MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmul Structured version   Unicode version

Theorem dchrmul 23904
Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmul.t  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
dchrmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrmul  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( X  oF  x.  Y
) )

Proof of Theorem dchrmul
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrmhm.b . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 dchrmul.t . . . 4  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 dchrmul.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 3dchrrcl 23896 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
81, 2, 3, 4, 7dchrplusg 23903 . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  =  (  oF  x.  |`  ( D  X.  D ) ) )
98oveqd 6295 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( X (  oF  x.  |`  ( D  X.  D
) ) Y ) )
10 dchrmul.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
115, 10ofmresval 6534 . 2  |-  ( ph  ->  ( X (  oF  x.  |`  ( D  X.  D ) ) Y )  =  ( X  oF  x.  Y ) )
129, 11eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( X  oF  x.  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    X. cxp 4821    |` cres 4825   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519    x. cmul 9527   NNcn 10576   Basecbs 14841   +g cplusg 14909  ℤ/nczn 18840  DChrcdchr 23888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-dchr 23889
This theorem is referenced by:  dchrmulcl  23905  dchrmulid2  23908  dchrinvcl  23909  dchrabl  23910  dchrinv  23917  sumdchr2  23926  dchr2sum  23929
  Copyright terms: Public domain W3C validator