Theorem dchrptlem1 24055

Description: Lemma for dchrpt 24058. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	|- G = (DChr ` N )
dchrpt.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrpt.d	|- D = ( Base ` G )
dchrpt.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrpt.1	|- .1. = ( 1r ` Z )
dchrpt.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrpt.n1	|- ( ph -> A =/= .1. )
dchrpt.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrpt.h	|- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
dchrpt.m	|- .x. = (.g ` H )
dchrpt.s	|- S = ( k e. dom W |-> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) )
dchrpt.au	|- ( ph -> A e. U )
dchrpt.w	|- ( ph -> W e. Word U )
dchrpt.2	|- ( ph -> H dom DProd S )
dchrpt.3	|- ( ph -> ( H DProd S ) = U )
dchrpt.p	|- P = ( HdProj S )
dchrpt.o	|- O = ( od ` H )
dchrpt.t	|- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
dchrpt.i	|- ( ph -> I e. dom W )
dchrpt.4	|- ( ph -> ( ( P ` I ) ` A ) =/= .1. )
dchrpt.5	|- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrptlem1	|- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Distinct variable groups:   h, k, m, n, .1.   u, h, A, k, m, n   h, I, k, m, u   C, h, m, u   h, H, k, m, n, u   h, W, k, m, n, u   .x. , h, k, m, n, u   P, h, m, u   S, h, k, m, n, u   h, Z, k, m, n, u   h, M, m   ph, h, k, m, n   T, h, m, u   U, h, m, u

Allowed substitution hints:   ph( u)   B( u, h, k, m, n)   C( k, n)   D( u, h, k, m, n)   P( k, n)   T( k, n)   U( k, n)   .1. ( u)   G( u, h, k, m, n)   I( n)   M( u, k, n)   N( u, h, k, m, n)   O( u, h, k, m, n)   X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5881	. . . . . . . 8 |- ( u = C -> ( ( P ` I ) ` u ) = ( ( P ` I ) ` C ) )
2	1	eqeq1d 2431	. . . . . . 7 |- ( u = C -> ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) )
3	2	anbi1d 709	. . . . . 6 |- ( u = C -> ( ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
4	3	rexbidv 2946	. . . . 5 |- ( u = C -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
5	4	iotabidv 5586	. . . 4 |- ( u = C -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
6		dchrpt.5	. . . 4 |- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
7		iotaex 5582	. . . 4 |- ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) e. _V
8	5, 6, 7	fvmpt3i 5969	. . 3 |- ( C e. U -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
9	8	ad2antlr 731	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
10		ovex 6333	. . 3 |- ( T ^ M ) e. _V
11		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) )
12		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
13	12	simprd 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
14	11, 13	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
15		simp-4l 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ph )
16		simplr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> m e. ZZ )
17	12	simpld 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> M e. ZZ )
18		dchrpt.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN )
19	18	nnnn0d 10925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
20		dchrpt.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
21	20	zncrng 19046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
22		crngring 17726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
23		dchrpt.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U = (Unit ` Z )
24		dchrpt.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
25	23, 24	unitgrp 17830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. Ring -> H e. Grp )
26	19, 21, 22, 25	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H e. Grp )
27	26	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> H e. Grp )
28		dchrpt.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. Word U )
29		wrdf 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word U -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
31		dchrpt.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. dom W )
32		fdm 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
34	31, 33	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> I e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
35	30, 34	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( W ` I ) e. U )
36	35	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( W ` I ) e. U )
37		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> m e. ZZ )
38		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
39	23, 24	unitgrpbas 17829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U = ( Base ` H )
40		dchrpt.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = ( od ` H )
41		dchrpt.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .x. = (.g ` H )
42		eqid 2429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
43	39, 40, 41, 42	odcong 17140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H e. Grp /\ ( W ` I ) e. U /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
44	27, 36, 37, 38, 43	syl112anc 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
45		dchrpt.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
46		neg1cn 10713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 1 e. CC
47		2re 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
48		dchrpt.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- B = ( Base ` Z )
49	20, 48	znfi 19061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> B e. Fin )
50	18, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. Fin )
51	48, 23	unitss 17823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- U C_ B
52		ssfi 7798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. Fin /\ U C_ B ) -> U e. Fin )
53	50, 51, 52	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> U e. Fin )
54	39, 40	odcl2 17154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( H e. Grp /\ U e. Fin /\ ( W ` I ) e. U ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
55	26, 53, 35, 54	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
56	55	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
57		nndivre 10645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. RR /\ ( O ` ( W ` I ) ) e. NN ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
58	47, 56, 57	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
59	58	recnd 9668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC )
60		cxpcl 23484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
61	46, 59, 60	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
62	45, 61	syl5eqel 2521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T e. CC )
63	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 e. CC )
64		neg1ne0 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 =/= 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 =/= 0 )
66	63, 65, 59	cxpne0d 23523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
67	45	neeq1i 2716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T =/= 0 <-> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
68	66, 67	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T =/= 0 )
69		zsubcl 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( m - M ) e. ZZ )
70	69	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( m - M ) e. ZZ )
71	38	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. ZZ )
72		expaddz 12313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T e. CC /\ T =/= 0 ) /\ ( ( m - M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
73	62, 68, 70, 71, 72	syl22anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
74	37	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. ZZ )
75	74	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. CC )
76	71	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. CC )
77	75, 76	npcand 9989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( m - M ) + M ) = m )
78	77	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( T ^ m ) )
79	45	oveq1i 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T ^ ( m - M ) ) = ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) )
80		root1eq1 23560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( O ` ( W ` I ) ) e. NN /\ ( m - M ) e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
81	55, 69, 80	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
82	81	biimpar 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 )
83	79, 82	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( m - M ) ) = 1 )
84	83	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( 1 x. ( T ^ M ) ) )
85	62, 68, 71	expclzd 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ M ) e. CC )
86	85	mulid2d 9660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 1 x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
87	84, 86	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
88	73, 78, 87	3eqtr3d 2478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
89	88	ex 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
90	44, 89	sylbird 238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
91	15, 16, 17, 90	syl12anc 1262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
92	14, 91	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
93	92	eqeq2d 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
94	93	biimpd 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) -> h = ( T ^ M ) ) )
95	94	expimpd 606	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
96	95	rexlimdva 2924	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
97		oveq1 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
98	97	eqeq2d 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
99		oveq2 6313	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
100	99	eqeq2d 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
101	98, 100	anbi12d 715	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) )
102	101	rspcev 3188	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) )
103	102	expr 618	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
104	103	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
105	96, 104	impbid 193	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
106	105	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
107	106	iota5 5585	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
108	10, 107	mpan2 675	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
109	9, 108	eqtrd 2470	1 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   C_ wss 3442   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ran crn 4855   iotacio 5563   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   - cmin 9859   -ucneg 9860   / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937  ..^cfzo 11913   ^cexp 12269   #chash 12512  Word cword 12643   || cdvds 14283   Basecbs 15084   ↾_s cress 15085   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620  ._gcmg 16623   odcod 17116   DProd cdprd 17560  dProjcdpj 17561  mulGrpcmgp 17658   1rcur 17670   Ringcrg 17715   CRingccrg 17716  Unitcui 17802  ℤ/nℤczn 19005   ^c ccxp 23370  DChrcdchr 24023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-word 12651  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-qus 15366  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-nsg 16766  df-eqg 16767  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-od 17120  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-rnghom 17878  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-lidl 18332  df-rsp 18333  df-2idl 18391  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-zn 19009  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-cxp 23372

This theorem is referenced by:  dchrptlem2  24056