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Theorem dchrvmasum2lem 22704
Description: Give an expression for  log x remarkably similar to  sum_ n  <_  x
( X ( n )Λ ( n )  /  n ) given in dchrvmasumlem1 22703. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
dchrvmasum2.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    .1. , m    m, d, A    m, N    ph, d, m    m, Z    D, m    L, d, m    X, d, m
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    G( m, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
21fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
3 id 22 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  n  =  ( d  x.  m ) )
42, 3oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) ) )
5 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( A  /  n )  =  ( A  /  (
d  x.  m ) ) )
65fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( A  /  n ) )  =  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )
74, 6oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) )
87oveq2d 6106 . . 3  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
9 dchrvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
109rpred 11023 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
11 elrabi 3111 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  e.  NN )
1211ad2antll 723 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  NN )
13 mucl 22438 . . . . . 6  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
1514zcnd 10744 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
16 rpvmasum.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (DChr `  N )
17 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
18 rpvmasum.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( Base `  G
)
19 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
20 dchrisum.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2120adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
22 elfzelz 11449 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
2322adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
2416, 17, 18, 19, 21, 23dchrzrhcl 22543 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
25 elfznn 11474 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
2625adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
2726nncnd 10334 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
2826nnne0d 10362 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
2924, 27, 28divcld 10103 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
3025nnrpd 11022 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  RR+ )
31 rpdivcl 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( A  /  n )  e.  RR+ )
329, 30, 31syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR+ )
3332relogcld 22031 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  n
) )  e.  RR )
3433recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  n
) )  e.  CC )
3529, 34mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  e.  CC )
3635adantrr 711 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  e.  CC )
3715, 36mulcld 9402 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  e.  CC )
388, 10, 37dvdsflsumcom 22487 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
39 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( L `  n )  =  ( L ` 
1 ) )
4039fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  1 )
) )
41 id 22 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
4240, 41oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
43 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( A  /  n )  =  ( A  /  1
) )
4443fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A  /  n ) )  =  ( log `  ( A  /  1 ) ) )
4542, 44oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  1 )
)  /  1 )  x.  ( log `  ( A  /  1 ) ) ) )
46 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
4725ssriv 3357 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  C_  NN
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 
C_  NN )
49 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
50 flge1nn 11663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN )
5110, 49, 50syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  NN )
52 nnuz 10892 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5351, 52syl6eleq 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
54 eluzfz1 11454 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5553, 54syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5645, 46, 48, 55, 35musumsum 22491 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  1 )
)  /  1 )  x.  ( log `  ( A  /  1 ) ) ) )
5716, 17, 18, 19, 20dchrzrh1 22542 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
5857oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
59 1div1e1 10020 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6058, 59syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  1 )
619rpcnd 11025 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6261div1d 10095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
6362fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  1 ) )  =  ( log `  A
) )
6460, 63oveq12d 6108 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 )  x.  ( log `  ( A  / 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( log `  A
) ) )
659relogcld 22031 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
6665recnd 9408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
6766mulid2d 9400 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
6856, 64, 673eqtrrd 2478 . 2  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) ) )
69 fzfid 11791 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
7020adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
71 elfzelz 11449 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
7271adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
7316, 17, 18, 19, 70, 72dchrzrhcl 22543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
74 fznnfl 11697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  A ) ) )
7510, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  A )
) )
7675simprbda 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
7776, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
7877zred 10743 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
7978, 76nndivred 10366 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
8079recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
8173, 80mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
8220ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
83 elfzelz 11449 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8483adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8516, 17, 18, 19, 82, 84dchrzrhcl 22543 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
86 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
8786nnrpd 11022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  RR+ )
88 rpdivcl 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
899, 87, 88syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
90 elfznn 11474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
9190nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
92 rpdivcl 11009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  /  d
)  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( A  /  d
)  /  m )  e.  RR+ )
9389, 91, 92syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  e.  RR+ )
9493relogcld 22031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  RR )
9590adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
9694, 95nndivred 10366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
9796recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  CC )
9885, 97mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
9969, 81, 98fsummulc2 13247 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
10073adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
10178adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
102101recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
10376nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
104103adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
105104rpcnne0d 11032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
106 div12 10012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  e.  CC  /\  ( mmu `  d )  e.  CC  /\  (
d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) ) )
107100, 102, 105, 106syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) ) )
10894recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  CC )
10995nnrpd 11022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
110109rpcnne0d 11032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
111 div12 10012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  e.  CC  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
11285, 108, 110, 111syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
113107, 112oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  d )
)  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
114104rpcnd 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
115104rpne0d 11028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
116100, 114, 115divcld 10103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  / 
d )  e.  CC )
11795nncnd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
11895nnne0d 10362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
11985, 117, 118divcld 10103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
120116, 119mulcld 9402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
121102, 108, 120mulassd 9405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  / 
d )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) ) )
122102, 116, 108, 119mul4d 9577 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
12371ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
12416, 17, 18, 19, 82, 123, 84dchrzrhmul 22544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
125124oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
126 divmuldiv 10027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  e.  CC  /\  ( X `  ( L `
 m ) )  e.  CC )  /\  ( ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
127100, 85, 105, 110, 126syl22anc 1214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
128125, 127eqtr4d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
12961ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
130 divdiv1 10038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  / 
d )  /  m
)  =  ( A  /  ( d  x.  m ) ) )
131129, 105, 110, 130syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  =  ( A  /  ( d  x.  m ) ) )
132131eqcomd 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( A  /  ( d  x.  m ) )  =  ( ( A  / 
d )  /  m
) )
133132fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  (
d  x.  m ) ) )  =  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) ) )
134128, 133oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  x.  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) ) )
135120, 108mulcomd 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  x.  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) )  =  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
136134, 135eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
137136oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  x.  ( log `  ( A  / 
( d  x.  m
) ) ) ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) ) )
138121, 122, 1373eqtr4d 2483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
139113, 138eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
140139sumeq2dv 13176 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
14199, 140eqtrd 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
142141sumeq2dv 13176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
14338, 68, 1423eqtr4d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   {crab 2717    C_ wss 3325   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   ...cfz 11433   |_cfl 11636   sum_csu 13159    || cdivides 13531   Basecbs 14170   0gc0g 14374   ZRHomczrh 17890  ℤ/nczn 17893   logclog 21965   mmucmu 22391  DChrcdchr 22530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-divs 14443  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-rnghom 16796  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-lidl 17233  df-rsp 17234  df-2idl 17292  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zrh 17894  df-zn 17897  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-mu 22397  df-dchr 22531
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  22705
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