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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dchrvmasumlem1 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.) |
Ref | Expression |
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rpvmasum.z |
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rpvmasum.l |
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rpvmasum.a |
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rpvmasum.g |
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rpvmasum.d |
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rpvmasum.1 |
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dchrisum.b |
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dchrisum.n1 |
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dchrvmasum.a |
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Ref | Expression |
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dchrvmasumlem1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fveq2 5892 |
. . . . 5
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2 | 1 | fveq2d 5896 |
. . . 4
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3 | oveq2 6328 |
. . . . 5
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4 | oveq1 6327 |
. . . . . 6
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5 | 4 | fveq2d 5896 |
. . . . 5
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6 | 3, 5 | oveq12d 6338 |
. . . 4
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7 | 2, 6 | oveq12d 6338 |
. . 3
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8 | dchrvmasum.a |
. . . 4
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9 | 8 | rpred 11375 |
. . 3
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10 | rpvmasum.g |
. . . . . 6
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11 | rpvmasum.z |
. . . . . 6
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12 | rpvmasum.d |
. . . . . 6
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13 | rpvmasum.l |
. . . . . 6
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14 | dchrisum.b |
. . . . . . 7
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15 | 14 | adantr 471 |
. . . . . 6
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16 | elfzelz 11835 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | adantl 472 |
. . . . . 6
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18 | 10, 11, 12, 13, 15, 17 | dchrzrhcl 24229 |
. . . . 5
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19 | 18 | adantrr 728 |
. . . 4
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20 | elrabi 3205 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 20 | ad2antll 740 |
. . . . . . . . 9
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22 | mucl 24124 |
. . . . . . . . 9
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23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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24 | 23 | zred 11074 |
. . . . . . 7
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25 | elfznn 11863 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | ad2antrl 739 |
. . . . . . 7
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27 | 24, 26 | nndivred 10691 |
. . . . . 6
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28 | 27 | recnd 9700 |
. . . . 5
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29 | 26 | nnrpd 11373 |
. . . . . . . 8
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30 | 21 | nnrpd 11373 |
. . . . . . . 8
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31 | 29, 30 | rpdivcld 11392 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | relogcld 23628 |
. . . . . 6
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33 | 32 | recnd 9700 |
. . . . 5
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34 | 28, 33 | mulcld 9694 |
. . . 4
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35 | 19, 34 | mulcld 9694 |
. . 3
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36 | 7, 9, 35 | dvdsflsumcom 24173 |
. 2
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37 | vmaf 24102 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | ax-resscn 9627 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | fss 5764 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 38, 39, 40 | sylancl 673 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | vmasum 24200 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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43 | 42 | adantl 472 |
. . . . . . . . . . . . 13
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44 | 43 | eqcomd 2468 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 44 | mpteq2dva 4505 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | 41, 45 | muinv 24178 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | fveq1d 5894 |
. . . . . . . . 9
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48 | sumex 13809 |
. . . . . . . . . 10
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49 | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | fvmpt2 5985 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 25, 48, 50 | sylancl 673 |
