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Theorem dchrmusum2 20475
 Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by , is bounded, provided that . Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisumn0.f
dchrisumn0.c
dchrisumn0.t
dchrisumn0.1
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   ()   (,)   ()   (,,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem dchrmusum2
StepHypRef Expression
1 rpssre 10243 . . . 4
2 ax-1cn 8675 . . . 4
3 o1const 11970 . . . 4
41, 2, 3mp2an 656 . . 3
54a1i 12 . 2
62a1i 12 . . 3
7 fzfid 10913 . . . . 5
8 rpvmasum.g . . . . . . 7 DChr
9 rpvmasum.z . . . . . . 7 ℤ/n
10 rpvmasum.d . . . . . . 7
11 rpvmasum.l . . . . . . 7 RHom
12 dchrisum.b . . . . . . . 8
1312ad2antrr 709 . . . . . . 7
14 elfzelz 10676 . . . . . . . 8
1514adantl 454 . . . . . . 7
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 20316 . . . . . 6
17 elfznn 10697 . . . . . . . . 9
1817adantl 454 . . . . . . . 8
19 mucl 20211 . . . . . . . . . 10
2019zred 9996 . . . . . . . . 9
21 nndivre 9661 . . . . . . . . 9
2220, 21mpancom 653 . . . . . . . 8
2318, 22syl 17 . . . . . . 7
2423recnd 8741 . . . . . 6
2516, 24mulcld 8735 . . . . 5
267, 25fsumcl 12083 . . . 4
27 dchrisumn0.t . . . . . 6
28 climcl 11850 . . . . . 6
2927, 28syl 17 . . . . 5
3029adantr 453 . . . 4
3126, 30mulcld 8735 . . 3
321a1i 12 . . . 4
33 subcl 8931 . . . . 5
342, 31, 33sylancr 647 . . . 4
35 1re 8717 . . . . 5
3635a1i 12 . . . 4
37 dchrisumn0.c . . . . . 6
38 elrege0 10624 . . . . . 6
3937, 38sylib 190 . . . . 5
4039simpld 447 . . . 4
41 fzfid 10913 . . . . . . . 8
4225adantlrr 704 . . . . . . . . 9
43 nnuz 10142 . . . . . . . . . . . 12
44 1z 9932 . . . . . . . . . . . . 13
4544a1i 12 . . . . . . . . . . . 12
4612adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 nnz 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
498, 9, 10, 11, 46, 48dchrzrhcl 20316 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 nncn 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 nnne0 9658 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
5449, 51, 53divcld 9416 . . . . . . . . . . . . . 14
55 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15
56 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5756fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5957, 58oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059cbvmptv 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15
6155, 60eqtri 2273 . . . . . . . . . . . . . 14
6254, 61fmptd 5536 . . . . . . . . . . . . 13
63 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13
6462, 63sylan 459 . . . . . . . . . . . 12
6543, 45, 64serf 10952 . . . . . . . . . . 11
6665ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10
67 simprl 735 . . . . . . . . . . . . 13
6867rpred 10269 . . . . . . . . . . . 12
69 nndivre 9661 . . . . . . . . . . . 12
7068, 17, 69syl2an 465 . . . . . . . . . . 11
7117adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . 14
7372mulid2d 8733 . . . . . . . . . . . . 13
74 fznnfl 10844 . . . . . . . . . . . . . . 15
7568, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
7675simplbda 610 . . . . . . . . . . . . 13
7773, 76eqbrtrd 3940 . . . . . . . . . . . 12
7835a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
7968adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
8071nnrpd 10268 . . . . . . . . . . . . 13
8178, 79, 80lemuldivd 10314 . . . . . . . . . . . 12
8277, 81mpbid 203 . . . . . . . . . . 11
83 flge1nn 10827 . . . . . . . . . . 11
8470, 82, 83syl2anc 645 . . . . . . . . . 10
85 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . 10
8666, 84, 85syl2anc 645 . . . . . . . . 9
8742, 86mulcld 8735 . . . . . . . 8
8829ad2antrr 709 . . . . . . . . 9
8942, 88mulcld 8735 . . . . . . . 8
9041, 87, 89fsumsub 12127 . . . . . . 7
9142, 86, 88subdid 9115 . . . . . . . 8
9291sumeq2dv 12053 . . . . . . 7
9312ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9414ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95 elfzelz 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9695adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
978, 9, 10, 11, 93, 94, 96dchrzrhmul 20317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9897oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9916adantlrr 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10099adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10172adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1028, 9, 10, 11, 93, 96dchrzrhcl 20316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103 elfznn 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104103adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105104nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10671nnne0d 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107106adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108104nnne0d 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109100, 101, 102, 105, 107, 108divmuldivd 9457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11098, 109eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . 14
11271, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114113adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
115100, 101, 107divcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . 15
116102, 105, 108divcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . 15
117114, 115, 116mulassd 8738 . . . . . . . . . . . . . 14
118114, 100, 101, 107div12d 9452 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . 14
120111, 117, 1193eqtr2d 2291 . . . . . . . . . . . . 13
121120sumeq2dv 12053 . . . . . . . . . . . 12
122 fzfid 10913 . . . . . . . . . . . . 13
123 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . 14
124123, 103, 54syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13
125122, 42, 124fsummulc2 12123 . . . . . . . . . . . 12
126 ovex 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12759, 55, 126fvmpt 5454 . . . . . . . . . . . . . . 15
128104, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
12984, 43syl6eleq 2343 . . . . . . . . . . . . . 14
130128, 129, 124fsumser 12080 . . . . . . . . . . . . 13
