MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlem Structured version   Unicode version

Theorem dchrmusumlem 23550
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrmusum.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrmusum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrmusum.t  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrmusum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, n, y,  .1.    C, n, x, y   
n, F, x, y   
x, a, y    n, N, x, y    ph, n, x    T, n, x, y   
n, Z, x, y    D, n, x, y    n, a, L, x, y    X, a, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    T( a)    .1. ( a)    F( a)    G( x, y, n, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrmusumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 12061 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 dchrmusum.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrmusum.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
6 dchrmusum.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
8 elfzelz 11698 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ZZ )
98adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 23363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
11 elfznn 11724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
13 mucl 23258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1514zred 10976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
1615, 12nndivred 10594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
1716recnd 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
1810, 17mulcld 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  CC )
191, 18fsumcl 13530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  e.  CC )
20 dchrmusum.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
21 climcl 13297 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T  ->  T  e.  CC )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
2419, 23mulcld 9626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  x.  T
)  e.  CC )
25 rpvmasum.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
26 dchrmusum.1 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
27 dchrmusum.n1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
28 dchrmusum.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
29 dchrmusum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
30 dchrmusum.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
313, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrisumn0 23549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
3231adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  =/=  0 )
3324, 23, 32divrecd 10333 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  /  T )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )
3419, 23, 32divcan4d 10336 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  /  T )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
3533, 34eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
3635mpteq2dva 4538 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) ) )
3722, 31reccld 10323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  T
)  e.  CC )
3837adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  T )  e.  CC )
393, 5, 25, 2, 4, 26, 6, 27, 28, 29, 20, 30dchrmusum2 23522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T ) )  e.  O(1) )
40 rpssre 11240 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
41 o1const 13417 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
1  /  T )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  T
) )  e.  O(1) )
4240, 37, 41sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  T
) )  e.  O(1) )
4324, 38, 39, 42o1mul2 13422 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) )  x.  T )  x.  ( 1  /  T
) ) )  e.  O(1) )
4436, 43eqeltrrd 2556 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    C_ wss 3481   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503    + caddc 9505    x. cmul 9507   +oocpnf 9635    <_ cle 9639    - cmin 9815    / cdiv 10216   NNcn 10546   ZZcz 10874   RR+crp 11230   [,)cico 11541   ...cfz 11682   |_cfl 11905    seqcseq 12085   abscabs 13042    ~~> cli 13282   O(1)co1 13284   sum_csu 13483   Basecbs 14502   0gc0g 14707   ZRHomczrh 18383  ℤ/nczn 18386   mmucmu 23211  DChrcdchr 23350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-disj 4423  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-rpss 6574  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-tpos 6965  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-omul 7145  df-er 7321  df-ec 7323  df-qs 7327  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-acn 8333  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-word 12518  df-concat 12520  df-s1 12521  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-o1 13288  df-lo1 13289  df-sum 13484  df-ef 13677  df-e 13678  df-sin 13679  df-cos 13680  df-pi 13682  df-dvds 13860  df-gcd 14016  df-prm 14089  df-numer 14139  df-denom 14140  df-phi 14167  df-pc 14232  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-qus 14776  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-nsg 16048  df-eqg 16049  df-ghm 16114  df-gim 16156  df-ga 16177  df-cntz 16204  df-oppg 16230  df-od 16403  df-gex 16404  df-pgp 16405  df-lsm 16506  df-pj1 16507  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-cyg 16731  df-dprd 16876  df-dpj 16877  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-cring 17050  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-dvr 17181  df-rnghom 17213  df-drng 17246  df-subrg 17275  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-sra 17666  df-rgmod 17667  df-lidl 17668  df-rsp 17669  df-2idl 17727  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-zring 18336  df-zrh 18387  df-zn 18390  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-cmp 19732  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-cncf 21227  df-0p 21922  df-limc 22115  df-dv 22116  df-ply 22430  df-idp 22431  df-coe 22432  df-dgr 22433  df-quot 22531  df-log 22787  df-cxp 22788  df-em 23165  df-cht 23213  df-vma 23214  df-chp 23215  df-ppi 23216  df-mu 23217  df-dchr 23351
This theorem is referenced by:  dchrmusum  23552
  Copyright terms: Public domain W3C validator