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Theorem dchrvmasumlem2 23809
Description: Lemma for dchrvmasum 23836. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.f  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  F  e.  CC )
dchrvmasum.g  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  F  =  K )
dchrvmasum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dchrvmasum.1  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 3 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_ 
( C  x.  (
( log `  m
)  /  m ) ) )
dchrvmasum.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dchrvmasum.2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m,  .1.    m, d, x, C    F, d, x    m, K   
m, N, x    ph, d, m, x    T, d, m, x    R, d, m, x   
m, Z, x    D, m, x    L, d, m, x    X, d, m, x
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    F( m)    G( x, m, d)    K( x, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1red 9628 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2 dchrvmasum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3 elrege0 11652 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
42, 3sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
54simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
7 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
8 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
9 elfznn 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
109nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  RR+ )
11 rpdivcl 11267 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
x  /  d )  e.  RR+ )
128, 10, 11syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR+ )
13 relogcl 23089 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  d )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  RR )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  RR )
158adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
1614, 15rerpdivcld 11308 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x )  e.  RR )
177, 16fsumrecl 13568 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  e.  RR )
186, 17remulcld 9641 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  RR )
19 dchrvmasum.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
20 3nn 10715 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
21 nnrp 11254 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
22 relogcl 23089 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR+  ->  ( log `  3 )  e.  RR )
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( log `  3 )  e.  RR
24 1re 9612 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
2523, 24readdcli 9626 . . . . 5  |-  ( ( log `  3 )  +  1 )  e.  RR
26 remulcl 9594 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( ( log `  3
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
2719, 25, 26sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
2827adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R  x.  ( ( log `  3
)  +  1 ) )  e.  RR )
29 rpssre 11255 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
305recnd 9639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
31 o1const 13454 . . . . 5  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  C  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  C )  e.  O(1) )
3229, 30, 31sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  C )  e.  O(1) )
33 logfacrlim2 23627 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  ~~> r  1
34 rlimo1 13451 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  ~~> r  1  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
3533, 34mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
366, 17, 32, 35o1mul2 13459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )  e.  O(1) )
3727recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) )  e.  CC )
38 o1const 13454 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) )  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
3929, 37, 38sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( R  x.  (
( log `  3
)  +  1 ) ) )  e.  O(1) )
4018, 28, 36, 39o1add2 13458 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )  e.  O(1) )
4118, 28readdcld 9640 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  RR )
42 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  F  e.  CC )
4342ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  RR+  F  e.  CC )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. m  e.  RR+  F  e.  CC )
45 dchrvmasum.g . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  F  =  K )
4645eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( F  e.  CC  <->  K  e.  CC ) )
4746rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  /  d )  e.  RR+  ->  ( A. m  e.  RR+  F  e.  CC  ->  K  e.  CC ) )
4812, 44, 47sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  K  e.  CC )
49 dchrvmasum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
5049ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
5148, 50subcld 9950 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K  -  T )  e.  CC )
5251abscld 13279 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  e.  RR )
539adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
5452, 53nndivred 10605 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( K  -  T ) )  / 
d )  e.  RR )
557, 54fsumrecl 13568 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d )  e.  RR )
5655recnd 9639 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d )  e.  CC )
5753nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
5851absge0d 13287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
5952, 57, 58divge0d 11317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
607, 54, 59fsumge0 13621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
6155, 60absidd 13266 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )
6261, 55eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  RR )
6341recnd 9639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
6463abscld 13279 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
65 3re 10630 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  3  e.  RR )
67 1le3 10773 . . . . . . 7  |-  1  <_  3
6866, 67jctir 538 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 3  e.  RR  /\  1  <_  3 ) )
6919adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  R  e.  RR )
7024rexri 9663 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR*
7165rexri 9663 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR*
72 1lt3 10725 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
73 lbico1 11604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  3  e.  RR*  /\  1  <  3 )  ->  1  e.  ( 1 [,) 3
) )
7470, 71, 72, 73mp3an 1324 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 1 [,) 3
)
75 0red 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  e.  RR )
76 elico2 11613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR* )  -> 
( m  e.  ( 1 [,) 3 )  <-> 
( m  e.  RR  /\  1  <_  m  /\  m  <  3 ) ) )
7724, 71, 76mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  <->  ( m  e.  RR  /\  1  <_  m  /\  m  <  3
) )
7877simp1bi 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  m  e.  RR )
79 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  e.  RR )
80 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  1  e.  RR )
81 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  <  1 )
8377simp2bi 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  1  <_  m )
8479, 80, 78, 82, 83ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  0  <  m )
8578, 84elrpd 11279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  m  e.  RR+ )
8649adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
8742, 86subcld 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( F  -  T )  e.  CC )
8887abscld 13279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( F  -  T
) )  e.  RR )
8985, 88sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  e.  RR )
9019adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  R  e.  RR )
9187absge0d 13287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( F  -  T ) ) )
9285, 91sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F  -  T )
) )
93 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
9493r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_  R )
9575, 89, 90, 92, 94letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 [,) 3
) )  ->  0  <_  R )
9695ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3 ) 0  <_  R )
97 biidd 237 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
0  <_  R  <->  0  <_  R ) )
9897rspcv 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  ( A. m  e.  (
1 [,) 3 ) 0  <_  R  ->  0  <_  R ) )
9974, 96, 98mpsyl 63 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
10099adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  R )
10169, 100jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
10252recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  e.  CC )
1035ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
104103, 16remulcld 9641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  e.  RR )
1054ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
106 log1 23096 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  1 )  =  0
10753nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  CC )
