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Theorem dchrmusum2 21141
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded, provided that  T  =/=  0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisumn0.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrisumn0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrisumn0.t  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrisumn0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .1.    x, d, y, C    F, d, x, y    a,
d, x, y    x, N, y    ph, d, x    T, d, x, y    x, Z, y    x, D, y    L, a, d, x, y    X, a, d, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    T( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, a, d)    N( a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrmusum2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10578 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 ax-1cn 9004 . . . 4  |-  1  e.  CC
3 o1const 12368 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
41, 2, 3mp2an 654 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
62a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
7 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
8 rpvmasum.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
9 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
10 rpvmasum.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
11 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
12 dchrisum.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1312ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
14 elfzelz 11015 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  ZZ )
1514adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 20982 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
17 elfznn 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
1817adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
19 mucl 20877 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
2019zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  RR )
21 nndivre 9991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  RR )
2220, 21mpancom 651 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( mmu `  d
)  /  d )  e.  RR )
2318, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
2423recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
2516, 24mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
267, 25fsumcl 12482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  e.  CC )
27 dchrisumn0.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
28 climcl 12248 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T  ->  T  e.  CC )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3029adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
3126, 30mulcld 9064 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  e.  CC )
321a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
33 subcl 9261 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  CC )
342, 31, 33sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  CC )
35 1re 9046 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3635a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
37 dchrisumn0.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
38 elrege0 10963 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
3937, 38sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
4039simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
41 fzfid 11267 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
4225adantlrr 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
43 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
44 1z 10267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4612adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
47 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
4847adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
498, 9, 10, 11, 46, 48dchrzrhcl 20982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
50 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
5150adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
52 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
5449, 51, 53divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
55 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
56 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
5756fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
58 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
5957, 58oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
6059cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
6155, 60eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )
6254, 61fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
6362ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
6443, 45, 63serf 11306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
6564ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
66 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
6766rpred 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
68 nndivre 9991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  /  d
)  e.  RR )
6967, 17, 68syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  / 
d )  e.  RR )
7017adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
7170nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  CC )
7271mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  =  d )
73 fznnfl 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
7467, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
7574simplbda 608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x
)
7672, 75eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  <_  x
)
7735a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
7867adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
7970nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
8077, 78, 79lemuldivd 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  x.  d )  <_  x 
<->  1  <_  ( x  /  d ) ) )
8176, 80mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  (
x  /  d ) )
82 flge1nn 11181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  /  d
)  e.  RR  /\  1  <_  ( x  / 
d ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  d ) )  e.  NN )
8369, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  d
) )  e.  NN )
8465, 83ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  e.  CC )
8542, 84mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  e.  CC )
8629ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
8742, 86mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
)  e.  CC )
8841, 85, 87fsumsub 12526 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
8942, 84, 86subdid 9445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )
9089sumeq2dv 12452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )
9112ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
9214ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
93 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
958, 9, 10, 11, 91, 92, 94dchrzrhmul 20983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
9695oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
9716adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d ) )  e.  CC )
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
9971adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
1008, 9, 10, 11, 91, 94dchrzrhcl 20982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
101 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
103102nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
10470nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  =/=  0
)
105104adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
106102nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
10798, 99, 100, 103, 105, 106divmuldivd 9787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
