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Theorem dchrvmasumlem1 22759
Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n,  .1.    m, d, n, A   
m, N, n    ph, d, m, n    m, Z, n    D, m, n    L, d, m, n    X, d, m, n    A, n
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    G( m, n, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1
Dummy variables  x  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5706 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
21fveq2d 5710 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
3 oveq2 6114 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  /  n )  =  ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) ) )
4 oveq1 6113 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
n  /  d )  =  ( ( d  x.  m )  / 
d ) )
54fveq2d 5710 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( n  / 
d ) )  =  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )
63, 5oveq12d 6124 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )
72, 6oveq12d 6124 . . 3  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
8 dchrvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
98rpred 11042 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
10 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
11 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
12 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
13 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
14 dchrisum.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
16 elfzelz 11468 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
1810, 11, 12, 13, 15, 17dchrzrhcl 22599 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
1918adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
20 elrabi 3129 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  e.  NN )
2120ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  NN )
22 mucl 22494 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
2423zred 10762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
25 elfznn 11493 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
2625ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  NN )
2724, 26nndivred 10385 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  RR )
2827recnd 9427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  n )  e.  CC )
2926nnrpd 11041 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  n  e.  RR+ )
3021nnrpd 11041 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  RR+ )
3129, 30rpdivcld 11059 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( n  /  d )  e.  RR+ )
3231relogcld 22087 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  RR )
3332recnd 9427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
3428, 33mulcld 9421 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
3519, 34mulcld 9421 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  e.  CC )
367, 9, 35dvdsflsumcom 22543 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
37 vmaf 22472 . . . . . . . . . . . . 13  |- Λ : NN --> RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> Λ : NN --> RR )
39 ax-resscn 9354 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
40 fss 5582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (Λ : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  -> Λ : NN --> CC )
4138, 39, 40sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> Λ : NN --> CC )
42 vmasum 22570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i )  =  ( log `  m
) )
4443eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  m )  =  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  (Λ `  i
) )
4544mpteq2dva 4393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
(Λ `  i ) ) )
4641, 45muinv 22548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> Λ 
=  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) )
4746fveq1d 5708 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Λ `  n )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
) )
48 sumex 13180 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  e.  _V
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5049fvmpt2 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) ) `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
5125, 48, 50sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) ) `  n )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) ) )
5247, 51sylan9eq 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) ) )
53 breq1 4310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  d  ->  (
x  ||  n  <->  d  ||  n ) )
5453elrab 3132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  <->  ( d  e.  NN  /\  d  ||  n ) )
5554simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  ||  n )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  ||  n )
5725adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
58 nndivdvds 13556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  /  d )  e.  NN ) )
5957, 20, 58syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( d  ||  n  <->  ( n  / 
d )  e.  NN ) )
6056, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( n  /  d )  e.  NN )
61 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  / 
d )  ->  ( log `  m )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
62 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) )
63 fvex 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  _V
6461, 62, 63fvmpt 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  /  d )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6560, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) )  =  ( log `  (
n  /  d ) ) )
6665oveq2d 6122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( m  e.  NN  |->  ( log `  m
) ) `  (
n  /  d ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
6766sumeq2dv 13195 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  (
( m  e.  NN  |->  ( log `  m ) ) `  ( n  /  d ) ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
6852, 67eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) ) )
6968oveq1d 6121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
) )
70 fzfid 11810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
71 sgmss 22459 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
7257, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
73 ssfi 7548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7470, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  e.  Fin )
7557nncnd 10353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
7623zcnd 10763 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7776anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
7833anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( log `  ( n  /  d
) )  e.  CC )
7977, 78mulcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
8057nnne0d 10381 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
8174, 75, 79, 80fsumdivc 13268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n ) )
8220adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  d  e.  NN )
8382, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
8483zcnd 10763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
8575adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  e.  CC )
8680adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  n  =/=  0 )
8784, 78, 85, 86div23d 10159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) )  /  n )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
8887sumeq2dv 13195 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( n  / 
d ) ) )  /  n )  = 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
8969, 81, 883eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )
9089oveq2d 6122 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) ) )
9134anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  n }
)  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) )  e.  CC )
9274, 18, 91fsummulc2 13266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x. 
