MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrn0 Structured version   Unicode version

Theorem dchrn0 22587
Description: A Dirichlet character is nonzero on the units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrn0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrn0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dchrn0  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A )  =/=  0  <->  A  e.  U ) )

Proof of Theorem dchrn0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrn0.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
2 dchrn0.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
3 dchrmhm.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
4 dchrmhm.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
5 dchrn0.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 dchrn0.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  Z )
7 dchrmhm.b . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
83, 7dchrrcl 22577 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
92, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
103, 4, 5, 6, 9, 7dchrelbas2 22574 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) )
112, 10mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
) )
1211simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )
13 fveq2 5689 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( X `  x )  =  ( X `  A ) )
1413neeq1d 2619 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( X `  x
)  =/=  0  <->  ( X `  A )  =/=  0 ) )
15 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U  <->  A  e.  U ) )
1614, 15imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  <-> 
( ( X `  A )  =/=  0  ->  A  e.  U ) ) )
1716rspcv 3067 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  ->  ( ( X `
 A )  =/=  0  ->  A  e.  U ) ) )
181, 12, 17sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A )  =/=  0  ->  A  e.  U ) )
1918imp 429 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X `  A )  =/=  0
)  ->  A  e.  U )
20 ax-1ne0 9349 . . . . 5  |-  1  =/=  0
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  1  =/=  0 )
229nnnn0d 10634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
234zncrng 17975 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
24 crngrng 16653 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
2522, 23, 243syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
26 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  (
invr `  Z )
27 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
28 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
296, 26, 27, 28unitrinv 16768 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  ( A ( .r `  Z ) ( (
invr `  Z ) `  A ) )  =  ( 1r `  Z
) )
3025, 29sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  ( A ( .r `  Z ) ( (
invr `  Z ) `  A ) )  =  ( 1r `  Z
) )
3130fveq2d 5693 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  ( X `  ( A
( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  A
) ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
3211simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
3332adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
341adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  A  e.  B )
356, 26, 5rnginvcl 16766 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  (
( invr `  Z ) `  A )  e.  B
)
3625, 35sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  (
( invr `  Z ) `  A )  e.  B
)
37 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
3837, 5mgpbas 16595 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
3937, 27mgpplusg 16593 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
40 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
41 cnfldmul 17822 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r ` fld )
4240, 41mgpplusg 16593 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
4338, 39, 42mhmlin 15469 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A  e.  B  /\  ( ( invr `  Z ) `  A
)  e.  B )  ->  ( X `  ( A ( .r `  Z ) ( (
invr `  Z ) `  A ) ) )  =  ( ( X `
 A )  x.  ( X `  (
( invr `  Z ) `  A ) ) ) )
4433, 34, 36, 43syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  ( X `  ( A
( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  A
) ) )  =  ( ( X `  A )  x.  ( X `  ( ( invr `  Z ) `  A ) ) ) )
4537, 28rngidval 16603 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
46 cnfld1 17839 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( 1r ` fld )
4740, 46rngidval 16603 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
4845, 47mhm0 15470 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
4933, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
5031, 44, 493eqtr3d 2481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  (
( X `  A
)  x.  ( X `
 ( ( invr `  Z ) `  A
) ) )  =  1 )
51 cnfldbas 17820 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  ( Base ` fld )
5240, 51mgpbas 16595 . . . . . . . 8  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
5338, 52mhmf 15467 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  X : B --> CC )
5433, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  X : B --> CC )
5554, 36ffvelrnd 5842 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  ( X `  ( ( invr `  Z ) `  A ) )  e.  CC )
5655mul02d 9565 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  (
0  x.  ( X `
 ( ( invr `  Z ) `  A
) ) )  =  0 )
5721, 50, 563netr4d 2633 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  (
( X `  A
)  x.  ( X `
 ( ( invr `  Z ) `  A
) ) )  =/=  ( 0  x.  ( X `  ( ( invr `  Z ) `  A ) ) ) )
58 oveq1 6096 . . . 4  |-  ( ( X `  A )  =  0  ->  (
( X `  A
)  x.  ( X `
 ( ( invr `  Z ) `  A
) ) )  =  ( 0  x.  ( X `  ( ( invr `  Z ) `  A ) ) ) )
5958necon3i 2648 . . 3  |-  ( ( ( X `  A
)  x.  ( X `
 ( ( invr `  Z ) `  A
) ) )  =/=  ( 0  x.  ( X `  ( ( invr `  Z ) `  A ) ) )  ->  ( X `  A )  =/=  0
)
6057, 59syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  ( X `  A )  =/=  0 )
6119, 60impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A )  =/=  0  <->  A  e.  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   0cc0 9280   1c1 9281    x. cmul 9285   NNcn 10320   NN0cn0 10577   Basecbs 14172   .rcmulr 14237   MndHom cmhm 15460  mulGrpcmgp 16589   1rcur 16601   Ringcrg 16643   CRingccrg 16644  Unitcui 16729   invrcinvr 16761  ℂfldccnfld 17816  ℤ/nczn 17932  DChrcdchr 22569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-ec 7101  df-qs 7105  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-fz 11436  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-0g 14378  df-imas 14444  df-divs 14445  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-subg 15676  df-nsg 15677  df-eqg 15678  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-subrg 16861  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-lidl 17253  df-rsp 17254  df-2idl 17312  df-cnfld 17817  df-zring 17882  df-zn 17936  df-dchr 22570
This theorem is referenced by:  dchrinvcl  22590  dchrfi  22592  dchrghm  22593  dchreq  22595  dchrabs  22597  dchrabs2  22599  dchr1re  22600  dchrpt  22604  dchrsum  22606  sum2dchr  22611  rpvmasumlem  22734  dchrisum0flblem1  22755
  Copyright terms: Public domain W3C validator