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Theorem dchrptlem1 22606
Description: Lemma for dchrpt 22609. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrpt.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrpt.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrpt.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrpt.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
dchrpt.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrpt.n1  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
dchrpt.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrpt.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrpt.m  |-  .x.  =  (.g
`  H )
dchrpt.s  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
dchrpt.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
dchrpt.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
dchrpt.2  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
dchrpt.3  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
dchrpt.p  |-  P  =  ( HdProj S )
dchrpt.o  |-  O  =  ( od `  H
)
dchrpt.t  |-  T  =  ( -u 1  ^c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
dchrpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
dchrpt.4  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
dchrpt.5  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Distinct variable groups:    h, k, m, n,  .1.    u, h, A, k, m, n   
h, I, k, m, u    C, h, m, u   
h, H, k, m, n, u    h, W, k, m, n, u    .x. , h, k, m, n, u    P, h, m, u    S, h, k, m, n, u    h, Z, k, m, n, u    h, M, m    ph, h, k, m, n    T, h, m, u    U, h, m, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    B( u, h, k, m, n)    C( k, n)    D( u, h, k, m, n)    P( k, n)    T( k, n)    U( k, n)    .1. ( u)    G( u, h, k, m, n)    I( n)    M( u, k, n)    N( u, h, k, m, n)    O( u, h, k, m, n)    X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 5694 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  C  ->  (
( P `  I
) `  u )  =  ( ( P `
 I ) `  C ) )
21eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
32anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
43rexbidv 2739 . . . . 5  |-  ( u  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
54iotabidv 5405 . . . 4  |-  ( u  =  C  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
6 dchrpt.5 . . . 4  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
7 iotaex 5401 . . . 4  |-  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt3i 5781 . . 3  |-  ( C  e.  U  ->  ( X `  C )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
98ad2antlr 726 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
10 ovex 6119 . . 3  |-  ( T ^ M )  e. 
_V
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) )
12 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )
1312simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) )
1411, 13eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )
15 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ph )
16 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1712simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
18 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918nnnn0d 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
20 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2120zncrng 17980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
22 crngrng 16658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
23 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  =  (Unit `  Z )
24 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
2523, 24unitgrp 16762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
2619, 21, 22, 254syl 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  H  e.  Grp )
28 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
29 wrdf 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  U  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U )
31 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
32 fdm 5566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  W  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3431, 33eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3530, 34ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  U )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
37 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  ZZ )
38 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
3923, 24unitgrpbas 16761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  =  ( Base `  H
)
40 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  O  =  ( od `  H
)
41 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  (.g
`  H )
42 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
4339, 40, 41, 42odcong 16055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( W `  I )  e.  U  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M
)  <->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
4427, 36, 37, 38, 43syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  <->  ( m  .x.  ( W `  I
) )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
45 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  =  ( -u 1  ^c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
46 neg1cn 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  CC
47 2re 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
48 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4920, 48znfi 17995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
5018, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
5148, 23unitss 16755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U  C_  B
52 ssfi 7536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  U  C_  B )  ->  U  e.  Fin )
5350, 51, 52sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
5439, 40odcl2 16069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  ( W `  I )  e.  U )  ->  ( O `  ( W `  I ) )  e.  NN )
5526, 53, 35, 54syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( O `  ( W `  I
) )  e.  NN )
57 nndivre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( O `  ( W `
 I ) )  e.  NN )  -> 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
5847, 56, 57sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
5958recnd 9415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )
60 cxpcl 22122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )  -> 
( -u 1  ^c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6146, 59, 60sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6245, 61syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  e.  CC )
6346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  e.  CC )
64 neg1ne0 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  =/=  0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
6663, 65, 59cxpne0d 22161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
6745neeq1i 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  =/=  0  <->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
6866, 67sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  =/=  0 )
69 zsubcl 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( m  -  M
)  e.  ZZ )
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( m  -  M )  e.  ZZ )
7138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  ZZ )
72 expaddz 11911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  /\  ( ( m  -  M )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( T ^ (
( m  -  M
)  +  M ) )  =  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7362, 68, 70, 71, 72syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( ( T ^
( m  -  M
) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7437adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  ZZ )
7574zcnd 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  CC )
7671zcnd 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  CC )
7775, 76npcand 9726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( (
m  -  M )  +  M )  =  m )
7877oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( T ^ m
) )
7945oveq1i 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^
( m  -  M
) )
80 root1eq1 22196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN  /\  ( m  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8155, 69, 80syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8281biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8379, 82syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8483oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( 1  x.  ( T ^ M ) ) )
8562, 68, 71expclzd 12016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ M )  e.  CC )
8685mulid2d 9407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 1  x.  ( T ^ M ) )  =  ( T ^ M
) )
8784, 86eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( T ^ M ) )
8873, 78, 873eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
8988ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9044, 89sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9115, 16, 17, 90syl12anc 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( m 
.x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) ) )
9214, 91mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( T ^
m )  =  ( T ^ M ) )
9392eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9493biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9594expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9695rexlimdva 2844 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
97 oveq1 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) )
9897eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
99 oveq2 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
10099eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
h  =  ( T ^ m )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
10198, 100anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ M ) ) ) )
102101rspcev 3076 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ M ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )
103102expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ M
)  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
104103adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( h  =  ( T ^ M )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
10596, 104impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
106105adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
107106iota5 5404 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
10810, 107mpan2 671 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
1099, 108eqtrd 2475 1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    C_ wss 3331   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   dom cdm 4843   ran crn 4844   iotacio 5382   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    - cmin 9598   -ucneg 9599    / cdiv 9996   NNcn 10325   2c2 10374   NN0cn0 10582   ZZcz 10649  ..^cfzo 11551   ^cexp 11868   #chash 12106  Word cword 12224    || cdivides 13538   Basecbs 14177   ↾s cress 14178   0gc0g 14381   Grpcgrp 15413  .gcmg 15417   odcod 16031   DProd cdprd 16478  dProjcdpj 16479  mulGrpcmgp 16594   1rcur 16606   Ringcrg 16648   CRingccrg 16649  Unitcui 16734  ℤ/nczn 17937    ^c ccxp 22010  DChrcdchr 22574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-tpos 6748  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-omul 6928  df-er 7104  df-ec 7106  df-qs 7110  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-acn 8115  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-word 12232  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-dvds 13539  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-divs 14450  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-nsg 15682  df-eqg 15683  df-ghm 15748  df-cntz 15838  df-od 16035  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-oppr 16718  df-dvdsr 16736  df-unit 16737  df-rnghom 16809  df-subrg 16866  df-lmod 16953  df-lss 17017  df-lsp 17056  df-sra 17256  df-rgmod 17257  df-lidl 17258  df-rsp 17259  df-2idl 17317  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-zring 17887  df-zrh 17938  df-zn 17941  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-cxp 22012
This theorem is referenced by:  dchrptlem2  22607
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