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Theorem dchrmusum2 23805
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by  n, is bounded, provided that  T  =/=  0. Lemma 9.4.2 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisumn0.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrisumn0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisumn0.t  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrisumn0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusum2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, y,  .1.    x, d, y, C    F, d, x, y    a,
d, x, y    x, N, y    ph, d, x    T, d, x, y    x, Z, y    x, D, y    L, a, d, x, y    X, a, d, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    T( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, a, d)    N( a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrmusum2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 11255 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 ax-1cn 9567 . . . 4  |-  1  e.  CC
3 o1const 13454 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
41, 2, 3mp2an 672 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1) )
62a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
7 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
8 rpvmasum.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
9 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
10 rpvmasum.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
11 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
12 dchrisum.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1312ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
14 elfzelz 11713 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  ZZ )
1514adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
168, 9, 10, 11, 13, 15dchrzrhcl 23646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
17 elfznn 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
1817adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
19 mucl 23541 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
2019zred 10990 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  RR )
21 nndivre 10592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  RR )
2220, 21mpancom 669 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( mmu `  d
)  /  d )  e.  RR )
2318, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
2423recnd 9639 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
2516, 24mulcld 9633 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
267, 25fsumcl 13567 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  e.  CC )
27 dchrisumn0.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
28 climcl 13334 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T  ->  T  e.  CC )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3029adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  CC )
3126, 30mulcld 9633 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  e.  CC )
321a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
33 subcl 9838 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  e.  CC )  ->  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  CC )
342, 31, 33sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  CC )
35 1red 9628 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
36 dchrisumn0.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
37 elrege0 11652 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
3836, 37sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
3938simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
40 fzfid 12086 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin )
4125adantlrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
42 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
43 1zzd 10916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4412adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
45 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
478, 9, 10, 11, 44, 46dchrzrhcl 23646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
48 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
50 nnne0 10589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
5247, 49, 51divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
53 dchrisumn0.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
54 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
5554fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
5755, 56oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
5857cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
5953, 58eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )
6052, 59fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
6160ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
6242, 43, 61serf 12138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
64 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
6564rpred 11281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
66 nndivre 10592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  /  d
)  e.  RR )
6765, 17, 66syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  / 
d )  e.  RR )
6817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
6968nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  CC )
7069mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  =  d )
71 fznnfl 11992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
7265, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
7372simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x
)
7470, 73eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  d )  <_  x
)
75 1red 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
7665adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
7768nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
7875, 76, 77lemuldivd 11326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1  x.  d )  <_  x 
<->  1  <_  ( x  /  d ) ) )
7974, 78mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  (
x  /  d ) )
80 flge1nn 11958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  /  d
)  e.  RR  /\  1  <_  ( x  / 
d ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  d ) )  e.  NN )
8167, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  d
) )  e.  NN )
8263, 81ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  e.  CC )
8341, 82mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  e.  CC )
8429ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  T  e.  CC )
8541, 84mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
)  e.  CC )
8640, 83, 85fsumsub 13615 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
8741, 82, 84subdid 10033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
8887sumeq2dv 13537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )
8912ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
9014ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
91 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
9291adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
938, 9, 10, 11, 89, 90, 92dchrzrhmul 23647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
9493oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
9516adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d ) )  e.  CC )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
9769adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
988, 9, 10, 11, 89, 92dchrzrhcl 23646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
99 elfznn 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
101100nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
10268nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  =/=  0
)
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
104100nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
10596, 97, 98, 101, 103, 104divmuldivd 10382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
10694, 105eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
107106oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
10868, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
109108zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
110109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
11196, 97, 103divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  / 
