Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrn0 Structured version   Unicode version

Theorem dchrn0 23650
 Description: A Dirichlet character is nonzero on the units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g DChr
dchrmhm.z ℤ/n
dchrmhm.b
dchrn0.b
dchrn0.u Unit
dchrn0.x
dchrn0.a
Assertion
Ref Expression
dchrn0

Proof of Theorem dchrn0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrn0.a . . . 4
2 dchrn0.x . . . . . 6
3 dchrmhm.g . . . . . . 7 DChr
4 dchrmhm.z . . . . . . 7 ℤ/n
5 dchrn0.b . . . . . . 7
6 dchrn0.u . . . . . . 7 Unit
7 dchrmhm.b . . . . . . . . 9
83, 7dchrrcl 23640 . . . . . . . 8
92, 8syl 16 . . . . . . 7
103, 4, 5, 6, 9, 7dchrelbas2 23637 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
112, 10mpbid 210 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
1211simprd 463 . . . 4
13 fveq2 5872 . . . . . . 7
1413neeq1d 2734 . . . . . 6
15 eleq1 2529 . . . . . 6
1614, 15imbi12d 320 . . . . 5
1716rspcv 3206 . . . 4
181, 12, 17sylc 60 . . 3
1918imp 429 . 2
20 ax-1ne0 9578 . . . . 5
2120a1i 11 . . . 4
229nnnn0d 10873 . . . . . . . 8
234zncrng 18709 . . . . . . . 8
24 crngring 17335 . . . . . . . 8
2522, 23, 243syl 20 . . . . . . 7
26 eqid 2457 . . . . . . . 8
27 eqid 2457 . . . . . . . 8
28 eqid 2457 . . . . . . . 8
296, 26, 27, 28unitrinv 17453 . . . . . . 7
3025, 29sylan 471 . . . . . 6
3130fveq2d 5876 . . . . 5
3211simpld 459 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
3332adantr 465 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
341adantr 465 . . . . . 6
356, 26, 5ringinvcl 17451 . . . . . . 7
3625, 35sylan 471 . . . . . 6
37 eqid 2457 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
3837, 5mgpbas 17273 . . . . . . 7 mulGrp
3937, 27mgpplusg 17271 . . . . . . 7 mulGrp
40 eqid 2457 . . . . . . . 8 mulGrpfld mulGrpfld
41 cnfldmul 18552 . . . . . . . 8 fld
4240, 41mgpplusg 17271 . . . . . . 7 mulGrpfld
4338, 39, 42mhmlin 16099 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
4433, 34, 36, 43syl3anc 1228 . . . . 5
4537, 28ringidval 17281 . . . . . . 7 mulGrp
46 cnfld1 18569 . . . . . . . 8 fld
4740, 46ringidval 17281 . . . . . . 7 mulGrpfld
4845, 47mhm0 16100 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
4933, 48syl 16 . . . . 5
5031, 44, 493eqtr3d 2506 . . . 4
51 cnfldbas 18550 . . . . . . . . 9 fld
5240, 51mgpbas 17273 . . . . . . . 8 mulGrpfld
5338, 52mhmf 16097 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
5433, 53syl 16 . . . . . 6
5554, 36ffvelrnd 6033 . . . . 5
5655mul02d 9795 . . . 4
5721, 50, 563netr4d 2762 . . 3
58 oveq1 6303 . . . 4
5958necon3i 2697 . . 3
6057, 59syl 16 . 2
6119, 60impbida 832 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cc0 9509  c1 9510   cmul 9514  cn 10556  cn0 10816  cbs 14643  cmulr 14712   MndHom cmhm 16090  mulGrpcmgp 17267  cur 17279  crg 17324  ccrg 17325  Unitcui 17414  cinvr 17446  ℂfldccnfld 18546  ℤ/nℤczn 18666  DChrcdchr 23632 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-imas 14924  df-qus 14925  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-nsg 16325  df-eqg 16326  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-lidl 17946  df-rsp 17947  df-2idl 18006  df-cnfld 18547  df-zring 18615  df-zn 18670  df-dchr 23633 This theorem is referenced by:  dchrinvcl  23653  dchrfi  23655  dchrghm  23656  dchreq  23658  dchrabs  23660  dchrabs2  23662  dchr1re  23663  dchrpt  23667  dchrsum  23669  sum2dchr  23674  rpvmasumlem  23797  dchrisum0flblem1  23818
 Copyright terms: Public domain W3C validator