Theorem dchrptlem1 24241

Description: Lemma for dchrpt 24244. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	|- G = (DChr ` N )
dchrpt.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrpt.d	|- D = ( Base ` G )
dchrpt.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrpt.1	|- .1. = ( 1r ` Z )
dchrpt.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrpt.n1	|- ( ph -> A =/= .1. )
dchrpt.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrpt.h	|- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
dchrpt.m	|- .x. = (.g ` H )
dchrpt.s	|- S = ( k e. dom W |-> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) )
dchrpt.au	|- ( ph -> A e. U )
dchrpt.w	|- ( ph -> W e. Word U )
dchrpt.2	|- ( ph -> H dom DProd S )
dchrpt.3	|- ( ph -> ( H DProd S ) = U )
dchrpt.p	|- P = ( HdProj S )
dchrpt.o	|- O = ( od ` H )
dchrpt.t	|- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
dchrpt.i	|- ( ph -> I e. dom W )
dchrpt.4	|- ( ph -> ( ( P ` I ) ` A ) =/= .1. )
dchrpt.5	|- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrptlem1	|- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Distinct variable groups:   h, k, m, n, .1.   u, h, A, k, m, n   h, I, k, m, u   C, h, m, u   h, H, k, m, n, u   h, W, k, m, n, u   .x. , h, k, m, n, u   P, h, m, u   S, h, k, m, n, u   h, Z, k, m, n, u   h, M, m   ph, h, k, m, n   T, h, m, u   U, h, m, u

