Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrpt Structured version   Unicode version

Theorem dchrpt 24194
 Description: For any element other than 1, there is a Dirichlet character that is not one at the given element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g DChr
dchrpt.z ℤ/n
dchrpt.d
dchrpt.b
dchrpt.1
dchrpt.n
dchrpt.n1
dchrpt.a
Assertion
Ref Expression
dchrpt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dchrpt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . . . 5 DChr
2 dchrpt.z . . . . 5 ℤ/n
3 dchrpt.d . . . . 5
4 dchrpt.b . . . . 5
5 dchrpt.1 . . . . 5
6 dchrpt.n . . . . . 6
76ad3antrrr 734 . . . . 5 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
8 dchrpt.n1 . . . . . 6
98ad3antrrr 734 . . . . 5 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
10 eqid 2422 . . . . 5 Unit Unit
11 eqid 2422 . . . . 5 mulGrps Unit mulGrps Unit
12 eqid 2422 . . . . 5 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
13 oveq1 6313 . . . . . . . . 9 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
1413cbvmptv 4516 . . . . . . . 8 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
15 fveq2 5882 . . . . . . . . . 10
1615oveq2d 6322 . . . . . . . . 9 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
1716mpteq2dv 4511 . . . . . . . 8 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
1814, 17syl5eq 2475 . . . . . . 7 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
1918rneqd 5081 . . . . . 6 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
2019cbvmptv 4516 . . . . 5 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
21 simpllr 767 . . . . 5 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit Unit
22 simplr 760 . . . . 5 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit Word Unit
23 simprl 762 . . . . 5 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit
24 simprr 764 . . . . 5 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
251, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24dchrptlem3 24193 . . . 4 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
26253adantr1 1164 . . 3 Unit Word Unit .gmulGrps Unit SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
2710, 11unitgrpbas 17894 . . . 4 Unit mulGrps Unit
28 eqid 2422 . . . 4 SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp
296nnnn0d 10933 . . . . . 6
302zncrng 19114 . . . . . 6
3110, 11unitabl 17896 . . . . . 6 mulGrps Unit
3229, 30, 313syl 18 . . . . 5 mulGrps Unit
3332adantr 466 . . . 4 Unit mulGrps Unit
342, 4znfi 19129 . . . . . . 7
356, 34syl 17 . . . . . 6
364, 10unitss 17888 . . . . . 6 Unit
37 ssfi 7802 . . . . . 6 Unit Unit
3835, 36, 37sylancl 666 . . . . 5 Unit
3938adantr 466 . . . 4 Unit Unit
40 eqid 2422 . . . 4 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
4127, 28, 33, 39, 12, 40ablfac2 17722 . . 3 Unit Word Unit .gmulGrps Unit SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
4226, 41r19.29a 2967 . 2 Unit
431dchrabl 24181 . . . . 5
44 ablgrp 17435 . . . . 5
45 eqid 2422 . . . . . 6
463, 45grpidcl 16694 . . . . 5
476, 43, 44, 464syl 19 . . . 4
4847adantr 466 . . 3 Unit
49 0ne1 10685 . . . 4
50 dchrpt.a . . . . . . . 8
511, 2, 3, 4, 10, 47, 50dchrn0 24177 . . . . . . 7 Unit
5251necon1bbid 2670 . . . . . 6 Unit
5352biimpa 486 . . . . 5 Unit
5453neeq1d 2697 . . . 4 Unit
5549, 54mpbiri 236 . . 3 Unit
56 fveq1 5881 . . . . 5
5756neeq1d 2697 . . . 4
5857rspcev 3182 . . 3
5948, 55, 58syl2anc 665 . 2 Unit
6042, 59pm2.61dan 798 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wrex 2772  crab 2775   cin 3435   wss 3436   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cdm 4853   crn 4854  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6306  cfn 7581  cc0 9547  c1 9548  cn 10617  cn0 10877  cz 10945  Word cword 12661  cbs 15121   ↾s cress 15122  c0g 15338  cgrp 16669  .gcmg 16672  SubGrpcsubg 16811   pGrp cpgp 17169  cabl 17431  CycGrpccyg 17512   DProd cdprd 17625  mulGrpcmgp 17723  cur 17735  ccrg 17781  Unitcui 17867  ℤ/nℤczn 19073  DChrcdchr 24159 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625  ax-addf 9626  ax-mulf 9627 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-rpss 6586  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-tpos 6985  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-omul 7199  df-er 7375  df-ec 7377  df-qs 7381  df-map 7486  df-pm 7487  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-fi 7935  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-acn 8385  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-q 11273  df-rp 11311  df-xneg 11417  df-xadd 11418  df-xmul 11419  df-ioo 11647  df-ioc 11648  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-word 12669  df-concat 12671  df-s1 12672  df-shft 13131  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-pc 14787  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-qus 15409  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-nsg 16815  df-eqg 16816  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-ga 16944  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-od 17172  df-gex 17174  df-pgp 17176  df-lsm 17288  df-pj1 17289  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-cyg 17513  df-dprd 17627  df-dpj 17628  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-rnghom 17943  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-lidl 18397  df-rsp 18398  df-2idl 18456  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-zring 19039  df-zrh 19074  df-zn 19077  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-topsp 19923  df-cld 20033  df-ntr 20034  df-cls 20035  df-nei 20113  df-lp 20151  df-perf 20152  df-cn 20242  df-cnp 20243  df-haus 20330  df-tx 20576  df-hmeo 20769  df-fil 20860  df-fm 20952  df-flim 20953  df-flf 20954  df-xms 21334  df-ms 21335  df-tms 21336  df-cncf 21909  df-limc 22820  df-dv 22821  df-log 23505  df-cxp 23506  df-dchr 24160 This theorem is referenced by:  sumdchr2  24197
 Copyright terms: Public domain W3C validator