Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dchrisum0lem3 24436
 Description: Lemma for dchrisum0 24437. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
rpvmasum2.w
dchrisum0.b
dchrisum0lem1.f
dchrisum0.c
dchrisum0.s
dchrisum0.1
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   ()   (,)   ()   (,,,,)   (,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem dchrisum0lem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9676 . 2
2 sumex 13831 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 sumex 13831 . . . 4
54a1i 11 . . 3
6 rpvmasum.z . . . . 5 ℤ/n
7 rpvmasum.l . . . . 5 RHom
8 rpvmasum.a . . . . 5
9 rpvmasum2.g . . . . 5 DChr
10 rpvmasum2.d . . . . 5
11 rpvmasum2.1 . . . . 5
12 rpvmasum2.w . . . . . . . 8
13 ssrab2 3500 . . . . . . . 8
1412, 13eqsstri 3448 . . . . . . 7
15 difss 3549 . . . . . . 7
1614, 15sstri 3427 . . . . . 6
17 dchrisum0.b . . . . . 6
1816, 17sseldi 3416 . . . . 5
1914, 17sseldi 3416 . . . . . 6
20 eldifsni 4089 . . . . . 6
2119, 20syl 17 . . . . 5
22 eqid 2471 . . . . 5
236, 7, 8, 9, 10, 11, 18, 21, 22dchrmusumlema 24410 . . . 4
248adantr 472 . . . . . . 7
2517adantr 472 . . . . . . 7
26 dchrisum0lem1.f . . . . . . 7
27 dchrisum0.c . . . . . . . 8
2827adantr 472 . . . . . . 7
29 dchrisum0.s . . . . . . . 8
3029adantr 472 . . . . . . 7
31 dchrisum0.1 . . . . . . . 8
3231adantr 472 . . . . . . 7
33 eqid 2471 . . . . . . 7
3433divsqrsum 23986 . . . . . . . . 9
3533divsqrsumf 23985 . . . . . . . . . . . 12
36 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . 12
37 fss 5749 . . . . . . . . . . . 12
3835, 36, 37mp2an 686 . . . . . . . . . . 11
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10
40 rpsup 12126 . . . . . . . . . . 11
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10
4239, 41rlimdm 13692 . . . . . . . . 9
4334, 42mpbii 216 . . . . . . . 8
4443adantr 472 . . . . . . 7
45 simprl 772 . . . . . . 7
46 simprrl 782 . . . . . . 7
47 simprrr 783 . . . . . . 7
486, 7, 24, 9, 10, 11, 12, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 44, 22, 45, 46, 47dchrisum0lem2 24435 . . . . . 6
4948rexlimdvaa 2872 . . . . 5
5049exlimdv 1787 . . . 4
5123, 50mpd 15 . . 3
526, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 26, 27, 29, 31dchrisum0lem1 24433 . . 3
533, 5, 51, 52o1add2 13764 . 2
54 ovex 6336 . . 3
5554a1i 11 . 2
56 fzfid 12224 . . 3
57 fzfid 12224 . . . 4
5818ad2antrr 740 . . . . . . 7
59 elfzelz 11826 . . . . . . . 8
6059adantl 473 . . . . . . 7
619, 6, 10, 7, 58, 60dchrzrhcl 24252 . . . . . 6
6261adantr 472 . . . . 5
63 elfznn 11854 . . . . . . . . . 10
6463adantl 473 . . . . . . . . 9
6564nnrpd 11362 . . . . . . . 8
66 elfznn 11854 . . . . . . . . 9
6766nnrpd 11362 . . . . . . . 8
68 rpmulcl 11347 . . . . . . . 8
6965, 67, 68syl2an 485 . . . . . . 7
7069rpsqrtcld 13550 . . . . . 6
7170rpcnd 11366 . . . . 5
7270rpne0d 11369 . . . . 5
7362, 71, 72divcld 10405 . . . 4
7457, 73fsumcl 13876 . . 3
7556, 74fsumcl 13876 . 2
7675abscld 13575 . . . 4
7864adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
7978nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12
8079rprege0d 11371 . . . . . . . . . . 11
8166adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
8281nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12
8382rprege0d 11371 . . . . . . . . . . 11
84 sqrtmul 13400 . . . . . . . . . . 11
8580, 83, 84syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
8685oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
8779rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . . 11
8887rpcnne0d 11373 . . . . . . . . . 10
8982rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . . 11
9089rpcnne0d 11373 . . . . . . . . . 10
91 divdiv1 10340 . . . . . . . . . 10
9262, 88, 90, 91syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
9386, 92eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
9493sumeq2dv 13846 . . . . . . 7
9594sumeq2dv 13846 . . . . . 6
9695adantrr 731 . . . . 5
97 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
9897rpred 11364 . . . . . . . . . 10
99 reflcl 12065 . . . . . . . . . 10
10098, 99syl 17 . . . . . . . . 9
101100ltp1d 10559 . . . . . . . 8
102 fzdisj 11852 . . . . . . . 8
103101, 102syl 17 . . . . . . 7
104103adantrr 731 . . . . . 6
10597rprege0d 11371 . . . . . . . . . 10
106 flge0nn0 12087 . . . . . . . . . 10
107 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . 10
108105, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . 9
109 nnuz 11218 . . . . . . . . 9
110108, 109syl6eleq 2559 . . . . . . . 8
111110adantrr 731 . . . . . . 7
11298adantrr 731 . . . . . . . 8
113 2z 10993 . . . . . . . . . . 11
114 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . . 11
11597, 113, 114sylancl 675 . . . . . . . . . 10
116115adantrr 731 . . . . . . . . 9
117116rpred 11364 . . . . . . . 8
118112recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
119118mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10
120 simprr 774 . . . . . . . . . . 11
121 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12
122 rpregt0 11338 . . . . . . . . . . . . 13
123122ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12
124 lemul2 10480 . . . . . . . . . . . 12
125121, 112, 123, 124syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
126120, 125mpbid 215 . . . . . . . . . 10
127119, 126eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . 9
128118sqvald 12451 . . . . . . . . 9
129127, 128breqtrrd 4422 . . . . . . . 8
130 flword2 12081 . . . . . . . 8
131112, 117, 129, 130syl3anc 1292 . . . . . . 7
132 fzsplit2 11850 . . . . . . 7
133111, 131, 132syl2anc 673 . . . . . 6
134 fzfid 12224 . . . . . 6
13594, 74eqeltrrd 2550 . . . . . . 7
136135adantlrr 735 . . . . . 6
137104, 133, 134, 136fsumsplit 13883 . . . . 5
13896, 137eqtrd 2505 . . . 4
139138fveq2d 5883 . . 3
140 eqle 9754 . . 3
14177, 139, 140syl2anc 673 . 2
1421, 53, 55, 75, 141o1le 13793 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cico 11662  cfz 11810  cfl 12059   cseq 12251  cexp 12310  csqrt 13373  cabs 13374   cli 13625   crli 13626  co1 13627  csu 13829  cbs 15199  c0g 15416  RHomczrh 19148  ℤ/nℤczn 19151  DChrcdchr 24239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-phi 14793  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-od 17250  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-dchr 24240 This theorem is referenced by:  dchrisum0  24437
 Copyright terms: Public domain W3C validator