d )  e.  CC )
11298, 101, 104divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
113110, 111, 112mulassd 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
114110, 96, 97, 103div12d 10377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d ) )  =  ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )
115114oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
116107, 113, 1153eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
117116sumeq2dv 13537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
118 fzfid 12086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) )  e.  Fin )
119 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ph )
120119, 99, 52syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
121118, 41, 120fsummulc2 13611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
122 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
12357, 53, 122fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
124100, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
12581, 42syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
126124, 125, 120fsumser 13564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )
127126oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ) )
128117, 121, 1273eqtr2rd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
129128sumeq2dv 13537 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
130 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
131130fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
132 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  n  =  ( d  x.  m ) )
133131, 132oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) ) )
134133oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
135 elrabi 3254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ->  d  e.  NN )
136135ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
d  e.  NN )
137136, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  ZZ )
138137zcnd 10991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( mmu `  d
)  e.  CC )
13912ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D
)
140 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ZZ )
141140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
1428, 9, 10, 11, 139, 141dchrzrhcl 23646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  e.  CC )
14317ssriv 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  x ) ) 
C_  NN )
145144sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
146145nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
147145nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0
)
148142, 146, 147divcld 10341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
149148adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
150138, 149mulcld 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } ) )  -> 
( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) )  e.  CC )
151134, 65, 150dvdsflsumcom 23590 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) ) )
152 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( L `  n )  =  ( L ` 
1 ) )
153152fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  1 )
) )
154 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
155153, 154oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
156 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
157 flge1nn 11958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
15865, 156, 157syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
159158, 42syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
160 eluzfz1 11718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
161159, 160syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
162155, 40, 144, 161, 148musumsum 23594 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( ( X `  ( L `
 1 ) )  /  1 ) )
163129, 151, 1623eqtr2d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
1648, 9, 10, 11, 12dchrzrh1 23645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
165164adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
166165oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
167 1div1e1 10258 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
168166, 167syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  1 )
169163, 168eqtr2d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) ) )
17029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  T  e.  CC )
17140, 170, 41fsummulc1 13612 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) )
172169, 171oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  T
) ) )
17386, 88, 1723eqtr4rd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) ) )
174173fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  =  ( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) ) ) )
17582, 84subcld 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T )  e.  CC )
17641, 175mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  e.  CC )
17740, 176fsumcl 13567 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )  e.  CC )
178177abscld 13279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
179176abscld 13279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
18040, 179fsumrecl 13568 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  e.  RR )
18139adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  C  e.  RR )
18240, 176fsumabs 13627 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) ) )
183 reflcl 11936 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
18465, 183syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  RR )
185184, 181remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  x.  C
)  e.  RR )
186185, 64rerpdivcld 11308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  e.  RR )
187181, 64rerpdivcld 11308 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  /  x
)  e.  RR )
188187adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  e.  RR )
18941abscld 13279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  e.  RR )
19068nnrecred 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  e.  RR )
191175abscld 13279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  e.  RR )
19277rpred 11281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR )
193188, 192remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  /  x )  x.  d )  e.  RR )
19441absge0d 13287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) ) )
195175absge0d 13287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )
19695abscld 13279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) )  e.  RR )
19724adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  CC )
198197abscld 13279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  e.  RR )
19995absge0d 13287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) ) )
200197absge0d 13287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )
201 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
20212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D
)
203 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
204203nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2059, 201, 11znzrhfo 18713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
206 fof 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
207204, 205, 2063syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
208207adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
209 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( L `  d )  e.  ( Base `  Z
) )
210208, 14, 209syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( L `  d )  e.  (
Base `  Z )
)
2118, 10, 9, 201, 202, 210dchrabs2 23663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  d ) ) )  <_  1 )
212109, 69, 102absdivd 13298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d ) )  / 
( abs `  d
) ) )
21377rprege0d 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  <_ 
d ) )
214 absid 13141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( d  e.  RR  /\  0  <_  d )  -> 
( abs `  d
)  =  d )
215213, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  d
)  =  d )
216215oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  ( abs `  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  d
