Theorem dchrvmasumlem2 23439

Description: Lemma for dchrvmasum 23466. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.f	|- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> F e. CC )
dchrvmasum.g	|- ( m = ( x / d ) -> F = K )
dchrvmasum.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasum.t	|- ( ph -> T e. CC )
dchrvmasum.1	|- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
dchrvmasum.r	|- ( ph -> R e. RR )
dchrvmasum.2	|- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, .1.   m, d, x, C   F, d, x   m, K   m, N, x   ph, d, m, x   T, d, m, x   R, d, m, x   m, Z, x   D, m, x   L, d, m, x   X, d, m, x

Allowed substitution hints:   D( d)   .1. ( d)   F( m)   G( x, m, d)   K( x, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9611	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		dchrvmasum.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
3		elrege0 11627	. . . . . . 7 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
4	2, 3	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
5	4	simpld 459	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
6	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. RR )
7		fzfid 12051	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
9		elfznn 11714	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
10	9	nnrpd 11255	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. RR+ )
11		rpdivcl 11242	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ d e. RR+ ) -> ( x / d ) e. RR+ )
12	8, 10, 11	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR+ )
13		relogcl 22719	. . . . . . 7 |- ( ( x / d ) e. RR+ -> ( log ` ( x / d ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / d ) ) e. RR )
15	8	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
16	14, 15	rerpdivcld 11283	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR )
17	7, 16	fsumrecl 13519	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR )
18	6, 17	remulcld 9624	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. RR )
19		dchrvmasum.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR )
20		3nn 10694	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
21		nnrp 11229	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
22		relogcl 22719	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR+ -> ( log ` 3 ) e. RR )
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( log ` 3 ) e. RR
24		1re 9595	. . . . . 6 |- 1 e. RR
25	23, 24	readdcli 9609	. . . . 5 |- ( ( log ` 3 ) + 1 ) e. RR
26		remulcl 9577	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ ( ( log ` 3 ) + 1 ) e. RR ) -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
27	19, 25, 26	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
28	27	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
29		rpssre 11230	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
30	5	recnd 9622	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
31		o1const 13405	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ C e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> C ) e. O(1) )
32	29, 30, 31	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> C ) e. O(1) )
33		logfacrlim2 23257	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ~~> r 1
34		rlimo1 13402	. . . . 5 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ~~> r 1 -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. O(1) )
35	33, 34	mp1i 12	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. O(1) )
36	6, 17, 32, 35	o1mul2 13410	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ) e. O(1) )
37	27	recnd 9622	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. CC )
38		o1const 13405	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. O(1) )
39	29, 37, 38	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. O(1) )
40	18, 28, 36, 39	o1add2 13409	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) e. O(1) )
41	18, 28	readdcld 9623	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. RR )
42		dchrvmasum.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> F e. CC )
43	42	ralrimiva 2878	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. RR+ F e. CC )
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. m e. RR+ F e. CC )
45		dchrvmasum.g	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x / d ) -> F = K )
46	45	eleq1d 2536	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x / d ) -> ( F e. CC <-> K e. CC ) )
47	46	rspcv 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( x / d ) e. RR+ -> ( A. m e. RR+ F e. CC -> K e. CC ) )
48	12, 44, 47	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> K e. CC )
49		dchrvmasum.t	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
51	48, 50	subcld 9930	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K - T ) e. CC )
52	51	abscld 13230	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) e. RR )
53	9	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
54	52, 53	nndivred 10584	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. RR )
55	7, 54	fsumrecl 13519	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. RR )
56	55	recnd 9622	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. CC )
57	53	nnrpd 11255	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
58	51	absge0d 13238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( K - T ) ) )
59	52, 57, 58	divge0d 11292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
60	7, 54, 59	fsumge0 13572	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
61	55, 60	absidd 13217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
62	61, 55	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. RR )
63	41	recnd 9622	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. CC )
64	63	abscld 13230	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
65		3re 10609	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 3 e. RR )
67		1le3 10752	. . . . . . 7 |- 1 <_ 3
68	66, 67	jctir 538	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 3 e. RR /\ 1 <_ 3 ) )
69	19	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> R e. RR )
70	24	rexri 9646	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
71	65	rexri 9646	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR*
72		1lt3 10704	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
73		lbico1 11579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR* /\ 3 e. RR* /\ 1 < 3 ) -> 1 e. ( 1 [,) 3 ) )
74	70, 71, 72, 73	mp3an 1324	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 1 [,) 3 )
75		0red 9597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 e. RR )
76		elico2 11588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR* ) -> ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) ) )
77	24, 71, 76	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) )
78	77	simp1bi 1011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m e. RR )
79		0red 9597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 e. RR )
80		1red 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 1 e. RR )
81		0lt1 10075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 1
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 < 1 )
83	77	simp2bi 1012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 1 <_ m )
84	79, 80, 78, 82, 83	ltletrd 9741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 < m )
85	78, 84	elrpd 11254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m e. RR+ )
86	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> T e. CC )
87	42, 86	subcld 9930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( F - T ) e. CC )
88	87	abscld 13230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( abs ` ( F - T ) ) e. RR )
89	85, 88	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) e. RR )
90	19	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> R e. RR )
91	87	absge0d 13238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> 0 <_ ( abs ` ( F - T ) ) )
92	85, 91	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F - T ) ) )
93		dchrvmasum.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
94	93	r19.21bi 2833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
95	75, 89, 90, 92, 94	letrd 9738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 <_ R )
96	95	ralrimiva 2878	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) 0 <_ R )
97		biidd 237	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ R ) )
98	97	rspcv 3210	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ( 1 [,) 3 ) -> ( A. m e. ( 1 [,) 3 ) 0 <_ R -> 0 <_ R ) )
