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Theorem dchrvmasum2if 22880
Description: Combine the results of dchrvmasumlem1 22878 and dchrvmasum2lem 22879 inside a conditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
dchrvmasum2.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2if  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n,  .1.    m, d, n, A   
m, N, n    ph, d, m, n    ps, d, m   
m, Z, n    D, m, n    L, d, m, n    X, d, m, n    A, n
Allowed substitution hints:    ps( n)    D( d)    .1. ( d)    G( m, n, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasum2if
StepHypRef Expression
1 fzfid 11913 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
2 rpvmasum.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 rpvmasum.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
6 dchrisum.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
8 elfzelz 11571 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
98adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 22718 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
11 elfznn 11596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
1211adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
13 mucl 22613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
1413zred 10859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  RR )
15 nndivre 10469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  RR )
1614, 15mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( mmu `  d
)  /  d )  e.  RR )
1712, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
1817recnd 9524 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
1910, 18mulcld 9518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
20 fzfid 11913 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
217adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
22 elfzelz 11571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
2322adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
242, 3, 4, 5, 21, 23dchrzrhcl 22718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
25 elfznn 11596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
2726nnrpd 11138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
2827relogcld 22206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
2928, 26nndivred 10482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
3029recnd 9524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
3124, 30mulcld 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
3220, 31fsumcl 13329 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  e.  CC )
3319, 32mulcld 9518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  e.  CC )
34 dchrvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3511nnrpd 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  RR+ )
36 rpdivcl 11125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3734, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3938, 27rpdivcld 11156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  e.  RR+ )
4039relogcld 22206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  RR )
4140, 26nndivred 10482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
4241recnd 9524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  CC )
4324, 42mulcld 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
4420, 43fsumcl 13329 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
4519, 44mulcld 9518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  e.  CC )
461, 33, 45fsumadd 13334 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
4738, 27relogdivd 22209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  =  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) )
4847oveq2d 6217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  +  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) )  =  ( ( log `  m
)  +  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) ) )
4928recnd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
5037relogcld 22206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  RR )
5150recnd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  CC )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  CC )
5349, 52pncan3d 9834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  +  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) )  =  ( log `  ( A  /  d ) ) )
5448, 53eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  =  ( ( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) ) )
5554oveq1d 6216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  / 
d ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  /  m ) )
5640recnd 9524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  CC )
5726nncnd 10450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
5826nnne0d 10478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
5949, 56, 57, 58divdird 10257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  /  m )  +  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )
6055, 59eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  / 
d ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  /  m )  +  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )
6160oveq2d 6217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( ( log `  m )  /  m
)  +  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6224, 30, 42adddid 9522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( ( log `  m )  /  m
)  +  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6361, 62eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  +  ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6463sumeq2dv 13299 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  +  ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) ) )
6520, 31, 43fsumadd 13334 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  +  ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6664, 65eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6766oveq2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
6819, 32, 44adddid 9522 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
6967, 68eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
7069sumeq2dv 13299 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
71 rpvmasum.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
72 rpvmasum.1 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
73 dchrisum.n1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
743, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34dchrvmasumlem1 22878 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
75 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
763, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34, 75dchrvmasum2lem 22879 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
7774, 76oveq12d 6219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  +  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
7846, 70, 773eqtr4rd 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
7978adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
80 iftrue 3906 . . . . 5  |-  ( ps 
->  if ( ps , 
( log `  A
) ,  0 )  =  ( log `  A
) )
8180oveq2d 6217 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) ) )
8281adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) ) )
83 iftrue 3906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  if ( ps , 
( A  /  d
) ,  m )  =  ( A  / 
d ) )
8483fveq2d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  =  ( log `  ( A  /  d ) ) )
8584oveq1d 6216 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m )  =  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )
8685oveq2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )
8786sumeq2sdv 13300 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )
8887oveq2d 6217 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
8988sumeq2sdv 13300 . . . 4  |-  ( ps 
->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
9089adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
9179, 82, 903eqtr4d 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
926adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
93 elfzelz 11571 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
9493adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
952, 3, 4, 5, 92, 94dchrzrhcl 22718 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
96 elfznn 11596 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
9796adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
98 vmacl 22590 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
99 nndivre 10469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
10098, 99mpancom 669 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
101100recnd 9524 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  CC )
10297, 101syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
10395, 102mulcld 9518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  CC )
1041, 103fsumcl 13329 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  e.  CC )
105104adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  e.  CC )
106105addid1d 9681 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  0 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
107 iffalse 3908 . . . . 5  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  ( log `  A
) ,  0 )  =  0 )
108107adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  if ( ps , 
( log `  A
) ,  0 )  =  0 )
109108oveq2d 6217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  0 ) )
110 iffalse 3908 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  ( A  / 
d ) ,  m
)  =  m )
111110fveq2d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
ps  ->  ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  =  ( log `  m
) )
112111oveq1d 6216 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( log `  if ( ps , 
( A  /  d
) ,  m ) )  /  m )  =  ( ( log `  m )  /  m
) )
113112oveq2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
114113sumeq2sdv 13300 . . . . . 6  |-  ( -. 
ps  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
115114oveq2d 6217 . . . . 5  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
116115sumeq2sdv 13300 . . . 4  |-  ( -. 
ps  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
11774eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
118116, 117sylan9eqr 2517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
119106, 109, 1183eqtr4d 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
12091, 119pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   ifcif 3900   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399    <_ cle 9531    - cmin 9707    / cdiv 10105   NNcn 10434   ZZcz 10758   RR+crp 11103   ...cfz 11555   |_cfl 11758   sum_csu 13282   Basecbs 14293   0gc0g 14498   ZRHomczrh 18057  ℤ/nczn 18060   logclog 22140  Λcvma 22563   mmucmu 22566  DChrcdchr 22705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-disj 4372  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-ec 7214  df-qs 7218  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-pi 13477  df-dvds 13655  df-gcd 13810  df-prm 13883  df-pc 14023  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-divs 14567  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-nsg 15799  df-eqg 15800  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-rnghom 16930  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-lidl 17379  df-rsp 17380  df-2idl 17438  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-zring 18010  df-zrh 18061  df-zn 18064  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476  df-log 22142  df-vma 22569  df-mu 22572  df-dchr 22706
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  22885
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