Theorem dchrmusum2 21141

Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by n, is bounded, provided that T =/= 0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisumn0.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrisumn0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisumn0.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> T )
dchrisumn0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrmusum2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O ( 1 ) )

Distinct variable groups:   x, y, .1.   x, d, y, C   F, d, x, y   a, d, x, y   x, N, y   ph, d, x   T, d, x, y   x, Z, y   x, D, y   L, a, d, x, y   X, a, d, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   T( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, a, d)   N( a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrmusum2

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 10578	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2		ax-1cn 9004	. . . 4 |- 1 e. CC
3		o1const 12368	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O ( 1 ) )
4	1, 2, 3	mp2an 654	. . 3 |- ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O ( 1 )
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O ( 1 ) )
6	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
7		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8		rpvmasum.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
9		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
10		rpvmasum.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
11		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
12		dchrisum.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
13	12	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
14		elfzelz 11015	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. ZZ )
15	14	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. ZZ )
16	8, 9, 10, 11, 13, 15	dchrzrhcl 20982	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
17		elfznn 11036	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
18	17	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
19		mucl 20877	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
20	19	zred 10331	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. RR )
21		nndivre 9991	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( mmu ` d ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
22	20, 21	mpancom 651	. . . . . . . 8 |- ( d e. NN -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
23	18, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
24	23	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
25	16, 24	mulcld 9064	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
26	7, 25	fsumcl 12482	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
27		dchrisumn0.t	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> T )
28		climcl 12248	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> T -> T e. CC )
29	27, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> T e. CC )
30	29	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> T e. CC )
31	26, 30	mulcld 9064	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC )
32	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
33		subcl 9261	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. CC )
34	2, 31, 33	sylancr 645	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. CC )
35		1re 9046	. . . . 5 |- 1 e. RR
36	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
37		dchrisumn0.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
38		elrege0 10963	. . . . . 6 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
39	37, 38	sylib 189	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
40	39	simpld 446	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
41		fzfid 11267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
42	25	adantlrr 702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
43		nnuz 10477	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
44		1z 10267	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
46	12	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
47		nnz 10259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
48	47	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
49	8, 9, 10, 11, 46, 48	dchrzrhcl 20982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
50		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. CC )
51	50	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
52		nnne0 9988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
53	52	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
54	49, 51, 53	divcld 9746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
55		dchrisumn0.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
56		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
57	56	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
58		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = m -> a = m )
59	57, 58	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
60	59	cbvmptv 4260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
61	55, 60	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
62	54, 61	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : NN --> CC )
63	62	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
64	43, 45, 63	serf 11306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
65	64	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
66		simprl 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
67	66	rpred 10604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
68		nndivre 9991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( x / d ) e. RR )
69	67, 17, 68	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR )
70	17	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
71	70	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. CC )
72	71	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) = d )
73		fznnfl 11198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
74	67, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
75	74	simplbda 608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d <_ x )
76	72, 75	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) <_ x )
77	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
78	67	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
79	70	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
80	77, 78, 79	lemuldivd 10649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. d ) <_ x <-> 1 <_ ( x / d ) ) )
81	76, 80	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / d ) )
82		flge1nn 11181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. NN )
83	69, 81, 82	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. NN )
84	65, 83	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) e. CC )
85	42, 84	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) e. CC )
86	29	ad2antrr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
87	42, 86	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC )
88	41, 85, 87	fsumsub 12526	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
89	42, 84, 86	subdid 9445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
90	89	sumeq2dv 12452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
91	12	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> X e. D )
92	14	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d e. ZZ )
93		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) -> m e. ZZ )
94	93	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
95	8, 9, 10, 11, 91, 92, 94	dchrzrhmul 20983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) )
96	95	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
97	16	adantlrr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
98	97	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
99	71	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d e. CC )
100	8, 9, 10, 11, 91, 94	dchrzrhcl 20982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
101		elfznn 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) -> m e. NN )
102	101	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. NN )
103	102	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. CC )
104	70	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d =/= 0 )
