MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem3 Structured version   Unicode version

Theorem dchrptlem3 24129
Description: Lemma for dchrpt 24130. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrpt.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrpt.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrpt.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrpt.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
dchrpt.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrpt.n1  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
dchrpt.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrpt.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrpt.m  |-  .x.  =  (.g
`  H )
dchrpt.s  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
dchrpt.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
dchrpt.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
dchrpt.2  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
dchrpt.3  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
Assertion
Ref Expression
dchrptlem3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
Distinct variable groups:    k, n, x,  .1.    A, k, n, x   
x, B    x, G    k, H, n, x    x, N    k, W, n, x    .x. , k, n, x    S, k, n, x    k, Z, n, x    x, D    ph, k, n, x    x, U
Allowed substitution hints:    B( k, n)    D( k, n)    U( k, n)    G( k, n)    N( k, n)

Proof of Theorem dchrptlem3
Dummy variables  a  h  m  u  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.n1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
2 dchrpt.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
32nnnn0d 10869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 dchrpt.z . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
54zncrng 19050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
7 crngring 17727 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
9 dchrpt.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (Unit `  Z )
10 dchrpt.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
119, 10unitgrp 17831 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
128, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
13 grpmnd 16614 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  e.  Mnd )
1412, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
15 dchrpt.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
16 dmexg 6675 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Word  U  ->  dom  W  e.  _V )
1715, 16syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  W  e.  _V )
18 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
1918gsumz 16557 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  dom  W  e.  _V )  ->  ( H  gsumg  ( a  e.  dom  W 
|->  ( 0g `  H
) ) )  =  ( 0g `  H
) )
2014, 17, 19syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( a  e.  dom  W 
|->  ( 0g `  H
) ) )  =  ( 0g `  H
) )
21 dchrpt.1 . . . . . . . . . 10  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
229, 10, 21unitgrpid 17833 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  Ring  ->  .1.  =  ( 0g `  H ) )
238, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 0g
`  H ) )
2423mpteq2dv 4447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  dom  W 
|->  .1.  )  =  ( a  e.  dom  W  |->  ( 0g `  H
) ) )
2524oveq2d 6258 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( a  e.  dom  W 
|->  .1.  ) )  =  ( H  gsumg  ( a  e.  dom  W 
|->  ( 0g `  H
) ) ) )
2620, 25, 233eqtr4d 2466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( a  e.  dom  W 
|->  .1.  ) )  =  .1.  )
271, 26neeqtrrd 2669 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  ( H 
gsumg  ( a  e.  dom  W 
|->  .1.  ) ) )
28 dchrpt.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
29 zex 10890 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  _V
3029mptex 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  ( W `  k ) ) )  e.  _V
3130rnex 6678 . . . . . . . 8  |-  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  e.  _V
32 dchrpt.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
3331, 32dmmpti 5661 . . . . . . 7  |-  dom  S  =  dom  W
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  S  =  dom  W )
35 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( HdProj
S )  =  ( HdProj S )
36 dchrpt.au . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
37 dchrpt.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
3836, 37eleqtrrd 2503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( H DProd 
S ) )
39 eqid 2422 . . . . . 6  |-  { h  e.  X_ i  e.  dom  W ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  H ) }  =  { h  e.  X_ i  e.  dom  W ( S `  i
)  |  h finSupp  ( 0g `  H ) }
4023adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  W )  ->  .1.  =  ( 0g `  H ) )
4128, 34dprdf2 17575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S : dom  W --> (SubGrp `  H ) )
4241ffvelrnda 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  W )  ->  ( S `  a )  e.  (SubGrp `  H )
)
4318subg0cl 16761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S `  a )  e.  (SubGrp `  H
)  ->  ( 0g `  H )  e.  ( S `  a ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  W )  ->  ( 0g `  H )  e.  ( S `  a
) )
4540, 44eqeltrd 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  W )  ->  .1.  e.  ( S `  a
) )
46 fvex 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  Z )  e. 
_V
4721, 46eqeltri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  .1.  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .1.  e.  _V )
4917, 48fczfsuppd 7847 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( dom  W  X.  {  .1.  } ) finSupp  .1.  )
50 fconstmpt 4833 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
W  X.  {  .1.  } )  =  ( a  e.  dom  W  |->  .1.  )
5150eqcomi 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  dom  W  |->  .1.  )  =  ( dom 
W  X.  {  .1.  } )
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a  e.  dom  W 
|->  .1.  )  =  ( dom  W  X.  {  .1.  } ) )
5323eqcomd 2428 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  H
)  =  .1.  )
5449, 52, 533brtr4d 4390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  dom  W 
|->  .1.  ) finSupp  ( 0g `  H ) )
5539, 28, 34, 45, 54dprdwd 17579 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  e.  dom  W 
|->  .1.  )  e.  {
h  e.  X_ i  e.  dom  W ( S `
 i )  |  h finSupp  ( 0g `  H ) } )
5628, 34, 35, 38, 18, 39, 55dpjeq 17628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  =  ( H  gsumg  ( a  e.  dom  W 
|->  .1.  ) )  <->  A. a  e.  dom  W ( ( ( HdProj S ) `
 a ) `  A )  =  .1.  ) )
5756necon3abid 2631 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  ( H  gsumg  ( a  e.  dom  W 
|->  .1.  ) )  <->  -.  A. a  e.  dom  W ( ( ( HdProj S ) `
 a ) `  A )  =  .1.  ) )
5827, 57mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. a  e. 
