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Theorem dchrisumlema 23799
Description: Lemma for dchrisum 23803. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, n,  .1.    n, F, x    n, I, x    x, A    n, N, x    ph, n, x    B, n    n, Z, x    D, n, x    n, L, x    n, M, x   
n, X, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x)    G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
21ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3 nfcsb1v 3446 . . . . 5  |-  F/_ n [_ I  /  n ]_ A
43nfel1 2635 . . . 4  |-  F/ n [_ I  /  n ]_ A  e.  RR
5 csbeq1a 3439 . . . . 5  |-  ( n  =  I  ->  A  =  [_ I  /  n ]_ A )
65eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( n  =  I  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
74, 6rspc 3204 . . 3  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
82, 7syl5com 30 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
9 eqid 2457 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnred 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
12 elicopnf 11645 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  RR  ->  (
I  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,) +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1413simprbda 623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  e.  RR )
1514flcld 11938 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  ZZ )
1615peano2zd 10993 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )
17 nnuz 11141 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
18 1zzd 10916 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
19 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
20 nnrp 11254 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR+ )
2120ssriv 3503 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR+
22 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  ( n  e.  RR+  |->  A )
2322, 1dmmptd 5717 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  = 
RR+ )
2421, 23syl5sseqr 3548 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  C_  dom  ( n  e.  RR+  |->  A ) )
2517, 18, 19, 24rlimclim1 13380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
2625adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
27 0red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  e.  RR )
2811adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  M  e.  RR )
2910nngt0d 10600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
3029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <  M )
3113simplbda 624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  M  <_  I )
3227, 28, 14, 30, 31ltletrd 9759 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <  I )
3314, 32elrpd 11279 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  e.  RR+ )
342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3533, 34, 7sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
3635recnd 9639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  CC )
37 ssid 3518 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  C_  ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
38 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  e.  _V
3937, 38climconst2 13383 . . . . 5  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  CC  /\  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4036, 16, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4133rpge0d 11285 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <_  I )
42 flge0nn0 11957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  <_  I )  -> 
( |_ `  I
)  e.  NN0 )
4314, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  NN0 )
44 nn0p1nn 10856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
4543, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
46 eluznn 11177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
i  e.  NN )
4745, 46sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
4847nnrpd 11280 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR+ )
492ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
50 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
5150nfel1 2635 . . . . . . . 8  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  RR
52 csbeq1a 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5352eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5451, 53rspc 3204 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5548, 49, 54sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
5622fvmpts 5958 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  RR+  /\  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  A ) `  i
)  =  [_ i  /  n ]_ A )
5748, 55, 56syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  = 
[_ i  /  n ]_ A )
5857, 55eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  e.  RR )
59 fvconst2g 6126 . . . . . 6  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  RR  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6035, 59sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6135adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
6260, 61eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  e.  RR )
6333adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR+ )
64 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
65643expia 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ ) )  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
6665ralrimivva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
6766ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
68 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n RR+
69 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( M  <_  I  /\  I  <_  x )
70 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n B
71 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  <_
7270, 71, 3nfbr 4500 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  B  <_  [_ I  /  n ]_ A
7369, 72nfim 1921 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
7468, 73nfral 2843 . . . . . . . 8  |-  F/ n A. x  e.  RR+  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
75 breq2 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  ( M  <_  n  <->  M  <_  I ) )
76 breq1 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  (
n  <_  x  <->  I  <_  x ) )
7775, 76anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  x ) ) )
785breq2d 4468 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
7977, 78imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  I  ->  (
( ( M  <_  n  /\  n  <_  x
)  ->  B  <_  A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8079ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  I  ->  ( A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
)  <->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8174, 80rspc 3204 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8263, 67, 81sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8331adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  I
)
8414adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
85 reflcl 11936 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  ( |_ `  I )  e.  RR )
86 peano2re 9770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  RR  ->  (
( |_ `  I
)  +  1 )  e.  RR )
8784, 85, 863syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  e.  RR )
8847nnred 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
89 fllep1 11941 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <_  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )
9014, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  I  <_  ( ( |_ `  I
)  +  1 ) )
9190adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )
92 eluzle 11118 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  <_  i
)
9392adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  <_  i
)
9484, 87, 88, 91, 93letrd 9756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  i
)
9583, 94jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( M  <_  I  /\  I  <_  i
) )
96 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  (
I  <_  x  <->  I  <_  i ) )
9796anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  i ) ) )
98 eqvisset 3117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  i  e.  _V )
99 equtr2 1803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  x  =  n )
100 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
101100equcoms 1796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  A  =  B )
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  A  =  B )
10398, 102csbied 3457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  [_ i  /  n ]_ A  =  B )
104103eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  n ]_ A )
105104breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  ( B  <_  [_ I  /  n ]_ A  <->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
10697, 105imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
107106rspcv 3206 . . . . . 6  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
10848, 82, 95, 107syl3c 61 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A )
109108, 57, 603brtr4d 4486 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  <_ 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i ) )
1109, 16, 26, 40, 58, 62, 109climle 13474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,) +oo )
)  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A )
111110ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
1128, 111jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,) +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   [_csb 3430   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   [,)cico 11556   |_cfl 11930    ~~> cli 13319    ~~> r crli 13320   Basecbs 14644   0gc0g 14857   ZRHomczrh 18664  ℤ/nczn 18667  DChrcdchr 23633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  23801  dchrisumlem3  23802
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