Theorem dchrmusum2 24411

Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by n, is bounded, provided that T =/= 0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisumn0.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrisumn0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisumn0.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> T )
dchrisumn0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrmusum2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, y, .1.   x, d, y, C   F, d, x, y   a, d, x, y   x, N, y   ph, d, x   T, d, x, y   x, Z, y   x, D, y   L, a, d, x, y   X, a, d, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   T( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, a, d)   N( a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrmusum2

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11335	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2		ax-1cn 9615	. . . 4 |- 1 e. CC
3		o1const 13760	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) )
4	1, 2, 3	mp2an 686	. . 3 |- ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1)
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) )
6	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
7		fzfid 12224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8		rpvmasum.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
9		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
10		rpvmasum.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
11		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
12		dchrisum.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
13	12	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
14		elfzelz 11826	. . . . . . . 8 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. ZZ )
15	14	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. ZZ )
16	8, 9, 10, 11, 13, 15	dchrzrhcl 24252	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
17		elfznn 11854	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
18	17	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
19		mucl 24147	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
20	19	zred 11063	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( mmu ` d ) e. RR )
21		nndivre 10667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( mmu ` d ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
22	20, 21	mpancom 682	. . . . . . . 8 |- ( d e. NN -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
23	18, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. RR )
24	23	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
25	16, 24	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
26	7, 25	fsumcl 13876	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
27		dchrisumn0.t	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> T )
28		climcl 13640	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> T -> T e. CC )
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> T e. CC )
30	29	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> T e. CC )
31	26, 30	mulcld 9681	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC )
32	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
33		subcl 9894	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. CC )
34	2, 31, 33	sylancr 676	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. CC )
35		1red 9676	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
36		dchrisumn0.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
37		elrege0 11764	. . . . . 6 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
38	36, 37	sylib 201	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
39	38	simpld 466	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
40		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
41	25	adantlrr 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. CC )
42		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43		1zzd 10992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
44	12	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
45		nnz 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
46	45	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
47	8, 9, 10, 11, 44, 46	dchrzrhcl 24252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
48		nncn 10639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m e. CC )
49	48	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
50		nnne0 10664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
51	50	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m =/= 0 )
52	47, 49, 51	divcld 10405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
53		dchrisumn0.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
54		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
55	54	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = m -> a = m )
57	55, 56	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
58	57	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
59	53, 58	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
60	52, 59	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : NN --> CC )
61	60	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
62	42, 43, 61	serf 12279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
63	62	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
64		simprl 772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
65	64	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
66		nndivre 10667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( x / d ) e. RR )
67	65, 17, 66	syl2an 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. RR )
68	17	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
69	68	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. CC )
70	69	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) = d )
71		fznnfl 12122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
72	65, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
73	72	simplbda 636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d <_ x )
74	70, 73	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. d ) <_ x )
75		1red 9676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
76	65	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
77	68	nnrpd 11362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
78	75, 76, 77	lemuldivd 11410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. d ) <_ x <-> 1 <_ ( x / d ) ) )
79	74, 78	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / d ) )
80		flge1nn 12088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. NN )
81	67, 79, 80	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. NN )
82	63, 81	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) e. CC )
83	41, 82	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) e. CC )
84	29	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
85	41, 84	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) e. CC )
86	40, 83, 85	fsumsub 13926	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
87	41, 82, 84	subdid 10095	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
88	87	sumeq2dv 13846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
89	12	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> X e. D )
90	14	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d e. ZZ )
91		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) -> m e. ZZ )
92	91	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
93	8, 9, 10, 11, 89, 90, 92	dchrzrhmul 24253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) )
94	93	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
95	16	adantlrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
96	95	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` d ) ) e. CC )
97	69	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d e. CC )
98	8, 9, 10, 11, 89, 92	dchrzrhcl 24252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
99		elfznn 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) -> m e. NN )
100	99	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. NN )
101	100	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m e. CC )
102	68	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d =/= 0 )
103	102	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> d =/= 0 )
104	100	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> m =/= 0 )
105	96, 97, 98, 101, 103, 104	divmuldivd 10446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
106	94, 105	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
107	106	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
108	68, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
109	108	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
