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Theorem dchrmusum2 24411
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded, provided that  T  =/=  0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisumn0.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrisumn0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisumn0.t  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrisumn0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, y,  .1.    x, d, y, C    F, d, x, y    a,
d, x, y    x, N, y    ph, d, x    T, d, x, y    x, Z, y    x, D, y    L, a, d, x, y    X, a, d, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    T( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, a, d)    N( a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrmusum2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 11335 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 ax-1cn 9615 . . . 4  |-  1  e.  CC
3 o1const 13760 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
41, 2, 3mp2an 686 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
62a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
7 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
8 rpvmasum.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
9 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
10 rpvmasum.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
11 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
12 dchrisum.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1312ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
14 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  ZZ )
1514adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 24252 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
17 elfznn 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
1817adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
19 mucl 24147 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
2019zred 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  RR )
21 nndivre 10667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  RR )
2220, 21mpancom 682 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( mmu `  d
)  /  d )  e.  RR )
2318, 22syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
2423recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
2516, 24mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
267, 25fsumcl 13876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  e.  CC )
27 dchrisumn0.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
28 climcl 13640 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T  ->  T  e.  CC )
2927, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3029adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
3126, 30mulcld 9681 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  e.  CC )
321a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
33 subcl 9894 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  CC )
342, 31, 33sylancr 676 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  CC )
35 1red 9676 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
36 dchrisumn0.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
37 elrege0 11764 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
3836, 37sylib 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
3938simpld 466 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
40 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
4125adantlrr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
42 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
43 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4412adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
45 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
478, 9, 10, 11, 44, 46dchrzrhcl 24252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
48 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
50 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
5247, 49, 51divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
53 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
54 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
5554fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
5755, 56oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
5857cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
5953, 58eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )
6052, 59fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
6160ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
6242, 43, 61serf 12279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
6362ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
64 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
6564rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
66 nndivre 10667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  /  d
)  e.  RR )
6765, 17, 66syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  / 
d )  e.  RR )
6817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
6968nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  CC )
7069mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  =  d )
71 fznnfl 12122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
7265, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
7372simplbda 636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x
)
7470, 73eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  <_  x
)
75 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
7665adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
7768nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
7875, 76, 77lemuldivd 11410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  x.  d )  <_  x 
<->  1  <_  ( x  /  d ) ) )
7974, 78mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  (
x  /  d ) )
80 flge1nn 12088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  /  d
)  e.  RR  /\  1  <_  ( x  / 
d ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  d ) )  e.  NN )
8167, 79, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  d
) )  e.  NN )
8263, 81ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  e.  CC )
8341, 82mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  e.  CC )
8429ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
8541, 84mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
)  e.  CC )
8640, 83, 85fsumsub 13926 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
8741, 82, 84subdid 10095 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
8887sumeq2dv 13846 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )
8912ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
9014ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
91 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
938, 9, 10, 11, 89, 90, 92dchrzrhmul 24253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
9493oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
9516adantlrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d ) )  e.  CC )
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
9769adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
988, 9, 10, 11, 89, 92dchrzrhcl 24252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
99 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
101100nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
10268nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  =/=  0
)
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
104100nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
10596, 97, 98, 101, 103, 104divmuldivd 10446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
10694, 105eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
107106oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
10868, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
