Theorem dchrisumlema 23799

Description: Lemma for dchrisum 23803. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisum.2	|- ( n = x -> A = B )
dchrisum.3	|- ( ph -> M e. NN )
dchrisum.4	|- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
dchrisum.5	|- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
dchrisum.6	|- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
dchrisum.7	|- F = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. A ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisumlema	|- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, .1.   n, F, x   n, I, x   x, A   n, N, x   ph, n, x   B, n   n, Z, x   D, n, x   n, L, x   n, M, x   n, X, x

Allowed substitution hints:   A( n)   B( x)   G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrisum.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
2	1	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ph -> A. n e. RR+ A e. RR )
3		nfcsb1v 3446	. . . . 5 |- F/_ n [_ I / n ]_ A
4	3	nfel1 2635	. . . 4 |- F/ n [_ I / n ]_ A e. RR
5		csbeq1a 3439	. . . . 5 |- ( n = I -> A = [_ I / n ]_ A )
6	5	eleq1d 2526	. . . 4 |- ( n = I -> ( A e. RR <-> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
7	4, 6	rspc 3204	. . 3 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
8	2, 7	syl5com 30	. 2 |- ( ph -> ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) )
9		eqid 2457	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
10		dchrisum.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
11	10	nnred 10571	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
12		elicopnf 11645	. . . . . . . 8 |- ( M e. RR -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) <-> ( I e. RR /\ M <_ I ) ) )
14	13	simprbda 623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR )
15	14	flcld 11938	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. ZZ )
16	15	peano2zd 10993	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ )
17		nnuz 11141	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
18		1zzd 10916	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
19		dchrisum.6	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
20		nnrp 11254	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. RR+ )
21	20	ssriv 3503	. . . . . . 7 |- NN C_ RR+
22		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR+ |-> A ) = ( n e. RR+ |-> A )
23	22, 1	dmmptd 5717	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( n e. RR+ |-> A ) = RR+ )
24	21, 23	syl5sseqr 3548	. . . . . 6 |- ( ph -> NN C_ dom ( n e. RR+ |-> A ) )
25	17, 18, 19, 24	rlimclim1 13380	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
26	25	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> 0 )
27		0red 9614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
28	11	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M e. RR )
29	10	nngt0d 10600	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < M )
31	13	simplbda 624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> M <_ I )
32	27, 28, 14, 30, 31	ltletrd 9759	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 < I )
33	14, 32	elrpd 11279	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I e. RR+ )
34	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
35	33, 34, 7	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
36	35	recnd 9639	. . . . 5 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> [_ I / n ]_ A e. CC )
37		ssid 3518	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
38		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) e. _V
39	37, 38	climconst2 13383	. . . . 5 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. CC /\ ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
40	36, 16, 39	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ~~> [_ I / n ]_ A )
41	33	rpge0d 11285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ I )
42		flge0nn0 11957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. RR /\ 0 <_ I ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
43	14, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( |_ ` I ) e. NN0 )
44		nn0p1nn 10856	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. NN0 -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN )
46		eluznn 11177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
47	45, 46	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. NN )
48	47	nnrpd 11280	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR+ )
49	2	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A e. RR )
50		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . 9 |- F/_ n [_ i / n ]_ A
51	50	nfel1 2635	. . . . . . . 8 |- F/ n [_ i / n ]_ A e. RR
52		csbeq1a 3439	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A )
53	52	eleq1d 2526	. . . . . . . 8 |- ( n = i -> ( A e. RR <-> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
54	51, 53	rspc 3204	. . . . . . 7 |- ( i e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A e. RR -> [_ i / n ]_ A e. RR ) )
55	48, 49, 54	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A e. RR )
56	22	fvmpts 5958	. . . . . 6 |- ( ( i e. RR+ /\ [_ i / n ]_ A e. RR ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
57	48, 55, 56	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) = [_ i / n ]_ A )
58	57, 55	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) e. RR )
59		fvconst2g 6126	. . . . . 6 |- ( ( [_ I / n ]_ A e. RR /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
60	35, 59	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) = [_ I / n ]_ A )
