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Theorem dchrisum0lem3 22884
Description: Lemma for dchrisum0 22885. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem3
Dummy variables  c 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9502 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2 sumex 13267 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V
32a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V )
4 sumex 13267 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V )
6 rpvmasum.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
7 rpvmasum.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9 rpvmasum2.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
10 rpvmasum2.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
11 rpvmasum2.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
12 rpvmasum2.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
13 ssrab2 3535 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
1412, 13eqsstri 3484 . . . . . . 7  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
15 difss 3581 . . . . . . 7  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
1614, 15sstri 3463 . . . . . 6  |-  W  C_  D
17 dchrisum0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1816, 17sseldi 3452 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1914, 17sseldi 3452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
20 eldifsni 4099 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
22 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) )
236, 7, 8, 9, 10, 11, 18, 21, 22dchrmusumlema 22858 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) )
248adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  N  e.  NN )
2517adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  X  e.  W
)
26 dchrisum0lem1.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
27 dchrisum0.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo )
)
29 dchrisum0.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
31 dchrisum0.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
3231adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
33 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )
3433divsqrsum 22491 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )  e.  dom  ~~> r
3533divsqrsumf 22490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> RR
36 ax-resscn 9440 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
37 fss 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) : RR+ --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> CC )
3835, 36, 37mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> CC
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) : RR+ --> CC )
40 rpsup 11806 . . . . . . . . . . 11  |-  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  = +oo )
4239, 41rlimdm 13131 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  e.  dom  ~~> r  <->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) ) )
4334, 42mpbii 211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) )
45 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,) +oo )
)
46 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) )  ~~>  t )
47 simprrr 764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )
486, 7, 24, 9, 10, 11, 12, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 44, 22, 45, 46, 47dchrisum0lem2 22883 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O(1) )
4948rexlimdvaa 2938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O(1) ) )
5049exlimdv 1691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,) +oo ) (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  ->  (
x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O(1) ) )
5123, 50mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
526, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 26, 27, 29, 31dchrisum0lem1 22881 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
533, 5, 51, 52o1add2 13203 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )  e.  O(1) )
54 ovex 6215 . . 3  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  _V
5554a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  _V )
56 fzfid 11896 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
Fin )
57 fzfid 11896 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  e. 
Fin )
5818ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  X  e.  D )
59 elfzelz 11554 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
619, 6, 10, 7, 58, 60dchrzrhcl 22700 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
6261adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
63 elfznn 11579 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6463adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
6564nnrpd 11127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
66 elfznn 11579 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
6766nnrpd 11127 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
68 rpmulcl 11113 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
m  x.  d )  e.  RR+ )
6965, 67, 68syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( m  x.  d )  e.  RR+ )
7069rpsqrcld 13000 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  e.  RR+ )
7170rpcnd 11130 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  e.  CC )
7270rpne0d 11133 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =/=  0
)
7362, 71, 72divcld 10208 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  e.  CC )
7457, 73fsumcl 13312 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e.  CC )
7556, 74fsumcl 13312 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e.  CC )
7675abscld 13024 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR )
7776adantrr 716 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR )
7864adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
7978nnrpd 11127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
8079rprege0d 11135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( m  e.  RR  /\  0  <_  m ) )
8166adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
8281nnrpd 11127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
8382rprege0d 11135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  <_ 
d ) )
84 sqrmul 12851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  /\  ( d  e.  RR  /\  0  <_  d )
)  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =  ( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) )
8580, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =  ( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) )
8685oveq2d 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  d
) ) ) )
8779rpsqrcld 13000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
8887rpcnne0d 11137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
8982rpsqrcld 13000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
9089rpcnne0d 11137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
91 divdiv1 10143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  d
)  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) ) )
9262, 88, 90, 91syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  d
) ) ) )
9386, 92eqtr4d 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
9493sumeq2dv 13282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
9594sumeq2dv 13282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
9695adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
97 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
9897rpred 11128 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
99 reflcl 11747 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
101100ltp1d 10364 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
102 fzdisj 11577 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  x )  <  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  (/) )
103101, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  =  (/) )
104103adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) ) )  =  (/) )
10597rprege0d 11135 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
106 flge0nn0 11767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
107 nn0p1nn 10720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
108105, 106, 1073syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
109 nnuz 10997 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
110108, 109syl6eleq 2549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
111110adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
11298adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
113 2z 10779 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
114 rpexpcl 11985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
11597, 113, 114sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
116115adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR+ )
117116rpred 11128 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
118112recnd 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
119118mulid1d 9504 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  1 )  =  x )
120 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
121 1red 9502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  RR )
122 rpregt0 11105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
123122ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
124 lemul2 10283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( 1  <_  x 
<->  ( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) ) )
125121, 112, 123, 124syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) ) )
126120, 125mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) )
127119, 126eqbrtrrd 4412 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  <_  ( x  x.  x ) )
128118sqvald 12106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( x  x.  x ) )
129127, 128breqtrrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  <_  ( x ^
2 ) )
130 flword2 11762 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  x  <_  ( x ^
2 ) )  -> 
( |_ `  (
x ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
131112, 117, 129, 130syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  (
x ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
132 fzsplit2 11575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( x ^
2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
133111, 131, 132syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) ) )
134 fzfid 11896 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  e.  Fin )
13594, 74eqeltrrd 2540 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
136135adantlrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
137104, 133, 134, 136fsumsplit 13318 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
13896, 137eqtrd 2492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
139138fveq2d 5793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
140 eqle 9578 . . 3  |-  ( ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
14177, 139, 140syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
1421, 53, 55, 75, 141o1le 13232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3068    \ cdif 3423    u. cun 3424    i^i cin 3425    C_ wss 3426   (/)c0 3735   {csn 3975   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448   dom cdm 4938   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   supcsup 7791   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388   +oocpnf 9516   RR*cxr 9518    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696    / cdiv 10094   NNcn 10423   2c2 10472   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962   RR+crp 11092   [,)cico 11403   ...cfz 11538   |_cfl 11741    seqcseq 11907   ^cexp 11966   sqrcsqr 12824   abscabs 12825    ~~> cli 13064    ~~> r crli 13065   O(1)co1 13066   sum_csu 13265   Basecbs 14276   0gc0g 14480   ZRHomczrh 18040  ℤ/nczn 18043  DChrcdchr 22687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4361  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-ec 7203  df-qs 7207  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-acn 8213  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-o1 13070  df-lo1 13071  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-pi 13460  df-dvds 13638  df-gcd 13793  df-phi 13943  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-divs 14549  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-mhm 15566  df-submnd 15567  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-mulg 15650  df-subg 15780  df-nsg 15781  df-eqg 15782  df-ghm 15847  df-cntz 15937  df-od 16136  df-cmn 16383  df-abl 16384  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-cring 16754  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-invr 16870  df-dvr 16881  df-rnghom 16912  df-drng 16940  df-subrg 16969  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-lsp 17159  df-sra 17359  df-rgmod 17360  df-lidl 17361  df-rsp 17362  df-2idl 17420  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-zring 17993  df-zrh 18044  df-zn 18047  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-cmp 19106  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458  df-log 22124  df-cxp 22125  df-dchr 22688
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