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Theorem dchrmusumlema 22626
Description: Lemma for dchrmusum 22657 and dchrisumn0 22654. Apply dchrisum 22625 for the function  1  /  y. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisumn0.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) ) )
Distinct variable groups:    t, c,
y,  .1.    F, c, t, y    a, c, t, y    N, c, t, y    ph, c, t    y, Z    D, c, t, y    L, a, c, t, y    X, a, c, t, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, a, c)    N( a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrmusumlema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 oveq2 6088 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  x ) )
10 1nn 10320 . . . 4  |-  1  e.  NN
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
12 rpreccl 11001 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
1312adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
1413rpred 11014 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
15 simp3r 1010 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
16 rpregt0 10991 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
17 rpregt0 10991 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
18 lerec 10201 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  0  <  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )  -> 
( n  <_  x  <->  ( 1  /  x )  <_  ( 1  /  n ) ) )
1916, 17, 18syl2an 474 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
n  <_  x  <->  ( 1  /  x )  <_ 
( 1  /  n
) ) )
20193ad2ant2 1003 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( 1  /  x
)  <_  ( 1  /  n ) ) )
2115, 20mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( 1  /  x )  <_  (
1  /  n ) )
22 ax-1cn 9327 . . . 4  |-  1  e.  CC
23 divrcnv 13297 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( 1  /  n ) )  ~~> r  0 )
2422, 23mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  n
) )  ~~> r  0 )
25 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
2625fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
27 oveq2 6088 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
1  /  a )  =  ( 1  /  n ) )
2826, 27oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n
) ) )
2928cbvmptv 4371 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n
) ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 29dchrisum 22625 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) )
317adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  D )
32 nnz 10655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
3332adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
344, 1, 5, 2, 31, 33dchrzrhcl 22468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  n ) )  e.  CC )
35 nncn 10317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3635adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
37 nnne0 10341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3837adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
3934, 36, 38divrecd 10097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n ) ) )
4039mpteq2dva 4366 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( 1  /  n ) ) ) )
41 dchrisumn0.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
42 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  n  ->  a  =  n )
4326, 42oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
4443cbvmptv 4371 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
4541, 44eqtri 2453 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )
4640, 45, 293eqtr4g 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) )
4746adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )
4847seqeq3d 11797 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) )
4948breq1d 4290 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t ) )
50 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
5150fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
5251oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )
5352fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
54 oveq2 6088 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
c  /  y )  =  ( c  /  x ) )
5553, 54breq12d 4293 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  x
) ) )
5655cbvralv 2937 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  x ) )
5746seqeq3d 11797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) )
5857fveq1d 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) ) )
5958oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )
6059fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
6160ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
62 elrege0 11379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  0  <_ 
c ) )
6362simplbi 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  c  e.  RR )
6463recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  c  e.  CC )
6564ad2antlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  c  e.  CC )
66 1re 9372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
67 elicopnf 11372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
6968simplbi 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
7069adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
7170recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
72 0red 9374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR )
73 1red 9388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
74 0lt1 9849 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  1 )
7668simprbi 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
7776adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
7872, 73, 70, 75, 77ltletrd 9518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  x )
7978gt0ne0d 9891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
8065, 71, 79divrecd 10097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
c  /  x )  =  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) )
8161, 80breq12d 4293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  x )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
8281ralbidva 2721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  x )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) )
8356, 82syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) )
8449, 83anbi12d 703 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) )  <-> 
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) ) )
8584rexbidva 2722 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) )  <->  E. c  e.  (
0 [,) +oo )
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) ) )
8685exbidv 1679 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) )  <->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) ) )
8730, 86mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274   +oocpnf 9402    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582    / cdiv 9980   NNcn 10309   ZZcz 10633   RR+crp 10978   [,)cico 11289   |_cfl 11623    seqcseq 11789   abscabs 12706    ~~> cli 12945    ~~> r crli 12946   Basecbs 14156   0gc0g 14360   ZRHomczrh 17772  ℤ/nczn 17775  DChrcdchr 22455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-ec 7091  df-qs 7095  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-rp 10979  df-ico 11293  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-dvds 13518  df-gcd 13673  df-phi 13823  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-0g 14362  df-imas 14428  df-divs 14429  df-mnd 15397  df-mhm 15446  df-grp 15524  df-minusg 15525  df-sbg 15526  df-mulg 15527  df-subg 15657  df-nsg 15658  df-eqg 15659  df-ghm 15724  df-cmn 16258  df-abl 16259  df-mgp 16565  df-rng 16579  df-cring 16580  df-ur 16581  df-oppr 16648  df-dvdsr 16666  df-unit 16667  df-invr 16697  df-rnghom 16739  df-subrg 16786  df-lmod 16873  df-lss 16935  df-lsp 16974  df-sra 17174  df-rgmod 17175  df-lidl 17176  df-rsp 17177  df-2idl 17235  df-cnfld 17662  df-zring 17725  df-zrh 17776  df-zn 17779  df-dchr 22456
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  22645  dchrisum0re  22646  dchrisum0lem3  22652  dchrmusum  22657  dchrvmasum  22658
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