  df-e 14107  df-sin 14108  df-cos 14109  df-pi 14111  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-lp 20136  df-perf 20137  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-haus 20315  df-cmp 20386  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-cncf 21894  df-limc 22805  df-dv 22806  df-log 23490  df-cxp 23491  df-em 23902
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  24321
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