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Theorem dchrvmasum2if 23403
Description: Combine the results of dchrvmasumlem1 23401 and dchrvmasum2lem 23402 inside a conditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
dchrvmasum2.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2if  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n,  .1.    m, d, n, A   
m, N, n    ph, d, m, n    ps, d, m   
m, Z, n    D, m, n    L, d, m, n    X, d, m, n    A, n
Allowed substitution hints:    ps( n)    D( d)    .1. ( d)    G( m, n, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasum2if
StepHypRef Expression
1 fzfid 12039 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
2 rpvmasum.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 rpvmasum.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
6 dchrisum.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
8 elfzelz 11677 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
98adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 23241 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
11 elfznn 11703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
1211adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
13 mucl 23136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
1413zred 10955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  RR )
15 nndivre 10560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  RR )
1614, 15mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( mmu `  d
)  /  d )  e.  RR )
1712, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
1817recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
1910, 18mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
20 fzfid 12039 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
217adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
22 elfzelz 11677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
2322adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
242, 3, 4, 5, 21, 23dchrzrhcl 23241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
25 elfznn 11703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
2726nnrpd 11244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
2827relogcld 22729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
2928, 26nndivred 10573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
3029recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
3124, 30mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
3220, 31fsumcl 13504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  e.  CC )
3319, 32mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  e.  CC )
34 dchrvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3511nnrpd 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  RR+ )
36 rpdivcl 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3734, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3938, 27rpdivcld 11262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  e.  RR+ )
4039relogcld 22729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  RR )
4140, 26nndivred 10573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
4241recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  CC )
4324, 42mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
4420, 43fsumcl 13504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
4519, 44mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  e.  CC )
461, 33, 45fsumadd 13510 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
4738, 27relogdivd 22732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  =  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) )
4847oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  +  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) )  =  ( ( log `  m
)  +  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) ) )
4928recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
5037relogcld 22729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  RR )
5150recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  CC )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  CC )
5349, 52pncan3d 9922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  +  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) )  =  ( log `  ( A  /  d ) ) )
5448, 53eqtr2d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  =  ( ( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) ) )
5554oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  / 
d ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  /  m ) )
5640recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  CC )
5726nncnd 10541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
5826nnne0d 10569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
5949, 56, 57, 58divdird 10347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  /  m )  +  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )
6055, 59eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  / 
d ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  /  m )  +  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )
6160oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( ( log `  m )  /  m
)  +  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6224, 30, 42adddid 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( ( log `  m )  /  m
)  +  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6361, 62eqtrd 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  +  ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6463sumeq2dv 13474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  +  ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) ) )
6520, 31, 43fsumadd 13510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  +  ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6664, 65eqtrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6766oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
6819, 32, 44adddid 9609 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
6967, 68eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
7069sumeq2dv 13474 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
71 rpvmasum.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
72 rpvmasum.1 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
73 dchrisum.n1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
743, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34dchrvmasumlem1 23401 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
75 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
763, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34, 75dchrvmasum2lem 23402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
7774, 76oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  +  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
7846, 70, 773eqtr4rd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
7978adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
80 iftrue 3938 . . . . 5  |-  ( ps 
->  if ( ps , 
( log `  A
) ,  0 )  =  ( log `  A
) )
8180oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) ) )
8281adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) ) )
83 iftrue 3938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  if ( ps , 
( A  /  d
) ,  m )  =  ( A  / 
d ) )
8483fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  =  ( log `  ( A  /  d ) ) )
8584oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m )  =  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )
8685oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )
8786sumeq2sdv 13475 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )
8887oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
8988sumeq2sdv 13475 . . . 4  |-  ( ps 
->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
9089adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
9179, 82, 903eqtr4d 2511 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
926adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
93 elfzelz 11677 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
9493adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
952, 3, 4, 5, 92, 94dchrzrhcl 23241 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
96 elfznn 11703 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
9796adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
98 vmacl 23113 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
99 nndivre 10560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
10098, 99mpancom 669 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
101100recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  CC )
10297, 101syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
10395, 102mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  CC )
1041, 103fsumcl 13504 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  e.  CC )
105104adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  e.  CC )
106105addid1d 9768 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  0 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
107 iffalse 3941 . . . . 5  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  ( log `  A
) ,  0 )  =  0 )
108107adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  if ( ps , 
( log `  A
) ,  0 )  =  0 )
109108oveq2d 6291 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  0 ) )
110 iffalse 3941 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  ( A  / 
d ) ,  m
)  =  m )
111110fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
ps  ->  ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  =  ( log `  m
) )
112111oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( log `  if ( ps , 
( A  /  d
) ,  m ) )  /  m )  =  ( ( log `  m )  /  m
) )
113112oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
114113sumeq2sdv 13475 . . . . . 6  |-  ( -. 
ps  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
115114oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
116115sumeq2sdv 13475 . . . 4  |-  ( -. 
ps  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
11774eqcomd 2468 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
118116, 117sylan9eqr 2523 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
119106, 109, 1183eqtr4d 2511 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
12091, 119pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   ifcif 3932   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   ZZcz 10853   RR+crp 11209   ...cfz 11661   |_cfl 11884   sum_csu 13457   Basecbs 14479   0gc0g 14684   ZRHomczrh 18297  ℤ/nczn 18300   logclog 22663  Λcvma 23086   mmucmu 23089  DChrcdchr 23228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-prm 14066  df-pc 14209  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-divs 14753  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-ghm 16053  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-rnghom 17141  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301  df-zn 18304  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-vma 23092  df-mu 23095  df-dchr 23229
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  23408
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