Theorem dchrmusum2 22875

Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by n, is bounded, provided that T =/= 0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisumn0.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrisumn0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisumn0.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> T )
dchrisumn0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrmusum2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, y, .1.   x, d, y, C   F, d, x, y   a, d, x, y   x, N, y   ph, d, x   T, d, x, y   x, Z, y   x, D, y   L, a, d, x, y   X, a, d, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   T( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, a, d)   N( a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrmusum2

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11111	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2		ax-1cn 9450	. . . 4 |- 1 e. CC
3		o1const 13214	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) )
4	1, 2, 3	mp2an 672	. . 3 |- ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1)
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) )
6	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
7		fzfid 11911	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8		rpvmasum.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
9		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
10		rpvmasum.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
11		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
12		dchrisum.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
13	12	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
14		elfzelz 11569	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. ZZ )
15	14	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. ZZ )
16	8, 9, 10, 11, 13, 15	dchrzrhcl 22716	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
17		elfznn 11594	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
18	17	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
19		mucl 22611	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
20	19	zred 10857	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. RR )
21		nndivre 10467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( mmu ` d ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
22	20, 21	mpancom 669	. . . . . . . 8 |- ( d e. NN -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
23	18, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
24	23	recnd 9522	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
25	16, 24	mulcld 9516	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
26	7, 25	fsumcl 13327	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
27		dchrisumn0.t	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> T )
28		climcl 13094	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> T -> T e. CC )
29	27, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> T e. CC )
30	29	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> T e. CC )
31	26, 30	mulcld 9516	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC )
32	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
33		subcl 9719	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. CC )
34	2, 31, 33	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. CC )
35		1red 9511	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
36		dchrisumn0.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
37		elrege0 11508	. . . . . 6 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
38	36, 37	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
39	38	simpld 459	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
40		fzfid 11911	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
41	25	adantlrr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
42		nnuz 11006	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43		1zzd 10787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
44	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
45		nnz 10778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
46	45	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
47	8, 9, 10, 11, 44, 46	dchrzrhcl 22716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
48		nncn 10440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. CC )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
50		nnne0 10464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
51	50	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
52	47, 49, 51	divcld 10217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
53		dchrisumn0.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
54		fveq2 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
55	54	fveq2d 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = m -> a = m )
57	55, 56	oveq12d 6217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
58	57	cbvmptv 4490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
59	53, 58	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
60	52, 59	fmptd 5975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : NN --> CC )
61	60	ffvelrnda 5951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
62	42, 43, 61	serf 11950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
63	62	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
64		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
65	64	rpred 11137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
66		nndivre 10467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( x / d ) e. RR )
67	65, 17, 66	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR )
68	17	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
69	68	nncnd 10448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. CC )
70	69	mulid2d 9514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) = d )
71		fznnfl 11817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
72	65, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
73	72	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d <_ x )
74	70, 73	eqbrtrd 4419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) <_ x )
75		1red 9511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
76	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
77	68	nnrpd 11136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
78	75, 76, 77	lemuldivd 11182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. d ) <_ x <-> 1 <_ ( x / d ) ) )
79	74, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / d ) )
80		flge1nn 11783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. NN )
81	67, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. NN )
82	63, 81	ffvelrnd 5952	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) e. CC )
83	41, 82	mulcld 9516	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) e. CC )
84	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
85	41, 84	mulcld 9516	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC )
86	40, 83, 85	fsumsub 13372	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
87	41, 82, 84	subdid 9910	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
88	87	sumeq2dv 13297	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
89	12	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> X e. D )
90	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d e. ZZ )
91		elfzelz 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) -> m e. ZZ )
92	91	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
93	8, 9, 10, 11, 89, 90, 92	dchrzrhmul 22717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) )
94	93	oveq1d 6214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
95	16	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
97	69	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d e. CC )
98	8, 9, 10, 11, 89, 92	dchrzrhcl 22716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
99		elfznn 11594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) -> m e. NN )
100	99	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. NN )
101	100	nncnd 10448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. CC )
102	68	nnne0d 10476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d =/= 0 )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d =/= 0 )
104	100	nnne0d 10476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m =/= 0 )
105	96, 97, 98, 101, 103, 104	divmuldivd 10258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
106	94, 105	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
107	106	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
108	68, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
109	108	zcnd 10858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
110	109	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
111	96, 97, 103	divcld 10217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) e. CC )
112	98, 101, 104	divcld 10217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
