Theorem dchrvmasumlem2 22690

Description: Lemma for dchrvmasum 22717. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.f	|- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> F e. CC )
dchrvmasum.g	|- ( m = ( x / d ) -> F = K )
dchrvmasum.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasum.t	|- ( ph -> T e. CC )
dchrvmasum.1	|- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
dchrvmasum.r	|- ( ph -> R e. RR )
dchrvmasum.2	|- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, .1.   m, d, x, C   F, d, x   m, K   m, N, x   ph, d, m, x   T, d, m, x   R, d, m, x   m, Z, x   D, m, x   L, d, m, x   X, d, m, x

Allowed substitution hints:   D( d)   .1. ( d)   F( m)   G( x, m, d)   K( x, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9397	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		dchrvmasum.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
3		elrege0 11388	. . . . . . 7 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
4	2, 3	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
5	4	simpld 456	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
6	5	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. RR )
7		fzfid 11791	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8		simpr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
9		elfznn 11474	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
10	9	nnrpd 11022	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. RR+ )
11		rpdivcl 11009	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ d e. RR+ ) -> ( x / d ) e. RR+ )
12	8, 10, 11	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR+ )
13		relogcl 21970	. . . . . . 7 |- ( ( x / d ) e. RR+ -> ( log ` ( x / d ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / d ) ) e. RR )
15	8	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
16	14, 15	rerpdivcld 11050	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR )
17	7, 16	fsumrecl 13207	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR )
18	6, 17	remulcld 9410	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. RR )
19		dchrvmasum.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR )
20		3nn 10476	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
21		nnrp 10996	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
22		relogcl 21970	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR+ -> ( log ` 3 ) e. RR )
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( log ` 3 ) e. RR
24		1re 9381	. . . . . 6 |- 1 e. RR
25	23, 24	readdcli 9395	. . . . 5 |- ( ( log ` 3 ) + 1 ) e. RR
26		remulcl 9363	. . . . 5 |- ( ( R e. RR /\ ( ( log ` 3 ) + 1 ) e. RR ) -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
27	19, 25, 26	sylancl 657	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
28	27	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. RR )
29		rpssre 10997	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
30	5	recnd 9408	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
31		o1const 13093	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ C e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> C ) e. O(1) )
32	29, 30, 31	sylancr 658	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> C ) e. O(1) )
33		logfacrlim2 22508	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ~~> r 1
34		rlimo1 13090	. . . . 5 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ~~> r 1 -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. O(1) )
35	33, 34	mp1i 12	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. O(1) )
36	6, 17, 32, 35	o1mul2 13098	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ) e. O(1) )
37	27	recnd 9408	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. CC )
38		o1const 13093	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. O(1) )
39	29, 37, 38	sylancr 658	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. O(1) )
40	18, 28, 36, 39	o1add2 13097	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) e. O(1) )
41	18, 28	readdcld 9409	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. RR )
42		dchrvmasum.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> F e. CC )
43	42	ralrimiva 2797	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. RR+ F e. CC )
44	43	ad2antrr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. m e. RR+ F e. CC )
45		dchrvmasum.g	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x / d ) -> F = K )
46	45	eleq1d 2507	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x / d ) -> ( F e. CC <-> K e. CC ) )
47	46	rspcv 3066	. . . . . . . 8 |- ( ( x / d ) e. RR+ -> ( A. m e. RR+ F e. CC -> K e. CC ) )
48	12, 44, 47	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> K e. CC )
49		dchrvmasum.t	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
50	49	ad2antrr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
51	48, 50	subcld 9715	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K - T ) e. CC )
52	51	abscld 12918	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) e. RR )
53	9	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
54	52, 53	nndivred 10366	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. RR )
55	7, 54	fsumrecl 13207	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. RR )
56	55	recnd 9408	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) e. CC )
57	53	nnrpd 11022	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
58	51	absge0d 12926	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( K - T ) ) )
59	52, 57, 58	divge0d 11059	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
60	7, 54, 59	fsumge0 13254	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
61	55, 60	absidd 12905	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) )
62	61, 55	eqeltrd 2515	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. RR )
63	41	recnd 9408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) e. CC )
64	63	abscld 12918	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
65		3re 10391	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 3 e. RR )
67		1le3 10534	. . . . . . 7 |- 1 <_ 3
