Theorem dchrvmasumlem2 24066

Description: Lemma for dchrvmasum 24093. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.f	|- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> F e. CC )
dchrvmasum.g	|- ( m = ( x / d ) -> F = K )
dchrvmasum.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasum.t	|- ( ph -> T e. CC )
dchrvmasum.1	|- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
dchrvmasum.r	|- ( ph -> R e. RR )
dchrvmasum.2	|- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, .1.   m, d, x, C   F, d, x   m, K   m, N, x   ph, d, m, x   T, d, m, x   R, d, m, x   m, Z, x   D, m, x   L, d, m, x   X, d, m, x

Allowed substitution hints:   D( d)   .1. ( d)   F( m)   G( x, m, d)   K( x, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9643	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		dchrvmasum.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
3		elrege0 11683	. . . . . . 7 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
4	2, 3	sylib 198	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
5	4	simpld 459	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
6	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. RR )
7		fzfid 12126	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
9		elfznn 11770	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
10	9	nnrpd 11304	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. RR+ )
11		rpdivcl 11290	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ d e. RR+ ) -> ( x / d ) e. RR+ )
12	8, 10, 11	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR+ )
13		relogcl 23257	. . . . . . 7 |- ( ( x / d ) e. RR+ -> ( log ` ( x / d ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / d ) ) e. RR )
15	8	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
16	14, 15	rerpdivcld 11333	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR )
17	7, 16	fsumrecl 13707	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR )
18	6, 17	remulcld 9656	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. RR )
19		dchrvmasum.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR )
20		3nn 10737	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
21		nnrp 11276	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
22		relogcl 23257	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR+ -> ( log ` 3 ) e. RR )
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( log ` 3 ) e. RR
24		1re 9627	. . . . . 6 |- 1 e. RR
25	23, 24	readdcli 9641	. . . . 5 |- ( ( log ` 3 ) + 1 ) e. RR
26		remulcl 9609	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ ( ( log ` 3 ) + 1 ) e. RR ) -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
27	19, 25, 26	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
28	27	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
29		rpssre 11277	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
30	5	recnd 9654	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
31		o1const 13593	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ C e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> C ) e. O(1) )
32	29, 30, 31	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> C ) e. O(1) )
33		logfacrlim2 23884	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ~~> r 1
34		rlimo1 13590	. . . . 5 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ~~> r 1 -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. O(1) )
35	33, 34	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. O(1) )
36	6, 17, 32, 35	o1mul2 13598	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ) e. O(1) )
37	27	recnd 9654	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. CC )
38		o1const 13593	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. O(1) )
39	29, 37, 38	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. O(1) )
40	18, 28, 36, 39	o1add2 13597	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) e. O(1) )
41	18, 28	readdcld 9655	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. RR )
42		dchrvmasum.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> F e. CC )
43	42	ralrimiva 2820	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. RR+ F e. CC )
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. m e. RR+ F e. CC )
45		dchrvmasum.g	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x / d ) -> F = K )
46	45	eleq1d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x / d ) -> ( F e. CC <-> K e. CC ) )
47	46	rspcv 3158	. . . . . . . 8 |- ( ( x / d ) e. RR+ -> ( A. m e. RR+ F e. CC -> K e. CC ) )
48	12, 44, 47	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> K e. CC )
49		dchrvmasum.t	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
51	48, 50	subcld 9969	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K - T ) e. CC )
52	51	abscld 13418	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) e. RR )
53	9	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
54	52, 53	nndivred 10627	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. RR )
55	7, 54	fsumrecl 13707	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. RR )
56	55	recnd 9654	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. CC )
57	53	nnrpd 11304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
58	51	absge0d 13426	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( K - T ) ) )
59	52, 57, 58	divge0d 11342	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
60	7, 54, 59	fsumge0 13762	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
61	55, 60	absidd 13405	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
62	61, 55	eqeltrd 2492	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. RR )
63	41	recnd 9654	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. CC )
64	63	abscld 13418	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
65		3re 10652	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 3 e. RR )
67		1le3 10795	. . . . . . 7 |- 1 <_ 3
68	66, 67	jctir 538	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 3 e. RR /\ 1 <_ 3 ) )
69	19	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> R e. RR )
70	24	rexri 9678	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
71	65	rexri 9678	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR*
72		1lt3 10747	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
73		lbico1 11635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR* /\ 3 e. RR* /\ 1 < 3 ) -> 1 e. ( 1 [,) 3 ) )
74	70, 71, 72, 73	mp3an 1328	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 1 [,) 3 )
75		0red 9629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 e. RR )
76		elico2 11644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR* ) -> ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) ) )
77	24, 71, 76	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) )
78	77	simp1bi 1014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m e. RR )
79		0red 9629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 e. RR )
80		1red 9643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 1 e. RR )
81		0lt1 10117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 1
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 < 1 )
83	77	simp2bi 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 1 <_ m )
84	79, 80, 78, 82, 83	ltletrd 9778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 < m )
85	78, 84	elrpd 11303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m e. RR+ )
86	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> T e. CC )
87	42, 86	subcld 9969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( F - T ) e. CC )
88	87	abscld 13418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( abs ` ( F - T ) ) e. RR )
89	85, 88	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) e. RR )
90	19	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> R e. RR )
91	87	absge0d 13426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> 0 <_ ( abs ` ( F - T ) ) )
92	85, 91	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F - T ) ) )
93		dchrvmasum.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
94	93	r19.21bi 2775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
95	75, 89, 90, 92, 94	letrd 9775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 <_ R )
96	95	ralrimiva 2820	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) 0 <_ R )
97		biidd 239	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ R ) )
98	97	rspcv 3158	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ( 1 [,) 3 ) -> ( A. m e. ( 1 [,) 3 ) 0 <_ R -> 0 <_ R ) )
99	74, 96, 98	mpsyl 64	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ R )
100	99	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ R )
101	69, 100	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
