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Theorem dchrvmasumlem1 22703
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n,  .1.    m, d, n, A   
m, N, n    ph, d, m, n    m, Z, n    D, m, n    L, d, m, n    X, d, m, n    A, n
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    G( m, n, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
Dummy variables  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5688 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
21fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
3 oveq2 6098 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  /  n )  =  ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) ) )
4 oveq1 6097 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
n  /  d )  =  ( ( d  x.  m )  / 
d ) )
54fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( n  / 
d ) )  =  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )
63, 5oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )
72, 6oveq12d 6108 . . 3  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
8 dchrvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
98rpred 11023 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
10 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
11 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
12 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
13 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
14 dchrisum.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1514adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
16 elfzelz 11449 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
1716adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
1810, 11, 12, 13, 15, 17dchrzrhcl 22543 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
1918adantrr 711 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
20 elrabi 3111 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  e.  NN )
2120ad2antll 723 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  NN )
22 mucl 22438 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
2423zred 10743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
25 elfznn 11474 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
2625ad2antrl 722 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  NN )
2724, 26nndivred 10366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  RR )
2827recnd 9408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  CC )
2926nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  RR+ )
3021nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  RR+ )
3129, 30rpdivcld 11040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( n  /  d )  e.  RR+ )
3231relogcld 22031 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  RR )
3332recnd 9408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
3428, 33mulcld 9402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
3519, 34mulcld 9402 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  e.  CC )
367, 9, 35dvdsflsumcom 22487 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
37 vmaf 22416 . . . . . . . . . . . . 13  |- Λ : NN --> RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Λ : NN --> RR )
39 ax-resscn 9335 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
40 fss 5564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Λ : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> Λ : NN --> CC )
4138, 39, 40sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Λ : NN --> CC )
42 vmasum 22514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4342adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4443eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  m )  =  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  (Λ `  i
) )
4544mpteq2dva 4375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i ) ) )
4641, 45muinv 22492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Λ 
=  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) )
4746fveq1d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Λ `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
) )
48 sumex 13161 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  e.  _V
49 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5049fvmpt2 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
5125, 48, 50sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) ) `  n )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5247, 51sylan9eq 2493 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
53 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  d  ->  (
x  ||  n  <->  d  ||  n ) )
5453elrab 3114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  <->  ( d  e.  NN  /\  d  ||  n ) )
5554simprbi 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  ||  n )
5655adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  ||  n )
5725adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
58 nndivdvds 13537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  /  d )  e.  NN ) )
5957, 20, 58syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  / 
d )  e.  NN ) )
6056, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( n  /  d )  e.  NN )
61 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  / 
d )  ->  ( log `  m )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
62 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )
63 fvex 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  _V
6461, 62, 63fvmpt 5771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  /  d )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6560, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6665oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
6766sumeq2dv 13176 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
6852, 67eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
6968oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
) )
70 fzfid 11791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
71 sgmss 22403 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
7257, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
73 ssfi 7529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7470, 72, 73syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7557nncnd 10334 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
7623zcnd 10744 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7776anassrs 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7833anassrs 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
7977, 78mulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
8057nnne0d 10362 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
8174, 75, 79, 80fsumdivc 13249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n ) )
8220adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  e.  NN )
8382, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
8483zcnd 10744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
8575adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  e.  CC )
8680adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  =/=  0 )
8784, 78, 85, 86div23d 10140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  /  n )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
8887sumeq2dv 13176 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n )  = 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
8969, 81, 883eqtrd 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
9089oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) ) )
9134anassrs 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
9274, 18, 91fsummulc2 13247 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x. 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9390, 92eqtrd 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9493sumeq2dv 13176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
95 fzfid 11791 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
9614adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
97 elfzelz 11449 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
9897adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
9910, 11, 12, 13, 96, 98dchrzrhcl 22543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
100 fznnfl 11697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  A ) ) )
1019, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  A )
) )
102101simprbda 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
103102, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
104103zred 10743 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
105104, 102nndivred 10366 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
106105recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
10799, 106mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
10814ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
109 elfzelz 11449 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
110109adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
11110, 11, 12, 13, 108, 110dchrzrhcl 22543 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
112 elfznn 11474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
113112adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
114113nnrpd 11022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
115114relogcld 22031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
116115, 113nndivred 10366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
117116recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
118111, 117mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
11995, 107, 118fsummulc2 13247 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
12099adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
121106adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
122120, 121, 111, 117mul4d 9577 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  d )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
12397ad2antlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
12410, 11, 12, 13, 108, 123, 110dchrzrhmul 22544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
125104adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
126125recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
127115recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
128102nnrpd 11022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
129128adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
130129, 114rpmulcld 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  x.  m )  e.  RR+ )
131130rpcnne0d 11032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  e.  CC  /\  (
d  x.  m )  =/=  0 ) )
132 div23 10009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  CC  /\  ( log `  m )  e.  CC  /\  (
( d  x.  m
)  e.  CC  /\  ( d  x.  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
133126, 127, 131, 132syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
134129rpcnne0d 11032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
135114rpcnne0d 11032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
136 divmuldiv 10027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( mmu `  d )  e.  CC  /\  ( log `  m
)  e.  CC )  /\  ( ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
137126, 127, 134, 135, 136syl22anc 1214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
138113nncnd 10334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
139129rpcnd 11025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
140129rpne0d 11028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
141138, 139, 140divcan3d 10108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  /  d )  =  m )
142141fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) )  =  ( log `  m ) )
143142oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
144133, 137, 1433eqtr4rd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
145124, 144oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( X `  ( L `  m ) ) )  x.  (
( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
146122, 145eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
147146sumeq2dv 13176 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
148119, 147eqtrd 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
149148sumeq2dv 13176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) ) )
15036, 94, 1493eqtr4d 2483 1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   ZZcz 10642   RR+crp 10987   ...cfz 11433   |_cfl 11636   sum_csu 13159    || cdivides 13531   Basecbs 14170   0gc0g 14374   ZRHomczrh 17890  ℤ/nczn 17893   logclog 21965  Λcvma 22388   mmucmu 22391  DChrcdchr 22530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-divs 14443  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-rnghom 16796  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-lidl 17233  df-rsp 17234  df-2idl 17292  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zrh 17894  df-zn 17897  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-vma 22394  df-mu 22397  df-dchr 22531
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  22705
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