MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumif Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasumif 24071
Description: An asymptotic approximation for the sum of  X ( n )Λ
( n )  /  n conditional on the value of the infinite sum  S. (We will later show that the case  S  =  0 is impossible, and hence establish dchrvmasum 24093.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumif.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrvmasumif.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasumif.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrvmasumif.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumif  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, n, y,  .1.    C, n, x, y   
n, F, x, y   
x, a, y    n, N, x, y    ph, n, x    S, n, x, y   
n, Z, x, y    D, n, x, y    n, a, L, x, y    X, a, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    S( a)    .1. ( a)    F( a)    G( x, y, n, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrvmasumif
Dummy variables  c 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 eqid 2404 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a
) ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dchrvmasumlema 24068 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) )
113adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
127adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  X  e.  D
)
138adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
14 dchrvmasumif.f . . . . 5  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
15 dchrvmasumif.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1615adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo )
)
17 dchrvmasumif.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
19 dchrvmasumif.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  y ) )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  y ) )
21 simprl 758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,) +oo )
)
22 simprrl 768 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) )  ~~>  t )
23 simprrr 769 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 3 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )
241, 2, 11, 4, 5, 6, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 9, 21, 22, 23dchrvmasumiflem2 24070 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O(1) )
2524rexlimdvaa 2899 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O(1) ) )
2625exlimdv 1747 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a
)  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O(1) ) )
2710, 26mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( S  =  0 ,  ( log `  x
) ,  0 ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   ifcif 3887   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529   +oocpnf 9657    <_ cle 9661    - cmin 9843    / cdiv 10249   NNcn 10578   3c3 10629   RR+crp 11267   [,)cico 11586   ...cfz 11728   |_cfl 11966    seqcseq 12153   abscabs 13218    ~~> cli 13458   O(1)co1 13460   sum_csu 13659   Basecbs 14843   0gc0g 15056   ZRHomczrh 18839  ℤ/nczn 18842   logclog 23236  Λcvma 23748  DChrcdchr 23890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-ec 7352  df-qs 7356  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-o1 13464  df-lo1 13465  df-sum 13660  df-ef 14014  df-e 14015  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-dvds 14198  df-gcd 14356  df-prm 14429  df-phi 14507  df-pc 14572  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-qus 15125  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-nsg 16525  df-eqg 16526  df-ghm 16591  df-cntz 16681  df-od 16879  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654  df-rnghom 17686  df-drng 17720  df-subrg 17749  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-lidl 18142  df-rsp 18143  df-2idl 18202  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-zring 18811  df-zrh 18843  df-zn 18846  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-cmp 20182  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565  df-log 23238  df-cxp 23239  df-em 23650  df-vma 23754  df-mu 23757  df-dchr 23891
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  24080  dchrvmasumlem  24091
  Copyright terms: Public domain W3C validator