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Theorem dchrisum0lema 22648
Description: Lemma for dchrisum0 22654. Apply dchrisum 22626 for the function  1  /  sqr y. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, m, c, t,  .1.    F, c, t, y    a, c, m, t, y    N, c, m, t, y    ph, c, m, t    W, c, t   
m, Z, y    D, c, m, t, y    L, a, c, m, t, y    X, a, c, m, t, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, m, a, c)    N( a)    W( y, m, a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrisum0lema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum2.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum2.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 rpvmasum2.w . . . . . 6  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
8 ssrab2 3425 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
97, 8eqsstri 3374 . . . . 5  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
10 dchrisum0.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
119, 10sseldi 3342 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1211eldifad 3328 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
13 eldifsni 3989 . . . 4  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
15 fveq2 5679 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  x
) )
1615oveq2d 6096 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
1  /  ( sqr `  n ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
17 1nn 10321 . . . 4  |-  1  e.  NN
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
19 rpsqrcl 12738 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
2019adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
2120rprecred 11026 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  n
) )  e.  RR )
22 simp3r 1010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
23 simp2l 1007 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR+ )
2423rprege0d 11022 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
25 simp2r 1008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
2625rprege0d 11022 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
27 sqrle 12734 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( n  <_  x  <->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
2824, 26, 27syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
2922, 28mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) )
3023rpsqrcld 12882 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
3125rpsqrcld 12882 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR+ )
3230, 31lerecd 11034 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( ( sqr `  n )  <_  ( sqr `  x )  <->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  n ) ) ) )
3329, 32mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  x
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  n ) ) )
34 sqrlim 22251 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) )  ~~> r  0
3534a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )  ~~> r  0 )
36 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
3736fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
38 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  n
) )
3938oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
1  /  ( sqr `  a ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )
4037, 39oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) ) )
4140cbvmptv 4371 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) ) )
421, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 18, 21, 33, 35, 41dchrisum 22626 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
4312adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  D )
44 nnz 10656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4544adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
464, 1, 5, 2, 43, 45dchrzrhcl 22469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  n ) )  e.  CC )
47 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4847nnrpd 11014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
4948rpsqrcld 12882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
5049rpcnd 11017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
5149rpne0d 11020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  =/=  0
)
5246, 50, 51divrecd 10098 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  ( sqr `  n
) )  =  ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) ) )
5352mpteq2dva 4366 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
54 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
5537, 38oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5655cbvmptv 4371 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5754, 56eqtri 2453 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5853, 57, 413eqtr4g 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) )
5958seqeq3d 11798 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) )
6059breq1d 4290 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )  ~~>  t ) )
6160adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t ) )
62 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
6362fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
6463oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )
6564fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
66 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  x
) )
6766oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
c  /  ( sqr `  y ) )  =  ( c  /  ( sqr `  x ) ) )
6865, 67breq12d 4293 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  x ) ) ) )
6968cbvralv 2937 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) ) )
7058ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )
7170seqeq3d 11798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) )
7271fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) ) )
7372oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )
7473fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
75 elrege0 11380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  0  <_ 
c ) )
7675simplbi 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  c  e.  RR )
7776ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  c  e.  RR )
7877recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  c  e.  CC )
79 1re 9373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
80 elicopnf 11373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
8281simplbi 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
8382adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
84 0red 9375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  e.  RR )
85 1red 9389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
86 0lt1 9850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  1 )
8881simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
8988adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
9084, 85, 83, 87, 89ltletrd 9519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  0  <  x )
9183, 90elrpd 11013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
9291rpsqrcld 12882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
9392rpcnd 11017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
9492rpne0d 11020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  =/=  0 )
9578, 93, 94divrecd 10098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
c  /  ( sqr `  x ) )  =  ( c  x.  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )
9674, 95breq12d 4293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
9796ralbidva 2721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. x  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
9869, 97syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
9961, 98anbi12d 703 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) )  <->  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
10099rexbidva 2722 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
101100exbidv 1679 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) )  <->  E. t E. c  e.  (
0 [,) +oo )
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
10242, 101mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    \ cdif 3313   {csn 3865   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   +oocpnf 9403    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   ZZcz 10634   RR+crp 10979   [,)cico 11290   |_cfl 11624    seqcseq 11790   sqrcsqr 12706   abscabs 12707    ~~> cli 12946    ~~> r crli 12947   sum_csu 13147   Basecbs 14157   0gc0g 14361   ZRHomczrh 17773  ℤ/nczn 17776  DChrcdchr 22456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-ec 7091  df-qs 7095  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-phi 13824  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-divs 14430  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-sbg 15527  df-mulg 15528  df-subg 15658  df-nsg 15659  df-eqg 15660  df-ghm 15725  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-oppr 16649  df-dvdsr 16667  df-unit 16668  df-invr 16698  df-rnghom 16740  df-subrg 16787  df-lmod 16874  df-lss 16936  df-lsp 16975  df-sra 17175  df-rgmod 17176  df-lidl 17177  df-rsp 17178  df-2idl 17236  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-zring 17726  df-zrh 17777  df-zn 17780  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-cxp 21894  df-dchr 22457
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