68	66, 67	jctir 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 3 e. RR /\ 1 <_ 3 ) )
69	19	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> R e. RR )
70	24	rexri 9432	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
71	65	rexri 9432	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR*
72		1lt3 10486	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 3
73		lbico1 11346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR* /\ 3 e. RR* /\ 1 < 3 ) -> 1 e. ( 1 [,) 3 ) )
74	70, 71, 72, 73	mp3an 1309	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 1 [,) 3 )
75		0red 9383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 e. RR )
76		elico2 11355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR* ) -> ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) ) )
77	24, 71, 76	mp2an 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) )
78	77	simp1bi 998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m e. RR )
79		0red 9383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 e. RR )
80		1red 9397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 1 e. RR )
81		0lt1 9858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 1
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 < 1 )
83	77	simp2bi 999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 1 <_ m )
84	79, 80, 78, 82, 83	ltletrd 9527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 0 < m )
85	78, 84	elrpd 11021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m e. RR+ )
86	49	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> T e. CC )
87	42, 86	subcld 9715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( F - T ) e. CC )
88	87	abscld 12918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( abs ` ( F - T ) ) e. RR )
89	85, 88	sylan2 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) e. RR )
90	19	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> R e. RR )
91	87	absge0d 12926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> 0 <_ ( abs ` ( F - T ) ) )
92	85, 91	sylan2 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F - T ) ) )
93		dchrvmasum.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
94	93	r19.21bi 2812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
95	75, 89, 90, 92, 94	letrd 9524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 <_ R )
96	95	ralrimiva 2797	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) 0 <_ R )
97		biidd 237	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( 0 <_ R <-> 0 <_ R ) )
98	97	rspcv 3066	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ( 1 [,) 3 ) -> ( A. m e. ( 1 [,) 3 ) 0 <_ R -> 0 <_ R ) )
99	74, 96, 98	mpsyl 63	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ R )
100	99	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ R )
101	69, 100	jca 529	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( R e. RR /\ 0 <_ R ) )
102	52	recnd 9408	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) e. CC )
103	5	ad2antrr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. RR )
104	103, 16	remulcld 9410	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) e. RR )
105	4	ad2antrr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
106		log1 21977	. . . . . . . . 9 |- ( log ` 1 ) = 0
107	53	nncnd 10334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. CC )
108	107	mulid2d 9400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) = d )
109		rpre 10993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
110	109	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
111		fznnfl 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
112	110, 111	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
113	112	simplbda 621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d <_ x )
114	108, 113	eqbrtrd 4309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) <_ x )
115		1red 9397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
116	109	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
117	115, 116, 57	lemuldivd 11068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. d ) <_ x <-> 1 <_ ( x / d ) ) )
118	114, 117	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / d ) )
119		1rp 10991	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
121	120, 12	logled 22019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 <_ ( x / d ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / d ) ) ) )
122	118, 121	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / d ) ) )
123	106, 122	syl5eqbrr 4323	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( log ` ( x / d ) ) )
124		rpregt0 11000	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
125	124	ad2antlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
126		divge0 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` ( x / d ) ) ) /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) )
127	14, 123, 125, 126	syl21anc 1212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) )
128		mulge0 9853	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. RR /\ 0 <_ C ) /\ ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) ) -> 0 <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
129	105, 16, 127, 128	syl12anc 1211	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
130		absidm 12807	. . . . . . . . 9 |- ( ( K - T ) e. CC -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
131	51, 130	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
132	131	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
133		nndivre 10353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( x / d ) e. RR )
134	110, 9, 133	syl2an 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR )
135	134	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( x / d ) e. RR )
136		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> 3 <_ ( x / d ) )
137		elicopnf 11381	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. RR -> ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 3 <_ ( x / d ) ) ) )
138	65, 137	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 3 <_ ( x / d ) ) )