10896, 107eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
109108oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
11070, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
111110zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
112111adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
11398, 99, 105divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  / 
d )  e.  CC )
114100, 103, 106divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
115112, 113, 114mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
116112, 98, 99, 105div12d 9782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d ) )  =  ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )
117116oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
118109, 115, 1173eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
119118sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
120 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  e.  Fin )
121 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ph )
122121, 101, 54syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
123120, 42, 122fsummulc2 12522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
124 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
12559, 55, 124fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
126102, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
12783, 43syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
128126, 127, 122fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )
129128oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ) )
130119, 123, 1293eqtr2rd 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
131130sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
132 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
133132fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
134 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  n  =  ( d  x.  m ) )
135133, 134oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) ) )
136135oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
137 elrabi 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ->  d  e.  NN )
138137ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
d  e.  NN )
139138, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  ZZ )
140139zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  CC )
14112ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D
)
142 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ZZ )
143142adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
1448, 9, 10, 11, 141, 143dchrzrhcl 20982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  e.  CC )
14517ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) ) 
C_  NN )
147146sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
148147nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
149147nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0
)
150144, 148, 149divcld 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
151150adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
152140, 151mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) )  e.  CC )
153136, 67, 152dvdsflsumcom 20926 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
154 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( L `  n )  =  ( L ` 
1 ) )
155154fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  1 )
) )
156 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
157155, 156oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
158 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
159 flge1nn 11181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
16067, 158, 159syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
161160, 43syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
162 eluzfz1 11020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
164157, 41, 146, 163, 150musumsum 20930 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( ( X `  ( L `
 1 ) )  /  1 ) )
165131, 153, 1643eqtr2d 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
1668, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 20981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
167166adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
168167oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
1692div1i 9698 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
170168, 169syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  1 )
171165, 170eqtr2d 2437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ) )
17229adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  T  e.  CC )
17341, 172, 42fsummulc1 12523 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) )
174171, 173oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
17588, 90, 1743eqtr4rd 2447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) )
176175fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  =  ( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) ) )
17784, 86subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T )  e.  CC )
17842, 177mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  e.  CC )
17941, 178fsumcl 12482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )  e.  CC )
180179abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
181178abscld 12193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
18241, 181fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
18340adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  C  e.  RR )
18441, 178fsumabs 12535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) ) )
185 reflcl 11160 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
18667, 185syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  RR )
187186, 183remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  x.  C
)  e.  RR )
188187, 66rerpdivcld 10631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  e.  RR )
189183, 66rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  /  x
)  e.  RR )
190189adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  e.  RR )
19142abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  e.  RR )
19270nnrecred 10001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  e.  RR )
193177abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  e.  RR )
19479rpred 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR )
195190, 194remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  /  x )  x.  d )  e.  RR )
19642absge0d 12201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) ) )
197177absge0d 12201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )
19897abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) )  e.  RR )
19924adantlrr 702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  CC )
200199abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  e.  RR )
20197absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) ) )
202199absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )
203 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
20412ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D
)
205 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
206205nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2079, 203, 11znzrhfo 16783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
208 fof 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
209206, 207, 2083syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
210209adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
211 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( L `  d )  e.  ( Base `  Z
) )
212210, 14, 211syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( L `  d )  e.  (
Base `  Z )
)
2138, 10, 9, 203, 204, 212dchrabs2 20999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) )  <_  1 )
