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Theorem dchrvmasumlem1 24389
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n,  .1.    m, d, n, A   
m, N, n    ph, d, m, n    m, Z, n    D, m, n    L, d, m, n    X, d, m, n    A, n
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    G( m, n, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
Dummy variables  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5892 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
21fveq2d 5896 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
3 oveq2 6328 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  /  n )  =  ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) ) )
4 oveq1 6327 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
n  /  d )  =  ( ( d  x.  m )  / 
d ) )
54fveq2d 5896 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( n  / 
d ) )  =  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )
63, 5oveq12d 6338 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )
72, 6oveq12d 6338 . . 3  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
8 dchrvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
98rpred 11375 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
10 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
11 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
12 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
13 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
14 dchrisum.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1514adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
16 elfzelz 11835 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
1716adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
1810, 11, 12, 13, 15, 17dchrzrhcl 24229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
1918adantrr 728 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
20 elrabi 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  e.  NN )
2120ad2antll 740 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  NN )
22 mucl 24124 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
2423zred 11074 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
25 elfznn 11863 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
2625ad2antrl 739 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  NN )
2724, 26nndivred 10691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  RR )
2827recnd 9700 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  CC )
2926nnrpd 11373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  RR+ )
3021nnrpd 11373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  RR+ )
3129, 30rpdivcld 11392 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( n  /  d )  e.  RR+ )
3231relogcld 23628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  RR )
3332recnd 9700 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
3428, 33mulcld 9694 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
3519, 34mulcld 9694 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  e.  CC )
367, 9, 35dvdsflsumcom 24173 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
37 vmaf 24102 . . . . . . . . . . . . 13  |- Λ : NN --> RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Λ : NN --> RR )
39 ax-resscn 9627 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
40 fss 5764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Λ : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> Λ : NN --> CC )
4138, 39, 40sylancl 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Λ : NN --> CC )
42 vmasum 24200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4342adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4443eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  m )  =  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  (Λ `  i
) )
4544mpteq2dva 4505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i ) ) )
4641, 45muinv 24178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Λ 
=  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) )
4746fveq1d 5894 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Λ `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
) )
48 sumex 13809 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  e.  _V
49 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5049fvmpt2 5985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
5125, 48, 50sylancl 673 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) ) `  n )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5247, 51sylan9eq 2516 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
53 breq1 4421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  d  ->  (
x  ||  n  <->  d  ||  n ) )
5453elrab 3208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  <->  ( d  e.  NN  /\  d  ||  n ) )
5554simprbi 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  ||  n )
5655adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  ||  n )
5725adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
58 nndivdvds 14366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  /  d )  e.  NN ) )
5957, 20, 58syl2an 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  / 
d )  e.  NN ) )
6056, 59mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( n  /  d )  e.  NN )
61 fveq2 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  / 
d )  ->  ( log `  m )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
62 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )
63 fvex 5902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  _V
6461, 62, 63fvmpt 5976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  /  d )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6560, 64syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6665oveq2d 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
6766sumeq2dv 13824 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
6852, 67eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
6968oveq1d 6335 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
) )
70 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
71 sgmss 24089 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
7257, 71syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
73 ssfi 7823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7470, 72, 73syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7557nncnd 10658 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
7623zcnd 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7776anassrs 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7833anassrs 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
7977, 78mulcld 9694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
8057nnne0d 10687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
8174, 75, 79, 80fsumdivc 13902 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n ) )
8220adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  e.  NN )
8382, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
8483zcnd 11075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
8575adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  e.  CC )
8680adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  =/=  0 )
8784, 78, 85, 86div23d 10453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  /  n )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
