Theorem dchrvmasumlem1 23544

Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.a	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem1	|- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, .1.   m, d, n, A   m, N, n   ph, d, m, n   m, Z, n   D, m, n   L, d, m, n   X, d, m, n   A, n

Allowed substitution hints:   D( d)   .1. ( d)   G( m, n, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1

Dummy variables x i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( d x. m ) ) )
2	1	fveq2d 5876	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) )
3		oveq2 6303	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) = ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) )
4		oveq1 6302	. . . . . 6 |- ( n = ( d x. m ) -> ( n / d ) = ( ( d x. m ) / d ) )
5	4	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( log ` ( n / d ) ) = ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) )
6	3, 5	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) )
7	2, 6	oveq12d 6313	. . 3 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
8		dchrvmasum.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR+ )
9	8	rpred 11268	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
10		rpvmasum.g	. . . . . 6 |- G = (DChr ` N )
11		rpvmasum.z	. . . . . 6 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
12		rpvmasum.d	. . . . . 6 |- D = ( Base ` G )
13		rpvmasum.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` Z )
14		dchrisum.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. D )
15	14	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
16		elfzelz 11700	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. ZZ )
17	16	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. ZZ )
18	10, 11, 12, 13, 15, 17	dchrzrhcl 23384	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
19	18	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
20		elrabi 3263	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d e. NN )
21	20	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. NN )
22		mucl 23279	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
24	23	zred 10978	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
25		elfznn 11726	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
26	25	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. NN )
27	24, 26	nndivred 10596	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. RR )
28	27	recnd 9634	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. CC )
29	26	nnrpd 11267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. RR+ )
30	21	nnrpd 11267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. RR+ )
31	29, 30	rpdivcld 11285	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( n / d ) e. RR+ )
32	31	relogcld 22872	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. RR )
33	32	recnd 9634	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
34	28, 33	mulcld 9628	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
35	19, 34	mulcld 9628	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) e. CC )
36	7, 9, 35	dvdsflsumcom 23328	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
37		vmaf 23257	. . . . . . . . . . . . 13 |- Λ : NN --> RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Λ : NN --> RR )
39		ax-resscn 9561	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
40		fss 5745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Λ : NN --> RR /\ RR C_ CC ) -> Λ : NN --> CC )
41	38, 39, 40	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Λ : NN --> CC )
42		vmasum 23355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
43	42	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
44	43	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( log ` m ) = sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) )
45	44	mpteq2dva 4539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) ) )
46	41, 45	muinv 23333	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Λ = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) )
47	46	fveq1d 5874	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Λ ` n ) = ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) )
48		sumex 13489	. . . . . . . . . 10 |- sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V
49		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
50	49	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
51	25, 48, 50	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
52	47, 51	sylan9eq 2528	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
53		breq1 4456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = d -> ( x || n <-> d || n ) )
54	53	elrab 3266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. { x e. NN | x || n } <-> ( d e. NN /\ d || n ) )
55	54	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d || n )
56	55	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d || n )
57	25	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
58		nndivdvds 13869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ d e. NN ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
59	57, 20, 58	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
60	56, 59	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( n / d ) e. NN )
61		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n / d ) -> ( log ` m ) = ( log ` ( n / d ) ) )
62		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> ( log ` m ) )
63		fvex 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( log ` ( n / d ) ) e. _V
64	61, 62, 63	fvmpt 5957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n / d ) e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
65	60, 64	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
66	65	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
67	66	sumeq2dv 13504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
68	52, 67	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
69	68	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
70		fzfid 12063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
71		sgmss 23244	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
72	57, 71	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
73		ssfi 7752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
74	70, 72, 73	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
75	57	nncnd 10564	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. CC )
76	23	zcnd 10979	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
77	76	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
78	33	anassrs 648	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
79	77, 78	mulcld 9628	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
80	57	nnne0d 10592	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n =/= 0 )
