MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumn0 Structured version   Unicode version

Theorem dchrisumn0 23531
Description: The sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption  X  e.  W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 23504 and dchrvmasumif 23513. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrmusum.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrmusum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrmusum.t  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrmusum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumn0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Distinct variable groups:    y,  .1.    y, C    y, F    y,
a    y, N    y, T    y, Z    y, D    L, a, y    X, a, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    T( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrisumn0
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
5 dchrmusum.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
6 dchrmusum.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 dchrmusum.1 . . . 4  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
8 eqid 2467 . . . 4  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 dchrmusum.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
10 dchrmusum.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
11 dchrmusum.f . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
12 dchrmusum.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
13 dchrmusum.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
14 dchrmusum.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( C  /  y ) )
151, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8dchrvmaeq0 23514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
y  e.  ( D 
\  {  .1.  }
)  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  <->  T  =  0
) )
1615biimpar 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  = 
0 )  ->  X  e.  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
171, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 16dchrisum0 23530 . . 3  |-  -.  ( ph  /\  T  =  0 )
1817imnani 423 . 2  |-  ( ph  ->  -.  T  =  0 )
1918neqned 2670 1  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818    \ cdif 3473   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496   +oocpnf 9626    <_ cle 9630    - cmin 9806    / cdiv 10207   NNcn 10537   [,)cico 11532   |_cfl 11896    seqcseq 12076   abscabs 13033    ~~> cli 13273   sum_csu 13474   Basecbs 14493   0gc0g 14698   ZRHomczrh 18344  ℤ/nczn 18347  DChrcdchr 23332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-rpss 6565  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-word 12509  df-concat 12511  df-s1 12512  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-o1 13279  df-lo1 13280  df-sum 13475  df-ef 13668  df-e 13669  df-sin 13670  df-cos 13671  df-pi 13673  df-dvds 13851  df-gcd 14007  df-prm 14080  df-numer 14130  df-denom 14131  df-phi 14158  df-pc 14223  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-qus 14767  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-nsg 16013  df-eqg 16014  df-ghm 16079  df-gim 16121  df-ga 16142  df-cntz 16169  df-oppg 16195  df-od 16368  df-gex 16369  df-pgp 16370  df-lsm 16471  df-pj1 16472  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-cyg 16696  df-dprd 16841  df-dpj 16842  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-dvdsr 17103  df-unit 17104  df-invr 17134  df-dvr 17145  df-rnghom 17177  df-drng 17210  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-lidl 17632  df-rsp 17633  df-2idl 17691  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-zring 18297  df-zrh 18348  df-zn 18351  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-0p 21904  df-limc 22097  df-dv 22098  df-ply 22412  df-idp 22413  df-coe 22414  df-dgr 22415  df-quot 22513  df-log 22769  df-cxp 22770  df-em 23147  df-cht 23195  df-vma 23196  df-chp 23197  df-ppi 23198  df-mu 23199  df-dchr 23333
This theorem is referenced by:  dchrmusumlem  23532  dchrvmasumlem  23533
  Copyright terms: Public domain W3C validator