. . . . . . . . 9
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52 | 47, 51 | sylan9eq 2516 |
. . . . . . . 8
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53 | breq1 4421 |
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54 | 53 | elrab 3208 |
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56 | 55 | adantl 472 |
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57 | 25 | adantl 472 |
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58 | nndivdvds 14366 |
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59 | 57, 20, 58 | syl2an 484 |
. . . . . . . . . . . 12
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60 | 56, 59 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . . 11
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61 | fveq2 5892 |
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62 | eqid 2462 |
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63 | fvex 5902 |
. . . . . . . . . . . 12
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64 | 61, 62, 63 | fvmpt 5976 |
. . . . . . . . . . 11
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65 | 60, 64 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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66 | 65 | oveq2d 6336 |
. . . . . . . . 9
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67 | 66 | sumeq2dv 13824 |
. . . . . . . 8
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68 | 52, 67 | eqtrd 2496 |
. . . . . . 7
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69 | 68 | oveq1d 6335 |
. . . . . 6
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70 | fzfid 12224 |
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71 | sgmss 24089 |
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72 | 57, 71 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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73 | ssfi 7823 |
. . . . . . . 8
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74 | 70, 72, 73 | syl2anc 671 |
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75 | 57 | nncnd 10658 |
. . . . . . 7
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76 | 23 | zcnd 11075 |
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77 | 76 | anassrs 658 |
. . . . . . . 8
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78 | 33 | anassrs 658 |
. . . . . . . 8
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79 | 77, 78 | mulcld 9694 |
. . . . . . 7
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80 | 57 | nnne0d 10687 |
. . . . . . 7
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81 | 74, 75, 79, 80 | fsumdivc 13902 |
. . . . . 6
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82 | 20 | adantl 472 |
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83 | 82, 22 | syl 17 |
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84 | 83 | zcnd 11075 |
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85 | 75 | adantr 471 |
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86 | 80 | adantr 471 |
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87 | 84, 78, 85, 86 | div23d 10453 |
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88 | 87 | sumeq2dv 13824 |
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89 | 69, 81, 88 | 3eqtrd 2500 |
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90 | 89 | oveq2d 6336 |
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91 | 34 | anassrs 658 |
. . . . 5
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92 | 74, 18, 91 | fsummulc2 13900 |
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93 | 90, 92 | eqtrd 2496 |
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94 | 93 | sumeq2dv 13824 |
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. . . . 5
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. . . . . . 7
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. . . . . . . 8
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111 | 10, 11, 12, 13, 108, 110 | dchrzrhcl 24229 |
. . . . . 6
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. . . . . . . . 9
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115 | 114 | relogcld 23628 |
. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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118 | 111, 117 | mulcld 9694 |
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119 | 95, 107, 118 | fsummulc2 13900 |
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121 | 106 | adantr 471 |
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122 | 120, 121, 111, 117 | mul4d 9876 |
. . . . . 6
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123 | 97 | ad2antlr 738 |
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124 | 10, 11, 12, 13, 108, 123, 110 | dchrzrhmul 24230 |
. . . . . . 7
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125 | 104 | adantr 471 |
. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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128 | 102 | nnrpd 11373 |
. . . . . . . . . . . 12
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129 | 128 | adantr 471 |
