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Theorem dchrisumlem3 20634
Description: Lemma for dchrisum 20635. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
dchrisum.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dchrisum.10  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem3  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Distinct variable groups:    u, n, x, c, t    .1. , c    t, n,  .1. , x    u, c, F, n, t, x    A, c, t, x    N, c, n, t, u, x    ph, c, n, t, u, x    R, c, n, u, x    B, c, n    n, Z, x    D, c, n, t, x    L, c, n, t, u, x    M, c, n, u, x    X, c, n, t, u, x
Allowed substitution hints:    A( u, n)    B( x, u, t)    D( u)    R( t)    .1. ( u)    G( x, u, t, n, c)    M( t)    Z( u, t, c)

Proof of Theorem dchrisumlem3
StepHypRef Expression
1 nnuz 10258 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10048 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
5 rpvmasum.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (DChr `  N )
6 rpvmasum.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
7 rpvmasum.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 rpvmasum.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
9 dchrisum.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
109adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  X  e.  D )
114nnzd 10111 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ZZ )
125, 6, 7, 8, 10, 11dchrzrhcl 20478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  i ) )  e.  CC )
13 dchrisum.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
1413ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
15 nnrp 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR+ )
16 nfcsb1v 3114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
1716nfel1 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  RR
18 csbeq1a 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
1918eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
2017, 19rspc 2879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
2120impcom 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  /\  i  e.  RR+ )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
2214, 15, 21syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
2322recnd 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  CC )
2412, 23mulcld 8850 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A )  e.  CC )
25 nfcv 2420 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
i
26 nfcv 2420 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( X `  ( L `  i )
)
27 nfcv 2420 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  x.
2826, 27, 16nfov 5842 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( X `  ( L `  i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A )
29 fveq2 5485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  i  ->  ( L `  n )  =  ( L `  i ) )
3029fveq2d 5489 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  i )
) )
3130, 18oveq12d 5837 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  x.  A )  =  ( ( X `
 ( L `  i ) )  x. 
[_ i  /  n ]_ A ) )
32 dchrisum.7 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
3325, 28, 31, 32fvmptf 5577 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  NN  /\  ( ( X `  ( L `  i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A )  e.  CC )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( X `  ( L `
 i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A ) )
344, 24, 33syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `
 i )  =  ( ( X `  ( L `  i ) )  x.  [_ i  /  n ]_ A ) )
3534, 24eqeltrd 2358 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `
 i )  e.  CC )
361, 3, 35serf 11068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
37 ffvelrn 5624 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  e.  CC )
3836, 37sylan 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  e.  CC )
3913recnd 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
4039ralrimiva 2627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  CC )
4140adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  CC )
42 id 21 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR+ )
43 2re 9810 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
44 dchrisum.9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
45 remulcl 8817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
4643, 44, 45sylancr 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  RR )
47 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
48 lbfzo0 10897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
4947, 48sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
50 dchrisum.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
51 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  0  ->  (
0..^ u )  =  ( 0..^ 0 ) )
52 fzo0 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
5351, 52syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  0  ->  (
0..^ u )  =  (/) )
5453sumeq1d 12168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  (/)  ( X `  ( L `  n ) ) )
55 sum0 12188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ n  e.  (/)  ( X `  ( L `  n ) )  =  0
5654, 55syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )
5756fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  0  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( abs `  0 ) )
58 abs0 11764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  0 )  =  0
5957, 58syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  0  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  0 )
6059breq1d 4034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  0  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  R  <->  0  <_  R ) )
6160rspcv 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R  ->  0  <_  R ) )
6249, 50, 61sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
63 2nn0 9977 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
6463nn0ge0i 9988 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
65 mulge0 9286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  R ) )
6643, 64, 65mpanl12 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  -> 
0  <_  ( 2  x.  R ) )
6744, 62, 66syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  R ) )
6846, 67ge0p1rpd 10411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  R )  +  1 )  e.  RR+ )
69 rpdivcl 10371 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  R
)  +  1 )  e.  RR+ )  ->  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  e.  RR+ )
7042, 68, 69syl2anr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  e.  RR+ )
71 dchrisum.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
7271adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
7341, 70, 72rlimi 11981 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. m  e.  RR  A. n  e.  RR+  ( m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) )
74 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  m  e.  RR )
75 dchrisum.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7675nnred 9756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7776adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
78 ifcl 3602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR )
7974, 77, 78syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR )
80 0re 8833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
8180a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
8275nngt0d 9784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  M )
8382adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  0  < 
M )
84 max1 10508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
8576, 84sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
8681, 77, 79, 83, 85ltletrd 8971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  0  < 
if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
8779, 86elrpd 10383 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+ )
8887adantlr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+ )
89 nfv 1610 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
90 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n abs
91 nfcsb1v 3114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
92 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n  -
93 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
