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Theorem dchrvmasumlem2 22690
Description: Lemma for dchrvmasum 22717. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.f  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  F  e.  CC )
dchrvmasum.g  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  F  =  K )
dchrvmasum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dchrvmasum.1  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 3 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_ 
( C  x.  (
( log `  m
)  /  m ) ) )
dchrvmasum.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dchrvmasum.2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m,  .1.    m, d, x, C    F, d, x    m, K   
m, N, x    ph, d, m, x    T, d, m, x    R, d, m, x   
m, Z, x    D, m, x    L, d, m, x    X, d, m, x
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    F( m)    G( x, m, d)    K( x, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1red 9397 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2 dchrvmasum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3 elrege0 11388 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
42, 3sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
54simpld 456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
65adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
7 fzfid 11791 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
8 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
9 elfznn 11474 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
109nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  RR+ )
11 rpdivcl 11009 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
x  /  d )  e.  RR+ )
128, 10, 11syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR+ )
13 relogcl 21970 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  d )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  RR )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  RR )
158adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
1614, 15rerpdivcld 11050 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x )  e.  RR )
177, 16fsumrecl 13207 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  e.  RR )
186, 17remulcld 9410 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  RR )
19 dchrvmasum.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
20 3nn 10476 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
21 nnrp 10996 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
22 relogcl 21970 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR+  ->  ( log `  3 )  e.  RR )
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( log `  3 )  e.  RR
24 1re 9381 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
2523, 24readdcli 9395 . . . . 5  |-  ( ( log `  3 )  +  1 )  e.  RR
26 remulcl 9363 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( ( log `  3
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
2719, 25, 26sylancl 657 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
2827adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R  x.  ( ( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
29 rpssre 10997 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
305recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
31 o1const 13093 . . . . 5  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  C  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  C )  e.  O(1) )
3229, 30, 31sylancr 658 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  C )  e.  O(1) )
33 logfacrlim2 22508 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  ~~> r  1
34 rlimo1 13090 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  ~~> r  1  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
3533, 34mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
366, 17, 32, 35o1mul2 13098 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )  e.  O(1) )
3727recnd 9408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  CC )
38 o1const 13093 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) )  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
3929, 37, 38sylancr 658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
4018, 28, 36, 39o1add2 13097 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )  e.  O(1) )
4118, 28readdcld 9409 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
42 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  F  e.  CC )
4342ralrimiva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  RR+  F  e.  CC )
4443ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. m  e.  RR+  F  e.  CC )
45 dchrvmasum.g . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  F  =  K )
4645eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( F  e.  CC  <->  K  e.  CC ) )
4746rspcv 3066 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  /  d )  e.  RR+  ->  ( A. m  e.  RR+  F  e.  CC  ->  K  e.  CC ) )
4812, 44, 47sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  K  e.  CC )
49 dchrvmasum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
5049ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
5148, 50subcld 9715 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K  -  T )  e.  CC )
5251abscld 12918 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  e.  RR )
539adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
5452, 53nndivred 10366 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( K  -  T ) )  / 
d )  e.  RR )
557, 54fsumrecl 13207 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d )  e.  RR )
5655recnd 9408 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d )  e.  CC )
5753nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
5851absge0d 12926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
5952, 57, 58divge0d 11059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
607, 54, 59fsumge0 13254 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
6155, 60absidd 12905 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
6261, 55eqeltrd 2515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  RR )
6341recnd 9408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
6463abscld 12918 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
65 3re 10391 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  3  e.  RR )
67 1le3 10534 . . . . . . 7  |-  1  <_  3
6866, 67jctir 535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 3  e.  RR  /\  1  <_  3 ) )
6919adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R  e.  RR )
7024rexri 9432 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR*
7165rexri 9432 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR*
72 1lt3 10486 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
73 lbico1 11346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  3  e.  RR*  /\  1  <  3 )  ->  1  e.  ( 1 [,) 3
) )
7470, 71, 72, 73mp3an 1309 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 1 [,) 3
)
75 0red 9383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  e.  RR )
76 elico2 11355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR* )  -> 
( m  e.  ( 1 [,) 3 )  <-> 
( m  e.  RR  /\  1  <_  m  /\  m  <  3 ) ) )
7724, 71, 76mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  <->  ( m  e.  RR  /\  1  <_  m  /\  m  <  3
) )
7877simp1bi 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  m  e.  RR )
79 0red 9383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  e.  RR )
80 1red 9397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  1  e.  RR )
81 0lt1 9858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  <  1 )
8377simp2bi 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  1  <_  m )
8479, 80, 78, 82, 83ltletrd 9527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  <  m )
8578, 84elrpd 11021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  m  e.  RR+ )
8649adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
8742, 86subcld 9715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( F  -  T )  e.  CC )
8887abscld 12918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( F  -  T
) )  e.  RR )
8985, 88sylan2 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  e.  RR )
9019adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  R  e.  RR )
9187absge0d 12926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( F  -  T ) ) )
9285, 91sylan2 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F  -  T )
) )
93 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
9493r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_  R )
9575, 89, 90, 92, 94letrd 9524 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  <_  R )
9695ralrimiva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) 0  <_  R )
97 biidd 237 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
0  <_  R  <->  0  <_  R ) )
9897rspcv 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  ( A. m  e.  (
1 [,) 3 ) 0  <_  R  ->  0  <_  R ) )
9974, 96, 98mpsyl 63 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
10099adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  R )
10169, 100jca 529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