102	52	recnd 9654	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) e. CC )
103	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. RR )
104	103, 16	remulcld 9656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. RR )
105	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
106		log1 23267	. . . . . . . . 9 |- ( log ` 1 ) = 0
107	53	nncnd 10594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. CC )
108	107	mulid2d 9646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) = d )
109		rpre 11273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
110	109	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
111		fznnfl 12029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
113	112	simplbda 624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d <_ x )
114	108, 113	eqbrtrd 4417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) <_ x )
115		1red 9643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
116	109	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
117	115, 116, 57	lemuldivd 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. d ) <_ x <-> 1 <_ ( x / d ) ) )
118	114, 117	mpbid 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / d ) )
119		1rp 11271	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
121	120, 12	logled 23308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 <_ ( x / d ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / d ) ) ) )
122	118, 121	mpbid 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / d ) ) )
123	106, 122	syl5eqbrr 4431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( log ` ( x / d ) ) )
124		rpregt0 11280	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
125	124	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
126		divge0 10454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` ( x / d ) ) ) /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) )
127	14, 123, 125, 126	syl21anc 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) )
128		mulge0 10113	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ) -> 0 <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
129	105, 16, 127, 128	syl12anc 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
130		absidm 13307	. . . . . . . . 9 |- ( ( K - T ) e. CC -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
131	51, 130	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
132	131	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
133		nndivre 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( x / d ) e. RR )
134	110, 9, 133	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR )
135	134	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( x / d ) e. RR )
136		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> 3 <_ ( x / d ) )
137		elicopnf 11676	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. RR -> ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 3 <_ ( x / d ) ) ) )
138	65, 137	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 3 <_ ( x / d ) ) )
139	135, 136, 138	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) )
140		dchrvmasum.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
141	140	ralrimiva 2820	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
142	141	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
143	45	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( x / d ) -> ( F - T ) = ( K - T ) )
144	143	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( x / d ) -> ( abs ` ( F - T ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
145		fveq2 5851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( x / d ) -> ( log ` m ) = ( log ` ( x / d ) ) )
146		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( x / d ) -> m = ( x / d ) )
147	145, 146	oveq12d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( log ` m ) / m ) = ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) )
148	147	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( x / d ) -> ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) )
149	144, 148	breq12d 4410	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) <-> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) ) )
150	149	rspcv 3158	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) -> ( A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) ) )
151	139, 142, 150	sylc 61	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) )
152	14	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / d ) ) e. CC )
153		rpcnne0 11284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
154	153	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
155	57	rpcnne0d 11315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( d e. CC /\ d =/= 0 ) )
156		divdiv2 10299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( d e. CC /\ d =/= 0 ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) )
157	152, 154, 155, 156	syl3anc 1232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) )
158		div23 10269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. CC /\ d e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
159	152, 107, 154, 158	syl3anc 1232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
160	157, 159	eqtrd 2445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
161	160	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( C x. ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) ) )
162	30	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. CC )
163	16	recnd 9654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. CC )
164	162, 163, 107	mulassd 9651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) = ( C x. ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) ) )
165	161, 164	eqtr4d 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
166	165	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
167	151, 166	breqtrd 4421	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
168	132, 167	eqbrtrd 4417	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) <_ ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
169	131	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
170	134	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) e. RR )
171	118	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> 1 <_ ( x / d ) )
172		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) < 3 )
173		elico2 11644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR* ) -> ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) /\ ( x / d ) < 3 ) ) )
174	24, 71, 173	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) /\ ( x / d ) < 3 ) )
175	170, 171, 172, 174	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) )
176	93	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
177	144	breq1d 4407	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( F - T ) ) <_ R <-> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R ) )
178	177	rspcv 3158	. . . . . . . 8 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) -> ( A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R ) )
179	175, 176, 178	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R )
180	169, 179	eqbrtrd 4417	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) <_ R )
181	8, 68, 101, 102, 104, 129, 168, 180	fsumharmonic 23669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
182	30	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. CC )
183	7, 182, 163	fsummulc2 13752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
184	183	oveq1d 6295	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
185	181, 184	breqtrrd 4423	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
186	41	leabsd 13397	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
187	62, 41, 64, 185, 186	letrd 9775	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
188	187	adantrr 717	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
189	1, 40, 41, 56, 188	o1le 13626	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   e. wcel 1844   =/= wne 2600   A.wral 2756   C_ wss 3416   class class class wbr 4397   |-> cmpt 4455   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525   + caddc 9527   x. cmul 9529   +oocpnf 9657   RR*cxr 9659   < clt 9660   <_ cle 9661   - cmin 9843   / cdiv 10249   NNcn 10578   3c3 10629   RR+crp 11267   [,)cico 11586   ...cfz 11728   |_cfl 11966   abscabs 13218   ~~> r crli 13459   O(1)co1 13460   sum_csu 13659   Basecbs 14843   0gc0g 15056   ZRHomczrh 18839  ℤ/nℤczn 18842   logclog 23236  DChrcdchr 23890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-o1 13464  df-lo1 13465  df-sum 13660  df-ef 14014  df-e 14015  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-cmp 20182  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-log 23238  df-cxp 23239  df-em 23650

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  24067