Theorem dchrisumlema 24326

Description: Lemma for dchrisum 24330. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisum.2	|- ( n = x -> A = B )
dchrisum.3	|- ( ph -> M e. NN )
dchrisum.4	|- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
dchrisum.5	|- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
dchrisum.6	|- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
dchrisum.7	|- F = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. A ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisumlema	|- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, .1.   n, F, x   n, I, x   x, A   n, N, x   ph, n, x   B, n   n, Z, x   D, n, x   n, L, x   n, M, x   n, X, x

Allowed substitution hints:   A( n)   B( x)   G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrisum.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
2	1	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ph -> A. n e. RR+ A e. RR )
3		nfcsb1v 3379	. . . . 5 |- F/_ n [_ I / n ]_ A
4	3	nfel1 2606	. . . 4 |- F/ n [_ I / n ]_ A e. RR
5		csbeq1a 3372	. . . . 5 |- ( n = I -> A = [_ I / n ]_ A )
6	5	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( n = I -> ( A e. RR <-> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
7	4, 6	rspc 3144	. . 3 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
8	2, 7	syl5com 31	. 2 |- ( ph -> ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
9		eqid 2451	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
10		dchrisum.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
11	10	nnred 10624	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
12		elicopnf 11730	. . . . . . . 8 |- ( M e. RR -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
14	13	simprbda 629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR )
15	14	flcld 12034	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. ZZ )
16	15	peano2zd 11043	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ )
17		nnuz 11194	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
18		1zzd 10968	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
19		dchrisum.6	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
20		nnrp 11311	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. RR+ )
21	20	ssriv 3436	. . . . . . 7 |- NN C_ RR+
22		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR+ |-> A ) = ( n e. RR+ |-> A )
23	22, 1	dmmptd 5708	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( n e. RR+ |-> A ) = RR+ )
24	21, 23	syl5sseqr 3481	. . . . . 6 |- ( ph -> NN C_ dom ( n e. RR+ |-> A ) )
25	17, 18, 19, 24	rlimclim1 13609	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
26	25	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
27		0red 9644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
28	11	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M e. RR )
29	10	nngt0d 10653	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
30	29	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < M )
31	13	simplbda 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ I )
32	27, 28, 14, 30, 31	ltletrd 9795	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < I )
33	14, 32	elrpd 11338	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR+ )
34	2	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
35	33, 34, 7	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
36	35	recnd 9669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. CC )
37		ssid 3451	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
38		fvex 5875	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) e. _V
39	37, 38	climconst2 13612	. . . . 5 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. CC /\ ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
40	36, 16, 39	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
41	33	rpge0d 11345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ I )
42		flge0nn0 12054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. RR /\ 0 <_ I ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
43	14, 41, 42	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
44		nn0p1nn 10909	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. NN0 -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
46		eluznn 11229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
47	45, 46	sylan 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
48	47	nnrpd 11339	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR+ )
49	2	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
50		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . 9 |- F/_ n [_ i / n ]_ A
51	50	nfel1 2606	. . . . . . . 8 |- F/ n [_ i / n ]_ A e. RR
52		csbeq1a 3372	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A )
53	52	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( A e. RR <-> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
54	51, 53	rspc 3144	. . . . . . 7 |- ( i e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
55	48, 49, 54	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A e. RR )
56	22	fvmpts 5951	. . . . . 6 |- ( ( i e. RR+ /\ [_ i / n ]_ A e. RR ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
57	48, 55, 56	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
58	57, 55	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) e. RR )
59		fvconst2g 6118	. . . . . 6 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. RR /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
60	35, 59	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
61	35	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
62	60, 61	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) e. RR )
63	33	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR+ )
64		dchrisum.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
65	64	3expia 1210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
66	65	ralrimivva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
67	66	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
68		nfcv 2592	. . . . . . . . 9 |- F/_ n RR+
69		nfv 1761	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( M <_ I /\ I <_ x )
70		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n B
71		nfcv 2592	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n <_
72	70, 71, 3	nfbr 4447	. . . . . . . . . 10 |- F/ n B <_ [_ I / n ]_ A
73	69, 72	nfim 2003	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
74	68, 73	nfral 2774	. . . . . . . 8 |- F/ n A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
75		breq2 4406	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( M <_ n <-> M <_ I ) )
76		breq1 4405	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( n <_ x <-> I <_ x ) )
77	75, 76	anbi12d 717	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ x ) ) )
78	5	breq2d 4414	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( B <_ A <-> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
79	77, 78	imbi12d 322	. . . . . . . . 9 |- ( n = I -> ( ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
80	79	ralbidv 2827	. . . . . . . 8 |- ( n = I -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
81	74, 80	rspc 3144	. . . . . . 7 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
82	63, 67, 81	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
83	31	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> M <_ I )
84	14	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR )
85		reflcl 12032	. . . . . . . . 9 |- ( I e. RR -> ( |_ ` I ) e. RR )
86		peano2re 9806	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. RR -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
87	84, 85, 86	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
88	47	nnred 10624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR )
89		fllep1 12037	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
90	14, 89	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
91	90	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
92		eluzle 11171	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
93	92	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
94	84, 87, 88, 91, 93	letrd 9792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ i )
95	83, 94	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( M <_ I /\ I <_ i ) )
96		breq2 4406	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> ( I <_ x <-> I <_ i ) )
97	96	anbi2d 710	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ i ) ) )
98		eqvisset 3053	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> i e. _V )
99		equtr2 1869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> x = n )
100		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> A = B )
101	100	equcoms 1864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> A = B )
102	99, 101	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> A = B )
103	98, 102	csbied 3390	. . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> [_ i / n ]_ A = B )
104	103	eqcomd 2457	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> B = [_ i / n ]_ A )
105	104	breq1d 4412	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( B <_ [_ I / n ]_ A <-> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) )
106	97, 105	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
107	106	rspcv 3146	. . . . . 6 |- ( i e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) -> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
108	48, 82, 95, 107	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A )
109	108, 57, 60	3brtr4d 4433	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) <_ ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) )
110	9, 16, 26, 40, 58, 62, 109	climle 13703	. . 3 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A )
111	110	ex 436	. 2 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) )
112	8, 111	jca 535	1 |- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   < clt 9675   <_ cle 9676   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   [,)cico 11637   |_cfl 12026   ~~> cli 13548   ~~> r crli 13549   Basecbs 15121   0gc0g 15338   ZRHomczrh 19071  ℤ/nℤczn 19074  DChrcdchr 24160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553

This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  24328  dchrisumlem3  24329