105	104	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d =/= 0 )
106	102	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m =/= 0 )
107	98, 99, 100, 103, 105, 106	divmuldivd 9787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
108	96, 107	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
109	108	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
110	70, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
111	110	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
112	111	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
113	98, 99, 105	divcld 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) e. CC )
114	100, 103, 106	divcld 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
115	112, 113, 114	mulassd 9067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
116	112, 98, 99, 105	div12d 9782	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) )
117	116	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
118	109, 115, 117	3eqtr2d 2442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
119	118	sumeq2dv 12452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
120		fzfid 11267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) e. Fin )
121		simpll 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ph )
122	121, 101, 54	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
123	120, 42, 122	fsummulc2 12522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
124		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. _V
125	59, 55, 124	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
126	102, 125	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
127	83, 43	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
128	126, 127, 122	fsumser 12479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) )
129	128	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) )
130	119, 123, 129	3eqtr2rd 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
131	130	sumeq2dv 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
132		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( d x. m ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( d x. m ) ) )
133	132	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( d x. m ) -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) )
134		id 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( d x. m ) -> n = ( d x. m ) )
135	133, 134	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
136	135	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
137		elrabi 3050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. { y e. NN | y || n } -> d e. NN )
138	137	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> d e. NN )
139	138, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
140	139	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
141	12	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
142		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ZZ )
143	142	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ZZ )
144	8, 9, 10, 11, 141, 143	dchrzrhcl 20982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
145	17	ssriv 3312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN )
147	146	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
148	147	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
149	147	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
150	144, 148, 149	divcld 9746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) e. CC )
151	150	adantrr 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) e. CC )
152	140, 151	mulcld 9064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) e. CC )
153	136, 67, 152	dvdsflsumcom 20926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. { y e. NN | y || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
154		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( L ` n ) = ( L ` 1 ) )
155	154	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` 1 ) ) )
156		id 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> n = 1 )
157	155, 156	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
158		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
159		flge1nn 11181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
160	67, 158, 159	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
161	160, 43	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
162		eluzfz1 11020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
163	161, 162	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
164	157, 41, 146, 163, 150	musumsum 20930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. { y e. NN | y || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
165	131, 153, 164	3eqtr2d 2442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
166	8, 9, 10, 11, 12	dchrzrh1 20981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = 1 )
167	166	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = 1 )
168	167	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) = ( 1 / 1 ) )
169	2	div1i 9698	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1 ) = 1
170	168, 169	syl6eq 2452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) = 1 )
171	165, 170	eqtr2d 2437	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) )
172	29	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> T e. CC )
173	41, 172, 42	fsummulc1 12523	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) )
174	171, 173	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
175	88, 90, 174	3eqtr4rd 2447	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
176	175	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) = ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
177	84, 86	subcld 9367	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) e. CC )
178	42, 177	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. CC )
179	41, 178	fsumcl 12482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. CC )
180	179	abscld 12193	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
181	178	abscld 12193	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
182	41, 181	fsumrecl 12483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
183	40	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> C e. RR )
184	41, 178	fsumabs 12535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
185		reflcl 11160	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
186	67, 185	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
187	186, 183	remulcld 9072	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) e. RR )
188	187, 66	rerpdivcld 10631	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) e. RR )
189	183, 66	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C / x ) e. RR )
190	189	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) e. RR )
191	42	abscld 12193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) e. RR )
192	70	nnrecred 10001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) e. RR )
193	177	abscld 12193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. RR )
194	79	rpred 10604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR )
195	190, 194	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C / x ) x. d ) e. RR )
196	42	absge0d 12201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) )
197	177	absge0d 12201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
198	97	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) e. RR )
199	24	adantlrr 702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
200	199	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. RR )
201	97	absge0d 12201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) )
202	199	absge0d 12201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) )
203		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
204	12	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
205		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. NN )
206	205	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN0 )
207	9, 203, 11	znzrhfo 16783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
208		fof 5612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
209	206, 207, 208	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
210	209	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
