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Theorem dchrisum0lema 23825
Description: Lemma for dchrisum0 23831. Apply dchrisum 23803 for the function  1  /  sqr y. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, m, c, t,  .1.    F, c, t, y    a, c, m, t, y    N, c, m, t, y    ph, c, m, t    W, c, t   
m, Z, y    D, c, m, t, y    L, a, c, m, t, y    X, a, c, m, t, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, m, a, c)    N( a)    W( y, m, a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrisum0lema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum2.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum2.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 rpvmasum2.w . . . . . 6  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
8 ssrab2 3581 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
97, 8eqsstri 3529 . . . . 5  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
10 dchrisum0.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
119, 10sseldi 3497 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1211eldifad 3483 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
13 eldifsni 4158 . . . 4  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
15 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  x
) )
1615oveq2d 6312 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
1  /  ( sqr `  n ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
17 1nn 10567 . . . 4  |-  1  e.  NN
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
19 rpsqrtcl 13110 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
2019adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
2120rprecred 11292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  n
) )  e.  RR )
22 simp3r 1025 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
23 simp2l 1022 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR+ )
2423rprege0d 11288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
25 simp2r 1023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
2625rprege0d 11288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
27 sqrtle 13106 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( n  <_  x  <->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
2824, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
2922, 28mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) )
3023rpsqrtcld 13255 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
3125rpsqrtcld 13255 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR+ )
3230, 31lerecd 11300 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( ( sqr `  n )  <_  ( sqr `  x )  <->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  n ) ) ) )
3329, 32mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  x
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  n ) ) )
34 sqrtlim 23428 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) )  ~~> r  0
3534a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )  ~~> r  0 )
36 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
3736fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
38 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  n
) )
3938oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
1  /  ( sqr `  a ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )
4037, 39oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) ) )
4140cbvmptv 4548 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) ) )
421, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 18, 21, 33, 35, 41dchrisum 23803 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
4312adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  D )
44 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
464, 1, 5, 2, 43, 45dchrzrhcl 23646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  n ) )  e.  CC )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4847nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
4948rpsqrtcld 13255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
5049rpcnd 11283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
5149rpne0d 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  =/=  0
)
5246, 50, 51divrecd 10344 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  ( sqr `  n
) )  =  ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) ) )
5352mpteq2dva 4543 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
54 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
5537, 38oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5655cbvmptv 4548 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5754, 56eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5853, 57, 413eqtr4g 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) )
5958seqeq3d 12118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) )
6059breq1d 4466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )  ~~>  t ) )
6160adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t ) )
62 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
6362fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
6463oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )
6564fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
66 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  x
) )
6766oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
c  /  ( sqr `  y ) )  =  ( c  /  ( sqr `  x ) ) )
6865, 67breq12d 4469 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  x ) ) ) )
6968cbvralv 3084 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) ) )
7058ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )
7170seqeq3d 12118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) )
7271fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) ) )
7372oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )
7473fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
75 elrege0 11652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  0  <_ 
c ) )
7675simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  c  e.  RR )
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  c  e.  RR )
7877recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  c  e.  CC )
79 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
80 elicopnf 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
8281simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
84 0red 9614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR )
85 1red 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
86 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  1 )
8881simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
9084, 85, 83, 87, 89ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  x )
9183, 90elrpd 11279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
9291rpsqrtcld 13255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
9392rpcnd 11283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
9492rpne0d 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  =/=  0 )
9578, 93, 94divrecd 10344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
c  /  ( sqr `  x ) )  =  ( c  x.  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )
9674, 95breq12d 4469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
9796ralbidva 2893 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
9869, 97syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
9961, 98anbi12d 710 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) )  <->  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
10099rexbidva 2965 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
101100exbidv 1715 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) )  <->  E. t E. c  e.  (
0 [,) +oo )
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
10242, 101mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3468   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   RR+crp 11245   [,)cico 11556   |_cfl 11930    seqcseq 12110   sqrcsqrt 13078   abscabs 13079    ~~> cli 13319    ~~> r crli 13320   sum_csu 13520   Basecbs 14644   0gc0g 14857   ZRHomczrh 18664  ℤ/nczn 18667  DChrcdchr 23633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-phi 14308  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-qus 14926  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-dchr 23634
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