Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lema Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0lema 23825
 Description: Lemma for dchrisum0 23831. Apply dchrisum 23803 for the function . (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
rpvmasum2.w
dchrisum0.b
dchrisum0lem1.f
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lema
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,,,,)   ()   (,,)   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0lema
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 ℤ/n
2 rpvmasum.l . . 3 RHom
3 rpvmasum.a . . 3
4 rpvmasum2.g . . 3 DChr
5 rpvmasum2.d . . 3
6 rpvmasum2.1 . . 3
7 rpvmasum2.w . . . . . 6
8 ssrab2 3581 . . . . . 6
97, 8eqsstri 3529 . . . . 5
10 dchrisum0.b . . . . 5
119, 10sseldi 3497 . . . 4
13 eldifsni 4158 . . . 4
1411, 13syl 16 . . 3
15 fveq2 5872 . . . 4
1615oveq2d 6312 . . 3
17 1nn 10567 . . . 4
1817a1i 11 . . 3
19 rpsqrtcl 13110 . . . . 5
2019adantl 466 . . . 4
2120rprecred 11292 . . 3
22 simp3r 1025 . . . . 5
23 simp2l 1022 . . . . . . 7
2423rprege0d 11288 . . . . . 6
25 simp2r 1023 . . . . . . 7
2625rprege0d 11288 . . . . . 6
27 sqrtle 13106 . . . . . 6
2824, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5
2922, 28mpbid 210 . . . 4
3023rpsqrtcld 13255 . . . . 5
3125rpsqrtcld 13255 . . . . 5
3230, 31lerecd 11300 . . . 4
3329, 32mpbid 210 . . 3
34 sqrtlim 23428 . . . 4
3534a1i 11 . . 3
36 fveq2 5872 . . . . . 6
3736fveq2d 5876 . . . . 5
38 fveq2 5872 . . . . . 6
3938oveq2d 6312 . . . . 5
4037, 39oveq12d 6314 . . . 4
4140cbvmptv 4548 . . 3
421, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 18, 21, 33, 35, 41dchrisum 23803 . 2
4312adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
44 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . 13
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
464, 1, 5, 2, 43, 45dchrzrhcl 23646 . . . . . . . . . . 11
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
4847nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . 13
4948rpsqrtcld 13255 . . . . . . . . . . . 12
5049rpcnd 11283 . . . . . . . . . . 11
5149rpne0d 11286 . . . . . . . . . . 11
5246, 50, 51divrecd 10344 . . . . . . . . . 10
5352mpteq2dva 4543 . . . . . . . . 9
54 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . 10
5537, 38oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
5655cbvmptv 4548 . . . . . . . . . 10
5754, 56eqtri 2486 . . . . . . . . 9
5853, 57, 413eqtr4g 2523 . . . . . . . 8
5958seqeq3d 12118 . . . . . . 7
6059breq1d 4466 . . . . . 6
6160adantr 465 . . . . 5
62 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11
6362fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10
6463oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
6564fveq2d 5876 . . . . . . . 8
66 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
6766oveq2d 6312 . . . . . . . 8
6865, 67breq12d 4469 . . . . . . 7
6968cbvralv 3084 . . . . . 6
7058ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
7170seqeq3d 12118 . . . . . . . . . . 11
7271fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10
7372oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
7473fveq2d 5876 . . . . . . . 8
75 elrege0 11652 . . . . . . . . . . . 12
7675simplbi 460 . . . . . . . . . . 11
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
7877recnd 9639 . . . . . . . . 9
79 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 elicopnf 11645 . . . . . . . . . . . . . . 15
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
8281simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
84 0red 9614 . . . . . . . . . . . . 13
85 1red 9628 . . . . . . . . . . . . 13
86 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . . . 14
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
8881simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
8988adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
9084, 85, 83, 87, 89ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . 12
9183, 90elrpd 11279 . . . . . . . . . . 11
9291rpsqrtcld 13255 . . . . . . . . . 10
9392rpcnd 11283 . . . . . . . . 9
9492rpne0d 11286 . . . . . . . . 9
9578, 93, 94divrecd 10344 . . . . . . . 8
9674, 95breq12d 4469 . . . . . . 7
9796ralbidva 2893 . . . . . 6
9869, 97syl5bb 257 . . . . 5
9961, 98anbi12d 710 . . . 4
10099rexbidva 2965 . . 3
101100exbidv 1715 . 2
10242, 101mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808  crab 2811   cdif 3468  csn 4032   class class class wbr 4456   cmpt 4515  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514   cpnf 9642   clt 9645   cle 9646   cmin 9824   cdiv 10227  cn 10556  cz 10885  crp 11245  cico 11556  cfl 11930   cseq 12110  csqrt 13078  cabs 13079   cli 13319   crli 13320  csu 13520  cbs 14644  c0g 14857  RHomczrh 18664  ℤ/nℤczn 18667  DChrcdchr 23633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-phi 14308  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-qus 14926  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-dchr 23634 This theorem is referenced by:  dchrisum0  23831
 Copyright terms: Public domain W3C validator