110	109	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
111	96, 97, 103	divcld 10405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) e. CC )
112	98, 101, 104	divcld 10405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
113	110, 111, 112	mulassd 9684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
114	110, 96, 97, 103	div12d 10441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) = ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) )
115	114	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` d ) ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
116	107, 113, 115	3eqtr2d 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
117	116	sumeq2dv 13846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
118		fzfid 12224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) e. Fin )
119		simpll 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ph )
120	119, 99, 52	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
121	118, 41, 120	fsummulc2 13922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
122		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. _V
123	57, 53, 122	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
124	100, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
125	81, 42	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( x / d ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
126	124, 125, 120	fsumser 13873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) )
127	126	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) )
128	117, 121, 127	3eqtr2rd 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
129	128	sumeq2dv 13846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
130		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( d x. m ) -> ( L ` n ) = ( L ` ( d x. m ) ) )
131	130	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( d x. m ) -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) )
132		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( d x. m ) -> n = ( d x. m ) )
133	131, 132	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) )
134	133	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( d x. m ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
135		elrabi 3181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. { y e. NN | y || n } -> d e. NN )
136	135	ad2antll 743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> d e. NN )
137	136, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. ZZ )
138	137	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( mmu ` d ) e. CC )
139	12	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
140		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ZZ )
141	140	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ZZ )
142	8, 9, 10, 11, 139, 141	dchrzrhcl 24252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` n ) ) e. CC )
143	17	ssriv 3422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ NN )
145	144	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
146	145	nncnd 10647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
147	145	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
148	142, 146, 147	divcld 10405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) e. CC )
149	148	adantrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) e. CC )
150	138, 149	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ d e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) e. CC )
151	134, 65, 150	dvdsflsumcom 24196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. { y e. NN | y || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` ( d x. m ) ) ) / ( d x. m ) ) ) )
152		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( L ` n ) = ( L ` 1 ) )
153	152	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( X ` ( L ` n ) ) = ( X ` ( L ` 1 ) ) )
154		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> n = 1 )
155	153, 154	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
156		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
157		flge1nn 12088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
158	65, 156, 157	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
159	158, 42	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
160		eluzfz1 11832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
161	159, 160	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
162	155, 40, 144, 161, 148	musumsum 24200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. { y e. NN | y || n } ( ( mmu ` d ) x. ( ( X ` ( L ` n ) ) / n ) ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
163	129, 151, 162	3eqtr2d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) = ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) )
164	8, 9, 10, 11, 12	dchrzrh1 24251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = 1 )
165	164	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = 1 )
166	165	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) = ( 1 / 1 ) )
167		1div1e1 10322	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1 ) = 1
168	166, 167	syl6eq 2521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( X ` ( L ` 1 ) ) / 1 ) = 1 )
169	163, 168	eqtr2d 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) )
170	29	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> T e. CC )
171	40, 170, 41	fsummulc1 13923	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) )
172	169, 171	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) - sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) )
173	86, 88, 172	3eqtr4rd 2516	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
174	173	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) = ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
175	82, 84	subcld 10005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) e. CC )
176	41, 175	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. CC )
177	40, 176	fsumcl 13876	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. CC )
178	177	abscld 13575	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
179	176	abscld 13575	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
180	40, 179	fsumrecl 13877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) e. RR )
181	39	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> C e. RR )
182	40, 176	fsumabs 13938	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
183		reflcl 12065	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
184	65, 183	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
185	184, 181	remulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) e. RR )
186	185, 64	rerpdivcld 11392	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) e. RR )
187	181, 64	rerpdivcld 11392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C / x ) e. RR )
188	187	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) e. RR )
189	41	abscld 13575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) e. RR )
190	68	nnrecred 10677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) e. RR )
191	175	abscld 13575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) e. RR )
192	77	rpred 11364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR )
193	188, 192	remulcld 9689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C / x ) x. d ) e. RR )
194	41	absge0d 13583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) )
195	175	absge0d 13583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
196	95	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) e. RR )
197	24	adantlrr 735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` d ) / d ) e. CC )
198	197	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) e. RR )
199	95	absge0d 13583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) )
200	197	absge0d 13583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) )
201		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
202	12	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
203		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. NN )
204	203	nnnn0d 10949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN0 )
205	9, 201, 11	znzrhfo 19195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
206		fof 5806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
207	204, 205, 206	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
208	207	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
209		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ d e. ZZ ) -> ( L ` d ) e. ( Base ` Z ) )
210	208, 14, 209	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` d ) e. ( Base ` Z ) )