139	135, 136, 138	sylanbrc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) )
140		dchrvmasum.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
141	140	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
142	141	ad3antrrr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
143	45	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( x / d ) -> ( F - T ) = ( K - T ) )
144	143	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( x / d ) -> ( abs ` ( F - T ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
145		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( x / d ) -> ( log ` m ) = ( log ` ( x / d ) ) )
146		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( x / d ) -> m = ( x / d ) )
147	145, 146	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( log ` m ) / m ) = ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) )
148	147	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( x / d ) -> ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) )
149	144, 148	breq12d 4302	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) <-> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) ) )
150	149	rspcv 3066	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / d ) e. ( 3 [,) +oo ) -> ( A. m e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) ) )
151	139, 142, 150	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) )
152	14	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / d ) ) e. CC )
153		rpcnne0 11004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
154	153	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
155	57	rpcnne0d 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( d e. CC /\ d =/= 0 ) )
156		divdiv2 10039	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( d e. CC /\ d =/= 0 ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) )
157	152, 154, 155, 156	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) )
158		div23 10009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` ( x / d ) ) e. CC /\ d e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
159	152, 107, 154, 158	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / d ) ) x. d ) / x ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
160	157, 159	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) = ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) )
161	160	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( C x. ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) ) )
162	30	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. CC )
163	16	recnd 9408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) e. CC )
164	162, 163, 107	mulassd 9405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) = ( C x. ( ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) x. d ) ) )
165	161, 164	eqtr4d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
166	165	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / ( x / d ) ) ) = ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
167	151, 166	breqtrd 4313	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
168	132, 167	eqbrtrd 4309	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ 3 <_ ( x / d ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) <_ ( ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) x. d ) )
169	131	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) = ( abs ` ( K - T ) ) )
170	134	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) e. RR )
171	118	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> 1 <_ ( x / d ) )
172		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) < 3 )
173		elico2 11355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR* ) -> ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) /\ ( x / d ) < 3 ) ) )
174	24, 71, 173	mp2an 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) /\ ( x / d ) < 3 ) )
175	170, 171, 172, 174	syl3anbrc 1167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) )
176	93	ad3antrrr 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R )
177	144	breq1d 4299	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( F - T ) ) <_ R <-> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R ) )
178	177	rspcv 3066	. . . . . . . 8 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) 3 ) -> ( A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( F - T ) ) <_ R -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R ) )
179	175, 176, 178	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( K - T ) ) <_ R )
180	169, 179	eqbrtrd 4309	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( x / d ) < 3 ) -> ( abs ` ( abs ` ( K - T ) ) ) <_ R )
181	8, 68, 101, 102, 104, 129, 168, 180	fsumharmonic 22348	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
182	30	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. CC )
183	7, 182, 163	fsummulc2 13247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) )
184	183	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C x. ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
185	181, 184	breqtrrd 4315	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) )
186	41	leabsd 12897	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
187	62, 41, 64, 185, 186	letrd 9524	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
188	187	adantrr 711	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) <_ ( abs ` ( ( C x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / d ) ) / x ) ) + ( R x. ( ( log ` 3 ) + 1 ) ) ) ) )
189	1, 40, 41, 56, 188	o1le 13126	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( abs ` ( K - T ) ) / d ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   C_ wss 3325   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   3c3 10368   RR+crp 10987   [,)cico 11298   ...cfz 11433   |_cfl 11636   abscabs 12719   ~~> r crli 12959   O(1)co1 12960   sum_csu 13159   Basecbs 14170   0gc0g 14374   ZRHomczrh 17831  ℤ/nℤczn 17834   logclog 21949  DChrcdchr 22514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-cxp 21952  df-em 22329

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  22691