131130oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12
132121, 125, 1313eqtr2rd 2292 . . . . . . . . . . 11
133132sumeq2dv 12053 . . . . . . . . . 10
134 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14
135134fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . 13
136 id 21 . . . . . . . . . . . . 13
137135, 136oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . 12
138137oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11
139 ssrab2 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140139sseli 3099 . . . . . . . . . . . . . . 15
141140ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . 14
142141, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
143142zcnd 9997 . . . . . . . . . . . 12
14412ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
145 elfzelz 10676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146145adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
1478, 9, 10, 11, 144, 146dchrzrhcl 20316 . . . . . . . . . . . . . 14
14817ssriv 3105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149148a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150149sselda 3103 . . . . . . . . . . . . . . 15
151150nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . 14
152150nnne0d 9670 . . . . . . . . . . . . . 14
153147, 151, 152divcld 9416 . . . . . . . . . . . . 13
154153adantrr 700 . . . . . . . . . . . 12
155143, 154mulcld 8735 . . . . . . . . . . 11
156138, 68, 155dvdsflsumcom 20260 . . . . . . . . . 10
157 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . 13
158157fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . 12
159 id 21 . . . . . . . . . . . 12
160158, 159oveq12d 5728 . . . . . . . . . . 11
161 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . 14
162 flge1nn 10827 . . . . . . . . . . . . . 14
16368, 161, 162syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13
164163, 43syl6eleq 2343 . . . . . . . . . . . 12
165 eluzfz1 10681 . . . . . . . . . . . 12
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . 11
167160, 41, 149, 166, 153musumsum 20264 . . . . . . . . . 10
168133, 156, 1673eqtr2d 2291 . . . . . . . . 9
1698, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 20315 . . . . . . . . . . . 12
170169adantr 453 . . . . . . . . . . 11
171170oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10
1722div1i 9368 . . . . . . . . . 10
173171, 172syl6eq 2301 . . . . . . . . 9
174168, 173eqtr2d 2286 . . . . . . . 8
17529adantr 453 . . . . . . . . 9
17641, 175, 42fsummulc1 12124 . . . . . . . 8
177174, 176oveq12d 5728 . . . . . . 7
17890, 92, 1773eqtr4rd 2296 . . . . . 6
179178fveq2d 5381 . . . . 5
18086, 88subcld 9037 . . . . . . . . 9
18142, 180mulcld 8735 . . . . . . . 8
18241, 181fsumcl 12083 . . . . . . 7
183182abscld 11795 . . . . . 6
184181abscld 11795 . . . . . . 7
18541, 184fsumrecl 12084 . . . . . 6
18640adantr 453 . . . . . 6
18741, 181fsumabs 12136 . . . . . 6
188 reflcl 10806 . . . . . . . . . 10
18968, 188syl 17 . . . . . . . . 9
190189, 186remulcld 8743 . . . . . . . 8
191190, 67rerpdivcld 10296 . . . . . . 7
192186, 67rerpdivcld 10296 . . . . . . . . . 10
193192adantr 453 . . . . . . . . 9
19442abscld 11795 . . . . . . . . . . 11
19571nnrecred 9671 . . . . . . . . . . 11
196180abscld 11795 . . . . . . . . . . 11
19780rpred 10269 . . . . . . . . . . . 12
198193, 197remulcld 8743 . . . . . . . . . . 11
19942absge0d 11803 . . . . . . . . . . 11
200180absge0d 11803 . . . . . . . . . . 11
20199abscld 11795 . . . . . . . . . . . . 13
20224adantlrr 704 . . . . . . . . . . . . . 14
203202abscld 11795 . . . . . . . . . . . . 13
20499absge0d 11803 . . . . . . . . . . . . 13
205202absge0d 11803 . . . . . . . . . . . . 13
206 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . 14
20712ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14
208 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
209208nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2109, 206, 11znzrhfo 16333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
211 fof 5308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
212209, 210, 2113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
213212adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
214 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . 15
215213, 14, 214syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14
2168, 10, 9, 206, 207, 215dchrabs2 20333 . . . . . . . . . . . . 13
217113, 72, 106absdivd 11814 . . . . . . . . . . . . . . 15
21880rprege0d 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
219 absid 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
220218, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
221220oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15
222217, 221eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . 14
223113abscld 11795 . . . . . . . . . . . . . . 15
224 mule1 20218 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22571, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
226223, 78, 80, 225lediv1dd 10323 . . . . . . . . . . . . . 14
227222, 226eqbrtrd 3940 . . . . . . . . . . . . 13
228201, 78, 203, 195, 204, 205, 216, 227lemul12ad 9579 . . . . . . . . . . . 12
22999, 202absmuld 11813 . . . . . . . . . . . 12
230195recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . 14
231230mulid2d 8733 . . . . . . . . . . . . 13
232231eqcomd 2258 . . . . . . . . . . . 12
233228, 229, 2323brtr4d 3950 . . . . . . . . . . 11
234 elicopnf 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15
23535, 234ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14
23670, 82, 235sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . 13
237 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14
238237ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13
239 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
240239fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
241240oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
242241fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . 15
243 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . 15
244242, 243breq12d 3933 . . . . . . . . . . . . . 14
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