MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2lem Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasum2lem 22760
Description: Give an expression for  log x remarkably similar to  sum_ n  <_  x
( X ( n )Λ ( n )  /  n ) given in dchrvmasumlem1 22759. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
dchrvmasum2.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    .1. , m    m, d, A    m, N    ph, d, m    m, Z    D, m    L, d, m    X, d, m
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    G( m, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5706 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
21fveq2d 5710 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
3 id 22 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  n  =  ( d  x.  m ) )
42, 3oveq12d 6124 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) ) )
5 oveq2 6114 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( A  /  n )  =  ( A  /  (
d  x.  m ) ) )
65fveq2d 5710 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( A  /  n ) )  =  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )
74, 6oveq12d 6124 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) )
87oveq2d 6122 . . 3  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
9 dchrvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
109rpred 11042 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
11 elrabi 3129 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  e.  NN )
1211ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  NN )
13 mucl 22494 . . . . . 6  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
1514zcnd 10763 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
16 rpvmasum.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (DChr `  N )
17 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
18 rpvmasum.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( Base `  G
)
19 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
20 dchrisum.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2120adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
22 elfzelz 11468 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
2322adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
2416, 17, 18, 19, 21, 23dchrzrhcl 22599 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
25 elfznn 11493 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
2625adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
2726nncnd 10353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
2826nnne0d 10381 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
2924, 27, 28divcld 10122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
3025nnrpd 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  RR+ )
31 rpdivcl 11028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( A  /  n )  e.  RR+ )
329, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR+ )
3332relogcld 22087 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  n
) )  e.  RR )
3433recnd 9427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  n
) )  e.  CC )
3529, 34mulcld 9421 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  e.  CC )
3635adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  e.  CC )
3715, 36mulcld 9421 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  e.  CC )
388, 10, 37dvdsflsumcom 22543 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
39 fveq2 5706 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( L `  n )  =  ( L ` 
1 ) )
4039fveq2d 5710 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  1 )
) )
41 id 22 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
4240, 41oveq12d 6124 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
43 oveq2 6114 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( A  /  n )  =  ( A  /  1
) )
4443fveq2d 5710 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A  /  n ) )  =  ( log `  ( A  /  1 ) ) )
4542, 44oveq12d 6124 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  1 )
)  /  1 )  x.  ( log `  ( A  /  1 ) ) ) )
46 fzfid 11810 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
4725ssriv 3375 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  C_  NN
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 
C_  NN )
49 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
50 flge1nn 11682 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN )
5110, 49, 50syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  NN )
52 nnuz 10911 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5351, 52syl6eleq 2533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
54 eluzfz1 11473 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5553, 54syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5645, 46, 48, 55, 35musumsum 22547 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  1 )
)  /  1 )  x.  ( log `  ( A  /  1 ) ) ) )
5716, 17, 18, 19, 20dchrzrh1 22598 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
5857oveq1d 6121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
59 1div1e1 10039 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6058, 59syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  1 )
619rpcnd 11044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6261div1d 10114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
6362fveq2d 5710 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  1 ) )  =  ( log `  A
) )
6460, 63oveq12d 6124 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 )  x.  ( log `  ( A  / 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( log `  A
) ) )
659relogcld 22087 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
6665recnd 9427 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
6766mulid2d 9419 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
6856, 64, 673eqtrrd 2480 . 2  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) ) )
69 fzfid 11810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
7020adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
71 elfzelz 11468 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
7271adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
7316, 17, 18, 19, 70, 72dchrzrhcl 22599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
74 fznnfl 11716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  A ) ) )
7510, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  A )
) )
7675simprbda 623 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
7776, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
7877zred 10762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
7978, 76nndivred 10385 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
8079recnd 9427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
8173, 80mulcld 9421 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
8220ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
83 elfzelz 11468 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8483adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8516, 17, 18, 19, 82, 84dchrzrhcl 22599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
86 elfznn 11493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
