Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlema Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dchrisumlema 24326
 Description: Lemma for dchrisum 24330. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisum.2
dchrisum.3
dchrisum.4
dchrisum.5
dchrisum.6
dchrisum.7
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4
21ralrimiva 2802 . . 3
3 nfcsb1v 3379 . . . . 5
43nfel1 2606 . . . 4
5 csbeq1a 3372 . . . . 5
65eleq1d 2513 . . . 4
74, 6rspc 3144 . . 3
82, 7syl5com 31 . 2
9 eqid 2451 . . . 4
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9
1110nnred 10624 . . . . . . . 8
12 elicopnf 11730 . . . . . . . 8
1311, 12syl 17 . . . . . . 7
1413simprbda 629 . . . . . 6
1514flcld 12034 . . . . 5
1615peano2zd 11043 . . . 4
17 nnuz 11194 . . . . . 6
18 1zzd 10968 . . . . . 6
19 dchrisum.6 . . . . . 6
20 nnrp 11311 . . . . . . . 8
2120ssriv 3436 . . . . . . 7
22 eqid 2451 . . . . . . . 8
2322, 1dmmptd 5708 . . . . . . 7
2421, 23syl5sseqr 3481 . . . . . 6
2517, 18, 19, 24rlimclim1 13609 . . . . 5
2625adantr 467 . . . 4
27 0red 9644 . . . . . . . . 9
2811adantr 467 . . . . . . . . 9
2910nngt0d 10653 . . . . . . . . . 10
3029adantr 467 . . . . . . . . 9
3113simplbda 630 . . . . . . . . 9
3227, 28, 14, 30, 31ltletrd 9795 . . . . . . . 8
3314, 32elrpd 11338 . . . . . . 7
342adantr 467 . . . . . . 7
3533, 34, 7sylc 62 . . . . . 6
3635recnd 9669 . . . . 5
37 ssid 3451 . . . . . 6
38 fvex 5875 . . . . . 6
3937, 38climconst2 13612 . . . . 5
4036, 16, 39syl2anc 667 . . . 4
4133rpge0d 11345 . . . . . . . . . 10
42 flge0nn0 12054 . . . . . . . . . 10
4314, 41, 42syl2anc 667 . . . . . . . . 9
44 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . 9
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8
46 eluznn 11229 . . . . . . . 8
4745, 46sylan 474 . . . . . . 7
4847nnrpd 11339 . . . . . 6
492ad2antrr 732 . . . . . . 7
50 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . 9
5150nfel1 2606 . . . . . . . 8
52 csbeq1a 3372 . . . . . . . . 9
5352eleq1d 2513 . . . . . . . 8
5451, 53rspc 3144 . . . . . . 7
5548, 49, 54sylc 62 . . . . . 6
5622fvmpts 5951 . . . . . 6
5748, 55, 56syl2anc 667 . . . . 5
5857, 55eqeltrd 2529 . . . 4
59 fvconst2g 6118 . . . . . 6
6035, 59sylan 474 . . . . 5
6135adantr 467 . . . . 5
6260, 61eqeltrd 2529 . . . 4
6333adantr 467 . . . . . . 7
64 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10
65643expia 1210 . . . . . . . . 9
6665ralrimivva 2809 . . . . . . . 8
6766ad2antrr 732 . . . . . . 7
68 nfcv 2592 . . . . . . . . 9
69 nfv 1761 . . . . . . . . . 10
70 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11
71 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11
7270, 71, 3nfbr 4447 . . . . . . . . . 10
7369, 72nfim 2003 . . . . . . . . 9
7468, 73nfral 2774 . . . . . . . 8
75 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11
76 breq1 4405 . . . . . . . . . . 11
7775, 76anbi12d 717 . . . . . . . . . 10
785breq2d 4414 . . . . . . . . . 10
7977, 78imbi12d 322 . . . . . . . . 9
8079ralbidv 2827 . . . . . . . 8
8174, 80rspc 3144 . . . . . . 7
8263, 67, 81sylc 62 . . . . . 6
8331adantr 467 . . . . . . 7
8414adantr 467 . . . . . . . 8
85 reflcl 12032 . . . . . . . . 9
86 peano2re 9806 . . . . . . . . 9
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8
8847nnred 10624 . . . . . . . 8
89 fllep1 12037 . . . . . . . . . 10
9014, 89syl 17 . . . . . . . . 9
9190adantr 467 . . . . . . . 8
92 eluzle 11171 . . . . . . . . 9
9392adantl 468 . . . . . . . 8
9484, 87, 88, 91, 93letrd 9792 . . . . . . 7
9583, 94jca 535 . . . . . 6
96 breq2 4406 . . . . . . . . 9
9796anbi2d 710 . . . . . . . 8
98 eqvisset 3053 . . . . . . . . . . 11
99 equtr2 1869 . . . . . . . . . . . 12
100 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13
101100equcoms 1864 . . . . . . . . . . . 12
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11
10398, 102csbied 3390 . . . . . . . . . 10
104103eqcomd 2457 . . . . . . . . 9
105104breq1d 4412 . . . . . . . 8
10697, 105imbi12d 322 . . . . . . 7
107106rspcv 3146 . . . . . 6
10848, 82, 95, 107syl3c 63 . . . . 5
109108, 57, 603brtr4d 4433 . . . 4
1109, 16, 26, 40, 58, 62, 109climle 13703 . . 3
111110ex 436 . 2
1128, 111jca 535 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  cvv 3045  csb 3363  csn 3968   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cxp 4832   cdm 4834  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   cpnf 9672   clt 9675   cle 9676  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  crp 11302  cico 11637  cfl 12026   cli 13548   crli 13549  cbs 15121  c0g 15338  RHomczrh 19071  ℤ/nℤczn 19074  DChrcdchr 24160 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553 This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  24328  dchrisumlem3  24329
 Copyright terms: Public domain W3C validator