Theorem dchrvmasumlem1 24389

Description: An alternative expression for a Dirichlet-weighted von Mangoldt sum in terms of the Möbius function. Equation 9.4.11 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasum.a	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem1	|- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, .1.   m, d, n, A   m, N, n   ph, d, m, n   m, Z, n   D, m, n   L, d, m, n   X, d, m, n   A, n

Allowed substitution hints:   D( d)   .1. ( d)   G( m, n, d)   N( d)   Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasumlem1

Dummy variables x i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5892	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( d x. m ) ) )
2	1	fveq2d 5896	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) )
3		oveq2 6328	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) = ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) )
4		oveq1 6327	. . . . . 6 |- ( n = ( d x. m ) -> ( n / d ) = ( ( d x. m ) / d ) )
5	4	fveq2d 5896	. . . . 5 |- ( n = ( d x. m ) -> ( log ` ( n / d ) ) = ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) )
6	3, 5	oveq12d 6338	. . . 4 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) )
7	2, 6	oveq12d 6338	. . 3 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
8		dchrvmasum.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR+ )
9	8	rpred 11375	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
10		rpvmasum.g	. . . . . 6 |- G = (DChr ` N )
11		rpvmasum.z	. . . . . 6 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
12		rpvmasum.d	. . . . . 6 |- D = ( Base ` G )
13		rpvmasum.l	. . . . . 6 |- L = ( ZRHom ` Z )
14		dchrisum.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. D )
15	14	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
16		elfzelz 11835	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. ZZ )
17	16	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. ZZ )
18	10, 11, 12, 13, 15, 17	dchrzrhcl 24229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
19	18	adantrr 728	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
20		elrabi 3205	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d e. NN )
21	20	ad2antll 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. NN )
22		mucl 24124	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
24	23	zred 11074	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
25		elfznn 11863	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
26	25	ad2antrl 739	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. NN )
27	24, 26	nndivred 10691	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. RR )
28	27	recnd 9700	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) / n ) e. CC )
29	26	nnrpd 11373	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> n e. RR+ )
30	21	nnrpd 11373	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> d e. RR+ )
31	29, 30	rpdivcld 11392	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( n / d ) e. RR+ )
32	31	relogcld 23628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. RR )
33	32	recnd 9700	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
34	28, 33	mulcld 9694	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
35	19, 34	mulcld 9694	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) e. CC )
36	7, 9, 35	dvdsflsumcom 24173	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
37		vmaf 24102	. . . . . . . . . . . . 13 |- Λ : NN --> RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Λ : NN --> RR )
39		ax-resscn 9627	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
40		fss 5764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (Λ : NN --> RR /\ RR C_ CC ) -> Λ : NN --> CC )
41	38, 39, 40	sylancl 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Λ : NN --> CC )
42		vmasum 24200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
43	42	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) = ( log ` m ) )
44	43	eqcomd 2468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( log ` m ) = sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) )
45	44	mpteq2dva 4505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> sum_ i e. { x e. NN | x || m } (Λ ` i ) ) )
46	41, 45	muinv 24178	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Λ = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) )
47	46	fveq1d 5894	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Λ ` n ) = ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) )
48		sumex 13809	. . . . . . . . . 10 |- sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V
49		eqid 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) = ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
50	49	fvmpt2 5985	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
51	25, 48, 50	sylancl 673	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) ) ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
52	47, 51	sylan9eq 2516	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) )
53		breq1 4421	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = d -> ( x || n <-> d || n ) )
54	53	elrab 3208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. { x e. NN | x || n } <-> ( d e. NN /\ d || n ) )
55	54	simprbi 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. { x e. NN | x || n } -> d || n )
56	55	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d || n )
57	25	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
58		nndivdvds 14366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ d e. NN ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
59	57, 20, 58	syl2an 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( d || n <-> ( n / d ) e. NN ) )
60	56, 59	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( n / d ) e. NN )
61		fveq2 5892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n / d ) -> ( log ` m ) = ( log ` ( n / d ) ) )
62		eqid 2462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) = ( m e. NN |-> ( log ` m ) )
63		fvex 5902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( log ` ( n / d ) ) e. _V
64	61, 62, 63	fvmpt 5976	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n / d ) e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
65	60, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) = ( log ` ( n / d ) ) )
66	65	oveq2d 6336	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
67	66	sumeq2dv 13824	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( m e. NN |-> ( log ` m ) ) ` ( n / d ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
68	52, 67	eqtrd 2496	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
69	68	oveq1d 6335	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
70		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
71		sgmss 24089	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
72	57, 71	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) )
73		ssfi 7823	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ { x e. NN | x || n } C_ ( 1 ... n ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
74	70, 72, 73	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> { x e. NN | x || n } e. Fin )
75	57	nncnd 10658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. CC )
76	23	zcnd 11075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
77	76	anassrs 658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
78	33	anassrs 658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( log ` ( n / d ) ) e. CC )
79	77, 78	mulcld 9694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
80	57	nnne0d 10687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n =/= 0 )
81	74, 75, 79, 80	fsumdivc 13902	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) )
82	20	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> d e. NN )
83	82, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
84	83	zcnd 11075	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
85	75	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n e. CC )
86	80	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> n =/= 0 )
87	84, 78, 85, 86	div23d 10453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