113	110, 111, 112	mulassd 9519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
114	110, 96, 97, 103	div12d 10253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) )
115	114	oveq1d 6214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
116	107, 113, 115	3eqtr2d 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
117	116	sumeq2dv 13297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
118		fzfid 11911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) e. Fin )
119		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ph )
120	119, 99, 52	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
121	118, 41, 120	fsummulc2 13368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
122		ovex 6224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. _V
123	57, 53, 122	fvmpt 5882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
124	100, 123	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
125	81, 42	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
126	124, 125, 120	fsumser 13324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) )
127	126	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) )
128	117, 121, 127	3eqtr2rd 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
129	128	sumeq2dv 13297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
130		fveq2 5798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( d x. m ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( d x. m ) ) )
131	130	fveq2d 5802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( d x. m ) -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) )
132		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( d x. m ) -> n = ( d x. m ) )
133	131, 132	oveq12d 6217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
134	133	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
135		elrabi 3219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. { y e. NN | y || n } -> d e. NN )
136	135	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> d e. NN )
137	136, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
138	137	zcnd 10858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
139	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
140		elfzelz 11569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ZZ )
141	140	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ZZ )
142	8, 9, 10, 11, 139, 141	dchrzrhcl 22716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
143	17	ssriv 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN )
145	144	sselda 3463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
146	145	nncnd 10448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
147	145	nnne0d 10476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
148	142, 146, 147	divcld 10217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) e. CC )
149	148	adantrr 716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) e. CC )
150	138, 149	mulcld 9516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) e. CC )
151	134, 65, 150	dvdsflsumcom 22660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. { y e. NN | y || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
152		fveq2 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( L ` n ) = ( L ` 1 ) )
153	152	fveq2d 5802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` 1 ) ) )
154		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> n = 1 )
155	153, 154	oveq12d 6217	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
156		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
157		flge1nn 11783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
158	65, 156, 157	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
159	158, 42	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
160		eluzfz1 11574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
161	159, 160	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
162	155, 40, 144, 161, 148	musumsum 22664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. { y e. NN | y || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
163	129, 151, 162	3eqtr2d 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
164	8, 9, 10, 11, 12	dchrzrh1 22715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = 1 )
165	164	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = 1 )
166	165	oveq1d 6214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) = ( 1 / 1 ) )
167		1div1e1 10134	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1 ) = 1
168	166, 167	syl6eq 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) = 1 )
169	163, 168	eqtr2d 2496	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) )
170	29	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> T e. CC )
171	40, 170, 41	fsummulc1 13369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) )
172	169, 171	oveq12d 6217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
173	86, 88, 172	3eqtr4rd 2506	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
174	173	fveq2d 5802	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) = ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
175	82, 84	subcld 9829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) e. CC )
176	41, 175	mulcld 9516	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. CC )
177	40, 176	fsumcl 13327	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. CC )
178	177	abscld 13039	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
179	176	abscld 13039	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
180	40, 179	fsumrecl 13328	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
181	39	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> C e. RR )
182	40, 176	fsumabs 13381	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
183		reflcl 11762	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
184	65, 183	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
185	184, 181	remulcld 9524	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) e. RR )
186	185, 64	rerpdivcld 11164	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) e. RR )
187	181, 64	rerpdivcld 11164	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C / x ) e. RR )
188	187	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) e. RR )
189	41	abscld 13039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) e. RR )
190	68	nnrecred 10477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) e. RR )
191	175	abscld 13039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. RR )
192	77	rpred 11137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR )
193	188, 192	remulcld 9524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C / x ) x. d ) e. RR )
194	41	absge0d 13047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) )
195	175	absge0d 13047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
196	95	abscld 13039	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) e. RR )
197	24	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
198	197	abscld 13039	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. RR )
199	95	absge0d 13047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) )
200	197	absge0d 13047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) )
201		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
202	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
203		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. NN )
204	203	nnnn0d 10746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN0 )
205	9, 201, 11	znzrhfo 18104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
206		fof 5727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
207	204, 205, 206	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
208	207	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
209		ffvelrn 5949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ d e. ZZ ) -> ( L ` d ) e. ( Base ` Z ) )
210	208, 14, 209	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` d ) e. ( Base ` Z ) )
211	8, 10, 9, 201, 202, 210	dchrabs2 22733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) <_ 1 )
212	109, 69, 102	absdivd 13058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / ( abs ` d ) ) )
213	77	rprege0d 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 <_ d ) )
214		absid 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( d e. RR /\ 0 <_ d ) -> ( abs ` d ) = d )
215	213, 214	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` d ) = d )
216	215	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / ( abs ` d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) )
217	212, 216	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) )
218	109	abscld 13039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) e. RR )
219		mule1 22618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. NN -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) <_ 1 )
220	68, 219	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) <_ 1 )