10252recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  e.  CC )
1035ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
104103, 16remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  RR )
1054ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
106 log1 21977 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  1 )  =  0
10753nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  CC )
108107mulid2d 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  =  d )
109 rpre 10993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
110109adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
111 fznnfl 11697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
113112simplbda 621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x )
114108, 113eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  <_  x )
115 1red 9397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
116109ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
117115, 116, 57lemuldivd 11068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  d )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  d ) ) )
118114, 117mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  d ) )
119 1rp 10991 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR+ )
121120, 12logled 22019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  <_  ( x  / 
d )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( x  / 
d ) ) ) )
122118, 121mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( x  / 
d ) ) )
123106, 122syl5eqbrr 4323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  ( x  /  d ) ) )
124 rpregt0 11000 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
125124ad2antlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
126 divge0 10194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  (
x  /  d ) ) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )
12714, 123, 125, 126syl21anc 1212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )
128 mulge0 9853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  ( ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
) ) )  -> 
0  <_  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )
129105, 16, 127, 128syl12anc 1211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) ) )
130 absidm 12807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  T )  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
13151, 130syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
132131adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
133 nndivre 10353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  /  d
)  e.  RR )
134110, 9, 133syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
135134adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
136 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  3  <_  ( x  /  d ) )
137 elicopnf 11381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  RR  ->  (
( x  /  d
)  e.  ( 3 [,) +oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  3  <_  ( x  /  d
) ) ) )
13865, 137ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) +oo )  <->  ( ( x  /  d )  e.  RR  /\  3  <_ 
( x  /  d
) ) )
139135, 136, 138sylanbrc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) +oo ) )
140 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 3 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_ 
( C  x.  (
( log `  m
)  /  m ) ) )
141140ralrimiva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 3 [,) +oo )
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
142141ad3antrrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  A. m  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
14345oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( F  -  T )  =  ( K  -  T ) )
144143fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  =  ( abs `  ( K  -  T )
) )
145 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( log `  m )  =  ( log `  (
x  /  d ) ) )
146 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  m  =  ( x  / 
d ) )
147145, 146oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( log `  m
)  /  m )  =  ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  (
x  /  d ) ) )
148147oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( C  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  =  ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) ) )
149144, 148breq12d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  <->  ( abs `  ( K  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) ) ) )
150149rspcv 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) +oo )  ->  ( A. m  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( F  -  T ) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) ) ) ) )
151139, 142, 150sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) ) ) )
15214recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  CC )
153 rpcnne0 11004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
154153ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
15557rpcnne0d 11032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
156 divdiv2 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  -> 
( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) )  =  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  x.  d )  /  x ) )
157152, 154, 155, 156syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  x.  d )  /  x ) )
158 div23 10009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  CC  /\  d  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  x.  d )  /  x )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) )
159152, 107, 154, 158syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  d ) )  x.  d )  /  x )  =  ( ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
)  x.  d ) )
160157, 159eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) )
161160oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) ) )
16230ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
16316recnd 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x )  e.  CC )
164162, 163, 107mulassd 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x ) )  x.  d )  =  ( C  x.  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) ) )
165161, 164eqtr4d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
166165adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
167151, 166breqtrd 4313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  (
( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
168132, 167eqbrtrd 4309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  <_  (
( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
169131adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
170134adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
171118adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  1  <_  ( x  /  d ) )
172 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  <  3 )
173 elico2 11355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR* )  -> 
( ( x  / 
d )  e.  ( 1 [,) 3 )  <-> 
( ( x  / 
d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d )  /\  ( x  /  d
)  <  3 ) ) )
17424, 71, 173mp2an 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3 )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
)  /\  ( x  /  d )  <  3 ) )
175170, 171, 172, 174syl3anbrc 1167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3
) )
17693ad3antrrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3
) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
177144breq1d 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R  <->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  R
) )
178177rspcv 3066 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  ( A. m  e.  (
1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R  ->  ( abs `  ( K  -  T ) )  <_  R ) )
179175, 176, 178sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  R
)
180169, 179eqbrtrd 4309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  <_  R
)
1818, 68, 101, 102, 104, 129, 168, 180fsumharmonic 22348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3
)  +  1 ) ) ) )
18230adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
1837, 182, 163fsummulc2 13247 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )
184183oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )
185181, 184breqtrrd 4315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )
18641leabsd 12897 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
18762, 41, 64, 185, 186letrd 9524 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
188187adantrr 711 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
1891, 40, 41, 56, 188o1le 13126 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   3c3 10368   RR+crp 10987   [,)cico 11298   ...cfz 11433   |_cfl 11636   abscabs 12719    ~~> r crli 12959   O(1)co1 12960   sum_csu 13159   Basecbs 14170   0gc0g 14374   ZRHomczrh 17831  ℤ/nczn 17834   logclog 21949  DChrcdchr 22514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-cxp 21952  df-em 22329
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  22691
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