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Theorem dchrisum0lem2a 23827
Description: Lemma for dchrisum0 23830. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
dchrisum0lem2.h  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
dchrisum0lem2.u  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y    U, m, x    x, W   
m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    U( y, a, d)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    H( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12085 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 simpl 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ph )
3 elfznn 11739 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
108, 9eqsstri 3529 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1210, 11sseldi 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1312eldifad 3483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
15 nnz 10907 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
174, 5, 6, 7, 14, 16dchrzrhcl 23645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
18 nnrp 11254 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
1918adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2019rpsqrtcld 13254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
2120rpcnd 11283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
2220rpne0d 11286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
2317, 21, 22divcld 10341 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
242, 3, 23syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
251, 24fsumcl 13566 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
26 dchrisum0lem2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
27 rlimcl 13337 . . . . 5  |-  ( H  ~~> r  U  ->  U  e.  CC )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  U  e.  CC )
30 0xr 9657 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
31 0lt1 10096 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
32 df-ioo 11558 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
33 df-ico 11560 . . . . . . . . . 10  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
34 xrltletr 11385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  w )  ->  0  <  w
) )
3532, 33, 34ixxss1 11572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (
1 [,) +oo )  C_  ( 0 (,) +oo ) )
3630, 31, 35mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  ( 0 (,) +oo )
37 ioorp 11627 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
3836, 37sseqtri 3531 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
39 resmpt 5333 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
4138sseli 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
423adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
43 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
4443fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
45 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  m
) )
4644, 45oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
47 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
48 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) )  e.  _V
4946, 47, 48fvmpt3i 5960 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
5042, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
5141, 50sylanl2 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
52 1re 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
53 elicopnf 11645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
55 flge1nn 11957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
5654, 55sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  NN )
5756adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
58 nnuz 11141 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2555 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6041, 24sylanl2 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
6151, 59, 60fsumser 13563 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )
6261mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |-> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) ) )
6340, 62syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )
64 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( |_ `  x )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )
65 rpssre 11255 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
6738, 66syl5ss 3510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
68 1zzd 10916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6946cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7047, 69eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7123, 70fmptd 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
7271ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
7358, 68, 72serf 12137 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
7473feqmptd 5926 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m ) ) )
75 dchrisum0.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
7674, 75eqbrtrrd 4478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m ) )  ~~>  S )
7773ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m
)  e.  CC )
7854simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
7978adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
8058, 64, 67, 68, 76, 77, 79climrlim2 13381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S )
81 rlimo1 13450 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1) )
8280, 81syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1) )
8363, 82eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) )
84 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
8525, 84fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) ) : RR+ --> CC )
86 1red 9628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
8785, 66, 86o1resb 13400 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O(1)  <->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) ) )
8883, 87mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O(1) )
89 o1const 13453 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  U  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  U )  e.  O(1) )
9065, 28, 89sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  U )  e.  O(1) )
9125, 29, 88, 90o1mul2 13458 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  e.  O(1) )
92 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
93 2z 10917 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
94 rpexpcl 12187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
9592, 93, 94sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
963nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  RR+ )
97 rpdivcl 11267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
9895, 96, 97syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
99 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
10099divsqrsumf 23435 . . . . . . . 8  |-  H : RR+
--> RR
101100ffvelrni 6031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+  ->  ( H `
 ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  e.  RR )
10298, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR )
103102recnd 9639 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  CC )
10424, 103mulcld 9633 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
1051, 104fsumcl 13566 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
10625, 29mulcld 9633 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  e.  CC )
10726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  H  ~~> r  U
)
108107, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  U  e.  CC )
10924, 108mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U )  e.  CC )
1101, 104, 109fsumsub 13614 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
11124, 103, 108subdid 10033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
112111sumeq2dv 13536 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
1131, 29, 24fsummulc1 13611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) )
114113oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
115110, 112, 1143eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
116115mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) ) )
117103, 108subcld 9950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) )  -  U )  e.  CC )
11824, 117mulcld 9633 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  CC )
1191, 118fsumcl 13566 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  e.  CC )
120119abscld 13278 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
121118abscld 13278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  e.  RR )
1221, 121fsumrecl 13567 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
123 1red 9628 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
1241, 118fsumabs 13626 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) ) )
125 rprege0 11259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
126125adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