61	35	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ I / n ]_ A e. RR )
62	60, 61	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) e. RR )
63	33	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR+ )
64		dchrisum.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
65	64	3expia 1198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) ) -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
66	65	ralrimivva 2878	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
67	66	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) )
68		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ n RR+
69		nfv 1708	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( M <_ I /\ I <_ x )
70		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n B
71		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n <_
72	70, 71, 3	nfbr 4500	. . . . . . . . . 10 |- F/ n B <_ [_ I / n ]_ A
73	69, 72	nfim 1921	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
74	68, 73	nfral 2843	. . . . . . . 8 |- F/ n A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A )
75		breq2 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( M <_ n <-> M <_ I ) )
76		breq1 4459	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = I -> ( n <_ x <-> I <_ x ) )
77	75, 76	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( ( M <_ n /\ n <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ x ) ) )
78	5	breq2d 4468	. . . . . . . . . 10 |- ( n = I -> ( B <_ A <-> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
79	77, 78	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( n = I -> ( ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
80	79	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( n = I -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) <-> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
81	74, 80	rspc 3204	. . . . . . 7 |- ( I e. RR+ -> ( A. n e. RR+ A. x e. RR+ ( ( M <_ n /\ n <_ x ) -> B <_ A ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
82	63, 67, 81	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) )
83	31	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> M <_ I )
84	14	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I e. RR )
85		reflcl 11936	. . . . . . . . 9 |- ( I e. RR -> ( |_ ` I ) e. RR )
86		peano2re 9770	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` I ) e. RR -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
87	84, 85, 86	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) e. RR )
88	47	nnred 10571	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> i e. RR )
89		fllep1 11941	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
90	14, 89	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
91	90	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ ( ( |_ ` I ) + 1 ) )
92		eluzle 11118	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
93	92	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` I ) + 1 ) <_ i )
94	84, 87, 88, 91, 93	letrd 9756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> I <_ i )
95	83, 94	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( M <_ I /\ I <_ i ) )
96		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> ( I <_ x <-> I <_ i ) )
97	96	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( ( M <_ I /\ I <_ x ) <-> ( M <_ I /\ I <_ i ) ) )
98		eqvisset 3117	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> i e. _V )
99		equtr2 1803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> x = n )
100		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> A = B )
101	100	equcoms 1796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> A = B )
102	99, 101	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = i /\ n = i ) -> A = B )
103	98, 102	csbied 3457	. . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> [_ i / n ]_ A = B )
104	103	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> B = [_ i / n ]_ A )
105	104	breq1d 4466	. . . . . . . 8 |- ( x = i -> ( B <_ [_ I / n ]_ A <-> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) )
106	97, 105	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) <-> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
107	106	rspcv 3206	. . . . . 6 |- ( i e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( ( M <_ I /\ I <_ x ) -> B <_ [_ I / n ]_ A ) -> ( ( M <_ I /\ I <_ i ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A ) ) )
108	48, 82, 95, 107	syl3c 61	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> [_ i / n ]_ A <_ [_ I / n ]_ A )
109	108, 57, 60	3brtr4d 4486	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) ) -> ( ( n e. RR+ |-> A ) ` i ) <_ ( ( ( ZZ>= ` ( ( |_ ` I ) + 1 ) ) X. { [_ I / n ]_ A } ) ` i ) )
110	9, 16, 26, 40, 58, 62, 109	climle 13474	. . 3 |- ( ( ph /\ I e. ( M [,) +oo ) ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A )
111	110	ex 434	. 2 |- ( ph -> ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) )
112	8, 111	jca 532	1 |- ( ph -> ( ( I e. RR+ -> [_ I / n ]_ A e. RR ) /\ ( I e. ( M [,) +oo ) -> 0 <_ [_ I / n ]_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   [_csb 3430   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   < clt 9645   <_ cle 9646   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   [,)cico 11556   |_cfl 11930   ~~> cli 13319   ~~> r crli 13320   Basecbs 14644   0gc0g 14857   ZRHomczrh 18664  ℤ/nℤczn 18667  DChrcdchr 23633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324

This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  23801  dchrisumlem3  23802