. . . . . . . . . . 11
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130 | 129, 114 | rpmulcld 11391 |
. . . . . . . . . 10
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131 | 130 | rpcnne0d 11384 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . 9
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137 | 126, 127, 134, 135, 136 | syl22anc 1277 |
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140 | 129 | rpne0d 11380 |
. . . . . . . . . . 11
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141 | 138, 139, 140 | divcan3d 10421 |
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142 | 141 | fveq2d 5896 |
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143 | 142 | oveq2d 6336 |
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144 | 133, 137, 143 | 3eqtr4rd 2507 |
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145 | 124, 144 | oveq12d 6338 |
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146 | 122, 145 | eqtr4d 2499 |
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147 | 146 | sumeq2dv 13824 |
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148 | 119, 147 | eqtrd 2496 |
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149 | 148 | sumeq2dv 13824 |
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150 | 36, 94, 149 | 3eqtr4d 2506 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-rep 4531 ax-sep 4541 ax-nul 4550 ax-pow 4598 ax-pr 4656 ax-un 6615 ax-inf2 8177 ax-cnex 9626 ax-resscn 9627 ax-1cn 9628 ax-icn 9629 ax-addcl 9630 ax-addrcl 9631 ax-mulcl 9632 ax-mulrcl 9633 ax-mulcom 9634 ax-addass 9635 ax-mulass 9636 ax-distr 9637 ax-i2m1 9638 ax-1ne0 9639 ax-1rid 9640 ax-rnegex 9641 ax-rrecex 9642 ax-cnre 9643 ax-pre-lttri 9644 ax-pre-lttrn 9645 ax-pre-ltadd 9646 ax-pre-mulgt0 9647 ax-pre-sup 9648 ax-addf 9649 ax-mulf 9650 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-fal 1461 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rmo 2757 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4213 df-int 4249 df-iun 4294 df-iin 4295 df-disj 4390 df-br 4419 df-opab 4478 df-mpt 4479 df-tr 4514 df-eprel 4767 df-id 4771 df-po 4777 df-so 4778 df-fr 4815 df-se 4816 df-we 4817 df-xp 4862 df-rel 4863 df-cnv 4864 df-co 4865 df-dm 4866 df-rn 4867 df-res 4868 df-ima 4869 df-pred 5403 df-ord 5449 df-on 5450 df-lim 5451 df-suc 5452 df-iota 5569 df-fun 5607 df-fn 5608 df-f 5609 df-f1 5610 df-fo 5611 df-f1o 5612 df-fv 5613 df-isom 5614 df-riota 6282 df-ov 6323 df-oprab 6324 df-mpt2 6325 df-of 6563 df-om 6725 df-1st 6825 df-2nd 6826 df-supp 6947 df-tpos 7004 df-wrecs 7059 df-recs 7121 df-rdg 7159 df-1o 7213 df-2o 7214 df-oadd 7217 df-er 7394 df-ec 7396 df-qs 7400 df-map 7505 df-pm 7506 df-ixp 7554 df-en 7601 df-dom 7602 df-sdom 7603 df-fin 7604 df-fsupp 7915 df-fi 7956 df-sup 7987 df-inf 7988 df-oi 8056 df-card 8404 df-cda 8629 df-pnf 9708 df-mnf 9709 df-xr 9710 df-ltxr 9711 df-le 9712 df-sub 9893 df-neg 9894 df-div 10303 df-nn 10643 df-2 10701 df-3 10702 df-4 10703 df-5 10704 df-6 10705 df-7 10706 df-8 10707 df-9 10708 df-10 10709 df-n0 10904 df-z 10972 df-dec 11086 df-uz 11194 df-q 11299 df-rp 11337 df-xneg 11443 df-xadd 11444 df-xmul 11445 df-ioo 11673 df-ioc 11674 df-ico 11675 df-icc 11676 df-fz 11820 df-fzo 11953 df-fl 12066 df-mod 12135 df-seq 12252 df-exp 12311 df-fac 12498 df-bc 12526 df-hash 12554 df-shft 13185 df-cj 13217 df-re 13218 df-im 13219 df-sqrt 13353 df-abs 13354 df-limsup 13581 df-clim 13607 df-rlim 13608 df-sum 13808 df-ef 14176 df-sin 14178 df-cos 14179 df-pi 14181 df-dvds 14361 df-gcd 14524 df-prm 14678 df-pc 14842 df-struct 15178 df-ndx 15179 df-slot 15180 df-base 15181 df-sets 15182 df-ress 15183 df-plusg 15258 df-mulr 15259 df-starv 15260 df-sca 15261 df-vsca 15262 df-ip 15263 df-tset 15264 df-ple 15265 df-ds 15267 df-unif 15268 df-hom 15269 df-cco 15270 df-rest 15376 df-topn 15377 df-0g 15395 df-gsum 15396 df-topgen 15397 df-pt 15398 df-prds 15401 df-xrs 15455 df-qtop 15461 df-imas 15462 df-qus 15464 df-xps 15465 df-mre 15547 df-mrc 15548 df-acs 15550 df-mgm 16543 df-sgrp 16582 df-mnd 16592 df-mhm 16637 df-submnd 16638 df-grp 16728 df-minusg 16729 df-sbg 16730 df-mulg 16731 df-subg 16869 df-nsg 16870 df-eqg 16871 df-ghm 16936 df-cntz 17026 df-cmn 17487 df-abl 17488 df-mgp 17779 df-ur 17791 df-ring 17837 df-cring 17838 df-oppr 17906 df-dvdsr 17924 df-unit 17925 df-rnghom 17998 df-subrg 18061 df-lmod 18148 df-lss 18211 df-lsp 18250 df-sra 18450 df-rgmod 18451 df-lidl 18452 df-rsp 18453 df-2idl 18511 df-psmet 19017 df-xmet 19018 df-met 19019 df-bl 19020 df-mopn 19021 df-fbas 19022 df-fg 19023 df-cnfld 19026 df-zring 19095 df-zrh 19130 df-zn 19133 df-top 19976 df-bases 19977 df-topon 19978 df-topsp 19979 df-cld 20089 df-ntr 20090 df-cls 20091 df-nei 20169 df-lp 20207 df-perf 20208 df-cn 20298 df-cnp 20299 df-haus 20386 df-tx 20632 df-hmeo 20825 df-fil 20916 df-fm 21008 df-flim 21009 df-flf 21010 df-xms 21390 df-ms 21391 df-tms 21392 df-cncf 21965 df-limc 22877 df-dv 22878 df-log 23562 df-vma 24080 df-mu 24083 df-dchr 24217 |
This theorem is referenced by: dchrvmasum2if 24391 |
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