8887sumeq2dv 13824 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n )  = 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
8969, 81, 883eqtrd 2500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
9089oveq2d 6336 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) ) )
9134anassrs 658 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
9274, 18, 91fsummulc2 13900 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x. 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9390, 92eqtrd 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9493sumeq2dv 13824 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
95 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
9614adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
97 elfzelz 11835 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
9897adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
9910, 11, 12, 13, 96, 98dchrzrhcl 24229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
100 fznnfl 12127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  A ) ) )
1019, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  A )
) )
102101simprbda 633 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
103102, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
104103zred 11074 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
105104, 102nndivred 10691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
106105recnd 9700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
10799, 106mulcld 9694 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
10814ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
109 elfzelz 11835 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
110109adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
11110, 11, 12, 13, 108, 110dchrzrhcl 24229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
112 elfznn 11863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
113112adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
114113nnrpd 11373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
115114relogcld 23628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
116115, 113nndivred 10691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
117116recnd 9700 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
118111, 117mulcld 9694 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
11995, 107, 118fsummulc2 13900 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
12099adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
121106adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
122120, 121, 111, 117mul4d 9876 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  d )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
12397ad2antlr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
12410, 11, 12, 13, 108, 123, 110dchrzrhmul 24230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
125104adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
126125recnd 9700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
127115recnd 9700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
128102nnrpd 11373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
129128adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
130129, 114rpmulcld 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  x.  m )  e.  RR+ )
131130rpcnne0d 11384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  e.  CC  /\  (
d  x.  m )  =/=  0 ) )
132 div23 10322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  CC  /\  ( log `  m )  e.  CC  /\  (
( d  x.  m
)  e.  CC  /\  ( d  x.  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
133126, 127, 131, 132syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
134129rpcnne0d 11384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
135114rpcnne0d 11384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
136 divmuldiv 10340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( mmu `  d )  e.  CC  /\  ( log `  m
)  e.  CC )  /\  ( ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
137126, 127, 134, 135, 136syl22anc 1277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
138113nncnd 10658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
139129rpcnd 11377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
140129rpne0d 11380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
141138, 139, 140divcan3d 10421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  /  d )  =  m )
142141fveq2d 5896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) )  =  ( log `  m ) )
143142oveq2d 6336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
144133, 137, 1433eqtr4rd 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
145124, 144oveq12d 6338 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( X `  ( L `  m ) ) )  x.  (
( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
146122, 145eqtr4d 2499 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
147146sumeq2dv 13824 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
148119, 147eqtrd 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
149148sumeq2dv 13824 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) ) )
15036, 94, 1493eqtr4d 2506 1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   {crab 2753   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   Fincfn 7600   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571    x. cmul 9575    <_ cle 9707    / cdiv 10302   NNcn 10642   ZZcz 10971   RR+crp 11336   ...cfz 11819   |_cfl 12064   sum_csu 13807    || cdvds 14360   Basecbs 15176   0gc0g 15393   ZRHomczrh 19126  ℤ/nczn 19129   logclog 23560  Λcvma 24074   mmucmu 24077  DChrcdchr 24216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-disj 4390  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-tpos 7004  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-ec 7396  df-qs 7400  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ioc 11674  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-mod 12135  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13185  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-limsup 13581  df-clim 13607  df-rlim 13608  df-sum 13808  df-ef 14176  df-sin 14178  df-cos 14179  df-pi 14181  df-dvds 14361  df-gcd 14524  df-prm 14678  df-pc 14842  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-rest 15376  df-topn 15377  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-topgen 15397  df-pt 15398  df-prds 15401  df-xrs 15455  df-qtop 15461  df-imas 15462  df-qus 15464  df-xps 15465  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-mulg 16731  df-subg 16869  df-nsg 16870  df-eqg 16871  df-ghm 16936  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-rnghom 17998  df-subrg 18061  df-lmod 18148  df-lss 18211  df-lsp 18250  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-lidl 18452  df-rsp 18453  df-2idl 18511  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-cnfld 19026  df-zring 19095  df-zrh 19130  df-zn 19133  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-lp 20207  df-perf 20208  df-cn 20298  df-cnp 20299  df-haus 20386  df-tx 20632  df-hmeo 20825  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-xms 21390  df-ms 21391  df-tms 21392  df-cncf 21965  df-limc 22877  df-dv 22878  df-log 23562  df-vma 24080  df-mu 24083  df-dchr 24217
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  24391
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