109108zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
110109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
11196, 97, 103divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  / 
d )  e.  CC )
11298, 101, 104divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
113110, 111, 112mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
114110, 96, 97, 103div12d 10441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d ) )  =  ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )
115114oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
116107, 113, 1153eqtr2d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
117116sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
118 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  e.  Fin )
119 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ph )
120119, 99, 52syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
121118, 41, 120fsummulc2 13922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
122 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
12357, 53, 122fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
124100, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
12581, 42syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
126124, 125, 120fsumser 13873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )
127126oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ) )
128117, 121, 1273eqtr2rd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
129128sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
130 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
131130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
132 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  n  =  ( d  x.  m ) )
133131, 132oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) ) )
134133oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
135 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ->  d  e.  NN )
136135ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
d  e.  NN )
137136, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  ZZ )
138137zcnd 11064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  CC )
13912ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D
)
140 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ZZ )
141140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
1428, 9, 10, 11, 139, 141dchrzrhcl 24252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  e.  CC )
14317ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) ) 
C_  NN )
145144sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
146145nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
147145nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0
)
148142, 146, 147divcld 10405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
149148adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
150138, 149mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) )  e.  CC )
151134, 65, 150dvdsflsumcom 24196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
152 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( L `  n )  =  ( L ` 
1 ) )
153152fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  1 )
) )
154 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
155153, 154oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
156 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
157 flge1nn 12088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
15865, 156, 157syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
159158, 42syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
160 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
162155, 40, 144, 161, 148musumsum 24200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( ( X `  ( L `
 1 ) )  /  1 ) )
163129, 151, 1623eqtr2d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
1648, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 24251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
165164adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
166165oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
167 1div1e1 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
168166, 167syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  1 )
169163, 168eqtr2d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ) )
17029adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  T  e.  CC )
17140, 170, 41fsummulc1 13923 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) )
172169, 171oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
17386, 88, 1723eqtr4rd 2516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) ) )
174173fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  =  ( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) ) ) )
17582, 84subcld 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T )  e.  CC )
17641, 175mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  e.  CC )
17740, 176fsumcl 13876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )  e.  CC )
178177abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
179176abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
18040, 179fsumrecl 13877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
18139adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  C  e.  RR )
18240, 176fsumabs 13938 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) ) )
183 reflcl 12065 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
18465, 183syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  RR )
185184, 181remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  x.  C
)  e.  RR )
186185, 64rerpdivcld 11392 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  e.  RR )
187181, 64rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  /  x
)  e.  RR )
188187adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  e.  RR )
18941abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  e.  RR )
19068nnrecred 10677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  e.  RR )
191175abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  e.  RR )
19277rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR )
193188, 192remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  /  x )  x.  d )  e.  RR )
19441absge0d 13583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) ) )
195175absge0d 13583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )
19695abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) )  e.  RR )
19724adantlrr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  CC )
198197abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  e.  RR )
19995absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) ) )
200197absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )
201 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
20212ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D
)
203 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
204203nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2059, 201, 11znzrhfo 19195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
206 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
207204, 205, 2063syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
208207adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
209 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( L `  d )  e.  ( Base `  Z
) )
210208, 14, 209syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( L `  d )  e.  (
Base `  Z )
)
2118, 10, 9, 201, 202, 210dchrabs2 24269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) )  <_  1 )
212109, 69, 102absdivd 13594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d ) )  / 
( abs `  d
) ) )
21377rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  <_ 
d ) )
214 absid 13436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( d  e.  RR  /\  0  <_  d )  -> 
