Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumiflem2 Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasumiflem2 24282
 Description: Lemma for dchrvmasum 24305. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrvmasumif.f
dchrvmasumif.c
dchrvmasumif.s
dchrvmasumif.1
dchrvmasumif.g
dchrvmasumif.e
dchrvmasumif.t
dchrvmasumif.2
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumiflem2 Λ
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   ()   ()   (,)   ()   (,,,)   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem dchrvmasumiflem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9609 . 2
2 fzfid 12136 . . . . . 6
3 rpvmasum.g . . . . . . . 8 DChr
4 rpvmasum.z . . . . . . . 8 ℤ/n
5 rpvmasum.d . . . . . . . 8
6 rpvmasum.l . . . . . . . 8 RHom
7 dchrisum.b . . . . . . . . 9
87ad2antrr 730 . . . . . . . 8
9 elfzelz 11751 . . . . . . . . 9
109adantl 467 . . . . . . . 8
113, 4, 5, 6, 8, 10dchrzrhcl 24115 . . . . . . 7
12 elfznn 11779 . . . . . . . . . . . 12
1312adantl 467 . . . . . . . . . . 11
14 mucl 24010 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10
1615zred 10991 . . . . . . . . 9
1716, 13nndivred 10609 . . . . . . . 8
1817recnd 9620 . . . . . . 7
1911, 18mulcld 9614 . . . . . 6
202, 19fsumcl 13742 . . . . 5
21 dchrvmasumif.s . . . . . . 7
22 climcl 13506 . . . . . . 7
2321, 22syl 17 . . . . . 6
2423adantr 466 . . . . 5
2520, 24mulcld 9614 . . . 4
26 0cnd 9587 . . . . . 6
27 df-ne 2601 . . . . . . 7
28 dchrvmasumif.t . . . . . . . . . 10
29 climcl 13506 . . . . . . . . . 10
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9
3130adantr 466 . . . . . . . 8
3223adantr 466 . . . . . . . 8
33 simpr 462 . . . . . . . 8
3431, 32, 33divcld 10334 . . . . . . 7
3527, 34sylan2br 478 . . . . . 6
3626, 35ifclda 3886 . . . . 5
3736adantr 466 . . . 4
38 rpvmasum.a . . . . 5
39 rpvmasum.1 . . . . 5
40 dchrisum.n1 . . . . 5
41 dchrvmasumif.f . . . . 5
42 dchrvmasumif.c . . . . 5
43 dchrvmasumif.1 . . . . 5
444, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43dchrmusum2 24274 . . . 4
45 rpssre 11263 . . . . 5
46 o1const 13626 . . . . 5
4745, 36, 46sylancr 667 . . . 4
4825, 37, 44, 47o1mul2 13631 . . 3
49 fzfid 12136 . . . . . . 7
508adantr 466 . . . . . . . . 9
51 elfzelz 11751 . . . . . . . . . 10
5251adantl 467 . . . . . . . . 9
533, 4, 5, 6, 50, 52dchrzrhcl 24115 . . . . . . . 8
54 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13
5512nnrpd 11290 . . . . . . . . . . . . 13
56 rpdivcl 11276 . . . . . . . . . . . . 13
5754, 55, 56syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12
58 elfznn 11779 . . . . . . . . . . . . 13
5958nnrpd 11290 . . . . . . . . . . . 12
60 ifcl 3896 . . . . . . . . . . . 12
6157, 59, 60syl2an 479 . . . . . . . . . . 11
6261relogcld 23514 . . . . . . . . . 10
6358adantl 467 . . . . . . . . . 10
6462, 63nndivred 10609 . . . . . . . . 9
6564recnd 9620 . . . . . . . 8
6653, 65mulcld 9614 . . . . . . 7
6749, 66fsumcl 13742 . . . . . 6
6819, 67mulcld 9614 . . . . 5
692, 68fsumcl 13742 . . . 4
7025, 37mulcld 9614 . . . 4
71 0cn 9586 . . . . . . . . . 10
7230ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
73 ifcl 3896 . . . . . . . . . 10
7471, 72, 73sylancr 667 . . . . . . . . 9
7519, 67, 74subdid 10025 . . . . . . . 8
7675sumeq2dv 13712 . . . . . . 7
7719, 74mulcld 9614 . . . . . . . 8
782, 68, 77fsumsub 13792 . . . . . . 7
7920, 24, 37mulassd 9617 . . . . . . . . 9
80 ovif2 6332 . . . . . . . . . . . 12
8123mul01d 9783 . . . . . . . . . . . . . 14
8281ifeq1d 3872 . . . . . . . . . . . . 13
8331, 32, 33divcan2d 10336 . . . . . . . . . . . . . . 15