8786nnrpd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  RR+ )
88 rpdivcl 11028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
899, 87, 88syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
90 elfznn 11493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
9190nnrpd 11041 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
92 rpdivcl 11028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  /  d
)  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( A  /  d
)  /  m )  e.  RR+ )
9389, 91, 92syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  e.  RR+ )
9493relogcld 22087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  RR )
9590adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
9694, 95nndivred 10385 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
9796recnd 9427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  CC )
9885, 97mulcld 9421 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
9969, 81, 98fsummulc2 13266 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
10073adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
10178adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
102101recnd 9427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
10376nnrpd 11041 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
104103adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
105104rpcnne0d 11051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
106 div12 10031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  e.  CC  /\  ( mmu `  d )  e.  CC  /\  (
d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) ) )
107100, 102, 105, 106syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) ) )
10894recnd 9427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  CC )
10995nnrpd 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
110109rpcnne0d 11051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
111 div12 10031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  e.  CC  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
11285, 108, 110, 111syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
113107, 112oveq12d 6124 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  d )
)  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
114104rpcnd 11044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
115104rpne0d 11047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
116100, 114, 115divcld 10122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  / 
d )  e.  CC )
11795nncnd 10353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
11895nnne0d 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
11985, 117, 118divcld 10122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
120116, 119mulcld 9421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
121102, 108, 120mulassd 9424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  / 
d )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) ) )
122102, 116, 108, 119mul4d 9596 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
12371ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
12416, 17, 18, 19, 82, 123, 84dchrzrhmul 22600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
125124oveq1d 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
126 divmuldiv 10046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  e.  CC  /\  ( X `  ( L `
 m ) )  e.  CC )  /\  ( ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
127100, 85, 105, 110, 126syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
128125, 127eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
12961ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
130 divdiv1 10057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  / 
d )  /  m
)  =  ( A  /  ( d  x.  m ) ) )
131129, 105, 110, 130syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  =  ( A  /  ( d  x.  m ) ) )
132131eqcomd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( A  /  ( d  x.  m ) )  =  ( ( A  / 
d )  /  m
) )
133132fveq2d 5710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  (
d  x.  m ) ) )  =  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) ) )
134128, 133oveq12d 6124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  x.  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) ) )
135120, 108mulcomd 9422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  x.  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) )  =  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
136134, 135eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
137136oveq2d 6122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  x.  ( log `  ( A  / 
( d  x.  m
) ) ) ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) ) )
138121, 122, 1373eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
139113, 138eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
140139sumeq2dv 13195 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
14199, 140eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
142141sumeq2dv 13195 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
14338, 68, 1423eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {crab 2734    C_ wss 3343   class class class wbr 4307   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298    x. cmul 9302    <_ cle 9434    / cdiv 10008   NNcn 10337   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876   RR+crp 11006   ...cfz 11452   |_cfl 11655   sum_csu 13178    || cdivides 13550   Basecbs 14189   0gc0g 14393   ZRHomczrh 17946  ℤ/nczn 17949   logclog 22021   mmucmu 22447  DChrcdchr 22586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-tpos 6760  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-ec 7118  df-qs 7122  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ioc 11320  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-shft 12571  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-limsup 12964  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-ef 13368  df-sin 13370  df-cos 13371  df-pi 13373  df-dvds 13551  df-gcd 13706  df-prm 13779  df-pc 13919  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-divs 14462  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-mhm 15479  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-mulg 15563  df-subg 15693  df-nsg 15694  df-eqg 15695  df-ghm 15760  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-abl 16295  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-cring 16663  df-oppr 16730  df-dvdsr 16748  df-unit 16749  df-rnghom 16821  df-subrg 16878  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-lsp 17068  df-sra 17268  df-rgmod 17269  df-lidl 17270  df-rsp 17271  df-2idl 17329  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-zring 17899  df-zrh 17950  df-zn 17953  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-lp 18755  df-perf 18756  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-haus 18934  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cncf 20469  df-limc 21356  df-dv 21357  df-log 22023  df-mu 22453  df-dchr 22587
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  22761
  Copyright terms: Public domain W3C validator