MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumn0 Structured version   Unicode version

Theorem dchrisumn0 22904
Description: The sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption  X  e.  W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 22877 and dchrvmasumif 22886. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrmusum.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrmusum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrmusum.t  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrmusum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumn0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Distinct variable groups:    y,  .1.    y, C    y, F    y,
a    y, N    y, T    y, Z    y, D    L, a, y    X, a, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    T( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrisumn0
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
5 dchrmusum.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
6 dchrmusum.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 dchrmusum.1 . . . 4  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
8 eqid 2454 . . . 4  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 dchrmusum.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
10 dchrmusum.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
11 dchrmusum.f . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
12 dchrmusum.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
13 dchrmusum.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
14 dchrmusum.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
151, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8dchrvmaeq0 22887 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
y  e.  ( D 
\  {  .1.  }
)  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  <->  T  =  0
) )
1615biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  = 
0 )  ->  X  e.  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
171, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 16dchrisum0 22903 . . 3  |-  -.  ( ph  /\  T  =  0 )
1817imnani 423 . 2  |-  ( ph  ->  -.  T  =  0 )
1918neneqad 2656 1  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803    \ cdif 3434   {csn 3986   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397   +oocpnf 9527    <_ cle 9531    - cmin 9707    / cdiv 10105   NNcn 10434   [,)cico 11414   |_cfl 11758    seqcseq 11924   abscabs 12842    ~~> cli 13081   sum_csu 13282   Basecbs 14293   0gc0g 14498   ZRHomczrh 18057  ℤ/nczn 18060  DChrcdchr 22705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-disj 4372  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-rpss 6471  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-er 7212  df-ec 7214  df-qs 7218  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-acn 8224  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-word 12348  df-concat 12350  df-s1 12351  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-o1 13087  df-lo1 13088  df-sum 13283  df-ef 13472  df-e 13473  df-sin 13474  df-cos 13475  df-pi 13477  df-dvds 13655  df-gcd 13810  df-prm 13883  df-numer 13932  df-denom 13933  df-phi 13960  df-pc 14023  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-divs 14567  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-nsg 15799  df-eqg 15800  df-ghm 15865  df-gim 15907  df-ga 15928  df-cntz 15955  df-oppg 15981  df-od 16154  df-gex 16155  df-pgp 16156  df-lsm 16257  df-pj1 16258  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-cyg 16477  df-dprd 16600  df-dpj 16601  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-rnghom 16930  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-lidl 17379  df-rsp 17380  df-2idl 17438  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-zring 18010  df-zrh 18061  df-zn 18064  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-cmp 19123  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-0p 21282  df-limc 21475  df-dv 21476  df-ply 21790  df-idp 21791  df-coe 21792  df-dgr 21793  df-quot 21891  df-log 22142  df-cxp 22143  df-em 22520  df-cht 22568  df-vma 22569  df-chp 22570  df-ppi 22571  df-mu 22572  df-dchr 22706
This theorem is referenced by:  dchrmusumlem  22905  dchrvmasumlem  22906
  Copyright terms: Public domain W3C validator