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Theorem dchrisumlema 23398
Description: Lemma for dchrisum 23402. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, n,  .1.    n, F, x    n, I, x    x, A    n, N, x    ph, n, x    B, n    n, Z, x    D, n, x    n, L, x    n, M, x   
n, X, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x)    G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
21ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3 nfcsb1v 3451 . . . . 5  |-  F/_ n [_ I  /  n ]_ A
43nfel1 2645 . . . 4  |-  F/ n [_ I  /  n ]_ A  e.  RR
5 csbeq1a 3444 . . . . 5  |-  ( n  =  I  ->  A  =  [_ I  /  n ]_ A )
65eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( n  =  I  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
74, 6rspc 3208 . . 3  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
82, 7syl5com 30 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
9 eqid 2467 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnred 10547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
12 elicopnf 11616 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  RR  ->  (
I  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1413simprbda 623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  e.  RR )
1514flcld 11899 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  ZZ )
1615peano2zd 10965 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )
17 nnuz 11113 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
18 1zzd 10891 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
19 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
20 nnrp 11225 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR+ )
2120ssriv 3508 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR+
22 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  ( n  e.  RR+  |->  A )
231, 22fmptd 6043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A ) : RR+ --> RR )
24 fdm 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) : RR+ --> RR  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  RR+ )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  = 
RR+ )
2621, 25syl5sseqr 3553 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  C_  dom  ( n  e.  RR+  |->  A ) )
2717, 18, 19, 26rlimclim1 13324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
2827adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
29 0red 9593 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  e.  RR )
3011adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  M  e.  RR )
3110nngt0d 10575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <  M )
3313simplbda 624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  M  <_  I )
3429, 30, 14, 32, 33ltletrd 9737 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <  I )
3514, 34elrpd 11250 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  e.  RR+ )
362adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3735, 36, 7sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
3837recnd 9618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  CC )
39 ssid 3523 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  C_  ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
40 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  e.  _V
4139, 40climconst2 13327 . . . . 5  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  CC  /\  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4238, 16, 41syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4335rpge0d 11256 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <_  I )
44 flge0nn0 11917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  <_  I )  -> 
( |_ `  I
)  e.  NN0 )
4514, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  NN0 )
46 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
48 eluznn 11148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
i  e.  NN )
4947, 48sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
5049nnrpd 11251 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR+ )
512ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
52 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
5352nfel1 2645 . . . . . . . 8  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  RR
54 csbeq1a 3444 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5554eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5653, 55rspc 3208 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5750, 51, 56sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
5822fvmpts 5950 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  RR+  /\  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  A ) `  i
)  =  [_ i  /  n ]_ A )
5950, 57, 58syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  = 
[_ i  /  n ]_ A )
6059, 57eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  e.  RR )
61 fvconst2g 6112 . . . . . 6  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  RR  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6237, 61sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6337adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
6462, 63eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  e.  RR )
6535adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR+ )
66 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
67663expia 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ ) )  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
6867ralrimivva 2885 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
6968ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
70 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n RR+
71 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( M  <_  I  /\  I  <_  x )
72 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n B
73 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  <_
7472, 73, 3nfbr 4491 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  B  <_  [_ I  /  n ]_ A
7571, 74nfim 1867 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
7670, 75nfral 2850 . . . . . . . 8  |-  F/ n A. x  e.  RR+  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
77 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  ( M  <_  n  <->  M  <_  I ) )
78 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  (
n  <_  x  <->  I  <_  x ) )
7977, 78anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  x ) ) )
805breq2d 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8179, 80imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  I  ->  (
( ( M  <_  n  /\  n  <_  x
)  ->  B  <_  A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8281ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  I  ->  ( A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
)  <->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8376, 82rspc 3208 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8465, 69, 83sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8533adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  I
)
8614adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
87 reflcl 11897 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  ( |_ `  I )  e.  RR )
88 peano2re 9748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  RR  ->  (
( |_ `  I
)  +  1 )  e.  RR )
8986, 87, 883syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  e.  RR )
9049nnred 10547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
91 fllep1 11902 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <_  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )
9214, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  <_  ( ( |_ `  I
)  +  1 ) )
9392adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )
94 eluzle 11090 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  <_  i
)
9594adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  <_  i
)
9686, 89, 90, 93, 95letrd 9734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  i
)
9785, 96jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( M  <_  I  /\  I  <_  i
) )
98 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  (
I  <_  x  <->  I  <_  i ) )
9998anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  i ) ) )
100 eqvisset 3121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  i  e.  _V )
101 equtr2 1751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  x  =  n )
102 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
103102equcoms 1744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  A  =  B )
104101, 103syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  A  =  B )
105100, 104csbied 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  [_ i  /  n ]_ A  =  B )
106105eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  n ]_ A )
107106breq1d 4457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  ( B  <_  [_ I  /  n ]_ A  <->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
10899, 107imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
109108rspcv 3210 . . . . . 6  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
11050, 84, 97, 109syl3c 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A )
111110, 59, 623brtr4d 4477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  <_ 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i ) )
1129, 16, 28, 42, 60, 64, 111climle 13418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A )
113112ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
1148, 113jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   +oocpnf 9621    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   [,)cico 11527   |_cfl 11891    ~~> cli 13263    ~~> r crli 13264   Basecbs 14483   0gc0g 14688   ZRHomczrh 18301  ℤ/nczn 18304  DChrcdchr 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  23400  dchrisumlem3  23401
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