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Theorem dchrvmasum2lem 24413
Description: Give an expression for  log x remarkably similar to  sum_ n  <_  x
( X ( n )Λ ( n )  /  n ) given in dchrvmasumlem1 24412. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
dchrvmasum2.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    .1. , m    m, d, A    m, N    ph, d, m    m, Z    D, m    L, d, m    X, d, m
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    G( m, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
21fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
3 id 22 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  n  =  ( d  x.  m ) )
42, 3oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) ) )
5 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( A  /  n )  =  ( A  /  (
d  x.  m ) ) )
65fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( A  /  n ) )  =  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )
74, 6oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) )
87oveq2d 6324 . . 3  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
9 dchrvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
109rpred 11364 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
11 elrabi 3181 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  e.  NN )
1211ad2antll 743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  NN )
13 mucl 24147 . . . . . 6  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
1412, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
1514zcnd 11064 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
16 rpvmasum.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (DChr `  N )
17 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
18 rpvmasum.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( Base `  G
)
19 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
20 dchrisum.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2120adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
22 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
2322adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
2416, 17, 18, 19, 21, 23dchrzrhcl 24252 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
25 elfznn 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
2625adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
2726nncnd 10647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
2826nnne0d 10676 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
2924, 27, 28divcld 10405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
3025nnrpd 11362 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  RR+ )
31 rpdivcl 11348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( A  /  n )  e.  RR+ )
329, 30, 31syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR+ )
3332relogcld 23651 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  n
) )  e.  RR )
3433recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  n
) )  e.  CC )
3529, 34mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  e.  CC )
3635adantrr 731 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  e.  CC )
3715, 36mulcld 9681 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  e.  CC )
388, 10, 37dvdsflsumcom 24196 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
39 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( L `  n )  =  ( L ` 
1 ) )
4039fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  1 )
) )
41 id 22 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
4240, 41oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
43 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( A  /  n )  =  ( A  /  1
) )
4443fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A  /  n ) )  =  ( log `  ( A  /  1 ) ) )
4542, 44oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  1 )
)  /  1 )  x.  ( log `  ( A  /  1 ) ) ) )
46 fzfid 12224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
4725ssriv 3422 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  C_  NN
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 
C_  NN )
49 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
50 flge1nn 12088 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN )
5110, 49, 50syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  NN )
52 nnuz 11218 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5351, 52syl6eleq 2559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
54 eluzfz1 11832 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5553, 54syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5645, 46, 48, 55, 35musumsum 24200 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  1 )
)  /  1 )  x.  ( log `  ( A  /  1 ) ) ) )
5716, 17, 18, 19, 20dchrzrh1 24251 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
5857oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
59 1div1e1 10322 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6058, 59syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  1 )
619rpcnd 11366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6261div1d 10397 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
6362fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  1 ) )  =  ( log `  A
) )
6460, 63oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 )  x.  ( log `  ( A  / 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( log `  A
) ) )
659relogcld 23651 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
6665recnd 9687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
6766mulid2d 9679 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
6856, 64, 673eqtrrd 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) ) )
69 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
7020adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
71 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
7271adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
7316, 17, 18, 19, 70, 72dchrzrhcl 24252 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
74 fznnfl 12122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  A ) ) )
7510, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  A )
) )
7675simprbda 635 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
7776, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
7877zred 11063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
7978, 76nndivred 10680 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
8079recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
8173, 80mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
8220ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
83 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8483adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8516, 17, 18, 19, 82, 84dchrzrhcl 24252 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
86 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
8786nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  RR+ )
88 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
899, 87, 88syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
90 elfznn 11854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
9190nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
92 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  /  d
)  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( A  /  d
)  /  m )  e.  RR+ )
9389, 91, 92syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  e.  RR+ )
9493relogcld 23651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  RR )
9590adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
9694, 95nndivred 10680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
9796recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  CC )
9885, 97mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
9969, 81, 98fsummulc2 13922 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
10073adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
10178adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
102101recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
10376nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
104103adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
105104rpcnne0d 11373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
106 div12 10314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  e.  CC  /\  ( mmu `  d )  e.  CC  /\  (
d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) ) )
107100, 102, 105, 106syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) ) )
10894recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  CC )
10995nnrpd 11362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
110109rpcnne0d 11373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
111 div12 10314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  e.  CC  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
11285, 108, 110, 111syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
113107, 112oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  d )
)  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
114104rpcnd 11366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
115104rpne0d 11369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
116100, 114, 115divcld 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  / 
d )  e.  CC )
11795nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
11895nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
11985, 117, 118divcld 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
120116, 119mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
121102, 108, 120mulassd 9684 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  / 
d )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) ) )
122102, 116, 108, 119mul4d 9863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
12371ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
12416, 17, 18, 19, 82, 123, 84dchrzrhmul 24253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
125124oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
126 divmuldiv 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  e.  CC  /\  ( X `  ( L `
 m ) )  e.  CC )  /\  ( ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
127100, 85, 105, 110, 126syl22anc 1293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
128125, 127eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
12961ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
130 divdiv1 10340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  / 
d )  /  m
)  =  ( A  /  ( d  x.  m ) ) )
131129, 105, 110, 130syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  =  ( A  /  ( d  x.  m ) ) )
132131eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( A  /  ( d  x.  m ) )  =  ( ( A  / 
d )  /  m
) )
133132fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  (
d  x.  m ) ) )  =  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) ) )
134128, 133oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  x.  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) ) )
135120, 108mulcomd 9682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  x.  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) )  =  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
136134, 135eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
137136oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  x.  ( log `  ( A  / 
( d  x.  m
) ) ) ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) ) )
138121, 122, 1373eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
139113, 138eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
140139sumeq2dv 13846 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
14199, 140eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
142141sumeq2dv 13846 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
14338, 68, 1423eqtr4d 2515 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    <_ cle 9694    / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   |_cfl 12059   sum_csu 13829    || cdvds 14382   Basecbs 15199   0gc0g 15416   ZRHomczrh 19148  ℤ/nczn 19151   logclog 23583   mmucmu 24100  DChrcdchr 24239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-mu 24106  df-dchr 24240
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  24414
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