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Theorem dchrisum0lem2a 24218
Description: Lemma for dchrisum0 24221. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
dchrisum0lem2.h  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
dchrisum0lem2.u  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y    U, m, x    x, W   
m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    U( y, a, d)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    H( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 simpl 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ph )
3 elfznn 11826 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 ssrab2 3552 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
108, 9eqsstri 3500 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1210, 11sseldi 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1312eldifad 3454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1413adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
15 nnz 10959 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1615adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
174, 5, 6, 7, 14, 16dchrzrhcl 24036 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
18 nnrp 11311 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
1918adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2019rpsqrtcld 13452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
2120rpcnd 11343 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
2220rpne0d 11346 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
2317, 21, 22divcld 10382 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
242, 3, 23syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
251, 24fsumcl 13777 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
26 dchrisum0lem2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
27 rlimcl 13545 . . . . 5  |-  ( H  ~~> r  U  ->  U  e.  CC )
2826, 27syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2928adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  U  e.  CC )
30 0xr 9686 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
31 0lt1 10135 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
32 df-ioo 11639 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
33 df-ico 11641 . . . . . . . . . 10  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
34 xrltletr 11454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  w )  ->  0  <  w
) )
3532, 33, 34ixxss1 11653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (
1 [,) +oo )  C_  ( 0 (,) +oo ) )
3630, 31, 35mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  ( 0 (,) +oo )
37 ioorp 11712 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
3836, 37sseqtri 3502 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
39 resmpt 5174 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
4138sseli 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
423adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
43 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
4443fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
45 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  m
) )
4644, 45oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
47 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
48 ovex 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) )  e.  _V
4946, 47, 48fvmpt3i 5969 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
5042, 49syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
5141, 50sylanl2 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
52 1re 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
53 elicopnf 11730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
55 flge1nn 12052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
5654, 55sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  NN )
5756adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
58 nnuz 11194 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6041, 24sylanl2 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
6151, 59, 60fsumser 13774 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )
6261mpteq2dva 4512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |-> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) ) )
6340, 62syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )
64 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( |_ `  x )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )
65 rpssre 11312 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
6738, 66syl5ss 3481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
68 1zzd 10968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6946cbvmptv 4518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7047, 69eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7123, 70fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
7271ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
7358, 68, 72serf 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
7473feqmptd 5934 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m ) ) )
75 dchrisum0.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
7674, 75eqbrtrrd 4448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m ) )  ~~>  S )
7773ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m
)  e.  CC )
7854simprbi 465 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
7978adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
8058, 64, 67, 68, 76, 77, 79climrlim2 13589 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S )
81 rlimo1 13658 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1) )
8280, 81syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1) )
8363, 82eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) )
84 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
8525, 84fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) ) : RR+ --> CC )
86 1red 9657 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
8785, 66, 86o1resb 13608 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O(1)  <->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) ) )
8883, 87mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O(1) )
89 o1const 13661 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  U  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  U )  e.  O(1) )
9065, 28, 89sylancr 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  U )  e.  O(1) )
9125, 29, 88, 90o1mul2 13666 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  e.  O(1) )
92 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
93 2z 10969 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
94 rpexpcl 12288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
9592, 93, 94sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
963nnrpd 11339 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  RR+ )
97 rpdivcl 11325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
9895, 96, 97syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
99 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
10099divsqrsumf 23771 . . . . . . . 8  |-  H : RR+
--> RR
101100ffvelrni 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+  ->  ( H `
 ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  e.  RR )
10298, 101syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR )
103102recnd 9668 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  CC )
10424, 103mulcld 9662 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
1051, 104fsumcl 13777 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
10625, 29mulcld 9662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  e.  CC )
10726ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  H  ~~> r  U
)
108107, 27syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  U  e.  CC )
10924, 108mulcld 9662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U )  e.  CC )
1101, 104, 109fsumsub 13827 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
11124, 103, 108subdid 10073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
112111sumeq2dv 13747 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
1131, 29, 24fsummulc1 13824 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) )
114113oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
115110, 112, 1143eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
116115mpteq2dva 4512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) ) )
117103, 108subcld 9985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) )  -  U )  e.  CC )
11824, 117mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  CC )
1191, 118fsumcl 13777 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  e.  CC )
120119abscld 13476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
121118abscld 13476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  e.  RR )
1221, 121fsumrecl 13778 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
123 1red 9657 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
1241, 118fsumabs 13839 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) ) )
125 rprege0 11316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
126125adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