221	218, 75, 77, 220	lediv1dd 11191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) <_ ( 1 / d ) )
222	217, 221	eqbrtrd 4419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) <_ ( 1 / d ) )
223	196, 75, 198, 190, 199, 200, 211, 222	lemul12ad 10385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) x. ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) <_ ( 1 x. ( 1 / d ) ) )
224	95, 197	absmuld 13057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) x. ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) )
225	190	recnd 9522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) e. CC )
226	225	mulid2d 9514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( 1 / d ) ) = ( 1 / d ) )
227	226	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) = ( 1 x. ( 1 / d ) ) )
228	223, 224, 227	3brtr4d 4429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) <_ ( 1 / d ) )
229		1re 9495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
230		elicopnf 11501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. RR -> ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) ) )
231	229, 230	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) )
232	67, 79, 231	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) )
233		dchrisumn0.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )
234	233	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )
235		fveq2 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / d ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( x / d ) ) )
236	235	fveq2d 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / d ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) )
237	236	oveq1d 6214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( x / d ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) )
238	237	fveq2d 5802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / d ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
239		oveq2 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / d ) -> ( C / y ) = ( C / ( x / d ) ) )
240	238, 239	breq12d 4412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) ) )
241	240	rspcv 3173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) ) )
242	232, 234, 241	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) )
243	181	recnd 9522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> C e. CC )
244	243	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. CC )
245		rpcnne0 11118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
246	245	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
247	246	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
248		divdiv2 10153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( d e. CC /\ d =/= 0 ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C x. d ) / x ) )
249	244, 247, 69, 102, 248	syl112anc 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C x. d ) / x ) )
250		div23 10123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ d e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( C x. d ) / x ) = ( ( C / x ) x. d ) )
251	244, 69, 247, 250	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C x. d ) / x ) = ( ( C / x ) x. d ) )
252	249, 251	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C / x ) x. d ) )
253	242, 252	breqtrd 4423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( ( C / x ) x. d ) )
254	189, 190, 191, 193, 194, 195, 228, 253	lemul12ad 10385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) x. ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
255	41, 175	absmuld 13057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) = ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) x. ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
256	187	recnd 9522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C / x ) e. CC )
257	256	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) e. CC )
258	257, 69, 102	divcan4d 10223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( C / x ) x. d ) / d ) = ( C / x ) )
259	257, 69	mulcld 9516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C / x ) x. d ) e. CC )
260	259, 69, 102	divrec2d 10221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( C / x ) x. d ) / d ) = ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
261	258, 260	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) = ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
262	254, 255, 261	3brtr4d 4429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( C / x ) )
263	40, 179, 188, 262	fsumle 13379	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) )
264	158	nnnn0d 10746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
265		hashfz1 12233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
266	264, 265	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
267	266	oveq1d 6214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
268		fsumconst 13374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( C / x ) e. CC ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) )
269	40, 256, 268	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) )
270	158	nncnd 10448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. CC )
271		divass 10122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. CC /\ C e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
272	270, 243, 246, 271	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
273	267, 269, 272	3eqtr4d 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) )
274	263, 273	breqtrd 4423	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) )
275	38	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
276		flle 11765	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
277	65, 276	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
278		lemul1a 10293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ x e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ ( |_ ` x ) <_ x ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) )
279	184, 65, 275, 277, 278	syl31anc 1222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) )
280	185, 181, 64	ledivmuld 11186	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) <_ C <-> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) ) )
281	279, 280	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) <_ C )
282	180, 186, 181, 274, 281	letrd 9638	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ C )
283	178, 180, 181, 182, 282	letrd 9638	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ C )
284	174, 283	eqbrtrd 4419	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) <_ C )
285	32, 34, 35, 39, 284	elo1d 13131	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) e. O(1) )
286	6, 31, 285	o1dif 13224	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O(1) ) )
287	5, 286	mpbid 210	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2647   A.wral 2798   {crab 2802   C_ wss 3435   class class class wbr 4399   |-> cmpt 4457   -->wf 5521   -onto->wfo 5523   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Fincfn 7419   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393   + caddc 9395   x. cmul 9397   +oocpnf 9525   <_ cle 9529   - cmin 9705   / cdiv 10103   NNcn 10432   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   RR+crp 11101   [,)cico 11412   ...cfz 11553   |_cfl 11756   seqcseq 11922   #chash 12219   abscabs 12840   ~~> cli 13079   O(1)co1 13081   sum_csu 13280   || cdivides 13652   Basecbs 14291   0gc0g 14496   ZRHomczrh 18055  ℤ/nℤczn 18058   mmucmu 22564  DChrcdchr 22703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4370  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-omul 7034  df-er 7210  df-ec 7212  df-qs 7216  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-acn 8222  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-o1 13085  df-lo1 13086  df-sum 13281  df-ef 13470  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-dvds 13653  df-gcd 13808  df-prm 13881  df-pc 14021  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-divs 14565  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-mhm 15582  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-mulg 15666  df-subg 15796  df-nsg 15797  df-eqg 15798  df-ghm 15863  df-cntz 15953  df-od 16152  df-cmn 16399  df-abl 16400  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-oppr 16837  df-dvdsr 16855  df-unit 16856  df-invr 16886  df-dvr 16897  df-rnghom 16928  df-drng 16956  df-subrg 16985  df-lmod 17072  df-lss 17136  df-lsp 17175  df-sra 17375  df-rgmod 17376  df-lidl 17377  df-rsp 17378  df-2idl 17436  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-zring 18008  df-zrh 18059  df-zn 18062  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474  df-log 22140  df-cxp 22141  df-mu 22570  df-dchr 22704

This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  22883  dchrmusumlem  22903