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Theorem dchrmusum2 24411
 Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by , is bounded, provided that . Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisumn0.f
dchrisumn0.c
dchrisumn0.t
dchrisumn0.1
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   ()   (,)   ()   (,,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem dchrmusum2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 11335 . . . 4
2 ax-1cn 9615 . . . 4
3 o1const 13760 . . . 4
41, 2, 3mp2an 686 . . 3
54a1i 11 . 2
62a1i 11 . . 3
7 fzfid 12224 . . . . 5
8 rpvmasum.g . . . . . . 7 DChr
9 rpvmasum.z . . . . . . 7 ℤ/n
10 rpvmasum.d . . . . . . 7
11 rpvmasum.l . . . . . . 7 RHom
12 dchrisum.b . . . . . . . 8
1312ad2antrr 740 . . . . . . 7
14 elfzelz 11826 . . . . . . . 8
1514adantl 473 . . . . . . 7
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 24252 . . . . . 6
17 elfznn 11854 . . . . . . . . 9
1817adantl 473 . . . . . . . 8
19 mucl 24147 . . . . . . . . . 10
2019zred 11063 . . . . . . . . 9
21 nndivre 10667 . . . . . . . . 9
2220, 21mpancom 682 . . . . . . . 8
2318, 22syl 17 . . . . . . 7
2423recnd 9687 . . . . . 6
2516, 24mulcld 9681 . . . . 5
267, 25fsumcl 13876 . . . 4
27 dchrisumn0.t . . . . . 6
28 climcl 13640 . . . . . 6
2927, 28syl 17 . . . . 5
3029adantr 472 . . . 4
3126, 30mulcld 9681 . . 3
321a1i 11 . . . 4
33 subcl 9894 . . . . 5
342, 31, 33sylancr 676 . . . 4
35 1red 9676 . . . 4
36 dchrisumn0.c . . . . . 6
37 elrege0 11764 . . . . . 6
3836, 37sylib 201 . . . . 5
3938simpld 466 . . . 4
40 fzfid 12224 . . . . . . . 8
4125adantlrr 735 . . . . . . . . 9
42 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . 12
43 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . 12
4412adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
478, 9, 10, 11, 44, 46dchrzrhcl 24252 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
5247, 49, 51divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . 14
53 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15
54 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5554fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5755, 56oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15
5953, 58eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14
6052, 59fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . 13
6160ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12
6242, 43, 61serf 12279 . . . . . . . . . . 11
6362ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
64 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13
6564rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12
66 nndivre 10667 . . . . . . . . . . . 12
6765, 17, 66syl2an 485 . . . . . . . . . . 11
6817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14
7069mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13
71 fznnfl 12122 . . . . . . . . . . . . . . 15
7265, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
7372simplbda 636 . . . . . . . . . . . . 13
7470, 73eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12
75 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13
7665adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
7768nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . 13
7875, 76, 77lemuldivd 11410 . . . . . . . . . . . 12
7974, 78mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
80 flge1nn 12088 . . . . . . . . . . 11
8167, 79, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
8263, 81ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
8341, 82mulcld 9681 . . . . . . . 8
8429ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
8541, 84mulcld 9681 . . . . . . . 8
8640, 83, 85fsumsub 13926 . . . . . . 7
8741, 82, 84subdid 10095 . . . . . . . 8
8887sumeq2dv 13846 . . . . . . 7
8912ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9014ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
938, 9, 10, 11, 89, 90, 92dchrzrhmul 24253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9493oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9516adantlrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9769adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
988, 9, 10, 11, 89, 92dchrzrhcl 24252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
99 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101100nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10268nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104100nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10596, 97, 98, 101, 103, 104divmuldivd 10446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10694, 105eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
10868, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
11196, 97, 103divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15
11298, 101, 104divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15
113110, 111, 112mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . 14
114110, 96, 97, 103div12d 10441 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
116107, 113, 1153eqtr2d 2511 . . . . . . . . . . . . 13
117116sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . 12
118 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . 13
119 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . 14
120119, 99, 52syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13
121118, 41, 120fsummulc2 13922 . . . . . . . . . . . 12
122 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12357, 53, 122fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15
124100, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
12581, 42syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14
126124, 125, 120fsumser 13873 . . . . . . . . . . . . 13
127126oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
128117, 121, 1273eqtr2rd 2512 . . . . . . . . . . 11
129128sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . 10
130 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
131130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
132 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