127126simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
128 reflcl 12029 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
129127, 128syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
130129, 92rerpdivcld 11369 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  e.  RR )
131 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
132131rprecred 11352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
13324abscld 13476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
13496rpsqrtcld 13452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
135134adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
136135rprecred 11352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  RR )
137117abscld 13476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  RR )
138135, 131rpdivcld 11358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR+ )
13965, 138sseldi 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR )
14024absge0d 13484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) ) )
141117absge0d 13484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )
1422, 3, 17syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
143135rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
144135rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
145142, 143, 144absdivd 13495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) ) )
146135rprege0d 11348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  m
) ) )
147 absid 13338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  m
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
149148oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
150145, 149eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( sqr `  m ) ) )
151142abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  e.  RR )
152 1red 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
153 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
15413ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
155 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
156155nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1575, 153, 7znzrhfo 19049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
158 fof 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
159156, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
160159adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
161 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  ZZ )
162 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
163160, 161, 162syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
1644, 6, 5, 153, 154, 163dchrabs2 24053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  <_  1
)
165151, 152, 135, 164lediv1dd 11396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
166150, 165eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
16799, 107divsqrtsum2 23773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
16898, 167mpdan 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
16995rprege0d 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) ) )
170 sqrtdiv 13308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
171169, 96, 170syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
172125ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
173 sqrtsq 13312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  =  x )
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  =  x )
175174oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( x ^
2 ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
176171, 175eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
177176oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 1  /  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
178 rpcnne0 11319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
179178ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
180135rpcnne0d 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
181 recdiv 10312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
182179, 180, 181syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
183177, 182eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
184168, 183breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
( sqr `  m
)  /  x ) )
185133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184lemul12ad 10549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
( 1  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( sqr `  m )  /  x
) ) )
18624, 117absmuld 13494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  =  ( ( abs `  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) ) )
187 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
188 dmdcan 10316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( sqr `  m )  /  x )  x.  ( 1  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( 1  /  x ) )
189180, 179, 187, 188syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( 1  /  x
) )
190138rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  CC )
191 reccl 10276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
192180, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
193190, 192mulcomd 9663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
194189, 193eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
195185, 186, 1943brtr4d 4456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
1  /  x ) )
1961, 121, 132, 195fsumle 13837 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x ) )
197 flge0nn0 12051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
198 hashfz1 12526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
199126, 197, 1983syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_ `  x ) )
200199oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
20192rpreccld 11351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
202201rpcnd 11343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
203 fsumconst 13829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
2041, 202, 203syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) ) )
205129recnd 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
206178adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
207206simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
208206simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
209205, 207, 208divrecd 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
210200, 204, 2093eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  /  x ) )
211196, 210breqtrd 4450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
( ( |_ `  x )  /  x
) )
212 flle 12032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
213127, 212syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  x
)
214127recnd 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
215214mulid1d 9659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
216213, 215breqtrrd 4452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) )
217 rpregt0 11315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
218217adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
219 ledivmul 10480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
220129, 123, 218, 219syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( |_ `  x
)  /  x )  <_  1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
221216, 220mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  <_  1
)
222122, 130, 123, 211, 221letrd 9791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
223120, 122, 123, 124, 222letrd 9791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
224223adantrr 721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
22566, 119, 86, 86, 224elo1d 13578 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  O(1) )
226116, 225eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )  e.  O(1) )
227105, 106, 226o1dif 13671 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) )  e.  O(1) ) )
22891, 227mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   {crab 2786    \ cdif 3439    C_ wss 3442   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    |` cres 4856   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   ...cfz 11782   |_cfl 12023    seqcseq 12210   ^cexp 12269   #chash 12512   sqrcsqrt 13275   abscabs 13276    ~~> cli 13526    ~~> r crli 13527   O(1)co1 13528   sum_csu 13730   Basecbs 15084   0gc0g 15297   ZRHomczrh 19002  ℤ/nczn 19005  DChrcdchr 24023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-o1 13532  df-lo1 13533  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-dvds 14284  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-qus 15366  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-nsg 16766  df-eqg 16767  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-od 17120  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-rnghom 17878  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-lidl 18332  df-rsp 18333  df-2idl 18391  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zrh 19006  df-zn 19009  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-cxp 23372  df-dchr 24024
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  24219
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