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Theorem dchrisumlema 24326
Description: Lemma for dchrisum 24330. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, n,  .1.    n, F, x    n, I, x    x, A    n, N, x    ph, n, x    B, n    n, Z, x    D, n, x    n, L, x    n, M, x   
n, X, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x)    G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
21ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3 nfcsb1v 3379 . . . . 5  |-  F/_ n [_ I  /  n ]_ A
43nfel1 2606 . . . 4  |-  F/ n [_ I  /  n ]_ A  e.  RR
5 csbeq1a 3372 . . . . 5  |-  ( n  =  I  ->  A  =  [_ I  /  n ]_ A )
65eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( n  =  I  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
74, 6rspc 3144 . . 3  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
82, 7syl5com 31 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
9 eqid 2451 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnred 10624 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
12 elicopnf 11730 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  RR  ->  (
I  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1413simprbda 629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  e.  RR )
1514flcld 12034 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  ZZ )
1615peano2zd 11043 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )
17 nnuz 11194 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
18 1zzd 10968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
19 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
20 nnrp 11311 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR+ )
2120ssriv 3436 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR+
22 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  ( n  e.  RR+  |->  A )
2322, 1dmmptd 5708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  = 
RR+ )
2421, 23syl5sseqr 3481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  C_  dom  ( n  e.  RR+  |->  A ) )
2517, 18, 19, 24rlimclim1 13609 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
2625adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
27 0red 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  e.  RR )
2811adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  M  e.  RR )
2910nngt0d 10653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
3029adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <  M )
3113simplbda 630 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  M  <_  I )
3227, 28, 14, 30, 31ltletrd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <  I )
3314, 32elrpd 11338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  e.  RR+ )
342adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3533, 34, 7sylc 62 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
3635recnd 9669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  CC )
37 ssid 3451 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  C_  ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
38 fvex 5875 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  e.  _V
3937, 38climconst2 13612 . . . . 5  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  CC  /\  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4036, 16, 39syl2anc 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4133rpge0d 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <_  I )
42 flge0nn0 12054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  <_  I )  -> 
( |_ `  I
)  e.  NN0 )
4314, 41, 42syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  NN0 )
44 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
46 eluznn 11229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
i  e.  NN )
4745, 46sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
4847nnrpd 11339 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR+ )
492ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
50 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
5150nfel1 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  RR
52 csbeq1a 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5352eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5451, 53rspc 3144 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5548, 49, 54sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
5622fvmpts 5951 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  RR+  /\  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  A ) `  i
)  =  [_ i  /  n ]_ A )
5748, 55, 56syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  = 
[_ i  /  n ]_ A )
5857, 55eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  e.  RR )
59 fvconst2g 6118 . . . . . 6  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  RR  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6035, 59sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6135adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
6260, 61eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  e.  RR )
6333adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR+ )
64 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
65643expia 1210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ ) )  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
6665ralrimivva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
6766ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
68 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n RR+
69 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( M  <_  I  /\  I  <_  x )
70 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n B
71 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  <_
7270, 71, 3nfbr 4447 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  B  <_  [_ I  /  n ]_ A
7369, 72nfim 2003 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
7468, 73nfral 2774 . . . . . . . 8  |-  F/ n A. x  e.  RR+  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
75 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  ( M  <_  n  <->  M  <_  I ) )
76 breq1 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  (
n  <_  x  <->  I  <_  x ) )
7775, 76anbi12d 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  x ) ) )
785breq2d 4414 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
7977, 78imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  I  ->  (
( ( M  <_  n  /\  n  <_  x
)  ->  B  <_  A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8079ralbidv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  I  ->  ( A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
)  <->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8174, 80rspc 3144 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8263, 67, 81sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8331adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  I
)
8414adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
85 reflcl 12032 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  ( |_ `  I )  e.  RR )
86 peano2re 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  RR  ->  (
( |_ `  I
)  +  1 )  e.  RR )
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  e.  RR )
8847nnred 10624 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
89 fllep1 12037 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <_  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )
9014, 89syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  <_  ( ( |_ `  I
)  +  1 ) )
9190adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )
92 eluzle 11171 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  <_  i
)
9392adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  <_  i
)
9484, 87, 88, 91, 93letrd 9792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  i
)
9583, 94jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( M  <_  I  /\  I  <_  i
) )
96 breq2 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  (
I  <_  x  <->  I  <_  i ) )
9796anbi2d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  i ) ) )
98 eqvisset 3053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  i  e.  _V )
99 equtr2 1869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  x  =  n )
100 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
101100equcoms 1864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  A  =  B )
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  A  =  B )
10398, 102csbied 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  [_ i  /  n ]_ A  =  B )
104103eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  n ]_ A )
105104breq1d 4412 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  ( B  <_  [_ I  /  n ]_ A  <->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
10697, 105imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
107106rspcv 3146 . . . . . 6  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
10848, 82, 95, 107syl3c 63 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A )
109108, 57, 603brtr4d 4433 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  <_ 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i ) )
1109, 16, 26, 40, 58, 62, 109climle 13703 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A )
111110ex 436 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
1128, 111jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   [,)cico 11637   |_cfl 12026    ~~> cli 13548    ~~> r crli 13549   Basecbs 15121   0gc0g 15338   ZRHomczrh 19071  ℤ/nczn 19074  DChrcdchr 24160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  24328  dchrisumlem3  24329
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