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Theorem dchrptlem1 23405
Description: Lemma for dchrpt 23408. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrpt.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrpt.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrpt.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrpt.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
dchrpt.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrpt.n1  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
dchrpt.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrpt.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrpt.m  |-  .x.  =  (.g
`  H )
dchrpt.s  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
dchrpt.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
dchrpt.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
dchrpt.2  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
dchrpt.3  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
dchrpt.p  |-  P  =  ( HdProj S )
dchrpt.o  |-  O  =  ( od `  H
)
dchrpt.t  |-  T  =  ( -u 1  ^c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
dchrpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
dchrpt.4  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
dchrpt.5  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Distinct variable groups:    h, k, m, n,  .1.    u, h, A, k, m, n   
h, I, k, m, u    C, h, m, u   
h, H, k, m, n, u    h, W, k, m, n, u    .x. , h, k, m, n, u    P, h, m, u    S, h, k, m, n, u    h, Z, k, m, n, u    h, M, m    ph, h, k, m, n    T, h, m, u    U, h, m, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    B( u, h, k, m, n)    C( k, n)    D( u, h, k, m, n)    P( k, n)    T( k, n)    U( k, n)    .1. ( u)    G( u, h, k, m, n)    I( n)    M( u, k, n)    N( u, h, k, m, n)    O( u, h, k, m, n)    X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  C  ->  (
( P `  I
) `  u )  =  ( ( P `
 I ) `  C ) )
21eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
32anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
43rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( u  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
54iotabidv 5578 . . . 4  |-  ( u  =  C  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
6 dchrpt.5 . . . 4  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
7 iotaex 5574 . . . 4  |-  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt3i 5961 . . 3  |-  ( C  e.  U  ->  ( X `  C )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
98ad2antlr 726 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
10 ovex 6320 . . 3  |-  ( T ^ M )  e. 
_V
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) )
12 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )
1312simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) )
1411, 13eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )
15 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ph )
16 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1712simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
18 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918nnnn0d 10864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
20 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2120zncrng 18452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
22 crngring 17081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
23 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  =  (Unit `  Z )
24 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
2523, 24unitgrp 17188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
2619, 21, 22, 254syl 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  H  e.  Grp )
28 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
29 wrdf 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  U  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U )
31 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
32 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  W  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3431, 33eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3530, 34ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  U )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
37 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  ZZ )
38 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
3923, 24unitgrpbas 17187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  =  ( Base `  H
)
40 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  O  =  ( od `  H
)
41 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  (.g
`  H )
42 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
4339, 40, 41, 42odcong 16446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( W `  I )  e.  U  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M
)  <->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
4427, 36, 37, 38, 43syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  <->  ( m  .x.  ( W `  I
) )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
45 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  =  ( -u 1  ^c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
46 neg1cn 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  CC
47 2re 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
48 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4920, 48znfi 18467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
5018, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
5148, 23unitss 17181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U  C_  B
52 ssfi 7752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  U  C_  B )  ->  U  e.  Fin )
5350, 51, 52sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
5439, 40odcl2 16460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  ( W `  I )  e.  U )  ->  ( O `  ( W `  I ) )  e.  NN )
5526, 53, 35, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( O `  ( W `  I
) )  e.  NN )
57 nndivre 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( O `  ( W `
 I ) )  e.  NN )  -> 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
5847, 56, 57sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
5958recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )
60 cxpcl 22921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )  -> 
( -u 1  ^c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6146, 59, 60sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6245, 61syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  e.  CC )
6346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  e.  CC )
64 neg1ne0 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  =/=  0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
6663, 65, 59cxpne0d 22960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
6745neeq1i 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  =/=  0  <->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
6866, 67sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  =/=  0 )
69 zsubcl 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( m  -  M
)  e.  ZZ )
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( m  -  M )  e.  ZZ )
7138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  ZZ )
72 expaddz 12190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  /\  ( ( m  -  M )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( T ^ (
( m  -  M
)  +  M ) )  =  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7362, 68, 70, 71, 72syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( ( T ^
( m  -  M
) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7437adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  ZZ )
7574zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  CC )
7671zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  CC )
7775, 76npcand 9946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( (
m  -  M )  +  M )  =  m )
7877oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( T ^ m
) )
7945oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^
( m  -  M
) )
80 root1eq1 22995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN  /\  ( m  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8155, 69, 80syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8281biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8379, 82syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8483oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( 1  x.  ( T ^ M ) ) )
8562, 68, 71expclzd 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ M )  e.  CC )
8685mulid2d 9626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 1  x.  ( T ^ M ) )  =  ( T ^ M
) )
8784, 86eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( T ^ M ) )
8873, 78, 873eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
8988ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9044, 89sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9115, 16, 17, 90syl12anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( m 
.x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) ) )
9214, 91mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( T ^
m )  =  ( T ^ M ) )
9392eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9493biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9594expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9695rexlimdva 2959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
97 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) )
9897eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
99 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
10099eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
h  =  ( T ^ m )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
10198, 100anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ M ) ) ) )
102101rspcev 3219 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ M ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )
103102expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ M
)  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
104103adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( h  =  ( T ^ M )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
10596, 104impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
106105adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
107106iota5 5577 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
10810, 107mpan2 671 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
1099, 108eqtrd 2508 1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   iotacio 5555   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876  ..^cfzo 11804   ^cexp 12146   #chash 12385  Word cword 12515    || cdivides 13864   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925  .gcmg 15928   odcod 16422   DProd cdprd 16897  dProjcdpj 16898  mulGrpcmgp 17013   1rcur 17025   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071  Unitcui 17160  ℤ/nczn 18409    ^c ccxp 22809  DChrcdchr 23373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-word 12523  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-dvds 13865  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-qus 14781  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-nsg 16071  df-eqg 16072  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-od 16426  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-rnghom 17236  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-lidl 17691  df-rsp 17692  df-2idl 17750  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-zn 18413  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-cxp 22811
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