Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum2 Unicode version

Theorem dchrsum2 21005
 Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character is if is non-principal and otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g DChr
dchrsum.z ℤ/n
dchrsum.d
dchrsum.1
dchrsum.x
dchrsum2.u Unit
Assertion
Ref Expression
dchrsum2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem dchrsum2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2413 . 2
2 eqeq2 2413 . 2
3 fveq1 5686 . . . . . 6
4 dchrsum.g . . . . . . 7 DChr
5 dchrsum.z . . . . . . 7 ℤ/n
6 dchrsum.1 . . . . . . 7
7 dchrsum2.u . . . . . . 7 Unit
8 dchrsum.x . . . . . . . . 9
9 dchrsum.d . . . . . . . . . 10
104, 9dchrrcl 20977 . . . . . . . . 9
118, 10syl 16 . . . . . . . 8
1211adantr 452 . . . . . . 7
13 simpr 448 . . . . . . 7
144, 5, 6, 7, 12, 13dchr1 20994 . . . . . 6
153, 14sylan9eqr 2458 . . . . 5
1615an32s 780 . . . 4
1716sumeq2dv 12452 . . 3
185, 7znunithash 16800 . . . . . . . . 9
1911, 18syl 16 . . . . . . . 8
2011phicld 13116 . . . . . . . . 9
2120nnnn0d 10230 . . . . . . . 8
2219, 21eqeltrd 2478 . . . . . . 7
23 fvex 5701 . . . . . . . . 9 Unit
247, 23eqeltri 2474 . . . . . . . 8
25 hashclb 11596 . . . . . . . 8
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . 7
2722, 26sylibr 204 . . . . . 6
28 ax-1cn 9004 . . . . . 6
29 fsumconst 12528 . . . . . 6
3027, 28, 29sylancl 644 . . . . 5
3119oveq1d 6055 . . . . 5
3220nncnd 9972 . . . . . 6
3332mulid1d 9061 . . . . 5
3430, 31, 333eqtrd 2440 . . . 4
3617, 35eqtrd 2436 . 2
374dchrabl 20991 . . . . . . . . . 10
3811, 37syl 16 . . . . . . . . 9
39 ablgrp 15372 . . . . . . . . 9
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8
419, 6grpidcl 14788 . . . . . . . 8
4240, 41syl 16 . . . . . . 7
434, 5, 9, 7, 8, 42dchreq 20995 . . . . . 6
4443notbid 286 . . . . 5
45 rexnal 2677 . . . . 5
4644, 45syl6bbr 255 . . . 4
47 df-ne 2569 . . . . . 6
4811adantr 452 . . . . . . . . 9
49 simpr 448 . . . . . . . . 9
504, 5, 6, 7, 48, 49dchr1 20994 . . . . . . . 8
5150neeq2d 2581 . . . . . . 7
5227adantr 452 . . . . . . . . . 10
53 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13
544, 5, 9, 53, 8dchrf 20979 . . . . . . . . . . . 12
5553, 7unitss 15720 . . . . . . . . . . . . 13
5655sseli 3304 . . . . . . . . . . . 12
57 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . 12
5854, 56, 57syl2an 464 . . . . . . . . . . 11
5958adantlr 696 . . . . . . . . . 10
6052, 59fsumcl 12482 . . . . . . . . 9
61 0cn 9040 . . . . . . . . . 10
6261a1i 11 . . . . . . . . 9
6354adantr 452 . . . . . . . . . . 11
64 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12
6555, 64sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11
6663, 65ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10
67 subcl 9261 . . . . . . . . . 10
6866, 28, 67sylancl 644 . . . . . . . . 9
69 simprr 734 . . . . . . . . . 10
70 subeq0 9283 . . . . . . . . . . . 12
7166, 28, 70sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
7271necon3bid 2602 . . . . . . . . . 10
7369, 72mpbird 224 . . . . . . . . 9
74 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . . . . 14
774, 5, 9dchrmhm 20978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrp MndHom mulGrpfld
7877, 8sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp MndHom mulGrpfld
7978ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrp MndHom mulGrpfld
8065adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8156adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
82 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrp mulGrp
8382, 53mgpbas 15609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp
84 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8582, 84mgpplusg 15607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp
86 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrpfld mulGrpfld
87 cnfldmul 16664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
8886, 87mgpplusg 15607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrpfld
8983, 85, 88mhmlin 14700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrp MndHom mulGrpfld
9079, 80, 81, 89syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . . . 14
9276, 91syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13
93 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14
9411nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
955zncrng 16780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 crngrng 15629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
99 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrps mulGrps
1007, 99unitgrp 15727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrps
10198, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrps
102101adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrps
103 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1047, 99unitgrpbas 15726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrps
10599, 85ressplusg 13526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrps
10624, 105ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrps
107103, 104, 106grplactf1o 14843 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrps
108102, 64, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
109103, 104grplactval 14841 . . . . . . . . . . . . . . 15
11064, 109sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14
11193, 52, 108, 110, 59fsumf1o 12472 . . . . . . . . . . . . 13
11252, 66, 59fsummulc2 12522 . . . . . . . . . . . . 13
11392, 111, 1123eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . 12
11460mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . 12
115113, 114oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11
11660subidd 9355 . . . . . . . . . . 11
117115, 116eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10
11828a1i 11 . . . . . . . . . . 11
11966, 118, 60subdird 9446 . . . . . . . . . 10
12068mul01d 9221 . . . . . . . . . 10
121117, 119, 1203eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9
12260, 62, 68, 73, 121mulcanad 9613 . . . . . . . 8
123122expr 599 . . . . . . 7
12451, 123sylbid 207 . . . . . 6
12547, 124syl5bir 210 . . . . 5
126125rexlimdva 2790 . . . 4
12746, 126sylbid 207 . . 3
128127imp 419 . 2
1291, 2, 36, 128ifbothda 3729 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916  cif 3699   cmpt 4226  wf 5409  wf1o 5412  cfv 5413  (class class class)co 6040  cfn 7068  cc 8944  cc0 8946  c1 8947   cmul 8951   cmin 9247  cn 9956  cn0 10177  chash 11573  csu 12434  cphi 13108  cbs 13424   ↾s cress 13425   cplusg 13484  cmulr 13485  c0g 13678  cgrp 14640   MndHom cmhm 14691  cabel 15368  mulGrpcmgp 15603  crg 15615  ccrg 15616  Unitcui 15699  ℂfldccnfld 16658  ℤ/nℤczn 16736  DChrcdchr 20969 This theorem is referenced by:  dchrsum  21006 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-phi 13110  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-dchr 20970
 Copyright terms: Public domain W3C validator