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Theorem dchrisum0re 20494
Description: Suppose  X is a non-principal Dirichlet character with  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n  =  0. Then  X is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0re  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    m, N, y    ph, m    m, Z, y    D, m, y    m, L, y   
m, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    G( y, m)    W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0re
StepHypRef Expression
1 rpvmasum2.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 rpvmasum2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2253 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 rpvmasum2.w . . . . . . 7  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
6 ssrab2 3179 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
75, 6eqsstri 3129 . . . . . 6  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
8 dchrisum0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
97, 8sseldi 3101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
10 eldifi 3215 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  e.  D )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
121, 2, 3, 4, 11dchrf 20313 . . 3  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
13 ffn 5246 . . 3  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
15 ffvelrn 5515 . . . . 5  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  x  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  x
)  e.  CC )
1612, 15sylan 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  x )  e.  CC )
17 fvco3 5448 . . . . . 6  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  x  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( *  o.  X ) `  x
)  =  ( * `
 ( X `  x ) ) )
1812, 17sylan 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
*  o.  X ) `
 x )  =  ( * `  ( X `  x )
) )
19 logno1 19815 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O ( 1 )
20 1re 8717 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2120a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( *  o.  X )  =/=  X
)  ->  1  e.  RR )
22 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
23 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
24 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
25 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
2623nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
272zncrng 16330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
29 crngrng 15186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
31 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
3225, 311unit 15275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  (Unit `  Z )
)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  e.  (Unit `  Z ) )
34 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } )  =  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } )
35 eqidd 2254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  W )  ->  ( 1r `  Z )  =  ( 1r `  Z
) )
362, 22, 23, 1, 3, 24, 5, 25, 33, 34, 35rpvmasum2 20493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
3736adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( *  o.  X )  =/=  X
)  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
3823phicld 12714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN )
3938nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN0 )
4039adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( phi `  N )  e.  NN0 )
4140nn0red 9898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( phi `  N )  e.  RR )
42 fzfid 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
43 inss1 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
44 ssfi 6968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  e.  Fin )
4542, 43, 44sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  e.  Fin )
4643sseli 3099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
47 elfznn 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
4847adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
4946, 48sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  n  e.  NN )
50 vmacl 20188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
51 nndivre 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
5250, 51mpancom 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
5445, 53fsumrecl 12084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
5541, 54remulcld 8743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( phi `  N )  x. 
sum_ n  e.  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  RR )
56 relogcl 19764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
5756adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
581, 3dchrfi 20326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  D  e.  Fin )
5923, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
60 difss 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
617, 60sstri 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  W  C_  D
62 ssfi 6968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  W  C_  D )  ->  W  e.  Fin )
6359, 61, 62sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
64 hashcl 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
6665nn0red 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
67 resubcl 8991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
6820, 66, 67sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
6968adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( # `  W
) )  e.  RR )
7057, 69remulcld 8743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 W ) ) )  e.  RR )
7155, 70resubcld 9091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  RR )
7271recnd 8741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  CC )
7372adantlr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  CC )
7456adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
7574recnd 8741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
7656ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
7770ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) )  e.  RR )
7876, 77readdcld 8742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  RR )
79 0re 8718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
8079a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  e.  RR )
8155ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  RR )
82 2re 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
8382a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
2  e.  RR )
8466ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
8583, 84resubcld 9091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 2  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
86 log1 19771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  1 )  =  0
87 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
88 1rp 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR+
89 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
90 logleb 19789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x ) ) )
9188, 89, 90sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x
) ) )
9287, 91mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  x ) )
9386, 92syl5eqbrr 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( log `  x ) )
94 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( *  o.  X
)  =/=  X )
95 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
961, 3, 11, 95dchrinv 20332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  =  ( *  o.  X ) )
971dchrabl 20325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
9823, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
99 ablgrp 14929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
1013, 95grpinvcl 14362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D )  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  D )
102100, 11, 101syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  D )
10396, 102eqeltrrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  e.  D )
104 eldifsni 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
1059, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
1063, 24grpidcl 14345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( G  e.  Grp  ->  .1.  e.  D )
107100, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
1083, 95, 100, 11, 107grpinv11 14372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  =  ( ( inv g `  G ) `  .1.  ) 
<->  X  =  .1.  )
)
109108necon3bid 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  =/=  ( ( inv g `  G ) `  .1.  ) 
<->  X  =/=  .1.  )
)
110105, 109mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  =/=  ( ( inv g `  G
) `  .1.  )
)
11124, 95grpinvid 14368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( inv g `  G ) `  .1.  )  =  .1.  )
112100, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  .1.  )  =  .1.  )
113110, 96, 1123netr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  =/=  .1.  )
114 eldifsn 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( *  o.  X )  e.  ( D  \  {  .1.  } )  <->  ( (
*  o.  X )  e.  D  /\  (
*  o.  X )  =/=  .1.  ) )
115103, 113, 114sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
116 nnuz 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
117 1z 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ZZ
118117a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
119 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  m  ->  ( L `  n )  =  ( L `  m ) )
120119fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  m  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
121 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
122120, 121oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  m  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
123122fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
* `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( * `  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
124 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  |->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) )
125 fvex 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e. 