99	74, 96, 98	mpsyl 63	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ R )
100	99	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ R )
101	69, 100	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
102	52	recnd 9622	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) e. CC )
103	5	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. RR )
104	103, 16	remulcld 9624	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. RR )
105	4	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
106		log1 22726	. . . . . . . . 9 |- ( log ` 1 ) = 0
107	53	nncnd 10552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. CC )
108	107	mulid2d 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) = d )
109		rpre 11226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
110	109	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
111		fznnfl 11957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
112	110, 111	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
113	112	simplbda 624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d <_ x )
114	108, 113	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) <_ x )
115		1red 9611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
116	109	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
117	115, 116, 57	lemuldivd 11301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. d ) <_ x <-> 1 <_ ( x / d ) ) )
118	114, 117	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / d ) )
119		1rp 11224	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
121	120, 12	logled 22768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 <_ ( x / d ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / d ) ) ) )
122	118, 121	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / d ) ) )
123	106, 122	syl5eqbrr 4481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( log ` ( x / d ) ) )
124		rpregt0 11233	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
125	124	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
126		divge0 10411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` ( x / d ) ) ) /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) )
127	14, 123, 125, 126	syl21anc 1227	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) )
128		mulge0 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ) -> 0 <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
129	105, 16, 127, 128	syl12anc 1226	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
130		absidm 13119	. . . . . . . . 9 |- ( ( K - T ) e. CC -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
131	51, 130	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
132	131	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
133		nndivre 10571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( x / d ) e. RR )
134	110, 9, 133	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR )
135	134	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( x / d ) e. RR )
136		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> 3 <_ ( x / d ) )
137		elicopnf 11620	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. RR -> ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 3 <_ ( x / d ) ) ) )
138	65, 137	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 3 <_ ( x / d ) ) )
139	135, 136, 138	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) )
140		dchrvmasum.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
141	140	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
142	141	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
143	45	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( x / d ) -> ( F - T ) = ( K - T ) )
144	143	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( x / d ) -> ( abs ` ( F - T ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
145		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( x / d ) -> ( log ` m ) = ( log ` ( x / d ) ) )
146		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( x / d ) -> m = ( x / d ) )
147	145, 146	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( log ` m ) / m ) = ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) )
148	147	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( x / d ) -> ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) )
149	144, 148	breq12d 4460	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) <-> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) ) )
150	149	rspcv 3210	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) -> ( A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) ) )
151	139, 142, 150	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) )
152	14	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / d ) ) e. CC )
153		rpcnne0 11237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
154	153	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
155	57	rpcnne0d 11265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( d e. CC /\ d =/= 0 ) )
156		divdiv2 10256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( d e. CC /\ d =/= 0 ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) )
157	152, 154, 155, 156	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) )
158		div23 10226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. CC /\ d e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
159	152, 107, 154, 158	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
160	157, 159	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
161	160	oveq2d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( C x. ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) ) )
162	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. CC )
163	16	recnd 9622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. CC )
164	162, 163, 107	mulassd 9619	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) = ( C x. ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) ) )
165	161, 164	eqtr4d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
166	165	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
167	151, 166	breqtrd 4471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
168	132, 167	eqbrtrd 4467	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) <_ ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
169	131	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
170	134	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) e. RR )
171	118	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> 1 <_ ( x / d ) )
172		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) < 3 )
173		elico2 11588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR* ) -> ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) /\ ( x / d ) < 3 ) ) )
174	24, 71, 173	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) /\ ( x / d ) < 3 ) )
175	170, 171, 172, 174	syl3anbrc 1180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) )
176	93	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
177	144	breq1d 4457	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( F - T ) ) <_ R <-> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R ) )
178	177	rspcv 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) -> ( A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R ) )
179	175, 176, 178	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R )
180	169, 179	eqbrtrd 4467	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) <_ R )
181	8, 68, 101, 102, 104, 129, 168, 180	fsumharmonic 23097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
182	30	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. CC )
183	7, 182, 163	fsummulc2 13562	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
184	183	oveq1d 6299	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
185	181, 184	breqtrrd 4473	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
186	41	leabsd 13209	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
187	62, 41, 64, 185, 186	letrd 9738	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
188	187	adantrr 716	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
189	1, 40, 41, 56, 188	o1le 13438	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   / cdiv 10206   NNcn 10536   3c3 10586   RR+crp 11220   [,)cico 11531   ...cfz 11672   |_cfl 11895   abscabs 13030   ~~> r crli 13271   O(1)co1 13272   sum_csu 13471   Basecbs 14490   0gc0g 14695   ZRHomczrh 18332  ℤ/nℤczn 18335   logclog 22698  DChrcdchr 23263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-o1 13276  df-lo1 13277  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-cxp 22701  df-em 23078

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  23440