MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasum2if Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasum2if 23808
Description: Combine the results of dchrvmasumlem1 23806 and dchrvmasum2lem 23807 inside a conditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
dchrvmasum2.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2if  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n,  .1.    m, d, n, A   
m, N, n    ph, d, m, n    ps, d, m   
m, Z, n    D, m, n    L, d, m, n    X, d, m, n    A, n
Allowed substitution hints:    ps( n)    D( d)    .1. ( d)    G( m, n, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasum2if
StepHypRef Expression
1 fzfid 12086 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
2 rpvmasum.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 rpvmasum.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
6 dchrisum.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
8 elfzelz 11713 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
98adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 23646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
11 elfznn 11739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
1211adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
13 mucl 23541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
1413zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  RR )
15 nndivre 10592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  RR )
1614, 15mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( mmu `  d
)  /  d )  e.  RR )
1712, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
1817recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
1910, 18mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
20 fzfid 12086 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
217adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
22 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
2322adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
242, 3, 4, 5, 21, 23dchrzrhcl 23646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
25 elfznn 11739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
2726nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
2827relogcld 23134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
2928, 26nndivred 10605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
3029recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
3124, 30mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
3220, 31fsumcl 13567 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  e.  CC )
3319, 32mulcld 9633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  e.  CC )
34 dchrvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3511nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  RR+ )
36 rpdivcl 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3734, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3938, 27rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  e.  RR+ )
4039relogcld 23134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  RR )
4140, 26nndivred 10605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
4241recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  CC )
4324, 42mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
4420, 43fsumcl 13567 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
4519, 44mulcld 9633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  e.  CC )
461, 33, 45fsumadd 13573 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
4738, 27relogdivd 23137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  =  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) )
4847oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  +  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) )  =  ( ( log `  m
)  +  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) ) )
4928recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
5037relogcld 23134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  RR )
5150recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  CC )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  CC )
5349, 52pncan3d 9953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  +  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) )  =  ( log `  ( A  /  d ) ) )
5448, 53eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  =  ( ( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) ) )
5554oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  / 
d ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  /  m ) )
5640recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  CC )
5726nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
5826nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
5949, 56, 57, 58divdird 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  /  m )  +  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )
6055, 59eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  / 
d ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  /  m )  +  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )
6160oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( ( log `  m )  /  m
)  +  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6224, 30, 42adddid 9637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( ( log `  m )  /  m
)  +  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6361, 62eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  +  ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6463sumeq2dv 13537 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  +  ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) ) )
6520, 31, 43fsumadd 13573 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  +  ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6664, 65eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6766oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
6819, 32, 44adddid 9637 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
6967, 68eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
7069sumeq2dv 13537 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
71 rpvmasum.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
72 rpvmasum.1 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
73 dchrisum.n1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
743, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34dchrvmasumlem1 23806 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
75 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
763, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34, 75dchrvmasum2lem 23807 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
7774, 76oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  +  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
7846, 70, 773eqtr4rd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
7978adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
80 iftrue 3950 . . . . 5  |-  ( ps 
->  if ( ps , 
( log `  A
) ,  0 )  =  ( log `  A
) )
8180oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) ) )
8281adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) ) )
83 iftrue 3950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  if ( ps , 
( A  /  d
) ,  m )  =  ( A  / 
d ) )
8483fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  =  ( log `  ( A  /  d ) ) )
8584oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m )  =  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )
8685oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )
8786sumeq2sdv 13538 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )
8887oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
8988sumeq2sdv 13538 . . . 4  |-  ( ps 
->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
9089adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
9179, 82, 903eqtr4d 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
926adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
93 elfzelz 11713 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
9493adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
952, 3, 4, 5, 92, 94dchrzrhcl 23646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
96 elfznn 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
9796adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
98 vmacl 23518 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
99 nndivre 10592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
10098, 99mpancom 669 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
101100recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  CC )
10297, 101syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
10395, 102mulcld 9633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  CC )
1041, 103fsumcl 13567 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  e.  CC )
105104adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  e.  CC )
106105addid1d 9797 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  0 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
107 iffalse 3953 . . . . 5  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  ( log `  A
) ,  0 )  =  0 )
108107adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  if ( ps , 
( log `  A
) ,  0 )  =  0 )
109108oveq2d 6312 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  0 ) )
110 iffalse 3953 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  ( A  / 
d ) ,  m
)  =  m )
111110fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
ps  ->  ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  =  ( log `  m
) )
112111oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( log `  if ( ps , 
( A  /  d
) ,  m ) )  /  m )  =  ( ( log `  m )  /  m
) )
113112oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
114113sumeq2sdv 13538 . . . . . 6  |-  ( -. 
ps  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
115114oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
116115sumeq2sdv 13538 . . . 4  |-  ( -. 
ps  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
11774eqcomd 2465 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
118116, 117sylan9eqr 2520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
119106, 109, 1183eqtr4d 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
12091, 119pm2.61dan 791 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   RR+crp 11245   ...cfz 11697   |_cfl 11930   sum_csu 13520   Basecbs 14644   0gc0g 14857   ZRHomczrh 18664  ℤ/nczn 18667   logclog 23068  Λcvma 23491   mmucmu 23494  DChrcdchr 23633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-qus 14926  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-vma 23497  df-mu 23500  df-dchr 23634
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  23813
  Copyright terms: Public domain W3C validator