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Theorem dchrisumlem1 20470
Description: Lemma for dchrisum 20473. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
dchrisum.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dchrisum.10  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem1  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R )
Distinct variable groups:    u, n, x    .1. , n, x    n, F, u, x    x, A   
n, N, u, x    ph, n, u, x    R, n, u, x    U, n, u, x    B, n   
n, Z, x    D, n, x    n, L, u, x    n, M, u, x    n, X, u, x
Allowed substitution hints:    A( u, n)    B( x, u)    D( u)    .1. (
u)    G( x, u, n)    Z( u)

Proof of Theorem dchrisumlem1
StepHypRef Expression
1 fzodisj 10778 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) )  i^i  (
( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) )  =  (/)
21a1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( (
0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) )  i^i  (
( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) )  =  (/) )
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43nnnn0d 9897 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
54adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
6 nn0re 9853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NN0  ->  U  e.  RR )
76adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  U  e.  RR )
83adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
97, 8nndivred 9674 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( U  /  N )  e.  RR )
108nnrpd 10268 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR+ )
11 nn0ge0 9870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NN0  ->  0  <_  U )
1211adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  0  <_  U )
137, 10, 12divge0d 10305 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( U  /  N ) )
14 flge0nn0 10826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  /  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( U  /  N ) )  -> 
( |_ `  ( U  /  N ) )  e.  NN0 )
159, 13, 14syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( |_ `  ( U  /  N
) )  e.  NN0 )
165, 15nn0mulcld 9902 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  e.  NN0 )
17 flle 10809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  /  N )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( U  /  N ) )  <_ 
( U  /  N
) )
189, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( |_ `  ( U  /  N
) )  <_  ( U  /  N ) )
19 reflcl 10806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  /  N )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( U  /  N ) )  e.  RR )
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( |_ `  ( U  /  N
) )  e.  RR )
2120, 7, 10lemuldiv2d 10315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  <_  U 
<->  ( |_ `  ( U  /  N ) )  <_  ( U  /  N ) ) )
2218, 21mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  <_  U )
23 fznn0 10729 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NN0  ->  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )  e.  ( 0 ... U )  <->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  e. 
NN0  /\  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  <_  U )
) )
2423adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  e.  ( 0 ... U
)  <->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  e. 
NN0  /\  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  <_  U )
) )
2516, 22, 24mpbir2and 893 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  e.  ( 0 ... U ) )
26 fzosplit 10777 . . . . . 6  |-  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )  e.  ( 0 ... U )  ->  (
0..^ U )  =  ( ( 0..^ ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) ) )  u.  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ U )  =  ( ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) )  u.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ U
) ) )
28 fzofi 10914 . . . . . 6  |-  ( 0..^ U )  e.  Fin
2928a1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ U )  e.  Fin )
30 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
31 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
32 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
33 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
34 dchrisum.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
3534ad2antrr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ U ) )  ->  X  e.  D )
36 elfzoelz 10753 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0..^ U )  ->  n  e.  ZZ )
3736adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ U ) )  ->  n  e.  ZZ )
3830, 31, 32, 33, 35, 37dchrzrhcl 20316 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ U ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
392, 27, 29, 38fsumsplit 12089 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ U ) ( X `  ( L `  n )
)  =  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `  ( L `  n ) )  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
40 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  0 ) )
4140oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
0..^ ( N  x.  k ) )  =  ( 0..^ ( N  x.  0 ) ) )
4241sumeq1d 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
4342eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 ) )
4443imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )  <-> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
45 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  m ) )
4645oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
0..^ ( N  x.  k ) )  =  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) )
4746sumeq1d 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
4847eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 ) )
4948imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )  <-> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
50 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  ( m  +  1
) ) )
5150oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
0..^ ( N  x.  k ) )  =  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )
5251sumeq1d 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
5352eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 ) )
5453imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )  <-> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
55 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  ( N  x.  k )  =  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) )
5655oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  (
0..^ ( N  x.  k ) )  =  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) )
5756sumeq1d 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