0
9491, 92, 93nfov 5842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
)
9590, 94nffv 5492 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )
96 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n  <
97 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( e  /  (
( 2  x.  R
)  +  1 ) )
9895, 96, 97nfbr 4068 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )
9989, 98nfim 1773 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )
100 breq2 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  (
m  <_  n  <->  m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) )
101 csbeq1a 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  A  =  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )
102101oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( A  -  0 )  =  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0 ) )
103102fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( A  - 
0 ) )  =  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) ) )
104103breq1d 4034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  (
( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  <->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  - 
0 ) )  < 
( e  /  (
( 2  x.  R
)  +  1 ) ) ) )
105100, 104imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  (
( m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  <-> 
( m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) ) )
10699, 105rspc 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  ( m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  - 
0 ) )  < 
( e  /  (
( 2  x.  R
)  +  1 ) ) )  ->  (
m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0 ) )  <  ( e  / 
( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) ) )
10788, 106syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  RR+  (
m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  / 
( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  -> 
( m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) ) )
10876ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
109 max2 10510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
110108, 109sylancom 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
11114ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
11291nfel1 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ n [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR
113101eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR ) )
114112, 113rspc 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR ) )
11588, 111, 114sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR )
116115recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  CC )
117116subid1d 9141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
)  =  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)
118117fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0 ) )  =  ( abs `  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
) )
11979adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR )
120108, 84sylancom 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
121 elicopnf 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  RR  ->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR  /\  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
122108, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR  /\  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
123119, 120, 122mpbir2and 893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo ) )
12447ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  N  e.  NN )
125 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
1269ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  X  e.  D )
127 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
128127ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  X  =/=  .1.  )
129 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
13075ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  M  e.  NN )
131111r19.21bi 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
132 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ph )
133 dchrisum.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
134132, 133syl3an1 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
13571ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
1366, 8, 124, 5, 7, 125, 126, 128, 129, 130, 131, 134, 135, 32dchrisumlema 20631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+  ->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
) ) )
137136simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A ) )
138123, 137mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  0  <_  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )
139115, 138absidd 11899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( abs `  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  =  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )
140118, 139eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0 ) )  =  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )
141140breq1d 4034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  <->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) ) )
142 rpre 10355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR )
143142ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  e  e.  RR )
14468ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  R
)  +  1 )  e.  RR+ )
145115, 143, 144ltmuldiv2d 10429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e  <->  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  < 
( e  /  (
( 2  x.  R
)  +  1 ) ) ) )
146141, 145bitr4d 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  <-> 
( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )
)
14746ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
2  x.  R )  e.  RR )
148144rpred 10385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  R
)  +  1 )  e.  RR )
149147lep1d 9683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
2  x.  R )  <_  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )
150147, 148, 115, 138, 149lemul1ad 9691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <_  ( (
( 2  x.  R
)  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A ) )
151147, 115remulcld 8858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR )
152148, 115remulcld 8858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR )
153 lelttr 8907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <_  ( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  /\  (
( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )  ->  ( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )
)
154151, 152, 143, 153syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <_  (
( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  /\  ( (
( 2  x.  R
)  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e )  -> 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )
)
155150, 154mpand 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( ( 2  x.  R )  +  1 )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e  ->  ( ( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e )
)
156146, 155sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e
) )
157 1re 8832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
158157a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
15975adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  M  e.  NN )
160159nnge1d 9783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  1  <_  M )
161158, 77, 79, 160, 85letrd 8968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  1  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
162 flge1nn 10943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR  /\  1  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  -> 
( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
16379, 161, 162syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( |_
`  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
164163adantlr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
16547ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
1669ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  X  e.  D )
167127ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
16875ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
16913adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
