MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum Structured version   Unicode version

Theorem dchrsum 23669
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character  X is  0 if  X is non-principal and  phi ( n ) otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrsum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrsum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrsum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrsum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrsum.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
Assertion
Ref Expression
dchrsum  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( X `  a )  =  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    .1. , a    B, a    ph, a    X, a    Z, a
Allowed substitution hints:    D( a)    G( a)    N( a)

Proof of Theorem dchrsum
StepHypRef Expression
1 dchrsum.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Z
)
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
31, 2unitss 17435 . . . 4  |-  (Unit `  Z )  C_  B
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (Unit `  Z )  C_  B )
5 dchrsum.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
6 dchrsum.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
7 dchrsum.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 dchrsum.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
95, 6, 7, 1, 8dchrf 23642 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )
103sseli 3495 . . . 4  |-  ( a  e.  (Unit `  Z
)  ->  a  e.  B )
11 ffvelrn 6030 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  a  e.  B )  ->  ( X `  a
)  e.  CC )
129, 10, 11syl2an 477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  (Unit `  Z ) )  ->  ( X `  a )  e.  CC )
13 eldif 3481 . . . 4  |-  ( a  e.  ( B  \ 
(Unit `  Z )
)  <->  ( a  e.  B  /\  -.  a  e.  (Unit `  Z )
) )
148adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  e.  D )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
165, 6, 7, 1, 2, 14, 15dchrn0 23650 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  =/=  0  <->  a  e.  (Unit `  Z )
) )
1716biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  =/=  0  -> 
a  e.  (Unit `  Z ) ) )
1817necon1bd 2675 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( -.  a  e.  (Unit `  Z )  ->  ( X `  a )  =  0 ) )
1918impr 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  -.  a  e.  (Unit `  Z )
) )  ->  ( X `  a )  =  0 )
2013, 19sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( B  \  (Unit `  Z ) ) )  ->  ( X `  a )  =  0 )
215, 7dchrrcl 23640 . . . 4  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
226, 1znfi 18724 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
238, 21, 223syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
244, 12, 20, 23fsumss 13558 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 a )  = 
sum_ a  e.  B  ( X `  a ) )
25 dchrsum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
265, 6, 7, 25, 8, 2dchrsum2 23668 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  (Unit `  Z ) ( X `
 a )  =  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
2724, 26eqtr3d 2500 1  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( X `  a )  =  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   -->wf 5590   ` cfv 5594   Fincfn 7535   CCcc 9507   0cc0 9509   NNcn 10556   sum_csu 13519   phicphi 14305   Basecbs 14643   0gc0g 14856  Unitcui 17414  ℤ/nczn 18666  DChrcdchr 23632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-phi 14307  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-imas 14924  df-qus 14925  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-nsg 16325  df-eqg 16326  df-ghm 16391  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-rnghom 17490  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-lidl 17946  df-rsp 17947  df-2idl 18006  df-cnfld 18547  df-zring 18615  df-zrh 18667  df-zn 18670  df-dchr 23633
This theorem is referenced by:  dchrhash  23671  dchr2sum  23673  dchrisumlem1  23799
  Copyright terms: Public domain W3C validator