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Theorem dchrisumlema 24052
Description: Lemma for dchrisum 24056. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, n,  .1.    n, F, x    n, I, x    x, A    n, N, x    ph, n, x    B, n    n, Z, x    D, n, x    n, L, x    n, M, x   
n, X, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x)    G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
21ralrimiva 2817 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3 nfcsb1v 3388 . . . . 5  |-  F/_ n [_ I  /  n ]_ A
43nfel1 2580 . . . 4  |-  F/ n [_ I  /  n ]_ A  e.  RR
5 csbeq1a 3381 . . . . 5  |-  ( n  =  I  ->  A  =  [_ I  /  n ]_ A )
65eleq1d 2471 . . . 4  |-  ( n  =  I  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
74, 6rspc 3153 . . 3  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
82, 7syl5com 28 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
9 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnred 10590 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
12 elicopnf 11672 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  RR  ->  (
I  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1413simprbda 621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  e.  RR )
1514flcld 11970 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  ZZ )
1615peano2zd 11010 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )
17 nnuz 11161 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
18 1zzd 10935 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
19 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
20 nnrp 11273 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR+ )
2120ssriv 3445 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR+
22 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  ( n  e.  RR+  |->  A )
2322, 1dmmptd 5693 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  = 
RR+ )
2421, 23syl5sseqr 3490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  C_  dom  ( n  e.  RR+  |->  A ) )
2517, 18, 19, 24rlimclim1 13515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
2625adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
27 0red 9626 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  e.  RR )
2811adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  M  e.  RR )
2910nngt0d 10619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
3029adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <  M )
3113simplbda 622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  M  <_  I )
3227, 28, 14, 30, 31ltletrd 9775 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <  I )
3314, 32elrpd 11300 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  e.  RR+ )
342adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3533, 34, 7sylc 59 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
3635recnd 9651 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  CC )
37 ssid 3460 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  C_  ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
38 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  e.  _V
3937, 38climconst2 13518 . . . . 5  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  CC  /\  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4036, 16, 39syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4133rpge0d 11307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <_  I )
42 flge0nn0 11990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  <_  I )  -> 
( |_ `  I
)  e.  NN0 )
4314, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  NN0 )
44 nn0p1nn 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
46 eluznn 11196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
i  e.  NN )
4745, 46sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
4847nnrpd 11301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR+ )
492ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
50 nfcsb1v 3388 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
5150nfel1 2580 . . . . . . . 8  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  RR
52 csbeq1a 3381 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5352eleq1d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5451, 53rspc 3153 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5548, 49, 54sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
5622fvmpts 5934 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  RR+  /\  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  A ) `  i
)  =  [_ i  /  n ]_ A )
5748, 55, 56syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  = 
[_ i  /  n ]_ A )
5857, 55eqeltrd 2490 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  e.  RR )
59 fvconst2g 6104 . . . . . 6  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  RR  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6035, 59sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6135adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
6260, 61eqeltrd 2490 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  e.  RR )
6333adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR+ )
64 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
65643expia 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ ) )  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
6665ralrimivva 2824 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
6766ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
68 nfcv 2564 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n RR+
69 nfv 1728 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( M  <_  I  /\  I  <_  x )
70 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n B
71 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  <_
7270, 71, 3nfbr 4438 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  B  <_  [_ I  /  n ]_ A
7369, 72nfim 1948 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
7468, 73nfral 2789 . . . . . . . 8  |-  F/ n A. x  e.  RR+  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
75 breq2 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  ( M  <_  n  <->  M  <_  I ) )
76 breq1 4397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  (
n  <_  x  <->  I  <_  x ) )
7775, 76anbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  x ) ) )
785breq2d 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
7977, 78imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  I  ->  (
( ( M  <_  n  /\  n  <_  x
)  ->  B  <_  A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8079ralbidv 2842 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  I  ->  ( A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
)  <->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8174, 80rspc 3153 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8263, 67, 81sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8331adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  I
)
8414adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
85 reflcl 11968 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  ( |_ `  I )  e.  RR )
86 peano2re 9786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  RR  ->  (
( |_ `  I
)  +  1 )  e.  RR )
8784, 85, 863syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  e.  RR )
8847nnred 10590 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
89 fllep1 11973 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <_  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )
9014, 89syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  <_  ( ( |_ `  I
)  +  1 ) )
9190adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )
92 eluzle 11138 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  <_  i
)
9392adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  <_  i
)
9484, 87, 88, 91, 93letrd 9772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  i
)
9583, 94jca 530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( M  <_  I  /\  I  <_  i
) )
96 breq2 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  (
I  <_  x  <->  I  <_  i ) )
9796anbi2d 702 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  i ) ) )
98 eqvisset 3066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  i  e.  _V )
99 equtr2 1826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  x  =  n )
100 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
101100equcoms 1819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  A  =  B )
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  A  =  B )
10398, 102csbied 3399 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  [_ i  /  n ]_ A  =  B )
104103eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  n ]_ A )
105104breq1d 4404 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  ( B  <_  [_ I  /  n ]_ A  <->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
10697, 105imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
107106rspcv 3155 . . . . . 6  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
10848, 82, 95, 107syl3c 60 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A )
109108, 57, 603brtr4d 4424 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  <_ 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i ) )
1109, 16, 26, 40, 58, 62, 109climle 13609 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A )
111110ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
1128, 111jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   _Vcvv 3058   [_csb 3372   {csn 3971   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   dom cdm 4822   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526   +oocpnf 9654    < clt 9657    <_ cle 9658   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   RR+crp 11264   [,)cico 11583   |_cfl 11962    ~~> cli 13454    ~~> r crli 13455   Basecbs 14839   0gc0g 15052   ZRHomczrh 18835  ℤ/nczn 18838  DChrcdchr 23886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-ico 11587  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  24054  dchrisumlem3  24055
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