81	74, 75, 79, 80	fsumdivc 13580	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
82	20	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d e. NN )
83	82, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
84	83	zcnd 10979	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
85	75	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n e. CC )
86	80	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n =/= 0 )
87	84, 78, 85, 86	div23d 10369	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
88	87	sumeq2dv 13504	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
89	69, 81, 88	3eqtrd 2512	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
90	89	oveq2d 6311	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
91	34	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
92	74, 18, 91	fsummulc2 13578	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
93	90, 92	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
94	93	sumeq2dv 13504	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
95		fzfid 12063	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) e. Fin )
96	14	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
97		elfzelz 11700	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> d e. ZZ )
98	97	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. ZZ )
99	10, 11, 12, 13, 96, 98	dchrzrhcl 23384	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
100		fznnfl 11969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
101	9, 100	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
102	101	simprbda 623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. NN )
103	102, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
104	103	zred 10978	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
105	104, 102	nndivred 10596	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
106	105	recnd 9634	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
107	99, 106	mulcld 9628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
108	14	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> X e. D )
109		elfzelz 11700	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. ZZ )
110	109	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
111	10, 11, 12, 13, 108, 110	dchrzrhcl 23384	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
112		elfznn 11726	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. NN )
113	112	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. NN )
114	113	nnrpd 11267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
115	114	relogcld 22872	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
116	115, 113	nndivred 10596	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. RR )
117	116	recnd 9634	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. CC )
118	111, 117	mulcld 9628	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) e. CC )
119	95, 107, 118	fsummulc2 13578	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
120	99	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
121	106	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
122	120, 121, 111, 117	mul4d 9803	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
123	97	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. ZZ )
124	10, 11, 12, 13, 108, 123, 110	dchrzrhmul 23385	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) )
125	104	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
126	125	recnd 9634	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
127	115	recnd 9634	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. CC )
128	102	nnrpd 11267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. RR+ )
129	128	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. RR+ )
130	129, 114	rpmulcld 11284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d x. m ) e. RR+ )
131	130	rpcnne0d 11277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) )
132		div23 10238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC /\ ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
133	126, 127, 131, 132	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
134	129	rpcnne0d 11277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d e. CC /\ d =/= 0 ) )
135	114	rpcnne0d 11277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
136		divmuldiv 10256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC ) /\ ( ( d e. CC /\ d =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
137	126, 127, 134, 135, 136	syl22anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
138	113	nncnd 10564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. CC )
139	129	rpcnd 11270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. CC )
140	129	rpne0d 11273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d =/= 0 )
141	138, 139, 140	divcan3d 10337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) / d ) = m )
142	141	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) = ( log ` m ) )
143	142	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
144	133, 137, 143	3eqtr4rd 2519	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
145	124, 144	oveq12d 6313	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
146	122, 145	eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
147	146	sumeq2dv 13504	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
148	119, 147	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
149	148	sumeq2dv 13504	. 2 |- ( ph -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
150	36, 94, 149	3eqtr4d 2518	1 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   {crab 2821   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   x. cmul 9509   <_ cle 9641   / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876   RR+crp 11232   ...cfz 11684   |_cfl 11907   sum_csu 13487   || cdivides 13863   Basecbs 14506   0gc0g 14711   ZRHomczrh 18404  ℤ/nℤczn 18407   logclog 22806  Λcvma 23229   mmucmu 23232  DChrcdchr 23371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-dvds 13864  df-gcd 14020  df-prm 14093  df-pc 14236  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-qus 14780  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-nsg 16070  df-eqg 16071  df-ghm 16136  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-cring 17071  df-oppr 17142  df-dvdsr 17160  df-unit 17161  df-rnghom 17234  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-sra 17687  df-rgmod 17688  df-lidl 17689  df-rsp 17690  df-2idl 17748  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-zring 18357  df-zrh 18408  df-zn 18411  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22808  df-vma 23235  df-mu 23238  df-dchr 23372

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  23546