211		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ d e. ZZ ) -> ( L ` d ) e. ( Base ` Z ) )
212	210, 14, 211	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` d ) e. ( Base ` Z ) )
213	8, 10, 9, 203, 204, 212	dchrabs2 20999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) <_ 1 )
214	111, 71, 104	absdivd 12212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / ( abs ` d ) ) )
215	79	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 <_ d ) )
216		absid 12056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( d e. RR /\ 0 <_ d ) -> ( abs ` d ) = d )
217	215, 216	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` d ) = d )
218	217	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / ( abs ` d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) )
219	214, 218	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) )
220	111	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) e. RR )
221		mule1 20884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. NN -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) <_ 1 )
222	70, 221	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) <_ 1 )
223	220, 77, 79, 222	lediv1dd 10658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) <_ ( 1 / d ) )
224	219, 223	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) <_ ( 1 / d ) )
225	198, 77, 200, 192, 201, 202, 213, 224	lemul12ad 9909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) x. ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) <_ ( 1 x. ( 1 / d ) ) )
226	97, 199	absmuld 12211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) x. ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) )
227	192	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) e. CC )
228	227	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( 1 / d ) ) = ( 1 / d ) )
229	228	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) = ( 1 x. ( 1 / d ) ) )
230	225, 226, 229	3brtr4d 4202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) <_ ( 1 / d ) )
231		elicopnf 10956	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. RR -> ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) ) )
232	35, 231	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) )
233	69, 81, 232	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) )
234		dchrisumn0.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )
235	234	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )
236		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / d ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( x / d ) ) )
237	236	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / d ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) )
238	237	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( x / d ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) )
239	238	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / d ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
240		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / d ) -> ( C / y ) = ( C / ( x / d ) ) )
241	239, 240	breq12d 4185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) ) )
242	241	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) ) )
243	233, 235, 242	sylc 58	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) )
244	183	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> C e. CC )
245	244	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. CC )
246		rpcnne0 10585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
247	246	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
248	247	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
249		divdiv2 9682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( d e. CC /\ d =/= 0 ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C x. d ) / x ) )
250	245, 248, 71, 104, 249	syl112anc 1188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C x. d ) / x ) )
251		div23 9653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ d e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( C x. d ) / x ) = ( ( C / x ) x. d ) )
252	245, 71, 248, 251	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C x. d ) / x ) = ( ( C / x ) x. d ) )
253	250, 252	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C / x ) x. d ) )
254	243, 253	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( ( C / x ) x. d ) )
255	191, 192, 193, 195, 196, 197, 230, 254	lemul12ad 9909	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) x. ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
256	42, 177	absmuld 12211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) = ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) x. ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
257	189	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C / x ) e. CC )
258	257	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) e. CC )
259	258, 71, 104	divcan4d 9752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( C / x ) x. d ) / d ) = ( C / x ) )
260	258, 71	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C / x ) x. d ) e. CC )
261	260, 71, 104	divrec2d 9750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( C / x ) x. d ) / d ) = ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
262	259, 261	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) = ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
263	255, 256, 262	3brtr4d 4202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( C / x ) )
264	41, 181, 190, 263	fsumle 12533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) )
265	160	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
266		hashfz1 11585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
267	265, 266	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
268	267	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
269		fsumconst 12528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( C / x ) e. CC ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) )
270	41, 257, 269	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) )
271	160	nncnd 9972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. CC )
272		divass 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. CC /\ C e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
273	271, 244, 247, 272	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
274	268, 270, 273	3eqtr4d 2446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) )
275	264, 274	breqtrd 4196	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) )
276	39	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
277		flle 11163	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
278	67, 277	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
279		lemul1a 9820	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ x e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ ( |_ ` x ) <_ x ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) )
280	186, 67, 276, 278, 279	syl31anc 1187	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) )
281	187, 183, 66	ledivmuld 10653	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) <_ C <-> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) ) )
282	280, 281	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) <_ C )
283	182, 188, 183, 275, 282	letrd 9183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ C )
284	180, 182, 183, 184, 283	letrd 9183	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ C )
285	176, 284	eqbrtrd 4192	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) <_ C )
286	32, 34, 36, 40, 285	elo1d 12285	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) e. O ( 1 ) )
287	6, 31, 286	o1dif 12378	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O ( 1 ) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O ( 1 ) ) )
288	5, 287	mpbid 202	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O ( 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   seq cseq 11278   #chash 11573   abscabs 11994   ~~> cli 12233   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434   || cdivides 12807   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736   mmucmu 20830  DChrcdchr 20969

This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  21149  dchrmusumlem  21169

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-mu 20836  df-dchr 20970