Theorem dchrptlem1 23405

Description: Lemma for dchrpt 23408. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	|- G = (DChr ` N )
dchrpt.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrpt.d	|- D = ( Base ` G )
dchrpt.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrpt.1	|- .1. = ( 1r ` Z )
dchrpt.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrpt.n1	|- ( ph -> A =/= .1. )
dchrpt.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrpt.h	|- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
dchrpt.m	|- .x. = (.g ` H )
dchrpt.s	|- S = ( k e. dom W |-> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) )
dchrpt.au	|- ( ph -> A e. U )
dchrpt.w	|- ( ph -> W e. Word U )
dchrpt.2	|- ( ph -> H dom DProd S )
dchrpt.3	|- ( ph -> ( H DProd S ) = U )
dchrpt.p	|- P = ( HdProj S )
dchrpt.o	|- O = ( od ` H )
dchrpt.t	|- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
dchrpt.i	|- ( ph -> I e. dom W )
dchrpt.4	|- ( ph -> ( ( P ` I ) ` A ) =/= .1. )
dchrpt.5	|- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrptlem1	|- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Distinct variable groups:   h, k, m, n, .1.   u, h, A, k, m, n   h, I, k, m, u   C, h, m, u   h, H, k, m, n, u   h, W, k, m, n, u   .x. , h, k, m, n, u   P, h, m, u   S, h, k, m, n, u   h, Z, k, m, n, u   h, M, m   ph, h, k, m, n   T, h, m, u   U, h, m, u

Allowed substitution hints:   ph( u)   B( u, h, k, m, n)   C( k, n)   D( u, h, k, m, n)   P( k, n)   T( k, n)   U( k, n)   .1. ( u)   G( u, h, k, m, n)   I( n)   M( u, k, n)   N( u, h, k, m, n)   O( u, h, k, m, n)   X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( u = C -> ( ( P ` I ) ` u ) = ( ( P ` I ) ` C ) )
2	1	eqeq1d 2469	. . . . . . 7 |- ( u = C -> ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) )
3	2	anbi1d 704	. . . . . 6 |- ( u = C -> ( ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
4	3	rexbidv 2978	. . . . 5 |- ( u = C -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
5	4	iotabidv 5578	. . . 4 |- ( u = C -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
6		dchrpt.5	. . . 4 |- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
7		iotaex 5574	. . . 4 |- ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) e. _V
8	5, 6, 7	fvmpt3i 5961	. . 3 |- ( C e. U -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
9	8	ad2antlr 726	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
10		ovex 6320	. . 3 |- ( T ^ M ) e. _V
11		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) )
12		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
13	12	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
14	11, 13	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
15		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ph )
16		simplr 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> m e. ZZ )
17	12	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> M e. ZZ )
18		dchrpt.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN )
19	18	nnnn0d 10864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
20		dchrpt.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
21	20	zncrng 18452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
22		crngring 17081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
23		dchrpt.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U = (Unit ` Z )
24		dchrpt.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
25	23, 24	unitgrp 17188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. Ring -> H e. Grp )
26	19, 21, 22, 25	4syl 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H e. Grp )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> H e. Grp )
28		dchrpt.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. Word U )
29		wrdf 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word U -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
31		dchrpt.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. dom W )
32		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
33	30, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
34	31, 33	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> I e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
35	30, 34	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( W ` I ) e. U )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( W ` I ) e. U )
37		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> m e. ZZ )
38		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
39	23, 24	unitgrpbas 17187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U = ( Base ` H )
40		dchrpt.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = ( od ` H )
41		dchrpt.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .x. = (.g ` H )
42		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
43	39, 40, 41, 42	odcong 16446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H e. Grp /\ ( W ` I ) e. U /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
44	27, 36, 37, 38, 43	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
45		dchrpt.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
46		neg1cn 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 1 e. CC
47		2re 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
48		dchrpt.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- B = ( Base ` Z )
49	20, 48	znfi 18467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> B e. Fin )
50	18, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. Fin )
51	48, 23	unitss 17181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- U C_ B
52		ssfi 7752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. Fin /\ U C_ B ) -> U e. Fin )
53	50, 51, 52	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> U e. Fin )
54	39, 40	odcl2 16460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( H e. Grp /\ U e. Fin /\ ( W ` I ) e. U ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
55	26, 53, 35, 54	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
56	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
57		nndivre 10583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. RR /\ ( O ` ( W ` I ) ) e. NN ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
58	47, 56, 57	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
59	58	recnd 9634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC )
60		cxpcl 22921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
61	46, 59, 60	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
62	45, 61	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T e. CC )
63	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 e. CC )
64		neg1ne0 10653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 =/= 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 =/= 0 )
66	63, 65, 59	cxpne0d 22960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
67	45	neeq1i 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T =/= 0 <-> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
68	66, 67	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T =/= 0 )
69		zsubcl 10917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( m - M ) e. ZZ )
70	69	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( m - M ) e. ZZ )
71	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. ZZ )
72		expaddz 12190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T e. CC /\ T =/= 0 ) /\ ( ( m - M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
73	62, 68, 70, 71, 72	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
74	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. ZZ )
75	74	zcnd 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. CC )
76	71	zcnd 10979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. CC )
77	75, 76	npcand 9946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( m - M ) + M ) = m )
78	77	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( T ^ m ) )
79	45	oveq1i 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T ^ ( m - M ) ) = ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) )
80		root1eq1 22995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( O ` ( W ` I ) ) e. NN /\ ( m - M ) e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
81	55, 69, 80	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
82	81	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 )
83	79, 82	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( m - M ) ) = 1 )
84	83	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( 1 x. ( T ^ M ) ) )
85	62, 68, 71	expclzd 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ M ) e. CC )
86	85	mulid2d 9626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 1 x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
87	84, 86	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
88	73, 78, 87	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
89	88	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
90	44, 89	sylbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
91	15, 16, 17, 90	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
92	14, 91	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
93	92	eqeq2d 2481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
94	93	biimpd 207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) -> h = ( T ^ M ) ) )
95	94	expimpd 603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
96	95	rexlimdva 2959	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
97		oveq1 6302	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
98	97	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
99		oveq2 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
100	99	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
101	98, 100	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) )
102	101	rspcev 3219	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) )
103	102	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
104	103	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
105	96, 104	impbid 191	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
106	105	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
107	106	iota5 5577	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
108	10, 107	mpan2 671	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
109	9, 108	eqtrd 2508	1 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   iotacio 5555   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   x. cmul 9509   - cmin 9817   -ucneg 9818   / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876  ..^cfzo 11804   ^cexp 12146   #chash 12385  Word cword 12515   || cdivides 13864   Basecbs 14507   ↾_s cress 14508   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925  ._gcmg 15928   odcod 16422   DProd cdprd 16897  dProjcdpj 16898  mulGrpcmgp 17013   1rcur 17025   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071  Unitcui 17160  ℤ/nℤczn 18409   ^c ccxp 22809  DChrcdchr 23373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-word 12523  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-dvds 13865  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-qus 14781  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-nsg 16071  df-eqg 16072  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-od 16426  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-rnghom 17236  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-lidl 17691  df-rsp 17692  df-2idl 17750  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-zn 18413  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-cxp 22811

This theorem is referenced by:  dchrptlem2  23406