108107mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  =  d )
109 rpre 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
111 fznnfl 11992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
113112simplbda 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x )
114108, 113eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  <_  x )
115 1red 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
116109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
117115, 116, 57lemuldivd 11326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  d )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  d ) ) )
118114, 117mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  d ) )
119 1rp 11249 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR+ )
121120, 12logled 23138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  <_  ( x  / 
d )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( x  / 
d ) ) ) )
122118, 121mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( x  / 
d ) ) )
123106, 122syl5eqbrr 4490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  ( x  /  d ) ) )
124 rpregt0 11258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
125124ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
126 divge0 10432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  (
x  /  d ) ) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )
12714, 123, 125, 126syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )
128 mulge0 10091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  /\  ( ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
) ) )  -> 
0  <_  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )
129105, 16, 127, 128syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) ) )
130 absidm 13168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  -  T )  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
13151, 130syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
132131adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
133 nndivre 10592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  /  d
)  e.  RR )
134110, 9, 133syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
135134adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
136 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  3  <_  ( x  /  d ) )
137 elicopnf 11645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  RR  ->  (
( x  /  d
)  e.  ( 3 [,) +oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  3  <_  ( x  /  d
) ) ) )
13865, 137ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) +oo )  <->  ( ( x  /  d )  e.  RR  /\  3  <_ 
( x  /  d
) ) )
139135, 136, 138sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) +oo ) )
140 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 3 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  <_ 
( C  x.  (
( log `  m
)  /  m ) ) )
141140ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  ( 3 [,) +oo )
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
142141ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  A. m  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )
14345oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( F  -  T )  =  ( K  -  T ) )
144143fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( abs `  ( F  -  T ) )  =  ( abs `  ( K  -  T )
) )
145 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( log `  m )  =  ( log `  (
x  /  d ) ) )
146 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  m  =  ( x  / 
d ) )
147145, 146oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( log `  m
)  /  m )  =  ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  (
x  /  d ) ) )
148147oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  ( C  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  =  ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) ) )
149144, 148breq12d 4469 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  <->  ( abs `  ( K  -  T )
)  <_  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) ) ) )
150149rspcv 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 3 [,) +oo )  ->  ( A. m  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( F  -  T ) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) ) ) ) )
151139, 142, 150sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) ) ) )
15214recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  d
) )  e.  CC )
153 rpcnne0 11262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
154153ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
15557rpcnne0d 11290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
156 divdiv2 10277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  -> 
( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) )  =  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  x.  d )  /  x ) )
157152, 154, 155, 156syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  x.  d )  /  x ) )
158 div23 10247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  e.  CC  /\  d  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  x.  d )  /  x )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) )
159152, 107, 154, 158syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( log `  (
x  /  d ) )  x.  d )  /  x )  =  ( ( ( log `  ( x  /  d
) )  /  x
)  x.  d ) )
160157, 159eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) )
161160oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) ) )
16230ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
16316recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x )  e.  CC )
164162, 163, 107mulassd 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  / 
d ) )  /  x ) )  x.  d )  =  ( C  x.  ( ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x )  x.  d ) ) )
165161, 164eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
166165adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( C  x.  ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  ( x  /  d ) ) )  =  ( ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
167151, 166breqtrd 4480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  (
( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
168132, 167eqbrtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  3  <_  (
x  /  d ) )  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  <_  (
( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  x.  d ) )
169131adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  =  ( abs `  ( K  -  T ) ) )
170134adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  e.  RR )
171118adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  1  <_  ( x  /  d ) )
172 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  <  3 )
173 elico2 11613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR* )  -> 
( ( x  / 
d )  e.  ( 1 [,) 3 )  <-> 
( ( x  / 
d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d )  /\  ( x  /  d
)  <  3 ) ) )
17424, 71, 173mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3 )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
)  /\  ( x  /  d )  <  3 ) )
175170, 171, 172, 174syl3anbrc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3
) )
17693ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  A. m  e.  ( 1 [,) 3
) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R )
177144breq1d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R  <->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  R
) )
178177rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 3 )  ->  ( A. m  e.  (
1 [,) 3 ) ( abs `  ( F  -  T )
)  <_  R  ->  ( abs `  ( K  -  T ) )  <_  R ) )
179175, 176, 178sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( K  -  T
) )  <_  R
)
180169, 179eqbrtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( x  / 
d )  <  3
)  ->  ( abs `  ( abs `  ( K  -  T )
) )  <_  R
)
1818, 68, 101, 102, 104, 129, 168, 180fsumharmonic 23467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  ( ( log `  ( x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3
)  +  1 ) ) ) )
18230adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
1837, 182, 163fsummulc2 13611 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) ) )
184183oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  x.  (
( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )
185181, 184breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) )
18641leabsd 13258 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
18762, 41, 64, 185, 186letrd 9756 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
188187adantrr 716 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  <_  ( abs `  ( ( C  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  (
x  /  d ) )  /  x ) )  +  ( R  x.  ( ( log `  3 )  +  1 ) ) ) ) )
1891, 40, 41, 56, 188o1le 13487 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( K  -  T )
)  /  d ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   3c3 10607   RR+crp 11245   [,)cico 11556   ...cfz 11697   |_cfl 11930   abscabs 13079    ~~> r crli 13320   O(1)co1 13321   sum_csu 13520   Basecbs 14644   0gc0g 14857   ZRHomczrh 18664  ℤ/nczn 18667   logclog 23068  DChrcdchr 23633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-o1 13325  df-lo1 13326  df-sum 13521  df-ef 13815  df-e 13816  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-em 23448
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  23810
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