214111, 71, 104absdivd 12212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d ) )  / 
( abs `  d
) ) )
21579rprege0d 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  <_ 
d ) )
216 absid 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( d  e.  RR  /\  0  <_  d )  -> 
( abs `  d
)  =  d )
217215, 216syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  d
)  =  d )
218217oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  ( abs `  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  d
) )
219214, 218eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d ) )  / 
d ) )
220111abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  d )
)  e.  RR )
221 mule1 20884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  d ) )  <_ 
1 )
22270, 221syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  d )
)  <_  1 )
223220, 77, 79, 222lediv1dd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  d
)  <_  ( 1  /  d ) )
224219, 223eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  <_  ( 1  /  d ) )
225198, 77, 200, 192, 201, 202, 213, 224lemul12ad 9909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  d )
) )  x.  ( abs `  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
1  /  d ) ) )
22697, 199absmuld 12211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `
 ( L `  d ) ) )  x.  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) ) ) )
227192recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  e.  CC )
228227mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( 1  /  d ) )
229228eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  =  ( 1  x.  ( 1  /  d ) ) )
230225, 226, 2293brtr4d 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  <_  ( 1  /  d ) )
231 elicopnf 10956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( x  /  d
)  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
) ) ) )
23235, 231ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
) ) )
23369, 81, 232sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  / 
d )  e.  ( 1 [,)  +oo )
)
234 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
235234ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
236 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
x  /  d ) ) )
237236fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )
238237oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )
239238fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) )
240 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( C  /  y )  =  ( C  /  (
x  /  d ) ) )
241239, 240breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  (
x  /  d ) ) ) )
242241rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  (
x  /  d ) ) ) )
243233, 235, 242sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  (
x  /  d ) ) )
244183recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  C  e.  CC )
245244adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
246 rpcnne0 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
247246ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
248247adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
249 divdiv2 9682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  -> 
( C  /  (
x  /  d ) )  =  ( ( C  x.  d )  /  x ) )
250245, 248, 71, 104, 249syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( C  x.  d
)  /  x ) )
251 div23 9653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  d  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( C  x.  d )  /  x )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
252245, 71, 248, 251syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  x.  d )  /  x )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
253250, 252eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
254243, 253breqtrd 4196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( ( C  /  x )  x.  d
) )
255191, 192, 193, 195, 196, 197, 230, 254lemul12ad 9909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  x.  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) )  <_  ( ( 1  /  d )  x.  ( ( C  /  x )  x.  d
) ) )
25642, 177absmuld 12211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )  x.  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) ) )
257189recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  /  x
)  e.  CC )
258257adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  e.  CC )
259258, 71, 104divcan4d 9752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( C  /  x )  x.  d )  / 
d )  =  ( C  /  x ) )
260258, 71mulcld 9064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  /  x )  x.  d )  e.  CC )
261260, 71, 104divrec2d 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( C  /  x )  x.  d )  / 
d )  =  ( ( 1  /  d
)  x.  ( ( C  /  x )  x.  d ) ) )
262259, 261eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  =  ( ( 1  /  d
)  x.  ( ( C  /  x )  x.  d ) ) )
263255, 256, 2623brtr4d 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  ( C  /  x ) )
26441, 181, 190, 263fsumle 12533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x
) )
265160nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
266 hashfz1 11585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
267265, 266syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_ `  x ) )
268267oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( C  /  x ) )  =  ( ( |_ `  x )  x.  ( C  /  x ) ) )
269 fsumconst 12528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  ( C  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( C  /  x
) ) )
27041, 257, 269syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( C  /  x ) ) )
271160nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  CC )
272 divass 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( C  /  x ) ) )
273271, 244, 247, 272syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  x.  ( C  /  x ) ) )
274268, 270, 2733eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x )  =  ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x ) )
275264, 274breqtrd 4196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  ( (
( |_ `  x
)  x.  C )  /  x ) )
27639adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
277 flle 11163 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
27867, 277syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  <_  x )
279 lemul1a 9820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  ( |_ `  x )  <_  x
)  ->  ( ( |_ `  x )  x.  C )  <_  (
x  x.  C ) )
280186, 67, 276, 278, 279syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  x.  C
)  <_  ( x  x.  C ) )
281187, 183, 66ledivmuld 10653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x )  <_  C  <->  ( ( |_ `  x
)  x.  C )  <_  ( x  x.  C ) ) )
282280, 281mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  <_  C )
283182, 188, 183, 275, 282letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  C )
284180, 182, 183, 184, 283letrd 9183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  C )
285176, 284eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  <_  C )
28632, 34, 36, 40, 285elo1d 12285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  e.  O ( 1 ) )
2876, 31, 286o1dif 12378 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O ( 1 ) ) )
2885, 287mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156    seq cseq 11278   #chash 11573   abscabs 11994    ~~> cli 12233   O (
1 )co1 12235   sum_csu 12434    || cdivides 12807   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736   mmucmu 20830  DChrcdchr 20969
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  21149  dchrmusumlem  21169
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-mu 20836  df-dchr 20970
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