MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulid2 Structured version   Unicode version

Theorem dchrmulid2 23906
Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1cl.o  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
dchrmulid2.t  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
dchrmulid2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrmulid2  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    B, k    U, k    k, N    ph, k    k, X    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    .x. ( k)    .1. ( k)    G( k)

Proof of Theorem dchrmulid2
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 dchrmulid2.t . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 dchrn0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 dchrn0.u . . . 4  |-  U  =  (Unit `  Z )
7 dchr1cl.o . . . 4  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
8 dchrmulid2.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
91, 3dchrrcl 23894 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
108, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 23905 . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 23902 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  (  .1. 
oF  x.  X
) )
13 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( 1  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  x.  ( X `  k )
)  =  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) ) )
1413eqeq1d 2404 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 1  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k )  <-> 
( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k ) ) )
15 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) ) )
1615eqeq1d 2404 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 0  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k )  <-> 
( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k ) ) )
171, 2, 3, 5, 8dchrf 23896 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )
1817ffvelrnda 6008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( X `  k )  e.  CC )
1918adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  U )  ->  ( X `  k )  e.  CC )
2019mulid2d 9643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  U )  ->  (
1  x.  ( X `
 k ) )  =  ( X `  k ) )
21 0cn 9617 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
2221mul02i 9802 . . . . . 6  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
231, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 23891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. k  e.  B  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) ) ) )
248, 23mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. k  e.  B  (
( X `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  U ) ) )
2524simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
2625r19.21bi 2772 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
( X `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  U ) )
2726necon1bd 2621 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( X `  k
)  =  0 ) )
2827imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( X `  k
)  =  0 )
2928oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
3022, 29, 283eqtr4a 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( X `
 k ) )
3114, 16, 20, 30ifbothda 3919 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) )  =  ( X `  k ) )
3231mpteq2dva 4480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) ) )  =  ( k  e.  B  |->  ( X `  k
) ) )
33 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
345, 33eqeltri 2486 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
36 ax-1cn 9579 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
3736, 21keepel 3951 . . . . 5  |-  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 )  e.  CC
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  e.  CC )
397a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) )
4017feqmptd 5901 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( k  e.  B  |->  ( X `
 k ) ) )
4135, 38, 18, 39, 40offval2 6537 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .1.  oF  x.  X )  =  ( k  e.  B  |->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) ) ) )
4232, 41, 403eqtr4d 2453 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  oF  x.  X )  =  X )
4312, 42eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   _Vcvv 3058   ifcif 3884    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oFcof 6518   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522    x. cmul 9526   NNcn 10575   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   MndHom cmhm 16286  mulGrpcmgp 17459  Unitcui 17606  ℂfldccnfld 18738  ℤ/nczn 18838  DChrcdchr 23886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-0g 15054  df-imas 15120  df-qus 15121  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-nsg 16521  df-eqg 16522  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-lidl 18138  df-rsp 18139  df-2idl 18198  df-cnfld 18739  df-zring 18807  df-zn 18842  df-dchr 23887
This theorem is referenced by:  dchrabl  23908  dchr1  23911
  Copyright terms: Public domain W3C validator