170169adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
1711333adant1r 1180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
1721713adant1r 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
17371ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
17444ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  R  e.  RR )
17550ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  R
)
17687adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR+ )
17785adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  M  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )
17879adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR )
179 fllep1 10927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( M  <_  m ,  m ,  M )  e.  RR  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  <_  ( ( |_
`  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  +  1 ) )
180178, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  <_  (
( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  +  1 ) )
181163adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
182 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
1836, 8, 165, 5, 7, 125, 166, 167, 129, 168, 170, 172, 173, 32, 174, 175, 176, 177, 180, 181, 182dchrisumlem2 20633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <_  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
) )
184183adantllr 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <_  ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A ) )
18536ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
1861uztrn2 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) )  -> 
k  e.  NN )
187164, 186sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
188185, 187, 37syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  e.  CC )
189164adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )
190 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC  /\  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) )  e.  CC )
191185, 189, 190syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) )  e.  CC )
192188, 191subcld 9152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  e.  CC )
193192abscld 11912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  e.  RR )
194151adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR )
195143adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
e  e.  RR )
196 lelttr 8907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <_  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  /\  ( (
2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <  e ) )
197193, 194, 195, 196syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <_  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  /\  ( (
2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <  e ) )
198184, 197mpand 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A )  <  e  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <  e ) )
199198ralrimdva 2634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <  e
) )
200 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
201 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) )
202201oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )
203202fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  =  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) ) )
204203breq1d 4034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j
) ) )  < 
e  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ) )  <  e ) )
205200, 204raleqbidv 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <  e
) )
206205rspcev 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) )  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M )
) ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  if ( M  <_  m ,  m ,  M ) ) ) ) )  <  e
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j ) ) )  <  e )
207164, 199, 206ee12an 1359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( ( 2  x.  R )  x.  [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A
)  <  e  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
) )
208156, 207syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
) )
209110, 208embantd 52 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  (
( m  <_  if ( M  <_  m ,  m ,  M )  ->  ( abs `  ( [_ if ( M  <_  m ,  m ,  M )  /  n ]_ A  -  0
) )  <  (
e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j ) ) )  <  e ) )
210107, 209syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  m  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  RR+  (
m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  / 
( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
) )
211210rexlimdva 2668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. m  e.  RR  A. n  e.  RR+  ( m  <_  n  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) )  <  ( e  /  ( ( 2  x.  R )  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
) )
21273, 211mpd 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 k )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  j ) ) )  <  e )
213212ralrimiva 2627 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  j )
) )  <  e
)
214 seqex 11042 . . . . 5  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  _V
215214a1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
2161, 38, 213, 215caucvg 12145 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
217214eldm 4875 . . 3  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  E. t  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )
218216, 217sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )
219 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )
220 elrege0 10740 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  R )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
2  x.  R )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  R
) ) )
22146, 67, 220sylanbrc 648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  R
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
222221adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  -> 
( 2  x.  R
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
223 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) )  =  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) )
224 pnfxr 10450 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
225 icossre 10724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  ( M [,)  +oo )  C_  RR )
22676, 224, 225sylancl 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M [,)  +oo )  C_  RR )
227226sselda 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  m  e.  RR )
228227adantlr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  m  e.  RR )
229228flcld 10924 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  m )  e.  ZZ )
230 simplr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )
23136ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  seq  1
(  +  ,  F
) : NN --> CC )
232157a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  1  e.  RR )
23376ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  e.  RR )
23475ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  e.  NN )
235234nnge1d 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  1  <_  M )
236 elicopnf 10733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  RR  ->  (
m  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( m  e.  RR  /\  M  <_  m ) ) )
23776, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( m  e.  RR  /\  M  <_  m ) ) )
238237simplbda 610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  <_  m )
239238adantlr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  <_  m )
240232, 233, 228, 235, 239letrd 8968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  1  <_  m )
241 flge1nn 10943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  1  <_  m )  -> 
( |_ `  m
)  e.  NN )
242228, 240, 241syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  m )  e.  NN )
243 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC  /\  ( |_ `  m )  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  e.  CC )
244231, 242, 243syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  e.  CC )
245 nnex 9747 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  _V
246245mptex 5707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) )  e. 
