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Theorem dchrisum0lem3 24350
Description: Lemma for dchrisum0 24351. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem3
Dummy variables  c 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9655 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2 sumex 13747 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V
32a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V )
4 sumex 13747 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V )
6 rpvmasum.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
7 rpvmasum.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9 rpvmasum2.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
10 rpvmasum2.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
11 rpvmasum2.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
12 rpvmasum2.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
13 ssrab2 3513 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
1412, 13eqsstri 3461 . . . . . . 7  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
15 difss 3559 . . . . . . 7  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
1614, 15sstri 3440 . . . . . 6  |-  W  C_  D
17 dchrisum0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1816, 17sseldi 3429 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1914, 17sseldi 3429 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
20 eldifsni 4097 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
2119, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
22 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) )
236, 7, 8, 9, 10, 11, 18, 21, 22dchrmusumlema 24324 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) )
248adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  N  e.  NN )
2517adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  X  e.  W
)
26 dchrisum0lem1.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
27 dchrisum0.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2827adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo )
)
29 dchrisum0.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
3029adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
31 dchrisum0.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
3231adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
33 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )
3433divsqrsum 23900 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )  e.  dom  ~~> r
3533divsqrsumf 23899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> RR
36 ax-resscn 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
37 fss 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) : RR+ --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> CC )
3835, 36, 37mp2an 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> CC
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) : RR+ --> CC )
40 rpsup 12090 . . . . . . . . . . 11  |-  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo )
4239, 41rlimdm 13608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  e.  dom  ~~> r  <->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) ) )
4334, 42mpbii 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) )
4443adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) )
45 simprl 763 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,) +oo )
)
46 simprrl 773 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) )  ~~>  t )
47 simprrr 774 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )
486, 7, 24, 9, 10, 11, 12, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 44, 22, 45, 46, 47dchrisum0lem2 24349 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O(1) )
4948rexlimdvaa 2879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O(1) ) )
5049exlimdv 1778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O(1) ) )
5123, 50mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
526, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 26, 27, 29, 31dchrisum0lem1 24347 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
533, 5, 51, 52o1add2 13680 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )  e.  O(1) )
54 ovex 6316 . . 3  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  _V
5554a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  _V )
56 fzfid 12183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
Fin )
57 fzfid 12183 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  e. 
Fin )
5818ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  X  e.  D )
59 elfzelz 11797 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
6059adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
619, 6, 10, 7, 58, 60dchrzrhcl 24166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
6261adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
63 elfznn 11825 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6463adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
6564nnrpd 11336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
66 elfznn 11825 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
6766nnrpd 11336 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
68 rpmulcl 11321 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
m  x.  d )  e.  RR+ )
6965, 67, 68syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( m  x.  d )  e.  RR+ )
7069rpsqrtcld 13466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  e.  RR+ )
7170rpcnd 11340 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  e.  CC )
7270rpne0d 11343 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =/=  0
)
7362, 71, 72divcld 10380 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  e.  CC )
7457, 73fsumcl 13792 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e.  CC )
7556, 74fsumcl 13792 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e.  CC )
7675abscld 13491 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR )
7776adantrr 722 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR )
7864adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
7978nnrpd 11336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
8079rprege0d 11345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( m  e.  RR  /\  0  <_  m ) )
8166adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
8281nnrpd 11336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
8382rprege0d 11345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  <_ 
d ) )
84 sqrtmul 13316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  /\  ( d  e.  RR  /\  0  <_  d )
)  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =  ( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) )
8580, 83, 84syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =  ( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) )
8685oveq2d 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  d
) ) ) )
8779rpsqrtcld 13466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
8887rpcnne0d 11347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
8982rpsqrtcld 13466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
9089rpcnne0d 11347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
91 divdiv1 10315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  d
)  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) ) )
9262, 88, 90, 91syl3anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  d
) ) ) )
9386, 92eqtr4d 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
9493sumeq2dv 13762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
9594sumeq2dv 13762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
9695adantrr 722 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
97 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
9897rpred 11338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
99 reflcl 12029 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
101100ltp1d 10534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
102 fzdisj 11823 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  x )  <  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  (/) )
103101, 102syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  =  (/) )
104103adantrr 722 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) ) )  =  (/) )
10597rprege0d 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
106 flge0nn0 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
107 nn0p1nn 10906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
108105, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
109 nnuz 11191 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
110108, 109syl6eleq 2538 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
111110adantrr 722 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
11298adantrr 722 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
113 2z 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
114 rpexpcl 12288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
11597, 113, 114sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
116115adantrr 722 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR+ )
117116rpred 11338 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
118112recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
119118mulid1d 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  1 )  =  x )
120 simprr 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
121 1red 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  RR )
122 rpregt0 11312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
123122ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
124 lemul2 10455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( 1  <_  x 
<->  ( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) ) )
125121, 112, 123, 124syl3anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) ) )
126120, 125mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) )
127119, 126eqbrtrrd 4424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  <_  ( x  x.  x ) )
128118sqvald 12410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( x  x.  x ) )
129127, 128breqtrrd 4428 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  <_  ( x ^
2 ) )
130 flword2 12045 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  x  <_  ( x ^
2 ) )  -> 
( |_ `  (
x ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
131112, 117, 129, 130syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  (
x ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
132 fzsplit2 11821 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( x ^
2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
133111, 131, 132syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) ) )
134 fzfid 12183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  e.  Fin )
13594, 74eqeltrrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
136135adantlrr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
137104, 133, 134, 136fsumsplit 13799 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
13896, 137eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
139138fveq2d 5867 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
140 eqle 9733 . . 3  |-  ( ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
14177, 139, 140syl2anc 666 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
1421, 53, 55, 75, 141o1le 13709 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   [,)cico 11634   ...cfz 11781   |_cfl 12023    seqcseq 12210   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13289   abscabs 13290    ~~> cli 13541    ~~> r crli 13542   O(1)co1 13543   sum_csu 13745   Basecbs 15114   0gc0g 15331   ZRHomczrh 19064  ℤ/nczn 19067  DChrcdchr 24153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-ec 7362  df-qs 7366  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-o1 13547  df-lo1 13548  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-phi 14707  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-qus 15402  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-nsg 16808  df-eqg 16809  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-od 17165  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-lidl 18390  df-rsp 18391  df-2idl 18449  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-zring 19033  df-zrh 19068  df-zn 19071  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-cxp 23500  df-dchr 24154
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