MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlem Structured version   Unicode version

Theorem dchrmusumlem 23572
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrmusum.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrmusum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrmusum.t  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrmusum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, n, y,  .1.    C, n, x, y   
n, F, x, y   
x, a, y    n, N, x, y    ph, n, x    T, n, x, y   
n, Z, x, y    D, n, x, y    n, a, L, x, y    X, a, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    T( a)    .1. ( a)    F( a)    G( x, y, n, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrmusumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 12057 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 dchrmusum.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrmusum.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
6 dchrmusum.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
8 elfzelz 11692 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ZZ )
98adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 23385 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
11 elfznn 11718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
13 mucl 23280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1514zred 10969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
1615, 12nndivred 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
1716recnd 9620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
1810, 17mulcld 9614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  CC )
191, 18fsumcl 13529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  e.  CC )
20 dchrmusum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
21 climcl 13296 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T  ->  T  e.  CC )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
2419, 23mulcld 9614 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  x.  T
)  e.  CC )
25 rpvmasum.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
26 dchrmusum.1 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
27 dchrmusum.n1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
28 dchrmusum.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
29 dchrmusum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
30 dchrmusum.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
313, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrisumn0 23571 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
3231adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  =/=  0 )
3324, 23, 32divrecd 10324 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  /  T )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )
3419, 23, 32divcan4d 10327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  /  T )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
3533, 34eqtr3d 2484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
3635mpteq2dva 4519 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) ) )
3722, 31reccld 10314 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  T
)  e.  CC )
3837adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  T )  e.  CC )
393, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrmusum2 23544 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T ) )  e.  O(1) )
40 rpssre 11234 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
41 o1const 13416 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
1  /  T )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  T
) )  e.  O(1) )
4240, 37, 41sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  T
) )  e.  O(1) )
4324, 38, 39, 42o1mul2 13421 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )  e.  O(1) )
4436, 43eqeltrrd 2530 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791    C_ wss 3458   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   +oocpnf 9623    <_ cle 9627    - cmin 9805    / cdiv 10207   NNcn 10537   ZZcz 10865   RR+crp 11224   [,)cico 11535   ...cfz 11676   |_cfl 11901    seqcseq 12081   abscabs 13041    ~~> cli 13281   O(1)co1 13283   sum_csu 13482   Basecbs 14504   0gc0g 14709   ZRHomczrh 18404  ℤ/nczn 18407   mmucmu 23233  DChrcdchr 23372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-disj 4404  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-rpss 6561  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-ec 7311  df-qs 7315  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-acn 8321  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-word 12516  df-concat 12518  df-s1 12519  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-o1 13287  df-lo1 13288  df-sum 13483  df-ef 13676  df-e 13677  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-dvds 13859  df-gcd 14017  df-prm 14090  df-numer 14140  df-denom 14141  df-phi 14168  df-pc 14233  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-qus 14778  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mhm 15835  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-mulg 15929  df-subg 16067  df-nsg 16068  df-eqg 16069  df-ghm 16134  df-gim 16176  df-ga 16197  df-cntz 16224  df-oppg 16250  df-od 16422  df-gex 16423  df-pgp 16424  df-lsm 16525  df-pj1 16526  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-cyg 16750  df-dprd 16895  df-dpj 16896  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-oppr 17140  df-dvdsr 17158  df-unit 17159  df-invr 17189  df-dvr 17200  df-rnghom 17232  df-drng 17266  df-subrg 17295  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-lsp 17486  df-sra 17686  df-rgmod 17687  df-lidl 17688  df-rsp 17689  df-2idl 17748  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-zring 18357  df-zrh 18408  df-zn 18411  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-cmp 19753  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-0p 21943  df-limc 22136  df-dv 22137  df-ply 22451  df-idp 22452  df-coe 22453  df-dgr 22454  df-quot 22552  df-log 22809  df-cxp 22810  df-em 23187  df-cht 23235  df-vma 23236  df-chp 23237  df-ppi 23238  df-mu 23239  df-dchr 23373
This theorem is referenced by:  dchrmusum  23574
  Copyright terms: Public domain W3C validator