Theorem dchrvmasumlem1 21142

Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.a	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem1	|- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, .1.   m, d, n, A   m, N, n   ph, d, m, n   m, Z, n   D, m, n   L, d, m, n   X, d, m, n   A, n

Allowed substitution hints:   D( d)   .1. ( d)   G( m, n, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1

Dummy variables x i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( d x. m ) ) )
2	1	fveq2d 5691	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) )
3		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) = ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) )
4		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( n = ( d x. m ) -> ( n / d ) = ( ( d x. m ) / d ) )
5	4	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( log ` ( n / d ) ) = ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) )
6	3, 5	oveq12d 6058	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) )
7	2, 6	oveq12d 6058	. . 3 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
8		dchrvmasum.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR+ )
9	8	rpred 10604	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
10		rpvmasum.g	. . . . . 6 |- G = (DChr ` N )
11		rpvmasum.z	. . . . . 6 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
12		rpvmasum.d	. . . . . 6 |- D = ( Base ` G )
13		rpvmasum.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` Z )
14		dchrisum.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. D )
15	14	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
16		elfzelz 11015	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. ZZ )
17	16	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. ZZ )
18	10, 11, 12, 13, 15, 17	dchrzrhcl 20982	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
19	18	adantrr 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
20		elrabi 3050	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d e. NN )
21	20	ad2antll 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. NN )
22		mucl 20877	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
24	23	zred 10331	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
25		elfznn 11036	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
26	25	ad2antrl 709	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. NN )
27	24, 26	nndivred 10004	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. RR )
28	27	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. CC )
29	26	nnrpd 10603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. RR+ )
30	21	nnrpd 10603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. RR+ )
31	29, 30	rpdivcld 10621	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( n / d ) e. RR+ )
32	31	relogcld 20471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. RR )
33	32	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
34	28, 33	mulcld 9064	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
35	19, 34	mulcld 9064	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) e. CC )
36	7, 9, 35	dvdsflsumcom 20926	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
37		vmaf 20855	. . . . . . . . . . . . 13 |- Λ : NN --> RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Λ : NN --> RR )
39		ax-resscn 9003	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
40		fss 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Λ : NN --> RR /\ RR C_ CC ) -> Λ : NN --> CC )
41	38, 39, 40	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Λ : NN --> CC )
42		vmasum 20953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
43	42	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
44	43	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( log ` m ) = sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) )
45	44	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) ) )
46	41, 45	muinv 20931	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Λ = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) )
47	46	fveq1d 5689	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Λ ` n ) = ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) )
48		sumex 12436	. . . . . . . . . 10 |- sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V
49		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
50	49	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
51	25, 48, 50	sylancl 644	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
52	47, 51	sylan9eq 2456	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
53		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = d -> ( x || n <-> d || n ) )
54	53	elrab 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. { x e. NN | x || n } <-> ( d e. NN /\ d || n ) )
55	54	simprbi 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d || n )
56	55	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d || n )
57	25	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
58		nndivdvds 12813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ d e. NN ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
59	57, 20, 58	syl2an 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
60	56, 59	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( n / d ) e. NN )
61		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n / d ) -> ( log ` m ) = ( log ` ( n / d ) ) )
62		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> ( log ` m ) )
63		fvex 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( log ` ( n / d ) ) e. _V
64	61, 62, 63	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n / d ) e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
65	60, 64	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
66	65	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
67	66	sumeq2dv 12452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
68	52, 67	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
69	68	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
70		fzfid 11267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
71		sgmss 20842	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
72	57, 71	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
73		ssfi 7288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
74	70, 72, 73	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
75	57	nncnd 9972	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. CC )
76	23	zcnd 10332	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
77	76	anassrs 630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
78	33	anassrs 630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
79	77, 78	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
80	57	nnne0d 10000	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n =/= 0 )
81	74, 75, 79, 80	fsumdivc 12524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
82	20	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d e. NN )
83	82, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
84	83	zcnd 10332	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
85	75	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n e. CC )
86	80	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n =/= 0 )
87	84, 78, 85, 86	div23d 9783	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
88	87	sumeq2dv 12452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
89	69, 81, 88	3eqtrd 2440	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
90	89	oveq2d 6056	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
91	34	anassrs 630	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
92	74, 18, 91	fsummulc2 12522	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
93	90, 92	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
94	93	sumeq2dv 12452	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
95		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) e. Fin )
96	14	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
97		elfzelz 11015	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> d e. ZZ )
98	97	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. ZZ )
99	10, 11, 12, 13, 96, 98	dchrzrhcl 20982	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
100		fznnfl 11198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
101	9, 100	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
102	101	simprbda 607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. NN )
103	102, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
104	103	zred 10331	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
105	104, 102	nndivred 10004	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
106	105	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
107	99, 106	mulcld 9064	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
108	14	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> X e. D )
109		elfzelz 11015	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. ZZ )
110	109	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
111	10, 11, 12, 13, 108, 110	dchrzrhcl 20982	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
112		elfznn 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. NN )
113	112	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. NN )
114	113	nnrpd 10603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
115	114	relogcld 20471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
116	115, 113	nndivred 10004	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. RR )
117	116	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. CC )
118	111, 117	mulcld 9064	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) e. CC )
119	95, 107, 118	fsummulc2 12522	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
120	99	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
121	106	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
122	120, 121, 111, 117	mul4d 9234	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
123	97	ad2antlr 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. ZZ )
124	10, 11, 12, 13, 108, 123, 110	dchrzrhmul 20983	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) )
125	104	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
126	125	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
127	115	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. CC )
128	102	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. RR+ )
129	128	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. RR+ )
130	129, 114	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d x. m ) e. RR+ )
131	130	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) )
132		div23 9653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC /\ ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
133	126, 127, 131, 132	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
134	129	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d e. CC /\ d =/= 0 ) )
135	114	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
136		divmuldiv 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC ) /\ ( ( d e. CC /\ d =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
137	126, 127, 134, 135, 136	syl22anc 1185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
138	113	nncnd 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. CC )
139	129	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. CC )
140	129	rpne0d 10609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d =/= 0 )
141	138, 139, 140	divcan3d 9751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) / d ) = m )
142	141	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) = ( log ` m ) )
143	142	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
144	133, 137, 143	3eqtr4rd 2447	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
145	124, 144	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
146	122, 145	eqtr4d 2439	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
147	146	sumeq2dv 12452	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
148	119, 147	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
149	148	sumeq2dv 12452	. 2 |- ( ph -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
150	36, 94, 149	3eqtr4d 2446	1 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   {crab 2670   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   <_ cle 9077   / cdiv 9633   NNcn 9956   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ...cfz 10999   |_cfl 11156   sum_csu 12434   || cdivides 12807   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736   logclog 20405  Λcvma 20827   mmucmu 20830  DChrcdchr 20969

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  21144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-vma 20833  df-mu 20836  df-dchr 20970