Theorem dchrvmasumlem1 22759

Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.a	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem1	|- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, .1.   m, d, n, A   m, N, n   ph, d, m, n   m, Z, n   D, m, n   L, d, m, n   X, d, m, n   A, n

Allowed substitution hints:   D( d)   .1. ( d)   G( m, n, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1

Dummy variables x i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5706	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( d x. m ) ) )
2	1	fveq2d 5710	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) )
3		oveq2 6114	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) = ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) )
4		oveq1 6113	. . . . . 6 |- ( n = ( d x. m ) -> ( n / d ) = ( ( d x. m ) / d ) )
5	4	fveq2d 5710	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( log ` ( n / d ) ) = ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) )
6	3, 5	oveq12d 6124	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) )
7	2, 6	oveq12d 6124	. . 3 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
8		dchrvmasum.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR+ )
9	8	rpred 11042	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
10		rpvmasum.g	. . . . . 6 |- G = (DChr ` N )
11		rpvmasum.z	. . . . . 6 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
12		rpvmasum.d	. . . . . 6 |- D = ( Base ` G )
13		rpvmasum.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` Z )
14		dchrisum.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. D )
15	14	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
16		elfzelz 11468	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. ZZ )
17	16	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. ZZ )
18	10, 11, 12, 13, 15, 17	dchrzrhcl 22599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
19	18	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
20		elrabi 3129	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d e. NN )
21	20	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. NN )
22		mucl 22494	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
24	23	zred 10762	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
25		elfznn 11493	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
26	25	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. NN )
27	24, 26	nndivred 10385	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. RR )
28	27	recnd 9427	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. CC )
29	26	nnrpd 11041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. RR+ )
30	21	nnrpd 11041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. RR+ )
31	29, 30	rpdivcld 11059	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( n / d ) e. RR+ )
32	31	relogcld 22087	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. RR )
33	32	recnd 9427	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
34	28, 33	mulcld 9421	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
35	19, 34	mulcld 9421	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) e. CC )
36	7, 9, 35	dvdsflsumcom 22543	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
37		vmaf 22472	. . . . . . . . . . . . 13 |- Λ : NN --> RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Λ : NN --> RR )
39		ax-resscn 9354	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
40		fss 5582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Λ : NN --> RR /\ RR C_ CC ) -> Λ : NN --> CC )
41	38, 39, 40	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Λ : NN --> CC )
42		vmasum 22570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
43	42	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
44	43	eqcomd 2448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( log ` m ) = sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) )
45	44	mpteq2dva 4393	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) ) )
46	41, 45	muinv 22548	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Λ = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) )
47	46	fveq1d 5708	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Λ ` n ) = ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) )
48		sumex 13180	. . . . . . . . . 10 |- sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V
49		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
50	49	fvmpt2 5796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
51	25, 48, 50	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
52	47, 51	sylan9eq 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
53		breq1 4310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = d -> ( x || n <-> d || n ) )
54	53	elrab 3132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. { x e. NN | x || n } <-> ( d e. NN /\ d || n ) )
55	54	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d || n )
56	55	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d || n )
57	25	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
58		nndivdvds 13556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ d e. NN ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
59	57, 20, 58	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
60	56, 59	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( n / d ) e. NN )
61		fveq2 5706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n / d ) -> ( log ` m ) = ( log ` ( n / d ) ) )
62		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> ( log ` m ) )
63		fvex 5716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( log ` ( n / d ) ) e. _V
64	61, 62, 63	fvmpt 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n / d ) e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
65	60, 64	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
66	65	oveq2d 6122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
67	66	sumeq2dv 13195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
68	52, 67	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
69	68	oveq1d 6121	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
70		fzfid 11810	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
71		sgmss 22459	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
72	57, 71	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
73		ssfi 7548	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
74	70, 72, 73	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
75	57	nncnd 10353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. CC )
76	23	zcnd 10763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
77	76	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
78	33	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
79	77, 78	mulcld 9421	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
80	57	nnne0d 10381	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n =/= 0 )
81	74, 75, 79, 80	fsumdivc 13268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
82	20	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d e. NN )
83	82, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
84	83	zcnd 10763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
85	75	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n e. CC )