_V
126123, 124, 125fvmpt 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) `  m
)  =  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
127126adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( * `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )
128 nnre 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
129128adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
130129cjred 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 m )  =  m )
131130oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( * `  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( * `  m ) )  =  ( ( * `  ( X `  ( L `
 m ) ) )  /  m ) )
13212adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X :
( Base `  Z ) --> CC )
1332, 4, 22znzrhfo 16333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
13426, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z ) )
135 fof 5308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
137 nnz 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
138 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
139136, 137, 138syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( L `
 m )  e.  ( Base `  Z
) )
140 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )  ->  ( X `  ( L `  m ) )  e.  CC )
141132, 139, 140syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
142 nncn 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
143142adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
144 nnne0 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
145144adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
146141, 143, 145cjdivd 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( * `  ( X `  ( L `
 m ) ) )  /  ( * `
 m ) ) )
147 fvco3 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )  ->  (
( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  =  ( * `  ( X `  ( L `  m ) ) ) )
148132, 139, 147syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  =  ( * `  ( X `  ( L `  m ) ) ) )
149148oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  /  m )  =  ( ( * `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  m ) )
150131, 146, 1493eqtr4d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( *  o.  X ) `  ( L `  m ) )  /  m ) )
151127, 150eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
152141cjcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( X `  ( L `  m ) ) )  e.  CC )
153152, 143, 145divcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( * `  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  m )  e.  CC )
154149, 153eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
155 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) )
1562, 22, 23, 1, 3, 24, 11, 105, 155dchrmusumlema 20474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) )
157 simprrl 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t )
1588adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  e.  W )
15923adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
16011adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  e.  D )
161105adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
162 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
163 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )
1642, 22, 159, 1, 3, 24, 160, 161, 155, 162, 157, 163, 5dchrvmaeq0 20485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  ( X  e.  W  <->  t  =  0 ) )
165158, 164mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  t  = 
0 )
166157, 165breqtrd 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  0 )
167166expr 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  0 ) )
168167rexlimdva 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  0 ) )
169168exlimdv 1932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  0 ) )
170156, 169mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) )  ~~>  0 )
171 seqex 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) ) ) )  e.  _V
172171a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) ) )  e. 
