MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmhm Structured version   Unicode version

Theorem dchrmhm 23272
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dchrmhm  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )

Proof of Theorem dchrmhm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
5 dchrmhm.b . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
61, 5dchrrcl 23271 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  N  e.  NN )
71, 2, 3, 4, 6, 5dchrelbas 23267 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  D  <->  ( x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  (
( ( Base `  Z
)  \  (Unit `  Z
) )  X.  {
0 } )  C_  x ) ) )
87ibi 241 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  (
x  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  ( (
( Base `  Z )  \  (Unit `  Z )
)  X.  { 0 } )  C_  x
) )
98simpld 459 . 2  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
109ssriv 3508 1  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027    X. cxp 4997   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   Basecbs 14490   MndHom cmhm 15784  mulGrpcmgp 16943  Unitcui 17089  ℂfldccnfld 18219  ℤ/nczn 18335  DChrcdchr 23263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-dchr 23264
This theorem is referenced by:  dchrzrh1  23275  dchrzrhmul  23277  dchrinvcl  23284  dchrfi  23286  dchrghm  23287  dchrabs  23291  dchrsum2  23299  sumdchr2  23301  sum2dchr  23305  dchrisum0flblem1  23449  rpvmasum2  23453
  Copyright terms: Public domain W3C validator