Theorem dchrisumlema 24052

Description: Lemma for dchrisum 24056. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisum.2	|- ( n = x -> A = B )
dchrisum.3	|- ( ph -> M e. NN )
dchrisum.4	|- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
dchrisum.5	|- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
dchrisum.6	|- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
dchrisum.7	|- F = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. A ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisumlema	|- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, .1.   n, F, x   n, I, x   x, A   n, N, x   ph, n, x   B, n   n, Z, x   D, n, x   n, L, x   n, M, x   n, X, x

Allowed substitution hints:   A( n)   B( x)   G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrisum.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
2	1	ralrimiva 2817	. . 3 |- ( ph -> A. n e. RR+ A e. RR )
3		nfcsb1v 3388	. . . . 5 |- F/_ n [_ I / n ]_ A
4	3	nfel1 2580	. . . 4 |- F/ n [_ I / n ]_ A e. RR
5		csbeq1a 3381	. . . . 5 |- ( n = I -> A = [_ I / n ]_ A )
6	5	eleq1d 2471	. . . 4 |- ( n = I -> ( A e. RR <-> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
7	4, 6	rspc 3153	. . 3 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
8	2, 7	syl5com 28	. 2 |- ( ph -> ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
9		eqid 2402	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
10		dchrisum.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
11	10	nnred 10590	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
12		elicopnf 11672	. . . . . . . 8 |- ( M e. RR -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
14	13	simprbda 621	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR )
15	14	flcld 11970	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. ZZ )
16	15	peano2zd 11010	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ )
17		nnuz 11161	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
18		1zzd 10935	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
19		dchrisum.6	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
20		nnrp 11273	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. RR+ )
21	20	ssriv 3445	. . . . . . 7 |- NN C_ RR+
22		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR+ |-> A ) = ( n e. RR+ |-> A )
23	22, 1	dmmptd 5693	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( n e. RR+ |-> A ) = RR+ )
24	21, 23	syl5sseqr 3490	. . . . . 6 |- ( ph -> NN C_ dom ( n e. RR+ |-> A ) )
25	17, 18, 19, 24	rlimclim1 13515	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
26	25	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
27		0red 9626	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
28	11	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M e. RR )
29	10	nngt0d 10619	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
30	29	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < M )
31	13	simplbda 622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ I )
32	27, 28, 14, 30, 31	ltletrd 9775	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < I )
33	14, 32	elrpd 11300	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR+ )
34	2	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
35	33, 34, 7	sylc 59	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
36	35	recnd 9651	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. CC )
37		ssid 3460	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
38		fvex 5858	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) e. _V
39	37, 38	climconst2 13518	. . . . 5 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. CC /\ ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
40	36, 16, 39	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
41	33	rpge0d 11307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ I )
42		flge0nn0 11990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. RR /\ 0 <_ I ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
43	14, 41, 42	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
44		nn0p1nn 10875	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. NN0 -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
46		eluznn 11196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
47	45, 46	sylan 469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
48	47	nnrpd 11301	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR+ )
49	2	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
50		nfcsb1v 3388	. . . . . . . . 9 |- F/_ n [_ i / n ]_ A
51	50	nfel1 2580	. . . . . . . 8 |- F/ n [_ i / n ]_ A e. RR
52		csbeq1a 3381	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A )
53	52	eleq1d 2471	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( A e. RR <-> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
54	51, 53	rspc 3153	. . . . . . 7 |- ( i e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
55	48, 49, 54	sylc 59	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A e. RR )
56	22	fvmpts 5934	. . . . . 6 |- ( ( i e. RR+ /\ [_ i / n ]_ A e. RR ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
57	48, 55, 56	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
58	57, 55	eqeltrd 2490	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) e. RR )
59		fvconst2g 6104	. . . . . 6 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. RR /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
60	35, 59	sylan 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
61	35	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
62	60, 61	eqeltrd 2490	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) e. RR )
63	33	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR+ )
64		dchrisum.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
65	64	3expia 1199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
66	65	ralrimivva 2824	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
67	66	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
68		nfcv 2564	. . . . . . . . 9 |- F/_ n RR+
69		nfv 1728	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( M <_ I /\ I <_ x )
70		nfcv 2564	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n B
71		nfcv 2564	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n <_
72	70, 71, 3	nfbr 4438	. . . . . . . . . 10 |- F/ n B <_ [_ I / n ]_ A
73	69, 72	nfim 1948	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
74	68, 73	nfral 2789	. . . . . . . 8 |- F/ n A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
75		breq2 4398	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( M <_ n <-> M <_ I ) )
76		breq1 4397	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( n <_ x <-> I <_ x ) )
77	75, 76	anbi12d 709	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ x ) ) )
78	5	breq2d 4406	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( B <_ A <-> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
79	77, 78	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( n = I -> ( ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
80	79	ralbidv 2842	. . . . . . . 8 |- ( n = I -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
81	74, 80	rspc 3153	. . . . . . 7 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
82	63, 67, 81	sylc 59	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
83	31	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> M <_ I )
84	14	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR )
85		reflcl 11968	. . . . . . . . 9 |- ( I e. RR -> ( |_ ` I ) e. RR )
86		peano2re 9786	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. RR -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
87	84, 85, 86	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
88	47	nnred 10590	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR )
89		fllep1 11973	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
90	14, 89	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
91	90	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
92		eluzle 11138	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
93	92	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
94	84, 87, 88, 91, 93	letrd 9772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ i )
95	83, 94	jca 530	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( M <_ I /\ I <_ i ) )
96		breq2 4398	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> ( I <_ x <-> I <_ i ) )
97	96	anbi2d 702	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ i ) ) )
98		eqvisset 3066	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> i e. _V )
99		equtr2 1826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> x = n )
100		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> A = B )
101	100	equcoms 1819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> A = B )
102	99, 101	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> A = B )
103	98, 102	csbied 3399	. . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> [_ i / n ]_ A = B )
104	103	eqcomd 2410	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> B = [_ i / n ]_ A )
105	104	breq1d 4404	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( B <_ [_ I / n ]_ A <-> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) )
106	97, 105	imbi12d 318	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
107	106	rspcv 3155	. . . . . 6 |- ( i e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) -> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
108	48, 82, 95, 107	syl3c 60	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A )
109	108, 57, 60	3brtr4d 4424	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) <_ ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) )
110	9, 16, 26, 40, 58, 62, 109	climle 13609	. . 3 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A )
111	110	ex 432	. 2 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) )
112	8, 111	jca 530	1 |- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2753   _Vcvv 3058   [_csb 3372   {csn 3971   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   X. cxp 4820   dom cdm 4822   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522   + caddc 9524   x. cmul 9526   +oocpnf 9654   < clt 9657   <_ cle 9658   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   RR+crp 11264   [,)cico 11583   |_cfl 11962   ~~> cli 13454   ~~> r crli 13455   Basecbs 14839   0gc0g 15052   ZRHomczrh 18835  ℤ/nℤczn 18838  DChrcdchr 23886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-ico 11587  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459

This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  24054  dchrisumlem3  24055