_V )
173 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
174173fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
175 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
176174, 175oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
177 ovex 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
178176, 155, 177fvmpt 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
179178adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
180141, 143, 145divcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
181179, 180eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) `  m )  e.  CC )
182116, 118, 181serf 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) : NN --> CC )
183 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) ) `  k )  e.  CC )
184182, 183sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) ) `  k
)  e.  CC )
185 fzfid 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
186 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
187 elfznn 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  ( 1 ... k )  ->  m  e.  NN )
188186, 187, 180syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  e.  CC )
189185, 188fsumcj 12145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( * `
 sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( * `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )
190186, 187, 179syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
191 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
192191, 116syl6eleq 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
193190, 192, 188fsumser 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 k ) )
194193fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( * `
 sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( * `
 (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  k
) ) )
195186, 187, 127syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) `  m
)  =  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
196180cjcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
197186, 187, 196syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
* `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
198195, 192, 197fsumser 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( * `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) ) `  k ) )
199189, 194, 1983eqtr3rd 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) ) `  k )  =  ( * `  (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) ) `  k
) ) )
200116, 170, 172, 118, 184, 199climcj 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) ) )  ~~>  ( * `
 0 ) )
201 cj0 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( * `
 0 )  =  0
202200, 201syl6breq 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) ) )  ~~>  0 )
203116, 118, 151, 154, 202isumclim 12097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN  ( ( ( *  o.  X ) `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 )
204 fveq1 5376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( ( *  o.  X ) `  ( L `  m )
) )
205204oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
206205sumeq2sdv 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ m  e.  NN  ( ( ( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  /  m ) )
207206eqeq1d 2261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  ( sum_ m  e.  NN  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0  <->  sum_ m  e.  NN  ( ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 ) )
208207, 5elrab2 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( *  o.  X )  e.  W  <->  ( (
*  o.  X )  e.  ( D  \  {  .1.  } )  /\  sum_
m  e.  NN  (
( ( *  o.  X ) `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
209115, 203, 208sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  e.  W )
210209ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( *  o.  X
)  e.  W )
2118ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  X  e.  W )
212 hashprg 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( *  o.  X
)  e.  W  /\  X  e.  W )  ->  ( ( *  o.  X )  =/=  X  <->  (
# `  { (
*  o.  X ) ,  X } )  =  2 ) )
213210, 211, 212syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( *  o.  X )  =/=  X  <->  (
# `  { (
*  o.  X ) ,  X } )  =  2 ) )
21494, 213mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  { ( *  o.  X ) ,  X } )  =  2 )
21563ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  W  e.  Fin )
216 prssi 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( *  o.  X
)  e.  W  /\  X  e.  W )  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  C_  W )
217210, 211, 216syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  C_  W )
218 ssdomg 6793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( { ( *  o.  X ) ,  X }  C_  W  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  ~<_  W ) )
219215, 217, 218sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  ~<_  W )
220 hashdomi 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { ( *  o.  X
) ,  X }  ~<_  W  ->  ( # `  {
( *  o.  X
) ,  X }
)  <_  ( # `  W
) )
221219, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  { ( *  o.  X ) ,  X } )  <_  ( # `  W
) )
222214, 221eqbrtrrd 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
2  <_  ( # `  W
) )
223 suble0 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( ( 2  -  ( # `  W
) )  <_  0  <->  2  <_  ( # `  W
) ) )
22482, 84, 223sylancr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 2  -  ( # `  W
) )  <_  0  <->  2  <_  ( # `  W
) ) )
225222, 224mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 2  -  ( # `
 W ) )  <_  0 )
22685, 80, 76, 93, 225lemul2ad 9577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 2  -  ( # `  W
) ) )  <_ 
( ( log `  x
)  x.  0 ) )
227 df-2 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
228227oveq1i 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  ( # `  W
) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( # `  W ) )
229 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
230229a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  CC )
23184recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  W )  e.  CC )
232230, 230, 231addsubassd 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 1  +  1 )  -  ( # `
 W ) )  =  ( 1  +  ( 1  -  ( # `
 W ) ) ) )
233228, 232syl5eq 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 2  -  ( # `
 W ) )  =  ( 1  +  ( 1  -  ( # `
 W ) ) ) )
234233oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 2  -  ( # `  W
) ) )  =  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  +  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
23575adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
23668ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
237236recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  CC )
238235, 230, 237adddid 8739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 1  +  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  =  ( ( ( log `  x )  x.  1 )  +  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
239235mulid1d 8732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  1 )  =  ( log `  x
) )
240239oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  x.  1 )  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  =  ( ( log `  x )  +  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
241234, 238, 2403eqtrd 2289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 2  -  ( # `  W
) ) )  =  ( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
242235mul01d 8891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  0 )  =  0 )
243226, 241, 2423brtr3d 3949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  <_  0 )
24438nnred 9641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  RR )
245244ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( phi `  N
)  e.  RR )
24654ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
24739ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( phi `  N
)  e.  NN0 )
248247nn0ge0d 9900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( phi `  N ) )
24949, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
250 vmage0 20191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
25149, 250syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
25249nnred 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  n  e.  RR )
25349nngt0d 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  0  <  n
)
254 divge0 9505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (Λ `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  (Λ `  n )
)  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
0  <_  ( (Λ `  n )  /  n
) )
255249, 251, 252, 253, 254syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  n )  /  n ) )
25645, 53, 255fsumge0 12130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
257256ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )
258245, 246, 248, 257mulge0d 9229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( ( phi `  N )  x. 