133131, 132oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
134133oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
135 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15
136135ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . 14
137136, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
138137zcnd 11064 . . . . . . . . . . . 12
13912ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
140 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
1428, 9, 10, 11, 139, 141dchrzrhcl 24252 . . . . . . . . . . . . . 14
14317ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145144sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15
146145nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14
147145nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . 14
148142, 146, 147divcld 10405 . . . . . . . . . . . . 13
149148adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12
150138, 149mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11
151134, 65, 150dvdsflsumcom 24196 . . . . . . . . . 10
152 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
153152fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
154 id 22 . . . . . . . . . . . 12
155153, 154oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11
156 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14
157 flge1nn 12088 . . . . . . . . . . . . . 14
15865, 156, 157syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
159158, 42syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12
160 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . 12
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11
162155, 40, 144, 161, 148musumsum 24200 . . . . . . . . . 10
163129, 151, 1623eqtr2d 2511 . . . . . . . . 9
1648, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 24251 . . . . . . . . . . . 12
165164adantr 472 . . . . . . . . . . 11
166165oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
167 1div1e1 10322 . . . . . . . . . 10
168166, 167syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
169163, 168eqtr2d 2506 . . . . . . . 8
17029adantr 472 . . . . . . . . 9
17140, 170, 41fsummulc1 13923 . . . . . . . 8
172169, 171oveq12d 6326 . . . . . . 7
17386, 88, 1723eqtr4rd 2516 . . . . . 6
174173fveq2d 5883 . . . . 5
17582, 84subcld 10005 . . . . . . . . 9
17641, 175mulcld 9681 . . . . . . . 8
17740, 176fsumcl 13876 . . . . . . 7
178177abscld 13575 . . . . . 6
179176abscld 13575 . . . . . . 7
18040, 179fsumrecl 13877 . . . . . 6
18139adantr 472 . . . . . 6
18240, 176fsumabs 13938 . . . . . 6
183 reflcl 12065 . . . . . . . . . 10
18465, 183syl 17 . . . . . . . . 9
185184, 181remulcld 9689 . . . . . . . 8
186185, 64rerpdivcld 11392 . . . . . . 7
187181, 64rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . 10
188187adantr 472 . . . . . . . . 9
18941abscld 13575 . . . . . . . . . . 11
19068nnrecred 10677 . . . . . . . . . . 11
191175abscld 13575 . . . . . . . . . . 11
19277rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12
193188, 192remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11
19441absge0d 13583 . . . . . . . . . . 11
195175absge0d 13583 . . . . . . . . . . 11
19695abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13
19724adantlrr 735 . . . . . . . . . . . . . 14
198197abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13
19995absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . 13
200197absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . 13
201 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
20212ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
203 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
204203nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2059, 201, 11znzrhfo 19195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
206 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
207204, 205, 2063syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16
208207adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
209 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15
210208, 14, 209syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14
2118, 10, 9, 201, 202, 210dchrabs2 24269 . . . . . . . . . . . . 13
212109, 69, 102absdivd 13594 . . . . . . . . . . . . . . 15
21377rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214 absid 13436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
215213, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216215oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
217212, 216eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14
218109abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15
219 mule1 24154 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22068, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
221218, 75, 77, 220lediv1dd 11419 . . . . . . . . . . . . . 14
222217, 221eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13
223196, 75, 198, 190, 199, 200, 211, 222lemul12ad 10571 . . . . . . . . . . . 12
22495, 197absmuld 13593 . . . . . . . . . . . 12
225190recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
226225mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13
227226eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12
228223, 224, 2273brtr4d 4426 . . . . . . . . . . 11
229 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15
230 elicopnf 11755 . . . . . . . . . . . . . . 15
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
23267, 79, 231sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . 13
233 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14
234233ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
235 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
236235fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
237236oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
238237fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
239 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15
240238, 239breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . 14
241240rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13
242232, 234, 241sylc 61 . . . . . . . . . . . 12
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