127126simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
128 reflcl 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
130129, 92rerpdivcld 11308 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  e.  RR )
131 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
132131rprecred 11292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
13324abscld 13278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
13496rpsqrtcld 13254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
135134adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
136135rprecred 11292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  RR )
137117abscld 13278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  RR )
138135, 131rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR+ )
13965, 138sseldi 3497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR )
14024absge0d 13286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) ) )
141117absge0d 13286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )
1422, 3, 17syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
143135rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
144135rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
145142, 143, 144absdivd 13297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) ) )
146135rprege0d 11288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  m
) ) )
147 absid 13140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  m
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
149148oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
150145, 149eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( sqr `  m ) ) )
151142abscld 13278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  e.  RR )
152 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
153 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
15413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
155 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
156155nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1575, 153, 7znzrhfo 18712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
158 fof 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
159156, 157, 1583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
160159adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
161 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  ZZ )
162 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
163160, 161, 162syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
1644, 6, 5, 153, 154, 163dchrabs2 23662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  <_  1
)
165151, 152, 135, 164lediv1dd 11335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
166150, 165eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
16799, 107divsqrtsum2 23437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
16898, 167mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
16995rprege0d 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) ) )
170 sqrtdiv 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
171169, 96, 170syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
172125ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
173 sqrtsq 13114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  =  x )
174172, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  =  x )
175174oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( x ^
2 ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
176171, 175eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
177176oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 1  /  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
178 rpcnne0 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
179178ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
180135rpcnne0d 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
181 recdiv 10271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
182179, 180, 181syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
183177, 182eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
184168, 183breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
( sqr `  m
)  /  x ) )
185133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184lemul12ad 10508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
( 1  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( sqr `  m )  /  x
) ) )
18624, 117absmuld 13296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  =  ( ( abs `  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) ) )
187 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
188 dmdcan 10275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( sqr `  m )  /  x )  x.  ( 1  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( 1  /  x ) )
189180, 179, 187, 188syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( 1  /  x
) )
190138rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  CC )
191 reccl 10235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
192180, 191syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
193190, 192mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
194189, 193eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
195185, 186, 1943brtr4d 4486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
1  /  x ) )
1961, 121, 132, 195fsumle 13624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x ) )
197 flge0nn0 11956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
198 hashfz1 12421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
199126, 197, 1983syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_ `  x ) )
200199oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
20192rpreccld 11291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
202201rpcnd 11283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
203 fsumconst 13616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
2041, 202, 203syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) ) )
205129recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
206178adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
207206simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
208206simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
209205, 207, 208divrecd 10344 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
210200, 204, 2093eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  /  x ) )
211196, 210breqtrd 4480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
( ( |_ `  x )  /  x
) )
212 flle 11938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
213127, 212syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  x
)
214127recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
215214mulid1d 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
216213, 215breqtrrd 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) )
217 rpregt0 11258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
218217adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
219 ledivmul 10439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
220129, 123, 218, 219syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( |_ `  x
)  /  x )  <_  1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
221216, 220mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  <_  1
)
222122, 130, 123, 211, 221letrd 9756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
223120, 122, 123, 124, 222letrd 9756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
224223adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
22566, 119, 86, 86, 224elo1d 13370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  O(1) )
226116, 225eqeltrrd 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )  e.  O(1) )
227105, 106, 226o1dif 13463 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) )  e.  O(1) ) )
22891, 227mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    |` cres 5010   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   ...cfz 11697   |_cfl 11929    seqcseq 12109   ^cexp 12168   #chash 12407   sqrcsqrt 13077   abscabs 13078    ~~> cli 13318    ~~> r crli 13319   O(1)co1 13320   sum_csu 13519   Basecbs 14643   0gc0g 14856   ZRHomczrh 18663  ℤ/nczn 18666  DChrcdchr 23632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-o1 13324  df-lo1 13325  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-dvds 13998  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-qus 14925  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-nsg 16325  df-eqg 16326  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-od 16679  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-rnghom 17490  df-drng 17524  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-lidl 17946  df-rsp 17947  df-2idl 18006  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-zring 18615  df-zrh 18667  df-zn 18670  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069  df-cxp 23070  df-dchr 23633
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  23828
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