Theorem dchrisumlema 22742

Description: Lemma for dchrisum 22746. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisum.2	|- ( n = x -> A = B )
dchrisum.3	|- ( ph -> M e. NN )
dchrisum.4	|- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
dchrisum.5	|- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
dchrisum.6	|- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
dchrisum.7	|- F = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. A ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisumlema	|- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, .1.   n, F, x   n, I, x   x, A   n, N, x   ph, n, x   B, n   n, Z, x   D, n, x   n, L, x   n, M, x   n, X, x

Allowed substitution hints:   A( n)   B( x)   G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrisum.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
2	1	ralrimiva 2804	. . 3 |- ( ph -> A. n e. RR+ A e. RR )
3		nfcsb1v 3309	. . . . 5 |- F/_ n [_ I / n ]_ A
4	3	nfel1 2594	. . . 4 |- F/ n [_ I / n ]_ A e. RR
5		csbeq1a 3302	. . . . 5 |- ( n = I -> A = [_ I / n ]_ A )
6	5	eleq1d 2509	. . . 4 |- ( n = I -> ( A e. RR <-> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
7	4, 6	rspc 3072	. . 3 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
8	2, 7	syl5com 30	. 2 |- ( ph -> ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
9		eqid 2443	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
10		dchrisum.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
11	10	nnred 10342	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
12		elicopnf 11390	. . . . . . . 8 |- ( M e. RR -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
14	13	simprbda 623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR )
15	14	flcld 11653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. ZZ )
16	15	peano2zd 10755	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ )
17		nnuz 10901	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
18		1zzd 10682	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
19		dchrisum.6	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
20		nnrp 11005	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. RR+ )
21	20	ssriv 3365	. . . . . . 7 |- NN C_ RR+
22		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( n e. RR+ |-> A ) = ( n e. RR+ |-> A )
23	1, 22	fmptd 5872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) : RR+ --> RR )
24		fdm 5568	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. RR+ |-> A ) : RR+ --> RR -> dom ( n e. RR+ |-> A ) = RR+ )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( n e. RR+ |-> A ) = RR+ )
26	21, 25	syl5sseqr 3410	. . . . . 6 |- ( ph -> NN C_ dom ( n e. RR+ |-> A ) )
27	17, 18, 19, 26	rlimclim1 13028	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
28	27	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
29		0red 9392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
30	11	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M e. RR )
31	10	nngt0d 10370	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < M )
33	13	simplbda 624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ I )
34	29, 30, 14, 32, 33	ltletrd 9536	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < I )
35	14, 34	elrpd 11030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR+ )
36	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
37	35, 36, 7	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
38	37	recnd 9417	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. CC )
39		ssid 3380	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
40		fvex 5706	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) e. _V
41	39, 40	climconst2 13031	. . . . 5 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. CC /\ ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
42	38, 16, 41	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
43	35	rpge0d 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ I )
44		flge0nn0 11671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. RR /\ 0 <_ I ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
45	14, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
46		nn0p1nn 10624	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. NN0 -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
48		eluznn 10930	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
49	47, 48	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
50	49	nnrpd 11031	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR+ )
51	2	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
52		nfcsb1v 3309	. . . . . . . . 9 |- F/_ n [_ i / n ]_ A
53	52	nfel1 2594	. . . . . . . 8 |- F/ n [_ i / n ]_ A e. RR
54		csbeq1a 3302	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A )
55	54	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( A e. RR <-> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
56	53, 55	rspc 3072	. . . . . . 7 |- ( i e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
57	50, 51, 56	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A e. RR )
58	22	fvmpts 5781	. . . . . 6 |- ( ( i e. RR+ /\ [_ i / n ]_ A e. RR ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
59	50, 57, 58	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
60	59, 57	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) e. RR )
61		fvconst2g 5936	. . . . . 6 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. RR /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
62	37, 61	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
63	37	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
64	62, 63	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) e. RR )
65	35	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR+ )
66		dchrisum.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
67	66	3expia 1189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
68	67	ralrimivva 2813	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
69	68	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
70		nfcv 2584	. . . . . . . . 9 |- F/_ n RR+
71		nfv 1673	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( M <_ I /\ I <_ x )
72		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n B
73		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n <_
74	72, 73, 3	nfbr 4341	. . . . . . . . . 10 |- F/ n B <_ [_ I / n ]_ A
75	71, 74	nfim 1853	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
76	70, 75	nfral 2774	. . . . . . . 8 |- F/ n A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
77		breq2 4301	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( M <_ n <-> M <_ I ) )
78		breq1 4300	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( n <_ x <-> I <_ x ) )
79	77, 78	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ x ) ) )
80	5	breq2d 4309	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( B <_ A <-> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
81	79, 80	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( n = I -> ( ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
82	81	ralbidv 2740	. . . . . . . 8 |- ( n = I -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
83	76, 82	rspc 3072	. . . . . . 7 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
84	65, 69, 83	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
85	33	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> M <_ I )
86	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR )
87		reflcl 11651	. . . . . . . . 9 |- ( I e. RR -> ( |_ ` I ) e. RR )
88		peano2re 9547	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. RR -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
89	86, 87, 88	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
90	49	nnred 10342	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR )
91		fllep1 11656	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
92	14, 91	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
93	92	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
94		eluzle 10878	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
95	94	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
96	86, 89, 90, 93, 95	letrd 9533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ i )
97	85, 96	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( M <_ I /\ I <_ i ) )
98		breq2 4301	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> ( I <_ x <-> I <_ i ) )
99	98	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ i ) ) )
100		eqvisset 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> i e. _V )
101		equtr2 1740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> x = n )
102		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> A = B )
103	102	equcoms 1733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> A = B )
104	101, 103	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> A = B )
105	100, 104	csbied 3319	. . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> [_ i / n ]_ A = B )
106	105	eqcomd 2448	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> B = [_ i / n ]_ A )
107	106	breq1d 4307	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( B <_ [_ I / n ]_ A <-> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) )
108	99, 107	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
109	108	rspcv 3074	. . . . . 6 |- ( i e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) -> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
110	50, 84, 97, 109	syl3c 61	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A )
111	110, 59, 62	3brtr4d 4327	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) <_ ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) )
112	9, 16, 28, 42, 60, 64, 111	climle 13122	. . 3 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A )
113	112	ex 434	. 2 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) )
114	8, 113	jca 532	1 |- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977   [_csb 3293   {csn 3882   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   X. cxp 4843   dom cdm 4845   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   +oocpnf 9420   < clt 9423   <_ cle 9424   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   [,)cico 11307   |_cfl 11645   ~~> cli 12967   ~~> r crli 12968   Basecbs 14179   0gc0g 14383   ZRHomczrh 17936  ℤ/nℤczn 17939  DChrcdchr 22576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972

This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  22744  dchrisumlem3  22745