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Theorem dchrmulcl 20986
Description: Closure of the group operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmul.t  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
dchrmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrmulcl  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  D )

Proof of Theorem dchrmulcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 dchrmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 dchrmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
6 dchrmul.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrmul 20985 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( X  o F  x.  Y
) )
8 mulcl 9030 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
98adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
10 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
111, 2, 3, 10, 5dchrf 20979 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
121, 2, 3, 10, 6dchrf 20979 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y : ( Base `  Z ) --> CC )
13 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  Z
)  e.  _V )
15 inidm 3510 . . . 4  |-  ( (
Base `  Z )  i^i  ( Base `  Z
) )  =  (
Base `  Z )
169, 11, 12, 14, 14, 15off 6279 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  o F  x.  Y ) : ( Base `  Z
) --> CC )
17 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
1810, 17unitcl 15719 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  (Unit `  Z
)  ->  x  e.  ( Base `  Z )
)
1910, 17unitcl 15719 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  (Unit `  Z
)  ->  y  e.  ( Base `  Z )
)
2018, 19anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  (Unit `  Z )  /\  y  e.  (Unit `  Z )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )
211, 3dchrrcl 20977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
225, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
231, 2, 10, 17, 22, 3dchrelbas2 20974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) ) )
245, 23mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  Z ) ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) ) )
2524simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
26 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
2726, 10mgpbas 15609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  (mulGrp `  Z
) )
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
2926, 28mgpplusg 15607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
30 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
31 cnfldmul 16664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3230, 31mgpplusg 15607 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3327, 29, 32mhmlin 14700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  x  e.  ( Base `  Z )  /\  y  e.  ( Base `  Z ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
34333expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )
3525, 34sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )
361, 2, 10, 17, 22, 3dchrelbas2 20974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( ( Y `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) ) )
376, 36mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  Z ) ( ( Y `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) ) )
3837simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
3927, 29, 32mhmlin 14700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  x  e.  ( Base `  Z )  /\  y  e.  ( Base `  Z ) )  ->  ( Y `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( Y `  x
)  x.  ( Y `
 y ) ) )
40393expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Y `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( Y `
 x )  x.  ( Y `  y
) ) )
4138, 40sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Y `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( Y `
 x )  x.  ( Y `  y
) ) )
4235, 41oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  x.  ( Y `
 ( x ( .r `  Z ) y ) ) )  =  ( ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  x.  ( ( Y `  x )  x.  ( Y `  y )
) ) )
4311ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  x )  e.  CC )
4443adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( X `  x )  e.  CC )
45 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  Z )  /\  y  e.  ( Base `  Z
) )  ->  y  e.  ( Base `  Z
) )
46 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  y  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  y
)  e.  CC )
4711, 45, 46syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( X `  y )  e.  CC )
4812ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( Y `  x )  e.  CC )
4948adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Y `  x )  e.  CC )
50 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y : ( Base `  Z ) --> CC  /\  y  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( Y `  y
)  e.  CC )
5112, 45, 50syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Y `  y )  e.  CC )
5244, 47, 49, 51mul4d 9234 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  x.  ( ( Y `  x )  x.  ( Y `  y ) ) )  =  ( ( ( X `  x )  x.  ( Y `  x ) )  x.  ( ( X `  y )  x.  ( Y `  y )
) ) )
5342, 52eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  x.  ( Y `
 ( x ( .r `  Z ) y ) ) )  =  ( ( ( X `  x )  x.  ( Y `  x ) )  x.  ( ( X `  y )  x.  ( Y `  y )
) ) )
54 ffn 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
5511, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
5655adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
57 ffn 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y : ( Base `  Z
) --> CC  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
5812, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( Base `  Z ) )
5958adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
6013a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Base `  Z )  e. 
