Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasumlem 22747
 Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by , is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
dchrmusum.g DChr
dchrmusum.d
dchrmusum.1
dchrmusum.b
dchrmusum.n1
dchrmusum.f
dchrmusum.c
dchrmusum.t
dchrmusum.2
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem Λ
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   ()   ()   (,,,)   ()   ()

Proof of Theorem dchrvmasumlem
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . 8 ℤ/n
2 rpvmasum.l . . . . . . . 8 RHom
3 rpvmasum.a . . . . . . . 8
4 dchrmusum.g . . . . . . . 8 DChr
5 dchrmusum.d . . . . . . . 8
6 dchrmusum.1 . . . . . . . 8
7 dchrmusum.b . . . . . . . 8
8 dchrmusum.n1 . . . . . . . 8
9 dchrmusum.f . . . . . . . 8
10 dchrmusum.c . . . . . . . 8
11 dchrmusum.t . . . . . . . 8
12 dchrmusum.2 . . . . . . . 8
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrisumn0 22745 . . . . . . 7
1413adantr 465 . . . . . 6
15 ifnefalse 3796 . . . . . 6
1614, 15syl 16 . . . . 5
1716oveq2d 6102 . . . 4 Λ Λ
18 fzfid 11787 . . . . . 6
197ad2antrr 725 . . . . . . . 8
20 elfzelz 11445 . . . . . . . . 9
2120adantl 466 . . . . . . . 8
224, 1, 5, 2, 19, 21dchrzrhcl 22559 . . . . . . 7
23 elfznn 11470 . . . . . . . . . 10
2423adantl 466 . . . . . . . . 9
25 vmacl 22431 . . . . . . . . . 10 Λ
26 nndivre 10349 . . . . . . . . . 10 Λ Λ
2725, 26mpancom 669 . . . . . . . . 9 Λ
2824, 27syl 16 . . . . . . . 8 Λ
2928recnd 9404 . . . . . . 7 Λ
3022, 29mulcld 9398 . . . . . 6 Λ
3118, 30fsumcl 13202 . . . . 5 Λ
3231addid1d 9561 . . . 4 Λ Λ
3317, 32eqtrd 2470 . . 3 Λ Λ
3433mpteq2dva 4373 . 2 Λ Λ
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrvmasumif 22727 . 2 Λ
3634, 35eqeltrrd 2513 1 Λ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1369   wcel 1756   wne 2601  wral 2710  cif 3786   class class class wbr 4287   cmpt 4345  cfv 5413  (class class class)co 6086  cr 9273  cc0 9274  c1 9275   caddc 9277   cmul 9279   cpnf 9407   cle 9411   cmin 9587   cdiv 9985  cn 10314  cz 10638  crp 10983  cico 11294  cfz 11429  cfl 11632   cseq 11798  cabs 12715   cli 12954  co1 12956  csu 13155  cbs 14166  c0g 14370  RHomczrh 17906  ℤ/nℤczn 17909  clog 21981  Λcvma 22404  DChrcdchr 22546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-rpss 6355  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-word 12221  df-concat 12223  df-s1 12224  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-o1 12960  df-lo1 12961  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-numer 13805  df-denom 13806  df-phi 13833  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-divs 14439  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-gim 15778  df-ga 15799  df-cntz 15826  df-oppg 15852  df-od 16023  df-gex 16024  df-pgp 16025  df-lsm 16126  df-pj1 16127  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-cyg 16346  df-dprd 16465  df-dpj 16466  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-dvr 16763  df-rnghom 16794  df-drng 16812  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-lidl 17232  df-rsp 17233  df-2idl 17291  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-zring 17859  df-zrh 17910  df-zn 17913  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-0p 21123  df-limc 21316  df-dv 21317  df-ply 21631  df-idp 21632  df-coe 21633  df-dgr 21634  df-quot 21732  df-log 21983  df-cxp 21984  df-em 22361  df-cht 22409  df-vma 22410  df-chp 22411  df-ppi 22412  df-mu 22413  df-dchr 22547 This theorem is referenced by:  dchrvmasum  22749
 Copyright terms: Public domain W3C validator