Allowed substitution hints:   ph( u)   B( u, h, k, m, n)   C( k, n)   D( u, h, k, m, n)   P( k, n)   T( k, n)   U( k, n)   .1. ( u)   G( u, h, k, m, n)   I( n)   M( u, k, n)   N( u, h, k, m, n)   O( u, h, k, m, n)   X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5888	. . . . . . . 8 |- ( u = C -> ( ( P ` I ) ` u ) = ( ( P ` I ) ` C ) )
2	1	eqeq1d 2464	. . . . . . 7 |- ( u = C -> ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) )
3	2	anbi1d 716	. . . . . 6 |- ( u = C -> ( ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
4	3	rexbidv 2913	. . . . 5 |- ( u = C -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
5	4	iotabidv 5586	. . . 4 |- ( u = C -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
6		dchrpt.5	. . . 4 |- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
7		iotaex 5582	. . . 4 |- ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) e. _V
8	5, 6, 7	fvmpt3i 5976	. . 3 |- ( C e. U -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
9	8	ad2antlr 738	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
10		ovex 6343	. . 3 |- ( T ^ M ) e. _V
11		simpr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) )
12		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
13	12	simprd 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
14	11, 13	eqtr3d 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
15		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ph )
16		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> m e. ZZ )
17	12	simpld 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> M e. ZZ )
18		dchrpt.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN )
19	18	nnnn0d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
20		dchrpt.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
21	20	zncrng 19164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
22		crngring 17840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
23		dchrpt.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U = (Unit ` Z )
24		dchrpt.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
25	23, 24	unitgrp 17944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. Ring -> H e. Grp )
26	19, 21, 22, 25	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H e. Grp )
27	26	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> H e. Grp )
28		dchrpt.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. Word U )
29		wrdf 12709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word U -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
31		dchrpt.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. dom W )
32		fdm 5756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
34	31, 33	eleqtrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> I e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
35	30, 34	ffvelrnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( W ` I ) e. U )
36	35	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( W ` I ) e. U )
37		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> m e. ZZ )
38		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
39	23, 24	unitgrpbas 17943	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U = ( Base ` H )
40		dchrpt.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = ( od ` H )
41		dchrpt.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .x. = (.g ` H )
42		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
43	39, 40, 41, 42	odcong 17247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H e. Grp /\ ( W ` I ) e. U /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
44	27, 36, 37, 38, 43	syl112anc 1280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
45		dchrpt.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
46		neg1cn 10741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 1 e. CC
47		2re 10707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
48		dchrpt.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- B = ( Base ` Z )
49	20, 48	znfi 19179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> B e. Fin )
50	18, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. Fin )
51	48, 23	unitss 17937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- U C_ B
52		ssfi 7818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. Fin /\ U C_ B ) -> U e. Fin )
53	50, 51, 52	sylancl 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> U e. Fin )
54	39, 40	odcl2 17265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( H e. Grp /\ U e. Fin /\ ( W ` I ) e. U ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
55	26, 53, 35, 54	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
56	55	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
57		nndivre 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. RR /\ ( O ` ( W ` I ) ) e. NN ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
58	47, 56, 57	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
59	58	recnd 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC )
60		cxpcl 23668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
61	46, 59, 60	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
62	45, 61	syl5eqel 2544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T e. CC )
63	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 e. CC )
64		neg1ne0 10743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 =/= 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 =/= 0 )
66	63, 65, 59	cxpne0d 23707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
67	45	neeq1i 2700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T =/= 0 <-> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
68	66, 67	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T =/= 0 )
69		zsubcl 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( m - M ) e. ZZ )
70	69	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( m - M ) e. ZZ )
71	38	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. ZZ )
72		expaddz 12348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T e. CC /\ T =/= 0 ) /\ ( ( m - M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
73	62, 68, 70, 71, 72	syl22anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
74	37	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. ZZ )
75	74	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. CC )
76	71	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. CC )
77	75, 76	npcand 10016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( m - M ) + M ) = m )
78	77	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( T ^ m ) )
79	45	oveq1i 6325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T ^ ( m - M ) ) = ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) )
80		root1eq1 23744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( O ` ( W ` I ) ) e. NN /\ ( m - M ) e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
81	55, 69, 80	syl2an 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
82	81	biimpar 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 )
83	79, 82	syl5eq 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( m - M ) ) = 1 )
84	83	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( 1 x. ( T ^ M ) ) )
85	62, 68, 71	expclzd 12453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ M ) e. CC )
86	85	mulid2d 9687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 1 x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
87	84, 86	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
88	73, 78, 87	3eqtr3d 2504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
89	88	ex 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
90	44, 89	sylbird 243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
91	15, 16, 17, 90	syl12anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
92	14, 91	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
93	92	eqeq2d 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
94	93	biimpd 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) -> h = ( T ^ M ) ) )
95	94	expimpd 612	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
96	95	rexlimdva 2891	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
97		oveq1 6322	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
98	97	eqeq2d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
99		oveq2 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
100	99	eqeq2d 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
101	98, 100	anbi12d 722	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) )
102	101	rspcev 3162	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) )
103	102	expr 624	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
104	103	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
105	96, 104	impbid 195	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
106	105	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
107	106	iota5 5585	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
108	10, 107	mpan2 682	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
109	9, 108	eqtrd 2496	1 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   C_ wss 3416   class class class wbr 4416   |-> cmpt 4475   dom cdm 4853   ran crn 4854   iotacio 5563   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   + caddc 9568   x. cmul 9570   - cmin 9886   -ucneg 9887   / cdiv 10297   NNcn 10637   2c2 10687   NN0cn0 10898   ZZcz 10966  ..^cfzo 11946   ^cexp 12304   #chash 12547  Word cword 12689   || cdvds 14354   Basecbs 15170   ↾_s cress 15171   0gc0g 15387   Grpcgrp 16718  ._gcmg 16721   odcod 17214   DProd cdprd 17674  dProjcdpj 17675  mulGrpcmgp 17772   1rcur 17784   Ringcrg 17829   CRingccrg 17830  Unitcui 17916  ℤ/nℤczn 19123   ^c ccxp 23554  DChrcdchr 24209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-tpos 6999  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-omul 7213  df-er 7389  df-ec 7391  df-qs 7395  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-acn 8402  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-fac 12492  df-bc 12520  df-hash 12548  df-word 12697  df-shft 13179  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-limsup 13575  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-ef 14170  df-sin 14172  df-cos 14173  df-pi 14175  df-dvds 14355  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-qus 15458  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-mhm 16631  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-sbg 16724  df-mulg 16725  df-subg 16863  df-nsg 16864  df-eqg 16865  df-ghm 16930  df-cntz 17020  df-od 17221  df-cmn 17481  df-abl 17482  df-mgp 17773  df-ur 17785  df-ring 17831  df-cring 17832  df-oppr 17900  df-dvdsr 17918  df-unit 17919  df-rnghom 17992  df-subrg 18055  df-lmod 18142  df-lss 18205  df-lsp 18244  df-sra 18444  df-rgmod 18445  df-lidl 18446  df-rsp 18447  df-2idl 18505  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-cnfld 19020  df-zring 19089  df-zrh 19124  df-zn 19127  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-lp 20201  df-perf 20202  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-cncf 21959  df-limc 22870  df-dv 22871  df-log 23555  df-cxp 23556

This theorem is referenced by:  dchrptlem2  24242