MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmhm Structured version   Unicode version

Theorem dchrmhm 24032
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dchrmhm  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )

Proof of Theorem dchrmhm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
4 eqid 2429 . . . . 5  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
5 dchrmhm.b . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
61, 5dchrrcl 24031 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  N  e.  NN )
71, 2, 3, 4, 6, 5dchrelbas 24027 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  D  <->  ( x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  (
( ( Base `  Z
)  \  (Unit `  Z
) )  X.  {
0 } )  C_  x ) ) )
87ibi 244 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  ( (
( Base `  Z )  \  (Unit `  Z )
)  X.  { 0 } )  C_  x
) )
98simpld 460 . 2  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
109ssriv 3474 1  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    \ cdif 3439    C_ wss 3442   {csn 4002    X. cxp 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   Basecbs 15084   MndHom cmhm 16531  mulGrpcmgp 17658  Unitcui 17802  ℂfldccnfld 18905  ℤ/nczn 19005  DChrcdchr 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-dchr 24024
This theorem is referenced by:  dchrzrh1  24035  dchrzrhmul  24037  dchrinvcl  24044  dchrfi  24046  dchrghm  24047  dchrabs  24051  dchrsum2  24059  sumdchr2  24061  sum2dchr  24065  dchrisum0flblem1  24209  rpvmasum2  24213
  Copyright terms: Public domain W3C validator