88	87	sumeq2dv 13824	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
89	69, 81, 88	3eqtrd 2500	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) )
90	89	oveq2d 6336	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
91	34	anassrs 658	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ d e. { x e. NN | x || n } ) -> ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) e. CC )
92	74, 18, 91	fsummulc2 13900	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
93	90, 92	eqtrd 2496	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
94	93	sumeq2dv 13824	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ d e. { x e. NN | x || n } ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / n ) x. ( log ` ( n / d ) ) ) ) )
95		fzfid 12224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) e. Fin )
96	14	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> X e. D )
97		elfzelz 11835	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> d e. ZZ )
98	97	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. ZZ )
99	10, 11, 12, 13, 96, 98	dchrzrhcl 24229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
100		fznnfl 12127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
101	9, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ A ) ) )
102	101	simprbda 633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. NN )
103	102, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
104	103	zred 11074	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
105	104, 102	nndivred 10691	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
106	105	recnd 9700	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
107	99, 106	mulcld 9694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
108	14	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> X e. D )
109		elfzelz 11835	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. ZZ )
110	109	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
111	10, 11, 12, 13, 108, 110	dchrzrhcl 24229	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
112		elfznn 11863	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) -> m e. NN )
113	112	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. NN )
114	113	nnrpd 11373	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
115	114	relogcld 23628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
116	115, 113	nndivred 10691	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. RR )
117	116	recnd 9700	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) / m ) e. CC )
118	111, 117	mulcld 9694	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) e. CC )
119	95, 107, 118	fsummulc2 13900	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
120	99	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
121	106	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
122	120, 121, 111, 117	mul4d 9876	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
123	97	ad2antlr 738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. ZZ )
124	10, 11, 12, 13, 108, 123, 110	dchrzrhmul 24230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) )
125	104	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. RR )
126	125	recnd 9700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
127	115	recnd 9700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. CC )
128	102	nnrpd 11373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> d e. RR+ )
129	128	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. RR+ )
130	129, 114	rpmulcld 11391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d x. m ) e. RR+ )
131	130	rpcnne0d 11384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) )
132		div23 10322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC /\ ( ( d x. m ) e. CC /\ ( d x. m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
133	126, 127, 131, 132	syl3anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
134	129	rpcnne0d 11384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( d e. CC /\ d =/= 0 ) )
135	114	rpcnne0d 11384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
136		divmuldiv 10340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( mmu ` d ) e. CC /\ ( log ` m ) e. CC ) /\ ( ( d e. CC /\ d =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
137	126, 127, 134, 135, 136	syl22anc 1277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( ( mmu ` d ) x. ( log ` m ) ) / ( d x. m ) ) )
138	113	nncnd 10658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> m e. CC )
139	129	rpcnd 11377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d e. CC )
140	129	rpne0d 11380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> d =/= 0 )
141	138, 139, 140	divcan3d 10421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( d x. m ) / d ) = m )
142	141	fveq2d 5896	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) = ( log ` m ) )
143	142	oveq2d 6336	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` m ) ) )
144	133, 137, 143	3eqtr4rd 2507	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) = ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
145	124, 144	oveq12d 6338	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / d ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
146	122, 145	eqtr4d 2499	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
147	146	sumeq2dv 13824	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
148	119, 147	eqtrd 2496	. . 3 |- ( ( ph /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
149	148	sumeq2dv 13824	. 2 |- ( ph -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) x. ( ( ( mmu ` d ) / ( d x. m ) ) x. ( log ` ( ( d x. m ) / d ) ) ) ) )
150	36, 94, 149	3eqtr4d 2506	1 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( A / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   {crab 2753   _Vcvv 3057   C_ wss 3416   class class class wbr 4418   |-> cmpt 4477   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   Fincfn 7600   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571   x. cmul 9575   <_ cle 9707   / cdiv 10302   NNcn 10642   ZZcz 10971   RR+crp 11336   ...cfz 11819   |_cfl 12064   sum_csu 13807   || cdvds 14360   Basecbs 15176   0gc0g 15393   ZRHomczrh 19126  ℤ/nℤczn 19129   logclog 23560  Λcvma 24074   mmucmu 24077  DChrcdchr 24216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-disj 4390  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-tpos 7004  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-ec 7396  df-qs 7400  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ioc 11674  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-mod 12135  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13185  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-limsup 13581  df-clim 13607  df-rlim 13608  df-sum 13808  df-ef 14176  df-sin 14178  df-cos 14179  df-pi 14181  df-dvds 14361  df-gcd 14524  df-prm 14678  df-pc 14842  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-rest 15376  df-topn 15377  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-topgen 15397  df-pt 15398  df-prds 15401  df-xrs 15455  df-qtop 15461  df-imas 15462  df-qus 15464  df-xps 15465  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-mulg 16731  df-subg 16869  df-nsg 16870  df-eqg 16871  df-ghm 16936  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-oppr 17906  df-dvdsr 17924  df-unit 17925  df-rnghom 17998  df-subrg 18061  df-lmod 18148  df-lss 18211  df-lsp 18250  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-lidl 18452  df-rsp 18453  df-2idl 18511  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-cnfld 19026  df-zring 19095  df-zrh 19130  df-zn 19133  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-lp 20207  df-perf 20208  df-cn 20298  df-cnp 20299  df-haus 20386  df-tx 20632  df-hmeo 20825  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-xms 21390  df-ms 21391  df-tms 21392  df-cncf 21965  df-limc 22877  df-dv 22878  df-log 23562  df-vma 24080  df-mu 24083  df-dchr 24217

This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  24391