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( ( mmu `  d )  /  n
)  x.  ( log `  ( n  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9390, 92eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
9493sumeq2dv 13195 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  n )  x.  ( log `  (
n  /  d ) ) ) ) )
95 fzfid 11810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
9614adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
97 elfzelz 11468 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
9897adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
9910, 11, 12, 13, 96, 98dchrzrhcl 22599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
100 fznnfl 11716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  A ) ) )
1019, 100syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  A )
) )
102101simprbda 623 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
103102, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
104103zred 10762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
105104, 102nndivred 10385 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
106105recnd 9427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
10799, 106mulcld 9421 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
10814ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
109 elfzelz 11468 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
110109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
11110, 11, 12, 13, 108, 110dchrzrhcl 22599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
112 elfznn 11493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
113112adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
114113nnrpd 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
115114relogcld 22087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
116115, 113nndivred 10385 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
117116recnd 9427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
118111, 117mulcld 9421 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
11995, 107, 118fsummulc2 13266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
12099adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
121106adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
122120, 121, 111, 117mul4d 9596 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  d )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
12397ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
12410, 11, 12, 13, 108, 123, 110dchrzrhmul 22600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
125104adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
126125recnd 9427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
127115recnd 9427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
128102nnrpd 11041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
130129, 114rpmulcld 11058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  x.  m )  e.  RR+ )
131130rpcnne0d 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  e.  CC  /\  (
d  x.  m )  =/=  0 ) )
132 div23 10028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  CC  /\  ( log `  m )  e.  CC  /\  (
( d  x.  m
)  e.  CC  /\  ( d  x.  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
133126, 127, 131, 132syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  m ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
134129rpcnne0d 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
135114rpcnne0d 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
136 divmuldiv 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( mmu `  d )  e.  CC  /\  ( log `  m
)  e.  CC )  /\  ( ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
137126, 127, 134, 135, 136syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  d )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  m ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
138113nncnd 10353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
139129rpcnd 11044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
140129rpne0d 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
141138, 139, 140divcan3d 10127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
d  x.  m )  /  d )  =  m )
142141fveq2d 5710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) )  =  ( log `  m ) )
143142oveq2d 6122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  m ) ) )
144133, 137, 1433eqtr4rd 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
145124, 144oveq12d 6124 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( X `  ( L `  m ) ) )  x.  (
( ( mmu `  d )  /  d
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
146122, 145eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
147146sumeq2dv 13195 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
148119, 147eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d
)  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  (
( d  x.  m
)  /  d ) ) ) ) )
149148sumeq2dv 13195 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  x.  ( ( ( mmu `  d )  /  (
d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( ( d  x.  m )  /  d
) ) ) ) )
15036, 94, 1493eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {crab 2734   _Vcvv 2987    C_ wss 3343   class class class wbr 4307    e. cmpt 4365   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Fincfn 7325   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298    x. cmul 9302    <_ cle 9434    / cdiv 10008   NNcn 10337   ZZcz 10661   RR+crp 11006   ...cfz 11452   |_cfl 11655   sum_csu 13178    || cdivides 13550   Basecbs 14189   0gc0g 14393   ZRHomczrh 17946  ℤ/nczn 17949   logclog 22021  Λcvma 22444   mmucmu 22447  DChrcdchr 22586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-tpos 6760  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-ec 7118  df-qs 7122  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ioc 11320  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-shft 12571  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-limsup 12964  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-ef 13368  df-sin 13370  df-cos 13371  df-pi 13373  df-dvds 13551  df-gcd 13706  df-prm 13779  df-pc 13919  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-divs 14462  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-mhm 15479  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-mulg 15563  df-subg 15693  df-nsg 15694  df-eqg 15695  df-ghm 15760  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-abl 16295  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-cring 16663  df-oppr 16730  df-dvdsr 16748  df-unit 16749  df-rnghom 16821  df-subrg 16878  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-lsp 17068  df-sra 17268  df-rgmod 17269  df-lidl 17270  df-rsp 17271  df-2idl 17329  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-zring 17899  df-zrh 17950  df-zn 17953  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-lp 18755  df-perf 18756  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-haus 18934  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cncf 20469  df-limc 21356  df-dv 21357  df-log 22023  df-vma 22450  df-mu 22453  df-dchr 22587
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  22761
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