5857eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0  <->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0 ) )
5958imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  (
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )  <-> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
603nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6160mul01d 8891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
6261oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( N  x.  0 ) )  =  ( 0..^ 0 ) )
63 fzo0 10771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
6462, 63syl6eq 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( N  x.  0 ) )  =  (/) )
6564sumeq1d 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  (/)  ( X `  ( L `
 n ) ) )
66 sum0 12071 . . . . . . . . 9  |-  sum_ n  e.  (/)  ( X `  ( L `  n ) )  =  0
6765, 66syl6eq 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0..^ ( N  x.  0 ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 )
68 oveq1 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  0  -> 
( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( 0  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
69 fzodisj 10778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0..^ ( N  x.  m ) )  i^i  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) )  =  (/)
7069a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
0..^ ( N  x.  m ) )  i^i  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) )  =  (/) )
71 nn0re 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
7271adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
7372lep1d 9568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  <_  ( m  +  1 ) )
74 peano2re 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  +  1 )  e.  RR )
763adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN )
7776nnred 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
7876nngt0d 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  0  <  N )
79 lemul2 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( m  +  1
)  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  ( m  <_  ( m  +  1 )  <->  ( N  x.  m )  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) )
8072, 75, 77, 78, 79syl112anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  <_  ( m  +  1 )  <->  ( N  x.  m )  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) )
8173, 80mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) )
82 nn0mulcl 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  x.  m
)  e.  NN0 )
834, 82sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  NN0 )
84 nn0uz 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8583, 84syl6eleq 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
86 nn0p1nn 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
87 nnmulcl 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( m  +  1
)  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( m  +  1
) )  e.  NN )
883, 86, 87syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  e.  NN )
8988nnzd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )
90 elfz5 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  x.  m
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( N  x.  m )  e.  ( 0 ... ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) )  <-> 
( N  x.  m
)  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) )
9185, 89, 90syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  m )  e.  ( 0 ... ( N  x.  ( m  +  1 ) ) )  <->  ( N  x.  m )  <_  ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) )
9281, 91mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  ( 0 ... ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )
93 fzosplit 10777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  x.  m )  e.  ( 0 ... ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  ->  (
0..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) )  =  ( ( 0..^ ( N  x.  m ) )  u.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) ) ) )
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  =  ( ( 0..^ ( N  x.  m ) )  u.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) ) )
95 fzofi 10914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  e.  Fin
9695a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  e.  Fin )
9734ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )  ->  X  e.  D )
98 elfzoelz 10753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  +  1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
9998adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
10030, 31, 32, 33, 97, 99dchrzrhcl 20316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
10170, 94, 96, 100fsumsplit 12089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n ) )  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
10276nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
10372recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
104 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
105104a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
106102, 103, 105adddid 8739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  m
)  +  ( N  x.  1 ) ) )
107102mulid1d 8732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
108107oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  m )  +  ( N  x.  1 ) )  =  ( ( N  x.  m )  +  N
) )
109106, 108eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( m  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  m
)  +  N ) )
110109oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) )  =  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) )
111110sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
11276nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
11383nn0zd 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  ZZ )
114113adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  ZZ )
115 nn0z 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
116 zaddcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  x.  m
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  m )  +  k )  e.  ZZ )
117113, 115, 116syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N  x.  m
)  +  k )  e.  ZZ )
118 peano2zm 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  x.  m
)  +  k )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  e.  ZZ )
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  e.  ZZ )
12034ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ( N  x.  m ) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )  ->  X  e.  D )
121 elfzelz 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ( N  x.  m ) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