_V
247246a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )
) )  e.  _V )
248231adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
2491uztrn2 10240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( |_ `  m
)  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  i  e.  NN )
250242, 249sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  i  e.  NN )
251 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC  /\  i  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i
)  e.  CC )
252248, 250, 251syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  i )  e.  CC )
253 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i
) )
254253oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )
255 eqid 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
256 ovex 5844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) )  e.  _V
257254, 255, 256fvmpt3i 5566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) `
 i )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )
258250, 257syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) ) `  i )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )
259223, 229, 230, 244, 247, 252, 258climsubc2 12106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )
) )  ~~>  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )
260245mptex 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )  e.  _V
261260a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )  e.  _V )
262 fvex 5499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  e.  _V
263262fvconst2 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( NN  X.  {
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) ) } ) `  i )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) ) )
264250, 263syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) )
265264oveq1d 5834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( ( NN  X.  { (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )
266258, 265eqtr4d 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) ) `  i )  =  ( ( ( NN  X.  { (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  i )
) )
267244adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  e.  CC )
268264, 267eqeltrd 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i
)  e.  CC )
269268, 252subcld 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( ( NN  X.  { (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) } ) `  i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i
) )  e.  CC )
270266, 269eqeltrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) ) `  i )  e.  CC )
271254fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  k )
) )  =  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i
) ) ) )
272 eqid 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )
273 fvex 5499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )  e.  _V
274271, 272, 273fvmpt3i 5566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
) ) ) ) `
 i )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) ) )
275250, 274syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) ) )
276258fveq2d 5489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) `
 i ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) ) )
277275, 276eqtr4d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  =  ( abs `  (
( k  e.  NN  |->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) `
 i ) ) )
278223, 259, 261, 229, 270, 277climabs 12071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  |->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) )  ~~>  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  t ) ) )
27946ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( 2  x.  R )  e.  RR )
28080a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  e.  RR )
28176adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  e.  RR )
28282adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  M )
283280, 281, 227, 282, 238ltletrd 8971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  m )
284227, 283elrpd 10383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  m  e.  RR+ )
285 nfcsb1v 3114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
286285nfel1 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  e.  RR
287 csbeq1a 3090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
288287eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR ) )
289286, 288rspc 2879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR ) )
29014, 289mpan9 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR+ )  ->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR )
291284, 290syldan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR )
292291adantlr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ m  /  n ]_ A  e.  RR )
293279, 292remulcld 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( (
2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
294293recnd 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( (
2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A )  e.  CC )
2951eqimss2i 3234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
296295, 245climconst2 12016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
)  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) } )  ~~>  ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A ) )
297294, 2, 296sylancl 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( NN  X.  { ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ m  /  n ]_ A ) } )  ~~>  ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )
298267, 252subcld 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  i )
)  e.  CC )
299298abscld 11912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )  e.  RR )
300275, 299eqeltrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  e.  RR )
301 ovex 5844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A )  e. 
_V
302301fvconst2 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( NN  X.  {
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) } ) `  i )  =  ( ( 2  x.  R
)  x.  [_ m  /  n ]_ A ) )
303250, 302syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A ) } ) `  i )  =  ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ m  /  n ]_ A ) )
304293adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( 2  x.  R )  x. 