211	8, 10, 9, 201, 202, 210	dchrabs2 24269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) <_ 1 )
212	109, 69, 102	absdivd 13594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / ( abs ` d ) ) )
213	77	rprege0d 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 <_ d ) )
214		absid 13436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( d e. RR /\ 0 <_ d ) -> ( abs ` d ) = d )
215	213, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` d ) = d )
216	215	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / ( abs ` d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) )
217	212, 216	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) )
218	109	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) e. RR )
219		mule1 24154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. NN -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) <_ 1 )
220	68, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` d ) ) <_ 1 )
221	218, 75, 77, 220	lediv1dd 11419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` d ) ) / d ) <_ ( 1 / d ) )
222	217, 221	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) <_ ( 1 / d ) )
223	196, 75, 198, 190, 199, 200, 211, 222	lemul12ad 10571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) x. ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) <_ ( 1 x. ( 1 / d ) ) )
224	95, 197	absmuld 13593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` d ) ) ) x. ( abs ` ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) )
225	190	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) e. CC )
226	225	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( 1 / d ) ) = ( 1 / d ) )
227	226	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / d ) = ( 1 x. ( 1 / d ) ) )
228	223, 224, 227	3brtr4d 4426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) <_ ( 1 / d ) )
229		1re 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
230		elicopnf 11755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. RR -> ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) ) )
231	229, 230	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / d ) e. RR /\ 1 <_ ( x / d ) ) )
232	67, 79, 231	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) )
233		dchrisumn0.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )
234	233	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) )
235		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / d ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( x / d ) ) )
236	235	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / d ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) )
237	236	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( x / d ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) )
238	237	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / d ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) )
239		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / d ) -> ( C / y ) = ( C / ( x / d ) ) )
240	238, 239	breq12d 4408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x / d ) -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) ) )
241	240	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x / d ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( C / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) ) )
242	232, 234, 241	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( C / ( x / d ) ) )
243	181	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> C e. CC )
244	243	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> C e. CC )
245		rpcnne0 11342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
246	245	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
247	246	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
248		divdiv2 10341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( d e. CC /\ d =/= 0 ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C x. d ) / x ) )
249	244, 247, 69, 102, 248	syl112anc 1296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C x. d ) / x ) )
250		div23 10311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. CC /\ d e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( C x. d ) / x ) = ( ( C / x ) x. d ) )
251	244, 69, 247, 250	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C x. d ) / x ) = ( ( C / x ) x. d ) )
252	249, 251	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / ( x / d ) ) = ( ( C / x ) x. d ) )
253	242, 252	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) <_ ( ( C / x ) x. d ) )
254	189, 190, 191, 193, 194, 195, 228, 253	lemul12ad 10571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) x. ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
255	41, 175	absmuld 13593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) = ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) ) x. ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) )
256	187	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C / x ) e. CC )
257	256	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) e. CC )
258	257, 69, 102	divcan4d 10411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( C / x ) x. d ) / d ) = ( C / x ) )
259	257, 69	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( C / x ) x. d ) e. CC )
260	259, 69, 102	divrec2d 10409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( C / x ) x. d ) / d ) = ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
261	258, 260	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( C / x ) = ( ( 1 / d ) x. ( ( C / x ) x. d ) ) )
262	254, 255, 261	3brtr4d 4426	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( C / x ) )
263	40, 179, 188, 262	fsumle 13936	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) )
264	158	nnnn0d 10949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
265		hashfz1 12567	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
266	264, 265	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
267	266	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
268		fsumconst 13928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( C / x ) e. CC ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) )
269	40, 256, 268	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( C / x ) ) )
270	158	nncnd 10647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. CC )
271		divass 10310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. CC /\ C e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
272	270, 243, 246, 271	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( C / x ) ) )
273	267, 269, 272	3eqtr4d 2515	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( C / x ) = ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) )
274	263, 273	breqtrd 4420	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) )
275	38	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
276		flle 12068	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
277	65, 276	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
278		lemul1a 10481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ x e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ ( |_ ` x ) <_ x ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) )
279	184, 65, 275, 277, 278	syl31anc 1295	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) )
280	185, 181, 64	ledivmuld 11414	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) <_ C <-> ( ( |_ ` x ) x. C ) <_ ( x x. C ) ) )
281	279, 280	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) x. C ) / x ) <_ C )
282	180, 186, 181, 274, 281	letrd 9809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ C )
283	178, 180, 181, 182, 282	letrd 9809	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` ( x / d ) ) ) - T ) ) ) <_ C )
284	174, 283	eqbrtrd 4416	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) <_ C )
285	32, 34, 35, 39, 284	elo1d 13677	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 - ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) ) e. O(1) )
286	6, 31, 285	o1dif 13770	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O(1) ) )
287	5, 286	mpbid 215	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. T ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,)cico 11662   ...cfz 11810   |_cfl 12059   seqcseq 12251   #chash 12553   abscabs 13374   ~~> cli 13625   O(1)co1 13627   sum_csu 13829   || cdvds 14382   Basecbs 15199   0gc0g 15416   ZRHomczrh 19148  ℤ/nℤczn 19151   mmucmu 24100  DChrcdchr 24239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-od 17250  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-mu 24106  df-dchr 24240

This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  24419  dchrmusumlem  24439