Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2lem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dchrvmasum2lem 24334
 Description: Give an expression for remarkably similar to Λ given in dchrvmasumlem1 24333. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrvmasum.a
dchrvmasum2.2
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5865 . . . . . . 7
21fveq2d 5869 . . . . . 6
3 id 22 . . . . . 6
42, 3oveq12d 6308 . . . . 5
5 oveq2 6298 . . . . . 6
65fveq2d 5869 . . . . 5
74, 6oveq12d 6308 . . . 4
87oveq2d 6306 . . 3
9 dchrvmasum.a . . . 4
109rpred 11341 . . 3
11 elrabi 3193 . . . . . . 7
1211ad2antll 735 . . . . . 6
13 mucl 24068 . . . . . 6
1412, 13syl 17 . . . . 5
1514zcnd 11041 . . . 4
16 rpvmasum.g . . . . . . . 8 DChr
17 rpvmasum.z . . . . . . . 8 ℤ/n
18 rpvmasum.d . . . . . . . 8
19 rpvmasum.l . . . . . . . 8 RHom
20 dchrisum.b . . . . . . . . 9
2120adantr 467 . . . . . . . 8
22 elfzelz 11800 . . . . . . . . 9
2322adantl 468 . . . . . . . 8
2416, 17, 18, 19, 21, 23dchrzrhcl 24173 . . . . . . 7
25 elfznn 11828 . . . . . . . . 9
2625adantl 468 . . . . . . . 8
2726nncnd 10625 . . . . . . 7
2826nnne0d 10654 . . . . . . 7
2924, 27, 28divcld 10383 . . . . . 6
3025nnrpd 11339 . . . . . . . . 9
31 rpdivcl 11325 . . . . . . . . 9
329, 30, 31syl2an 480 . . . . . . . 8
3332relogcld 23572 . . . . . . 7
3433recnd 9669 . . . . . 6
3529, 34mulcld 9663 . . . . 5
3635adantrr 723 . . . 4
3715, 36mulcld 9663 . . 3
388, 10, 37dvdsflsumcom 24117 . 2
39 fveq2 5865 . . . . . . 7
4039fveq2d 5869 . . . . . 6
41 id 22 . . . . . 6
4240, 41oveq12d 6308 . . . . 5
43 oveq2 6298 . . . . . 6
4443fveq2d 5869 . . . . 5
4542, 44oveq12d 6308 . . . 4
46 fzfid 12186 . . . 4
4725ssriv 3436 . . . . 5
4847a1i 11 . . . 4
49 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7
50 flge1nn 12055 . . . . . . 7
5110, 49, 50syl2anc 667 . . . . . 6
52 nnuz 11194 . . . . . 6
5351, 52syl6eleq 2539 . . . . 5
54 eluzfz1 11806 . . . . 5
5553, 54syl 17 . . . 4
5645, 46, 48, 55, 35musumsum 24121 . . 3
5716, 17, 18, 19, 20dchrzrh1 24172 . . . . . 6
5857oveq1d 6305 . . . . 5
59 1div1e1 10300 . . . . 5
6058, 59syl6eq 2501 . . . 4
619rpcnd 11343 . . . . . 6
6261div1d 10375 . . . . 5
6362fveq2d 5869 . . . 4
6460, 63oveq12d 6308 . . 3
659relogcld 23572 . . . . 5
6665recnd 9669 . . . 4
6766mulid2d 9661 . . 3
6856, 64, 673eqtrrd 2490 . 2
69 fzfid 12186 . . . . 5
7020adantr 467 . . . . . . 7
71 elfzelz 11800 . . . . . . . 8
7271adantl 468 . . . . . . 7
7316, 17, 18, 19, 70, 72dchrzrhcl 24173 . . . . . 6
74 fznnfl 12089 . . . . . . . . . . . 12
7510, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11
7675simprbda 629 . . . . . . . . . 10
7776, 13syl 17 . . . . . . . . 9
7877zred 11040 . . . . . . . 8
7978, 76nndivred 10658 . . . . . . 7
8079recnd 9669 . . . . . 6
8173, 80mulcld 9663 . . . . 5
8220ad2antrr 732 . . . . . . 7
83 elfzelz 11800 . . . . . . . 8
8483adantl 468 . . . . . . 7
8516, 17, 18, 19, 82, 84dchrzrhcl 24173 . . . . . 6
86 elfznn 11828 . . . . . . . . . . . 12
8786nnrpd 11339 . . . . . . . . . . 11
88 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . . 11
899, 87, 88syl2an 480 . . . . . . . . . 10
90 elfznn 11828 . . . . . . . . . . 11
9190nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10