dom  W ( ( ( HdProj S ) `
 a ) `  A )  =  .1.  )
59 rexnal 2807 . . 3  |-  ( E. a  e.  dom  W  -.  ( ( ( HdProj
S ) `  a
) `  A )  =  .1.  <->  -.  A. a  e.  dom  W ( ( ( HdProj S ) `
 a ) `  A )  =  .1.  )
6058, 59sylibr 215 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  dom  W  -.  ( ( ( HdProj S ) `  a ) `  A
)  =  .1.  )
61 df-ne 2595 . . . 4  |-  ( ( ( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  <->  -.  ( ( ( HdProj
S ) `  a
) `  A )  =  .1.  )
62 dchrpt.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
63 dchrpt.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
64 dchrpt.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Z
)
652adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  dom  W  /\  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  ) )  ->  N  e.  NN )
661adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  dom  W  /\  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  ) )  ->  A  =/=  .1.  )
67 dchrpt.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  H )
6836adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  dom  W  /\  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  ) )  ->  A  e.  U )
6915adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  dom  W  /\  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  ) )  ->  W  e. Word  U )
7028adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  dom  W  /\  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  ) )  ->  H dom DProd  S )
7137adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  dom  W  /\  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  ) )  ->  ( H DProd  S )  =  U )
72 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( od
`  H )  =  ( od `  H
)
73 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( -u
1  ^c  ( 2  /  ( ( od `  H ) `
 ( W `  a ) ) ) )  =  ( -u
1  ^c  ( 2  /  ( ( od `  H ) `
 ( W `  a ) ) ) )
74 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  dom  W  /\  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  ) )  ->  a  e.  dom  W )
75 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  dom  W  /\  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  ) )  ->  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  )
76 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( u  e.  U  |->  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( ( HdProj S ) `
 a ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 a ) )  /\  h  =  ( ( -u 1  ^c  ( 2  / 
( ( od `  H ) `  ( W `  a )
) ) ) ^
m ) ) ) )  =  ( u  e.  U  |->  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( ( HdProj S ) `
 a ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 a ) )  /\  h  =  ( ( -u 1  ^c  ( 2  / 
( ( od `  H ) `  ( W `  a )
) ) ) ^
m ) ) ) )
7762, 4, 63, 64, 21, 65, 66, 9, 10, 67, 32, 68, 69, 70, 71, 35, 72, 73, 74, 75, 76dchrptlem2 24128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  dom  W  /\  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =/=  .1.  ) )  ->  E. x  e.  D  ( x `  A )  =/=  1
)
7877expr 618 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  W )  ->  (
( ( ( HdProj
S ) `  a
) `  A )  =/=  .1.  ->  E. x  e.  D  ( x `  A )  =/=  1
) )
7961, 78syl5bir 221 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  dom  W )  ->  ( -.  ( ( ( HdProj
S ) `  a
) `  A )  =  .1.  ->  E. x  e.  D  ( x `  A )  =/=  1
) )
8079rexlimdva 2850 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e. 
dom  W  -.  (
( ( HdProj S
) `  a ) `  A )  =  .1. 
->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 ) )
8160, 80mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593   A.wral 2708   E.wrex 2709   {crab 2712   _Vcvv 3016   {csn 3934   class class class wbr 4359    |-> cmpt 4418    X. cxp 4787   dom cdm 4789   ran crn 4790   iotacio 5499   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   X_cixp 7470   finSupp cfsupp 7829   1c1 9484   -ucneg 9805    / cdiv 10213   NNcn 10553   2c2 10603   NN0cn0 10813   ZZcz 10881   ^cexp 12215  Word cword 12597   Basecbs 15057   ↾s cress 15058   0gc0g 15274    gsumg cgsu 15275   Mndcmnd 16471   Grpcgrp 16605  .gcmg 16608  SubGrpcsubg 16747   odcod 17101   DProd cdprd 17561  dProjcdpj 17562  mulGrpcmgp 17659   1rcur 17671   Ringcrg 17716   CRingccrg 17717  Unitcui 17803  ℤ/nczn 19009    ^c ccxp 23440  DChrcdchr 24095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-tpos 6921  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-acn 8321  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ioc 11584  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-mod 12040  df-seq 12157  df-exp 12216  df-fac 12403  df-bc 12431  df-hash 12459  df-word 12605  df-shft 13067  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-limsup 13462  df-clim 13488  df-rlim 13489  df-sum 13689  df-ef 14057  df-sin 14059  df-cos 14060  df-pi 14062  df-dvds 14242  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-qus 15345  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-mhm 16518  df-submnd 16519  df-grp 16609  df-minusg 16610  df-sbg 16611  df-mulg 16612  df-subg 16750  df-nsg 16751  df-eqg 16752  df-ghm 16817  df-gim 16859  df-cntz 16907  df-oppg 16933  df-od 17108  df-lsm 17224  df-pj1 17225  df-cmn 17368  df-abl 17369  df-dprd 17563  df-dpj 17564  df-mgp 17660  df-ur 17672  df-ring 17718  df-cring 17719  df-oppr 17787  df-dvdsr 17805  df-unit 17806  df-rnghom 17879  df-subrg 17942  df-lmod 18029  df-lss 18092  df-lsp 18131  df-sra 18331  df-rgmod 18332  df-lidl 18333  df-rsp 18334  df-2idl 18392  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-zring 18975  df-zrh 19010  df-zn 19013  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757  df-log 23441  df-cxp 23442  df-dchr 24096
This theorem is referenced by:  dchrpt  24130
  Copyright terms: Public domain W3C validator