86	80	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n =/= 0 )
87	84, 78, 85, 86	div23d 10159	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
88	87	sumeq2dv 13195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
89	69, 81, 88	3eqtrd 2479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
90	89	oveq2d 6122	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
91	34	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
92	74, 18, 91	fsummulc2 13266	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
93	90, 92	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
94	93	sumeq2dv 13195	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
95		fzfid 11810	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) e. Fin )
96	14	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
97		elfzelz 11468	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> d e. ZZ )
98	97	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. ZZ )
99	10, 11, 12, 13, 96, 98	dchrzrhcl 22599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
100		fznnfl 11716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
101	9, 100	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
102	101	simprbda 623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. NN )
103	102, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
104	103	zred 10762	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
105	104, 102	nndivred 10385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
106	105	recnd 9427	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
107	99, 106	mulcld 9421	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
108	14	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> X e. D )
109		elfzelz 11468	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. ZZ )
110	109	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
111	10, 11, 12, 13, 108, 110	dchrzrhcl 22599	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
112		elfznn 11493	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. NN )
113	112	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. NN )
114	113	nnrpd 11041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
115	114	relogcld 22087	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
116	115, 113	nndivred 10385	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. RR )
117	116	recnd 9427	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. CC )
118	111, 117	mulcld 9421	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) e. CC )
119	95, 107, 118	fsummulc2 13266	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
120	99	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
121	106	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
122	120, 121, 111, 117	mul4d 9596	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
123	97	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. ZZ )
124	10, 11, 12, 13, 108, 123, 110	dchrzrhmul 22600	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) )
125	104	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
126	125	recnd 9427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
127	115	recnd 9427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. CC )
128	102	nnrpd 11041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. RR+ )
129	128	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. RR+ )
130	129, 114	rpmulcld 11058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d x. m ) e. RR+ )
131	130	rpcnne0d 11051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) )
132		div23 10028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC /\ ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
133	126, 127, 131, 132	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
134	129	rpcnne0d 11051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d e. CC /\ d =/= 0 ) )
135	114	rpcnne0d 11051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
136		divmuldiv 10046	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC ) /\ ( ( d e. CC /\ d =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
137	126, 127, 134, 135, 136	syl22anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
138	113	nncnd 10353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. CC )
139	129	rpcnd 11044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. CC )
140	129	rpne0d 11047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d =/= 0 )
141	138, 139, 140	divcan3d 10127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) / d ) = m )
142	141	fveq2d 5710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) = ( log ` m ) )
143	142	oveq2d 6122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
144	133, 137, 143	3eqtr4rd 2486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
145	124, 144	oveq12d 6124	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
146	122, 145	eqtr4d 2478	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
147	146	sumeq2dv 13195	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
148	119, 147	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
149	148	sumeq2dv 13195	. 2 |- ( ph -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
150	36, 94, 149	3eqtr4d 2485	1 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   {crab 2734   _Vcvv 2987   C_ wss 3343   class class class wbr 4307   e. cmpt 4365   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Fincfn 7325   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298   x. cmul 9302   <_ cle 9434   / cdiv 10008   NNcn 10337   ZZcz 10661   RR+crp 11006   ...cfz 11452   |_cfl 11655   sum_csu 13178   || cdivides 13550   Basecbs 14189   0gc0g 14393   ZRHomczrh 17946  ℤ/nℤczn 17949   logclog 22021  Λcvma 22444   mmucmu 22447  DChrcdchr 22586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-tpos 6760  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-ec 7118  df-qs 7122  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ioc 11320  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-shft 12571  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-limsup 12964  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-ef 13368  df-sin 13370  df-cos 13371  df-pi 13373  df-dvds 13551  df-gcd 13706  df-prm 13779  df-pc 13919  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-divs 14462  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-mhm 15479  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-mulg 15563  df-subg 15693  df-nsg 15694  df-eqg 15695  df-ghm 15760  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-abl 16295  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-cring 16663  df-oppr 16730  df-dvdsr 16748  df-unit 16749  df-rnghom 16821  df-subrg 16878  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-lsp 17068  df-sra 17268  df-rgmod 17269  df-lidl 17270  df-rsp 17271  df-2idl 17329  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-zring 17899  df-zrh 17950  df-zn 17953  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-lp 18755  df-perf 18756  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-haus 18934  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cncf 20469  df-limc 21356  df-dv 21357  df-log 22023  df-vma 22450  df-mu 22453  df-dchr 22587

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  22761