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Theorem dchrptlem1 22488
Description: Lemma for dchrpt 22491. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrpt.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrpt.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrpt.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrpt.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
dchrpt.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrpt.n1  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
dchrpt.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrpt.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrpt.m  |-  .x.  =  (.g
`  H )
dchrpt.s  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
dchrpt.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
dchrpt.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
dchrpt.2  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
dchrpt.3  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
dchrpt.p  |-  P  =  ( HdProj S )
dchrpt.o  |-  O  =  ( od `  H
)
dchrpt.t  |-  T  =  ( -u 1  ^c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
dchrpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
dchrpt.4  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
dchrpt.5  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Distinct variable groups:    h, k, m, n,  .1.    u, h, A, k, m, n   
h, I, k, m, u    C, h, m, u   
h, H, k, m, n, u    h, W, k, m, n, u    .x. , h, k, m, n, u    P, h, m, u    S, h, k, m, n, u    h, Z, k, m, n, u    h, M, m    ph, h, k, m, n    T, h, m, u    U, h, m, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    B( u, h, k, m, n)    C( k, n)    D( u, h, k, m, n)    P( k, n)    T( k, n)    U( k, n)    .1. ( u)    G( u, h, k, m, n)    I( n)    M( u, k, n)    N( u, h, k, m, n)    O( u, h, k, m, n)    X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  C  ->  (
( P `  I
) `  u )  =  ( ( P `
 I ) `  C ) )
21eqeq1d 2441 . . . . . . 7  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
32anbi1d 697 . . . . . 6  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
43rexbidv 2726 . . . . 5  |-  ( u  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
54iotabidv 5390 . . . 4  |-  ( u  =  C  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
6 dchrpt.5 . . . 4  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
7 iotaex 5386 . . . 4  |-  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt3i 5766 . . 3  |-  ( C  e.  U  ->  ( X `  C )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
98ad2antlr 719 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
10 ovex 6105 . . 3  |-  ( T ^ M )  e. 
_V
11 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) )
12 simpllr 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )
1312simprd 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) )
1411, 13eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )
15 simp-4l 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ph )
16 simplr 747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1712simpld 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
18 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918nnnn0d 10624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
20 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2120zncrng 17819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
22 crngrng 16591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
23 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  =  (Unit `  Z )
24 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
2523, 24unitgrp 16693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
2619, 21, 22, 254syl 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
2726adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  H  e.  Grp )
28 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
29 wrdf 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  U  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U )
31 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
32 fdm 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  W  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3431, 33eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3530, 34ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  U )
3635adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
37 simprl 748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  ZZ )
38 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
3923, 24unitgrpbas 16692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  =  ( Base `  H
)
40 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  O  =  ( od `  H
)
41 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  (.g
`  H )
42 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
4339, 40, 41, 42odcong 16032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( W `  I )  e.  U  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M
)  <->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
4427, 36, 37, 38, 43syl112anc 1215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  <->  ( m  .x.  ( W `  I
) )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
45 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  =  ( -u 1  ^c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
46 neg1cn 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  CC
47 2re 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
48 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4920, 48znfi 17834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
5018, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
5148, 23unitss 16686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U  C_  B
52 ssfi 7521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  U  C_  B )  ->  U  e.  Fin )
5350, 51, 52sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
5439, 40odcl2 16046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  ( W `  I )  e.  U )  ->  ( O `  ( W `  I ) )  e.  NN )
5526, 53, 35, 54syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN )
5655ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( O `  ( W `  I
) )  e.  NN )
57 nndivre 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( O `  ( W `
 I ) )  e.  NN )  -> 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
5847, 56, 57sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
5958recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )
60 cxpcl 22004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )  -> 
( -u 1  ^c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6146, 59, 60sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6245, 61syl5eqel 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  e.  CC )
6346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  e.  CC )
64 neg1ne0 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  =/=  0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
6663, 65, 59cxpne0d 22043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
6745neeq1i 2608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  =/=  0  <->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
6866, 67sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  =/=  0 )
69 zsubcl 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( m  -  M
)  e.  ZZ )
7069ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( m  -  M )  e.  ZZ )
7138adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  ZZ )
72 expaddz 11892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  /\  ( ( m  -  M )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( T ^ (
( m  -  M
)  +  M ) )  =  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7362, 68, 70, 71, 72syl22anc 1212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( ( T ^
( m  -  M
) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7437adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  ZZ )
7574zcnd 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  CC )
7671zcnd 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  CC )
7775, 76npcand 9711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( (
m  -  M )  +  M )  =  m )
7877oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( T ^ m
) )
7945oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^
( m  -  M
) )
80 root1eq1 22078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN  /\  ( m  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8155, 69, 80syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8281biimpar 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8379, 82syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8483oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( 1  x.  ( T ^ M ) ) )
8562, 68, 71expclzd 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ M )  e.  CC )
8685mulid2d 9392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 1  x.  ( T ^ M ) )  =  ( T ^ M
) )
8784, 86eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( T ^ M ) )
8873, 78, 873eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
8988ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9044, 89sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9115, 16, 17, 90syl12anc 1209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( m 
.x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) ) )
9214, 91mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( T ^
m )  =  ( T ^ M ) )
9392eqeq2d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9493biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9594expimpd 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9695rexlimdva 2831 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
97 oveq1 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) )
9897eqeq2d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
99 oveq2 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
10099eqeq2d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
h  =  ( T ^ m )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
10198, 100anbi12d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ M ) ) ) )
102101rspcev 3062 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ M ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )
103102expr 610 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ M
)  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
104103adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( h  =  ( T ^ M )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
10596, 104impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
106105adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
107106iota5 5389 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
10810, 107mpan2 664 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
1099, 108eqtrd 2465 1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   dom cdm 4827   ran crn 4828   iotacio 5367   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    - cmin 9583   -ucneg 9584    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   NN0cn0 10567   ZZcz 10634  ..^cfzo 11532   ^cexp 11849   #chash 12087  Word cword 12205    || cdivides 13518   Basecbs 14157   ↾s cress 14158   0gc0g 14361   Grpcgrp 15393  .gcmg 15397   odcod 16008   DProd cdprd 16449  dProjcdpj 16450  mulGrpcmgp 16565   Ringcrg 16577   CRingccrg 16578   1rcur 16579  Unitcui 16665  ℤ/nczn 17776    ^c ccxp 21892  DChrcdchr 22456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-ec 7091  df-qs 7095  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-word 12213  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-dvds 13519  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-divs 14430  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-nsg 15659  df-eqg 15660  df-ghm 15725  df-cntz 15815  df-od 16012  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-rnghom 16740  df-subrg 16787  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-lsp 16975  df-sra 17175  df-rgmod 17176  df-lidl 17177  df-rsp 17178  df-2idl 17236  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-zring 17726  df-zrh 17777  df-zn 17780  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-cxp 21894
This theorem is referenced by:  dchrptlem2  22489
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