8427, 83sylan2br 478 . . . . . . . . . . . . . 14
8584ifeq2da 3885 . . . . . . . . . . . . 13
8682, 85eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . 12
8780, 86syl5eq 2474 . . . . . . . . . . 11
8887adantr 466 . . . . . . . . . 10
8988oveq2d 6265 . . . . . . . . 9
9071, 30, 73sylancr 667 . . . . . . . . . . 11
9190adantr 466 . . . . . . . . . 10
922, 91, 19fsummulc1 13789 . . . . . . . . 9
9379, 89, 923eqtrrd 2467 . . . . . . . 8
9493oveq2d 6265 . . . . . . 7
9576, 78, 943eqtrd 2466 . . . . . 6
9695mpteq2dva 4453 . . . . 5
97 dchrvmasumif.g . . . . . 6
98 dchrvmasumif.e . . . . . 6
99 dchrvmasumif.2 . . . . . 6
1004, 6, 38, 3, 5, 39, 7, 40, 41, 42, 21, 43, 97, 98, 28, 99dchrvmasumiflem1 24281 . . . . 5
10196, 100eqeltrrd 2507 . . . 4
10269, 70, 101o1dif 13636 . . 3
10348, 102mpbird 235 . 2
1047ad2antrr 730 . . . . . 6
105 elfzelz 11751 . . . . . . 7
106105adantl 467 . . . . . 6
1073, 4, 5, 6, 104, 106dchrzrhcl 24115 . . . . 5
108 elfznn 11779 . . . . . . . 8
109108adantl 467 . . . . . . 7
110 vmacl 23987 . . . . . . . 8 Λ
111 nndivre 10596 . . . . . . . 8 Λ Λ
112110, 111mpancom 673 . . . . . . 7 Λ
113109, 112syl 17 . . . . . 6 Λ
114113recnd 9620 . . . . 5 Λ
115107, 114mulcld 9614 . . . 4 Λ
1162, 115fsumcl 13742 . . 3 Λ
117 relogcl 23467 . . . . . 6
118117adantl 467 . . . . 5
119118recnd 9620 . . . 4
120 ifcl 3896 . . . 4
121119, 71, 120sylancl 666 . . 3
122116, 121addcld 9613 . 2 Λ
123122abscld 13441 . . . 4 Λ
124123adantrr 721 . . 3 Λ
12538adantr 466 . . . . 5
1267adantr 466 . . . . 5
12740adantr 466 . . . . 5
128 simprl 762 . . . . 5
129 simprr 764 . . . . 5
1304, 6, 125, 3, 5, 39, 126, 127, 128, 129dchrvmasum2if 24277 . . . 4 Λ
131130fveq2d 5829 . . 3 Λ
132 eqle 9687 . . 3 Λ Λ Λ
133124, 131, 132syl2anc 665 . 2 Λ
1341, 103, 69, 122, 133o1le 13659 1 Λ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2599  wral 2714   wss 3379  cif 3854   class class class wbr 4366   cmpt 4425  cfv 5544  (class class class)co 6249  cc 9488  cr 9489  cc0 9490  c1 9491   caddc 9493   cmul 9495   cpnf 9623   cle 9627   cmin 9811   cdiv 10220  cn 10560  c3 10611  cz 10888  crp 11253  cico 11588  cfz 11735  cfl 11976   cseq 12163  cabs 13241   cli 13491  co1 13493  csu 13695  cbs 15064  c0g 15281  RHomczrh 19013  ℤ/nℤczn 19016  clog 23446  Λcvma 23960  cmu 23963  DChrcdchr 24102 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-tpos 6928  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-ec 7320  df-qs 7324  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-o1 13497  df-lo1 13498  df-sum 13696  df-ef 14064  df-e 14065  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-dvds 14249  df-gcd 14412  df-prm 14566  df-pc 14730  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-qus 15352  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-subg 16757  df-nsg 16758  df-eqg 16759  df-ghm 16824  df-cntz 16914  df-od 17115  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-cring 17726  df-oppr 17794  df-dvdsr 17812  df-unit 17813  df-invr 17843  df-dvr 17854  df-rnghom 17886  df-drng 17920  df-subrg 17949  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lsp 18138  df-sra 18338  df-rgmod 18339  df-lidl 18340  df-rsp 18341  df-2idl 18399  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-zring 18982  df-zrh 19017  df-zn 19020  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764  df-log 23448  df-cxp 23449  df-em 23860  df-vma 23966  df-mu 23969  df-dchr 24103 This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  24283
 Copyright terms: Public domain W3C validator