92 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . 10
9389, 91, 92syl2an 480 . . . . . . . . 9
9493relogcld 23572 . . . . . . . 8
9590adantl 468 . . . . . . . 8
9694, 95nndivred 10658 . . . . . . 7
9796recnd 9669 . . . . . 6
9885, 97mulcld 9663 . . . . 5
9969, 81, 98fsummulc2 13845 . . . 4
10073adantr 467 . . . . . . . 8
10178adantr 467 . . . . . . . . 9
102101recnd 9669 . . . . . . . 8
10376nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10
104103adantr 467 . . . . . . . . 9
105104rpcnne0d 11350 . . . . . . . 8
106 div12 10292 . . . . . . . 8
107100, 102, 105, 106syl3anc 1268 . . . . . . 7
10894recnd 9669 . . . . . . . 8
10995nnrpd 11339 . . . . . . . . 9
110109rpcnne0d 11350 . . . . . . . 8
111 div12 10292 . . . . . . . 8
11285, 108, 110, 111syl3anc 1268 . . . . . . 7
113107, 112oveq12d 6308 . . . . . 6
114104rpcnd 11343 . . . . . . . . . 10
115104rpne0d 11346 . . . . . . . . . 10
116100, 114, 115divcld 10383 . . . . . . . . 9
11795nncnd 10625 . . . . . . . . . 10
11895nnne0d 10654 . . . . . . . . . 10
11985, 117, 118divcld 10383 . . . . . . . . 9
120116, 119mulcld 9663 . . . . . . . 8
121102, 108, 120mulassd 9666 . . . . . . 7
122102, 116, 108, 119mul4d 9845 . . . . . . 7
12371ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13
12416, 17, 18, 19, 82, 123, 84dchrzrhmul 24174 . . . . . . . . . . . 12
125124oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11
126 divmuldiv 10307 . . . . . . . . . . . 12
127100, 85, 105, 110, 126syl22anc 1269 . . . . . . . . . . 11
128125, 127eqtr4d 2488 . . . . . . . . . 10
12961ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13
130 divdiv1 10318 . . . . . . . . . . . . 13
131129, 105, 110, 130syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
132131eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11
133132fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10
134128, 133oveq12d 6308 . . . . . . . . 9
135120, 108mulcomd 9664 . . . . . . . . 9
136134, 135eqtrd 2485 . . . . . . . 8
137136oveq2d 6306 . . . . . . 7
138121, 122, 1373eqtr4d 2495 . . . . . 6
139113, 138eqtrd 2485 . . . . 5
140139sumeq2dv 13769 . . . 4
14199, 140eqtrd 2485 . . 3
142141sumeq2dv 13769 . 2
14338, 68, 1423eqtr4d 2495 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  crab 2741   wss 3404   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   cmul 9544   cle 9676   cdiv 10269  cn 10609  cz 10937  cuz 11159  crp 11302  cfz 11784  cfl 12026  csu 13752   cdvds 14305  cbs 15121  c0g 15338  RHomczrh 19071  ℤ/nℤczn 19074  clog 23504  cmu 24021  DChrcdchr 24160 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-pc 14787  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-qus 15409  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-nsg 16815  df-eqg 16816  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-rnghom 17943  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-lidl 18397  df-rsp 18398  df-2idl 18456  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-zring 19040  df-zrh 19075  df-zn 19078  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-mu 24027  df-dchr 24161 This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  24335
 Copyright terms: Public domain W3C validator