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Theorem dchrmusumlema 22764
Description: Lemma for dchrmusum 22795 and dchrisumn0 22792. Apply dchrisum 22763 for the function  1  /  y. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisumn0.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) ) )
Distinct variable groups:    t, c,
y,  .1.    F, c, t, y    a, c, t, y    N, c, t, y    ph, c, t    y, Z    D, c, t, y    L, a, c, t, y    X, a, c, t, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, a, c)    N( a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrmusumlema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 oveq2 6120 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  x ) )
10 1nn 10354 . . . 4  |-  1  e.  NN
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
12 rpreccl 11035 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
1312adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
1413rpred 11048 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
15 simp3r 1017 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
16 rpregt0 11025 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
17 rpregt0 11025 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
18 lerec 10235 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  0  <  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )  -> 
( n  <_  x  <->  ( 1  /  x )  <_  ( 1  /  n ) ) )
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
n  <_  x  <->  ( 1  /  x )  <_ 
( 1  /  n
) ) )
20193ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( 1  /  x
)  <_  ( 1  /  n ) ) )
2115, 20mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( 1  /  x )  <_  (
1  /  n ) )
22 ax-1cn 9361 . . . 4  |-  1  e.  CC
23 divrcnv 13336 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( 1  /  n ) )  ~~> r  0 )
2422, 23mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  n
) )  ~~> r  0 )
25 fveq2 5712 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
2625fveq2d 5716 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
27 oveq2 6120 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
1  /  a )  =  ( 1  /  n ) )
2826, 27oveq12d 6130 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n
) ) )
2928cbvmptv 4404 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n
) ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 29dchrisum 22763 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) )
317adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  D )
32 nnz 10689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
344, 1, 5, 2, 31, 33dchrzrhcl 22606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  n ) )  e.  CC )
35 nncn 10351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
37 nnne0 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
3934, 36, 38divrecd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n ) ) )
4039mpteq2dva 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( 1  /  n ) ) ) )
41 dchrisumn0.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
42 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  n  ->  a  =  n )
4326, 42oveq12d 6130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
4443cbvmptv 4404 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
4541, 44eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )
4640, 45, 293eqtr4g 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) )
4746adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )
4847seqeq3d 11835 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) )
4948breq1d 4323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t ) )
50 fveq2 5712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
5150fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
5251oveq1d 6127 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )
5352fveq2d 5716 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
54 oveq2 6120 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
c  /  y )  =  ( c  /  x ) )
5553, 54breq12d 4326 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  x
) ) )
5655cbvralv 2968 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  x ) )
5746seqeq3d 11835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) )
5857fveq1d 5714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) ) )
5958oveq1d 6127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )
6059fveq2d 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
6160ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
62 elrege0 11413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  0  <_ 
c ) )
6362simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  c  e.  RR )
6463recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  c  e.  CC )
6564ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  c  e.  CC )
66 1re 9406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
67 elicopnf 11406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
6968simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
7069adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
7170recnd 9433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  CC )
72 0red 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR )
73 1red 9422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
74 0lt1 9883 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  1 )
7668simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
7872, 73, 70, 75, 77ltletrd 9552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  x )
7978gt0ne0d 9925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
8065, 71, 79divrecd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
c  /  x )  =  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) )
8161, 80breq12d 4326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  x )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
8281ralbidva 2752 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  x )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) )
8356, 82syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) )
8449, 83anbi12d 710 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) )  <-> 
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) ) )
8584rexbidva 2753 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) )  <->  E. c  e.  (
0 [,) +oo )
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) ) )
8685exbidv 1680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) )  <->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
1  /  x ) ) ) ) )
8730, 86mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308   +oocpnf 9436    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   NNcn 10343   ZZcz 10667   RR+crp 11012   [,)cico 11323   |_cfl 11661    seqcseq 11827   abscabs 12744    ~~> cli 12983    ~~> r crli 12984   Basecbs 14195   0gc0g 14399   ZRHomczrh 17953  ℤ/nczn 17956  DChrcdchr 22593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-ec 7124  df-qs 7128  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-rp 11013  df-ico 11327  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-phi 13862  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-0g 14401  df-imas 14467  df-divs 14468  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-nsg 15700  df-eqg 15701  df-ghm 15766  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-rnghom 16828  df-subrg 16885  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-sra 17275  df-rgmod 17276  df-lidl 17277  df-rsp 17278  df-2idl 17336  df-cnfld 17841  df-zring 17906  df-zrh 17957  df-zn 17960  df-dchr 22594
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  22783  dchrisum0re  22784  dchrisum0lem3  22790  dchrmusum  22795  dchrvmasum  22796
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