sum_ n  e.  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
25978, 80, 81, 243, 258letrd 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  <_  ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
260 leaddsub 9130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  RR  /\  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) )  e.  RR  /\  ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( log `  x )  +  ( ( log `  x )  x.  (
1  -  ( # `  W ) ) ) )  <_  ( ( phi `  N )  x. 
sum_ n  e.  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  <->  ( log `  x
)  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) ) )
26176, 77, 81, 260syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  +  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  <_  ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  <->  ( log `  x
)  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) ) )
262259, 261mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
26376, 93absidd 11782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( log `  x ) )  =  ( log `  x
) )
26471ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  RR )
26580, 76, 264, 93, 262letrd 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
266264, 265absidd 11782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )  =  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
267262, 263, 2663brtr4d 3950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  (
( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) ) )
26821, 37, 73, 75, 267o1le 12003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( *  o.  X )  =/=  X
)  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) )  e.  O
( 1 ) )
269268ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( *  o.  X )  =/=  X  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
270269necon1bd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O ( 1 )  ->  ( *  o.  X )  =  X ) )
27119, 270mpi 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  =  X )
272271adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( *  o.  X )  =  X )
273272fveq1d 5379 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
*  o.  X ) `
 x )  =  ( X `  x
) )
27418, 273eqtr3d 2287 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( * `  ( X `  x
) )  =  ( X `  x ) )
27516, 274cjrebd 11564 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  x )  e.  RR )
276275ralrimiva 2588 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Z )
( X `  x
)  e.  RR )
277 ffnfv 5537 . 2  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> RR  <->  ( X  Fn  ( Base `  Z
)  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( X `  x )  e.  RR ) )
27814, 276, 277sylanbrc 648 1  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2512   _Vcvv 2727    \ cdif 3075    i^i cin 3077    C_ wss 3078   {csn 3544   {cpr 3545   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   `'ccnv 4579   "cima 4583    o. ccom 4584    Fn wfn 4587   -->wf 4588   -onto->wfo 4590   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ~<_ cdom 6747   Fincfn 6749   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    +oocpnf 8744    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   NNcn 9626   2c2 9675   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   RR+crp 10233   [,)cico 10536   ...cfz 10660   |_cfl 10802    seq cseq 10924   #chash 11215   *ccj 11458   abscabs 11596    ~~> cli 11835   O (
1 )co1 11837   sum_csu 12035   phicphi 12706   Basecbs 13022   0gc0g 13274   Grpcgrp 14197   inv gcminusg 14198   Abelcabel 14925   Ringcrg 15172   CRingccrg 15173   1rcur 15174  Unitcui 15256   ZRHomczrh 16283  ℤ/nczn 16286   logclog 19744  Λcvma 20161  DChrcdchr 20303
This theorem is referenced by:  dchrisum0  20501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-rpss 6129  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-word 11286  df-concat 11287  df-s1 11288  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-o1 11841  df-lo1 11842  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-phi 12708  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-divs 13286  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-gim 14558  df-ga 14579  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-od 14679  df-gex 14680  df-pgp 14681  df-lsm 14782  df-pj1 14783  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-cyg 15000  df-dprd 15068  df-dpj 15069  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-rnghom 15331  df-drng 15349  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-0p 18857  df-limc 19048  df-dv 19049  df-ply 19402  df-idp 19403  df-coe 19404  df-dgr 19405  df-quot 19503  df-log 19746  df-cxp 19747  df-em 20119  df-cht 20166  df-vma 20167  df-chp 20168  df-ppi 20169  df-mu 20170  df-dchr 20304
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