[_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
305303, 304eqeltrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( NN 
X.  { ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A ) } ) `  i )  e.  RR )
306 simplll 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ph )
307306, 47syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  N  e.  NN )
308306, 9syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  X  e.  D
)
309306, 127syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
310234adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  M  e.  NN )
311306, 13sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
312306, 133syl3an1 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x
) )  ->  B  <_  A )
313306, 71syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
314306, 44syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  R  e.  RR )
315306, 50syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
316284adantlr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  m  e.  RR+ )
317316adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
318239adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  M  <_  m
)
319228adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  m  e.  RR )
320 reflcl 10922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  RR  ->  ( |_ `  m )  e.  RR )
321 peano2re 8980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  m )  e.  RR  ->  (
( |_ `  m
)  +  1 )  e.  RR )
322319, 320, 3213syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( |_
`  m )  +  1 )  e.  RR )
323 flltp1 10926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  RR  ->  m  <  ( ( |_ `  m )  +  1 ) )
324319, 323syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  m  <  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
325319, 322, 324ltled 8962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  m  <_  (
( |_ `  m
)  +  1 ) )
326242adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( |_ `  m )  e.  NN )
327 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )
3286, 8, 307, 5, 7, 125, 308, 309, 129, 310, 311, 312, 313, 32, 314, 315, 317, 318, 325, 326, 327dchrisumlem2 20633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )
329267, 252abssubd 11929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  i ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) ) ) )
330275, 329eqtrd 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 i )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) ) ) ) )
331328, 330, 3033brtr4d 4054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  m ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) ) ) ) `  i )  <_  ( ( NN 
X.  { ( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A ) } ) `  i ) )
332223, 229, 278, 297, 300, 305, 331climle 12107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t )  /\  m  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )
333332ralrimiva 2627 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  ->  A. m  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )
334 oveq1 5826 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( 2  x.  R )  ->  (
c  x.  B )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  B ) )
335334breq2d 4036 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( 2  x.  R )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  B
) ) )
336335ralbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( 2  x.  R )  ->  ( A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
)  <->  A. x  e.  ( M [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  B
) ) )
337 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  x  ->  ( |_ `  m )  =  ( |_ `  x
) )
338337fveq2d 5489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  x  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
339338oveq1d 5834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  x  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )
340339fveq2d 5489 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
341 vex 2792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  e. 
_V
342341a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  x  ->  m  e.  _V )
343 eqeq2 2293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  x  ->  (
n  =  m  <->  n  =  x ) )
344343biimpa 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  x  /\  n  =  m )  ->  n  =  x )
345344, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  x  /\  n  =  m )  ->  A  =  B )
346342, 345csbied 3124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  x  ->  [_ m  /  n ]_ A  =  B )
347346oveq2d 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  x  ->  (
( 2  x.  R
)  x.  [_ m  /  n ]_ A )  =  ( ( 2  x.  R )  x.  B ) )
348340, 347breq12d 4037 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  B
) ) )
349348cbvralv 2765 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
)  <->  A. x  e.  ( M [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  B
) )
350336, 349syl6bbr 256 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( 2  x.  R )  ->  ( A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
)  <->  A. m  e.  ( M [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) ) )
351350rspcev 2885 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  R
)  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  A. m  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  m ) )  -  t ) )  <_ 
( ( 2  x.  R )  x.  [_ m  /  n ]_ A
) )  ->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. x  e.  ( M [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) )
352222, 333, 351syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  ->  E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) )
353 r19.42v 2695 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
354219, 352, 353sylanbrc 648 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t )  ->  E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
355354ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  ->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
356355eximdv 1613 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
357218, 356mpd 16 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1533    = wceq 1628    e. wcel 1688    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789   [_csb 3082    C_ wss 3153   (/)c0 3456   ifcif 3566   {csn 3641   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    X. cxp 4686   dom cdm 4688   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    +oocpnf 8859   RR*cxr 8861    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032    / cdiv 9418   NNcn 9741   2c2 9790   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   RR+crp 10349   [,)cico 10652  ..^cfzo 10864   |_cfl 10918    seq cseq 11040   abscabs 11713    ~~> cli 11952    ~~> r crli 11953   sum_csu 12152   Basecbs 13142   0gc0g 13394   ZRHomczrh 16445  ℤ/nczn 16448  DChrcdchr 20465
This theorem is referenced by:  dchrisum  20635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195