122121adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ( N  x.  m ) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
12330, 31, 32, 33, 120, 122dchrzrhcl 20316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ( N  x.  m ) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )  -> 
( X `  ( L `  n )
)  e.  CC )
124 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( i  +  ( N  x.  m
) )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )
125124fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( i  +  ( N  x.  m
) )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) ) )
126114, 114, 119, 123, 125fsumshftm 12120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m ) ... (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  sum_ i  e.  ( ( ( N  x.  m )  -  ( N  x.  m
) ) ... (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) ) ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) ) )
127 fzoval 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  x.  m
)  +  k )  e.  ZZ  ->  (
( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  m ) ... (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )
128117, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  m ) ... (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 ) ) )
129128sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
) ... ( ( ( N  x.  m )  +  k )  - 
1 ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
130115adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
131 fzoval 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0..^ k )  =  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
0..^ k )  =  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) )
133114zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  m )  e.  CC )
134133subidd 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N  x.  m
)  -  ( N  x.  m ) )  =  0 )
135117zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N  x.  m
)  +  k )  e.  CC )
136104a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
137135, 136, 133sub32d 9069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) )  =  ( ( ( ( N  x.  m
)  +  k )  -  ( N  x.  m ) )  - 
1 ) )
138 nn0cn 9854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
139138adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
140133, 139pncan2d 9039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  x.  m )  +  k )  -  ( N  x.  m ) )  =  k )
141140oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  ( N  x.  m )
)  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
142137, 141eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) )  =  ( k  - 
1 ) )
143134, 142oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( ( N  x.  m )  -  ( N  x.  m )
) ... ( ( ( ( N  x.  m
)  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m
) ) )  =  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) )
144132, 143eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
0..^ k )  =  ( ( ( N  x.  m )  -  ( N  x.  m
) ) ... (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) ) ) )
145144sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( ( ( N  x.  m )  -  ( N  x.  m
) ) ... (
( ( ( N  x.  m )  +  k )  -  1 )  -  ( N  x.  m ) ) ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) ) )
146126, 129, 1453eqtr4d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 ( i  +  ( N  x.  m
) ) ) ) )
1473nnzd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
148 nn0z 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ZZ )
149 dvdsmul1 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  m ) )
150147, 148, 149syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  N  ||  ( N  x.  m )
)
151150ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  ->  N  ||  ( N  x.  m ) )
152 elfzoelz 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( 0..^ k )  ->  i  e.  ZZ )
153152adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
i  e.  ZZ )
154153zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
i  e.  CC )
155133adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( N  x.  m
)  e.  CC )
156154, 155pncan2d 9039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( ( i  +  ( N  x.  m
) )  -  i
)  =  ( N  x.  m ) )
157151, 156breqtrrd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  ->  N  ||  ( ( i  +  ( N  x.  m ) )  -  i ) )
158112ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  ->  N  e.  NN0 )
159 zaddcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( N  x.  m
)  e.  ZZ )  ->  ( i  +  ( N  x.  m
) )  e.  ZZ )
160152, 114, 159syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( i  +  ( N  x.  m ) )  e.  ZZ )
16131, 33zndvds 16335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( i  +  ( N  x.  m ) )  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) )  =  ( L `  i )  <-> 
N  ||  ( (
i  +  ( N  x.  m ) )  -  i ) ) )
162158, 160, 153, 161syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) )  =  ( L `  i )  <-> 
N  ||  ( (
i  +  ( N  x.  m ) )  -  i ) ) )
163157, 162mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( L `  (
i  +  ( N  x.  m ) ) )  =  ( L `
 i ) )
164163fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0..^ k ) )  -> 
( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )  =  ( X `
 ( L `  i ) ) )
165164sumeq2dv 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  i )
) )
166 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  n  ->  ( L `  i )  =  ( L `  n ) )
167166fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  n  ->  ( X `  ( L `  i ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
168167cbvsumv 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  i )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
)
169165, 168syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  ( i  +  ( N  x.  m ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
) )
170146, 169eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
171170ralrimiva 2588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
172 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  N  ->  (
( N  x.  m
)  +  k )  =  ( ( N  x.  m )  +  N ) )
173172oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  N  ->  (
( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) )
174173sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  N  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
175 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  N  ->  (
0..^ k )  =  ( 0..^ N ) )
176175sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  N  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `  n )
) )
