Theorem dchrptlem1 23665

Description: Lemma for dchrpt 23668. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	|- G = (DChr ` N )
dchrpt.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrpt.d	|- D = ( Base ` G )
dchrpt.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrpt.1	|- .1. = ( 1r ` Z )
dchrpt.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrpt.n1	|- ( ph -> A =/= .1. )
dchrpt.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrpt.h	|- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
dchrpt.m	|- .x. = (.g ` H )
dchrpt.s	|- S = ( k e. dom W |-> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) )
dchrpt.au	|- ( ph -> A e. U )
dchrpt.w	|- ( ph -> W e. Word U )
dchrpt.2	|- ( ph -> H dom DProd S )
dchrpt.3	|- ( ph -> ( H DProd S ) = U )
dchrpt.p	|- P = ( HdProj S )
dchrpt.o	|- O = ( od ` H )
dchrpt.t	|- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
dchrpt.i	|- ( ph -> I e. dom W )
dchrpt.4	|- ( ph -> ( ( P ` I ) ` A ) =/= .1. )
dchrpt.5	|- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrptlem1	|- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Distinct variable groups:   h, k, m, n, .1.   u, h, A, k, m, n   h, I, k, m, u   C, h, m, u   h, H, k, m, n, u   h, W, k, m, n, u   .x. , h, k, m, n, u   P, h, m, u   S, h, k, m, n, u   h, Z, k, m, n, u   h, M, m   ph, h, k, m, n   T, h, m, u   U, h, m, u

Allowed substitution hints:   ph( u)   B( u, h, k, m, n)   C( k, n)   D( u, h, k, m, n)   P( k, n)   T( k, n)   U( k, n)   .1. ( u)   G( u, h, k, m, n)   I( n)   M( u, k, n)   N( u, h, k, m, n)   O( u, h, k, m, n)   X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( u = C -> ( ( P ` I ) ` u ) = ( ( P ` I ) ` C ) )
2	1	eqeq1d 2459	. . . . . . 7 |- ( u = C -> ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) )
3	2	anbi1d 704	. . . . . 6 |- ( u = C -> ( ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
4	3	rexbidv 2968	. . . . 5 |- ( u = C -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
5	4	iotabidv 5578	. . . 4 |- ( u = C -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
6		dchrpt.5	. . . 4 |- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
7		iotaex 5574	. . . 4 |- ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) e. _V
8	5, 6, 7	fvmpt3i 5960	. . 3 |- ( C e. U -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
9	8	ad2antlr 726	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
10		ovex 6324	. . 3 |- ( T ^ M ) e. _V
11		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) )
12		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
13	12	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
14	11, 13	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
15		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ph )
16		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> m e. ZZ )
17	12	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> M e. ZZ )
18		dchrpt.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN )
19	18	nnnn0d 10873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
20		dchrpt.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
21	20	zncrng 18710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
22		crngring 17336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
23		dchrpt.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U = (Unit ` Z )
24		dchrpt.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
25	23, 24	unitgrp 17443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. Ring -> H e. Grp )
26	19, 21, 22, 25	4syl 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H e. Grp )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> H e. Grp )
28		dchrpt.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. Word U )
29		wrdf 12558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word U -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
31		dchrpt.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. dom W )
32		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
33	30, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
34	31, 33	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> I e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
35	30, 34	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( W ` I ) e. U )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( W ` I ) e. U )
37		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> m e. ZZ )
38		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
39	23, 24	unitgrpbas 17442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U = ( Base ` H )
40		dchrpt.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = ( od ` H )
41		dchrpt.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .x. = (.g ` H )
42		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
43	39, 40, 41, 42	odcong 16700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H e. Grp /\ ( W ` I ) e. U /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
44	27, 36, 37, 38, 43	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
45		dchrpt.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
46		neg1cn 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 1 e. CC
47		2re 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
48		dchrpt.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- B = ( Base ` Z )
49	20, 48	znfi 18725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> B e. Fin )
50	18, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. Fin )
51	48, 23	unitss 17436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- U C_ B
52		ssfi 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. Fin /\ U C_ B ) -> U e. Fin )
53	50, 51, 52	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> U e. Fin )
54	39, 40	odcl2 16714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( H e. Grp /\ U e. Fin /\ ( W ` I ) e. U ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
55	26, 53, 35, 54	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
56	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
57		nndivre 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. RR /\ ( O ` ( W ` I ) ) e. NN ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
58	47, 56, 57	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
59	58	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC )
60		cxpcl 23181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
61	46, 59, 60	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
62	45, 61	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T e. CC )
63	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 e. CC )
64		neg1ne0 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 =/= 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 =/= 0 )
66	63, 65, 59	cxpne0d 23220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
67	45	neeq1i 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T =/= 0 <-> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
68	66, 67	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T =/= 0 )
69		zsubcl 10927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( m - M ) e. ZZ )
70	69	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( m - M ) e. ZZ )
71	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. ZZ )
72		expaddz 12213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T e. CC /\ T =/= 0 ) /\ ( ( m - M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
73	62, 68, 70, 71, 72	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
74	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. ZZ )
75	74	zcnd 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. CC )
76	71	zcnd 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. CC )
77	75, 76	npcand 9954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( m - M ) + M ) = m )
78	77	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( T ^ m ) )
79	45	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T ^ ( m - M ) ) = ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) )
80		root1eq1 23255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( O ` ( W ` I ) ) e. NN /\ ( m - M ) e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
81	55, 69, 80	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
82	81	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 )
83	79, 82	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( m - M ) ) = 1 )
84	83	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( 1 x. ( T ^ M ) ) )
85	62, 68, 71	expclzd 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ M ) e. CC )
86	85	mulid2d 9631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 1 x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
87	84, 86	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
88	73, 78, 87	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
89	88	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
90	44, 89	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
91	15, 16, 17, 90	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
92	14, 91	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
93	92	eqeq2d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
94	93	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) -> h = ( T ^ M ) ) )
95	94	expimpd 603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
96	95	rexlimdva 2949	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
97		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
98	97	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
99		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
100	99	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
101	98, 100	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) )
102	101	rspcev 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) )
103	102	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
104	103	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
105	96, 104	impbid 191	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
106	105	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
107	106	iota5 5577	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
108	10, 107	mpan2 671	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
109	9, 108	eqtrd 2498	1 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   iotacio 5555   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885  ..^cfzo 11821   ^cexp 12169   #chash 12408  Word cword 12538   || cdvds 13998   Basecbs 14644   ↾_s cress 14645   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180  ._gcmg 16183   odcod 16676   DProd cdprd 17151  dProjcdpj 17152  mulGrpcmgp 17268   1rcur 17280   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326  Unitcui 17415  ℤ/nℤczn 18667   ^c ccxp 23069  DChrcdchr 23633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-word 12546  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-qus 14926  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-od 16680  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071

This theorem is referenced by:  dchrptlem2  23666