( abs `  d
)  =  d )
215213, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  d
)  =  d )
216215oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  ( abs `  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  d
) )
217212, 216eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d ) )  / 
d ) )
218109abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  d )
)  e.  RR )
219 mule1 24154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  d ) )  <_ 
1 )
22068, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  d )
)  <_  1 )
221218, 75, 77, 220lediv1dd 11419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  d
)  <_  ( 1  /  d ) )
222217, 221eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  <_  ( 1  /  d ) )
223196, 75, 198, 190, 199, 200, 211, 222lemul12ad 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  d )
) )  x.  ( abs `  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
1  /  d ) ) )
22495, 197absmuld 13593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `
 ( L `  d ) ) )  x.  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) ) ) )
225190recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  e.  CC )
226225mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( 1  /  d ) )
227226eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  =  ( 1  x.  ( 1  /  d ) ) )
228223, 224, 2273brtr4d 4426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  <_  ( 1  /  d ) )
229 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
230 elicopnf 11755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( x  /  d
)  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
) ) ) )
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( ( x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_ 
( x  /  d
) ) )
23267, 79, 231sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  / 
d )  e.  ( 1 [,) +oo )
)
233 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
234233ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
235 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
x  /  d ) ) )
236235fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )
237236oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )
238237fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) ) )
239 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( C  /  y )  =  ( C  /  (
x  /  d ) ) )
240238, 239breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  (
x  /  d ) ) ) )
241240rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y )  -> 
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  ( x  / 
d ) ) ) )
242232, 234, 241sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  ( x  / 
d ) ) )
243181recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  C  e.  CC )
244243adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
245 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
246245ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
247246adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
248 divdiv2 10341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  -> 
( C  /  (
x  /  d ) )  =  ( ( C  x.  d )  /  x ) )
249244, 247, 69, 102, 248syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( C  x.  d
)  /  x ) )
250 div23 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  d  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( C  x.  d )  /  x )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
251244, 69, 247, 250syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  x.  d )  /  x )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
252249, 251eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
253242, 252breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  <_  ( ( C  /  x )  x.  d ) )
254189, 190, 191, 193, 194, 195, 228, 253lemul12ad 10571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  x.  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) )  <_  ( ( 1  /  d )  x.  ( ( C  /  x )  x.  d
) ) )
25541, 175absmuld 13593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )  x.  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) ) ) )
256187recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  /  x
)  e.  CC )
257256adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  e.  CC )
258257, 69, 102divcan4d 10411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( C  /  x )  x.  d )  / 
d )  =  ( C  /  x ) )
259257, 69mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  /  x )  x.  d )  e.  CC )
260259, 69, 102divrec2d 10409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( C  /  x )  x.  d )  / 
d )  =  ( ( 1  /  d
)  x.  ( ( C  /  x )  x.  d ) ) )
261258, 260eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  =  ( ( 1  /  d
)  x.  ( ( C  /  x )  x.  d ) ) )
262254, 255, 2613brtr4d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  ( C  /  x ) )
26340, 179, 188, 262fsumle 13936 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x
) )
264158nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
265 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
266264, 265syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_ `  x ) )
267266oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( C  /  x ) )  =  ( ( |_ `  x )  x.  ( C  /  x ) ) )
268 fsumconst 13928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  ( C  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( C  /  x
) ) )
26940, 256, 268syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( C  /  x ) ) )
270158nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  CC )
271 divass 10310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( C  /  x ) ) )
272270, 243, 246, 271syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  x.  ( C  /  x ) ) )
273267, 269, 2723eqtr4d 2515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x )  =  ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x ) )
274263, 273breqtrd 4420 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  ( (
( |_ `  x
)  x.  C )  /  x ) )
27538adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
276 flle 12068 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
27765, 276syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  <_  x )
278 lemul1a 10481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  ( |_ `  x )  <_  x
)  ->  ( ( |_ `  x )  x.  C )  <_  (
x  x.  C ) )
279184, 65, 275, 277, 278syl31anc 1295 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  x.  C
)  <_  ( x  x.  C ) )
280185, 181, 64ledivmuld 11414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x )  <_  C  <->  ( ( |_ `  x
)  x.  C )  <_  ( x  x.  C ) ) )
281279, 280mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  <_  C )
282180, 186, 181, 274, 281letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  C )
283178, 180, 181, 182, 282letrd 9809 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  C )
284174, 283eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  <_  C )
28532, 34, 35, 39, 284elo1d 13677 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  e.  O(1) )
2866, 31, 285o1dif 13770 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O(1) ) )
2875, 286mpbid 215 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,)cico 11662   ...cfz 11810   |_cfl 12059    seqcseq 12251   #chash 12553   abscabs 13374    ~~> cli 13625   O(1)co1 13627   sum_csu 13829    || cdvds 14382   Basecbs 15199   0gc0g 15416   ZRHomczrh 19148  ℤ/nczn 19151   mmucmu 24100  DChrcdchr 24239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-od 17250  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-mu 24106  df-dchr 24240
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  24419  dchrmusumlem  24439
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