_V )
6122nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
622zncrng 16780 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
63 crngrng 15629 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
6461, 62, 633syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
6510, 28rngcl 15632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  ( Base `  Z
) )
66653expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  Z )  /\  y  e.  ( Base `  Z
) ) )  -> 
( x ( .r
`  Z ) y )  e.  ( Base `  Z ) )
6764, 66sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  ( Base `  Z
) )
68 fnfvof 6276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  ( ( Base `  Z
)  e.  _V  /\  ( x ( .r
`  Z ) y )  e.  ( Base `  Z ) ) )  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  x.  ( Y `  (
x ( .r `  Z ) y ) ) ) )
6956, 59, 60, 67, 68syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X  o F  x.  Y ) `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  x.  ( Y `
 ( x ( .r `  Z ) y ) ) ) )
7055adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  X  Fn  ( Base `  Z )
)
7158adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  Y  Fn  ( Base `  Z )
)
7213a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( Base `  Z )  e.  _V )
73 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  x  e.  ( Base `  Z )
)
74 fnfvof 6276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  ( ( Base `  Z
)  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  Z ) ) )  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  x )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( Y `  x
) ) )
7570, 71, 72, 73, 74syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  x )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( Y `  x
) ) )
7675adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X  o F  x.  Y ) `  x )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( Y `
 x ) ) )
77 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  y  e.  ( Base `  Z
) )
78 fnfvof 6276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  ( ( Base `  Z
)  e.  _V  /\  y  e.  ( Base `  Z ) ) )  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  y )  =  ( ( X `
 y )  x.  ( Y `  y
) ) )
7956, 59, 60, 77, 78syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X  o F  x.  Y ) `  y )  =  ( ( X `  y
)  x.  ( Y `
 y ) ) )
8076, 79oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( X `
 x )  x.  ( Y `  x
) )  x.  (
( X `  y
)  x.  ( Y `
 y ) ) ) )
8153, 69, 803eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X  o F  x.  Y ) `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) ) )
8220, 81sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  (Unit `  Z )  /\  y  e.  (Unit `  Z ) ) )  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x
)  x.  ( ( X  o F  x.  Y ) `  y
) ) )
8382ralrimivva 2758 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( ( X  o F  x.  Y ) `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) ) )
84 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
8510, 84rngidcl 15639 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  ( Base `  Z
) )
8664, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  e.  ( Base `  Z ) )
87 fnfvof 6276 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  ( ( Base `  Z
)  e.  _V  /\  ( 1r `  Z )  e.  ( Base `  Z
) ) )  -> 
( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  ( ( X `  ( 1r `  Z ) )  x.  ( Y `  ( 1r `  Z ) ) ) )
8855, 58, 14, 86, 87syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  ( ( X `  ( 1r `  Z ) )  x.  ( Y `  ( 1r `  Z ) ) ) )
8926, 84rngidval 15621 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
90 cnfld1 16681 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 1r ` fld )
9130, 90rngidval 15621 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
9289, 91mhm0 14701 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9325, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9489, 91mhm0 14701 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( Y `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9538, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9693, 95oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( 1r `  Z ) )  x.  ( Y `
 ( 1r `  Z ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
97 1t1e1 10082 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
9896, 97syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( 1r `  Z ) )  x.  ( Y `
 ( 1r `  Z ) ) )  =  1 )
9988, 98eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  1 )
10075neeq1d 2580 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X  o F  x.  Y ) `  x )  =/=  0  <->  ( ( X `  x
)  x.  ( Y `
 x ) )  =/=  0 ) )
10143, 48mulne0bd 9629 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( Y `  x
)  =/=  0 )  <-> 
( ( X `  x )  x.  ( Y `  x )
)  =/=  0 ) )
102100, 101bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X  o F  x.  Y ) `  x )  =/=  0  <->  ( ( X `  x
)  =/=  0  /\  ( Y `  x
)  =/=  0 ) ) )
10324simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Z )
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
104103r19.21bi 2764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
105104adantrd 455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( Y `  x
)  =/=  0 )  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
106102, 105sylbid 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X  o F  x.  Y ) `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
107106ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Z )
( ( ( X  o F  x.  Y
) `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
10883, 99, 1073jca 1134 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z ) ( ( X  o F  x.  Y ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) )  /\  ( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) )
1091, 2, 10, 17, 22, 3dchrelbas3 20975 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  x.  Y )  e.  D  <->  ( ( X  o F  x.  Y
) : ( Base `  Z ) --> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( ( X  o F  x.  Y ) `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) )  /\  ( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) ) ) )
11016, 108, 109mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  o F  x.  Y )  e.  D )
1117, 110eqeltrd 2478 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   MndHom cmhm 14691  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   1rcur 15617  Unitcui 15699  ℂfldccnfld 16658  ℤ/nczn 16736  DChrcdchr 20969
This theorem is referenced by:  dchrabl  20991  dchrinv  20998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zn 16740  df-dchr 20970
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