) )
217212, 216eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  =  ( ( abs `  ( mmu `  d ) )  / 
d ) )
218109abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  d )
)  e.  RR )
219 mule1 23548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  d ) )  <_ 
1 )
22068, 219syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  d )
)  <_  1 )
221218, 75, 77, 220lediv1dd 11335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  d
) )  /  d
)  <_  ( 1  /  d ) )
222217, 221eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) )  <_  ( 1  /  d ) )
223196, 75, 198, 190, 199, 200, 211, 222lemul12ad 10508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  d )
) )  x.  ( abs `  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
1  /  d ) ) )
22495, 197absmuld 13297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `
 ( L `  d ) ) )  x.  ( abs `  (
( mmu `  d
)  /  d ) ) ) )
225190recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  e.  CC )
226225mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( 1  /  d ) )
227226eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
d )  =  ( 1  x.  ( 1  /  d ) ) )
228223, 224, 2273brtr4d 4486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  <_  ( 1  /  d ) )
229 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
230 elicopnf 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( x  /  d
)  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( (
x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  d
) ) ) )
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( ( x  /  d )  e.  RR  /\  1  <_ 
( x  /  d
) ) )
23267, 79, 231sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  / 
d )  e.  ( 1 [,) +oo )
)
233 dchrisumn0.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
234233ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
235 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
x  /  d ) ) )
236235fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) ) )
237236oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) )
238237fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) ) )
239 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  ( C  /  y )  =  ( C  /  (
x  /  d ) ) )
240238, 239breq12d 4469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  / 
d )  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  (
x  /  d ) ) ) )
241240rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  d )  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y )  -> 
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  ( x  / 
d ) ) ) )
242232, 234, 241sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  ( x  / 
d ) ) )
243181recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  C  e.  CC )
244243adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
245 rpcnne0 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
246245ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
247246adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
248 divdiv2 10277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  -> 
( C  /  (
x  /  d ) )  =  ( ( C  x.  d )  /  x ) )
249244, 247, 69, 102, 248syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( C  x.  d
)  /  x ) )
250 div23 10247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  d  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( C  x.  d )  /  x )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
251244, 69, 247, 250syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  x.  d )  /  x )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
252249, 251eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  / 
( x  /  d
) )  =  ( ( C  /  x
)  x.  d ) )
253242, 252breqtrd 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) )  <_  ( ( C  /  x )  x.  d ) )
254189, 190, 191, 193, 194, 195, 228, 253lemul12ad 10508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) ) )  x.  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( x  /  d
) ) )  -  T ) ) )  <_  ( ( 1  /  d )  x.  ( ( C  /  x )  x.  d
) ) )
25541, 175absmuld 13297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) ) )  x.  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  /  d ) ) )  -  T ) ) ) )
256187recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  /  x
)  e.  CC )
257256adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  e.  CC )
258257, 69, 102divcan4d 10347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( C  /  x )  x.  d )  / 
d )  =  ( C  /  x ) )
259257, 69mulcld 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( C  /  x )  x.  d )  e.  CC )
260259, 69, 102divrec2d 10345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( C  /  x )  x.  d )  / 
d )  =  ( ( 1  /  d
)  x.  ( ( C  /  x )  x.  d ) ) )
261258, 260eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  x )  =  ( ( 1  /  d
)  x.  ( ( C  /  x )  x.  d ) ) )
262254, 255, 2613brtr4d 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  ( C  /  x ) )
26340, 179, 188, 262fsumle 13625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x
) )
264158nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
265 hashfz1 12422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
266264, 265syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_ `  x ) )
267266oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( C  /  x ) )  =  ( ( |_ `  x )  x.  ( C  /  x ) ) )
268 fsumconst 13617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  ( C  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( C  /  x
) ) )
26940, 256, 268syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( C  /  x ) ) )
270158nncnd 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  CC )
271 divass 10246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( C  /  x ) ) )
272270, 243, 246, 271syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  x.  ( C  /  x ) ) )
273267, 269, 2723eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( C  /  x )  =  ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x ) )
274263, 273breqtrd 4480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  ( (
( |_ `  x
)  x.  C )  /  x ) )
27538adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
276 flle 11939 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
27765, 276syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  <_  x )
278 lemul1a 10417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  ( |_ `  x )  <_  x
)  ->  ( ( |_ `  x )  x.  C )  <_  (
x  x.  C ) )
279184, 65, 275, 277, 278syl31anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  x.  C
)  <_  ( x  x.  C ) )
280185, 181, 64ledivmuld 11330 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( ( |_ `  x )  x.  C )  /  x )  <_  C  <->  ( ( |_ `  x
)  x.  C )  <_  ( x  x.  C ) ) )
281279, 280mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( |_
`  x )  x.  C )  /  x
)  <_  C )
282180, 186, 181, 274, 281letrd 9756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  C )
283178, 180, 181, 182, 282letrd 9756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( x  / 
d ) ) )  -  T ) ) )  <_  C )
284174, 283eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  <_  C )
28532, 34, 35, 39, 284elo1d 13371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) ) )  e.  O(1) )
2866, 31, 285o1dif 13464 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O(1) ) )
2875, 286mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  T ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   [,)cico 11556   ...cfz 11697   |_cfl 11930    seqcseq 12110   #chash 12408   abscabs 13079    ~~> cli 13319   O(1)co1 13321   sum_csu 13520    || cdvds 13998   Basecbs 14644   0gc0g 14857   ZRHomczrh 18664  ℤ/nczn 18667   mmucmu 23494  DChrcdchr 23633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-o1 13325  df-lo1 13326  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-qus 14926  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-od 16680  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-mu 23500  df-dchr 23634
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  23813  dchrmusumlem  23833
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