177174, 176eqeq12d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  N  ->  ( sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) )  <->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  N
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
178177rcla4v 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
179112, 171, 178sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  N ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
180 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( L `  n )  ->  ( X `  k )  =  ( X `  ( L `  n ) ) )
1813nnne0d 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
182 ifnefalse 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
184 fzofi 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
185183, 184syl6eqel 2341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  e.  Fin )
186 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
187 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
18833reseq1i 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Z
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
189 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
190186, 31, 187, 188, 189znf1o 16337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Z ) )
1914, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> ( Base `  Z
) )
192 fvres 5394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  ->  (
( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) `
 n )  =  ( L `  n
) )
193192adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )  ->  ( ( L  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) `  n )  =  ( L `  n ) )
19430, 31, 32, 187, 34dchrf 20313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
195 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  k  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  k
)  e.  CC )
196194, 195sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  k )  e.  CC )
197180, 185, 191, 193, 196fsumf1o 12073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
Base `  Z )
( X `  k
)  =  sum_ n  e.  if  ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ( X `  ( L `  n ) ) )
198 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
19930, 31, 32, 198, 34, 187dchrsum 20340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
Base `  Z )
( X `  k
)  =  if ( X  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
200 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
201 ifnefalse 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =/=  .1.  ->  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N
) ,  0 )  =  0 )
202200, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  if ( X  =  .1.  ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  0 )
203199, 202eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
Base `  Z )
( X `  k
)  =  0 )
204183sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  if  ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
205197, 203, 2043eqtr3rd 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0..^ N ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 )
206205adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ N ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )
207111, 179, 2063eqtrd 2289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 )
208207oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( 0  +  0 ) )
209 00id 8867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  0 )  =  0
210208, 209syl6req 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  0  =  ( 0  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) ( X `  ( L `  n ) ) ) )
211101, 210eqeq12d 2267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  +  1 ) ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  0  <->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m
) ) ( X `
 ( L `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( 0  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( N  x.  ( m  +  1
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) ) )
21268, 211syl5ibr 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  (
m  +  1 ) ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0 ) )
213212expcom 426 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
214213a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  m ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ph  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( m  + 
1 ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 ) ) )
21544, 49, 54, 59, 67, 214nn0ind 9987 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( U  /  N ) )  e.  NN0  ->  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0 ) )
216215impcom 421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( |_ `  ( U  /  N
) )  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  =  0 )
21715, 216syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  0 )
218 modval 10853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( U  mod  N
)  =  ( U  -  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) )
2197, 10, 218syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( U  mod  N )  =  ( U  -  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) )
220219oveq2d 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  ( U  mod  N
) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  -  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) ) ) )
22116nn0cnd 9899 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  e.  CC )
222 nn0cn 9854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NN0  ->  U  e.  CC )
223222adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  U  e.  CC )
224221, 223pncan3d 9040 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  ( U  -  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) ) ) )  =  U )
225220, 224eqtr2d 2286 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  U  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) )
226225oveq2d 5726 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ U
)  =  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) )
227226sumeq1d 12051 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) ( X `  ( L `  n ) ) )
228 nn0z 9925 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NN0  ->  U  e.  ZZ )
229 zmodcl 10867 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( U  mod  N
)  e.  NN0 )
230228, 3, 229syl2anr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( U  mod  N )  e.  NN0 )
231171ralrimiva 2588 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN0  A. k  e.  NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
232231adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  A. m  e.  NN0  A. k  e. 
NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )
233 oveq2 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  ( N  x.  m )  =  ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) ) )
234233oveq1d 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  (
( N  x.  m
)  +  k )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  k ) )
235233, 234oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  (
( N  x.  m
)..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  k ) ) )
236235sumeq1d 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  k ) ) ( X `  ( L `  n ) ) )
237236eqeq1d 2261 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( |_ `  ( U  /  N
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `
 ( L `  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) )  <->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  k ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
) ) )
238 oveq2 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  k )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) )
239238oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  k ) )  =  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) )
240239sumeq1d 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) ( X `  ( L `  n ) ) )
241 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  ( 0..^ k )  =  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )
242241sumeq1d 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
243240, 242eqeq12d 2267 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( U  mod  N )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  k ) ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `  n )
)  <->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )  +  ( U  mod  N ) ) ) ( X `  ( L `  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) ) )
244237, 243rcla42va 2828 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  ( U  /  N
) )  e.  NN0  /\  ( U  mod  N
)  e.  NN0 )  /\  A. m  e.  NN0  A. k  e.  NN0  sum_ n  e.  ( ( N  x.  m )..^ ( ( N  x.  m )  +  k ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ k ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  ( U  mod  N
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )
24515, 230, 232, 244syl21anc 1186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N
) ) )  +  ( U  mod  N
) ) ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )
246227, 245eqtrd 2285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )
247217, 246oveq12d 5728 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 0..^ ( N  x.  ( |_
`  ( U  /  N ) ) ) ) ( X `  ( L `  n ) )  +  sum_ n  e.  ( ( N  x.  ( |_ `  ( U  /  N ) ) )..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( 0  +  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) ) )
248 fzofi 10914 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( U  mod  N
) )  e.  Fin
249248a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( U  mod  N
) )  e.  Fin )
25034ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )  ->  X  e.  D )
251 elfzoelz 10753 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) )  ->  n  e.  ZZ )
252251adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
25330, 31, 32, 33, 250, 252dchrzrhcl 20316 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  U  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
254249, 253fsumcl 12083 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
)  e.  CC )
255254addid2d 8893 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )
25639, 247, 2553eqtrd 2289 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ U ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
257256fveq2d 5381 . 2  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) ) )
258 zmodfzo 10870 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( U  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
259228, 3, 258syl2anr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( U  mod  N )  e.  ( 0..^ N ) )
260 dchrisum.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
)
261260adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  R
)
262 oveq2 5718 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( U  mod  N )  ->  ( 0..^ u )  =  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) )
263262sumeq1d 12051 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( U  mod  N )  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) )
264263fveq2d 5381 . . . . 5  |-  ( u  =  ( U  mod  N )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) ) )
265264breq1d 3930 . . . 4  |-  ( u  =  ( U  mod  N )  ->  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )  <_  R ) )
266265rcla4v 2817 . . 3  |-  ( ( U  mod  N )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  R
) )
267259, 261, 266sylc 58 . 2  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ ( U  mod  N ) ) ( X `
 ( L `  n ) ) )  <_  R )
268257, 267eqbrtrd 3940 1  |-  ( (
ph  /\  U  e.  NN0 )  ->  ( abs ` 
sum_ n  e.  (
0..^ U ) ( X `  ( L `
 n ) ) )  <_  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509    u. cun 3076    i^i cin 3077   (/)c0 3362   ifcif 3470   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974    |` cres 4582   -->wf 4588   -1-1-onto->wf1o 4591   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Fincfn 6749   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   NNcn 9626   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   RR+crp 10233   ...cfz 10660  ..^cfzo 10748   |_cfl 10802    mod cmo 10851   abscabs 11596    ~~> r crli 11836   sum_csu 12035    || cdivides 12405   phicphi 12706   Basecbs 13022   ↾s cress 13023   0gc0g 13274  ℂfldccnfld 16209   ZRHomczrh 16283  ℤ/nczn 16286  DChrcdchr 20303
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  20471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-phi 12708  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-0g 13278  df-imas 13285  df-divs 13286  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-rnghom 15331  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-dchr 20304
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