Theorem dchrisum0lem2a 22650

Description: Lemma for dchrisum0 22653. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2a	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11778	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		simpl 454	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ph )
3		elfznn 11464	. . . . 5 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
4		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
6		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
7		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
8		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3425	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3374	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
12	10, 11	sseldi 3342	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
13	12	eldifad 3328	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
14	13	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
15		nnz 10655	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
16	15	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
17	4, 5, 6, 7, 14, 16	dchrzrhcl 22468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
18		nnrp 10987	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
19	18	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
20	19	rpsqrcld 12881	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
21	20	rpcnd 11016	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
22	20	rpne0d 11019	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
23	17, 21, 22	divcld 10094	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
24	2, 3, 23	syl2an 474	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
25	1, 24	fsumcl 13193	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
26		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
27		rlimcl 12964	. . . . 5 |- ( H ~~> r U -> U e. CC )
28	26, 27	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U e. CC )
29	28	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> U e. CC )
30		0xr 9417	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
31		0lt1 9849	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
32		df-ioo 11291	. . . . . . . . . 10 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
33		df-ico 11293	. . . . . . . . . 10 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
34		xrltletr 11118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ w ) -> 0 < w ) )
35	32, 33, 34	ixxss1 11305	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo ) )
36	30, 31, 35	mp2an 665	. . . . . . . 8 |- ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo )
37		ioorp 11360	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
38	36, 37	sseqtri 3376	. . . . . . 7 |- ( 1 [,) +oo ) C_ RR+
39		resmpt 5144	. . . . . . 7 |- ( ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
41	38	sseli 3340	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> x e. RR+ )
42	3	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
43		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
44	43	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
45		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( sqr ` a ) = ( sqr ` m ) )
46	44, 45	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
47		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
48		ovex 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) e. _V
49	46, 47, 48	fvmpt3i 5766	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
50	42, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
51	41, 50	sylanl2 644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
52		1re 9372	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
53		elicopnf 11372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
55		flge1nn 11650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
56	54, 55	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
57	56	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
58		nnuz 10883	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
59	57, 58	syl6eleq 2523	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	41, 24	sylanl2 644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
61	51, 59, 60	fsumser 13190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
62	61	mpteq2dva 4366	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
63	40, 62	syl5eq 2477	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
64		fveq2 5679	. . . . . . 7 |- ( m = ( |_ ` x ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
65		rpssre 10988	. . . . . . . . 9 |- RR+ C_ RR
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
67	38, 66	syl5ss 3355	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR )
68		1zzd 10664	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
69	46	cbvmptv 4371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
70	47, 69	eqtri 2453	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
71	23, 70	fmptd 5855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> CC )
72	71	ffvelrnda 5831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
73	58, 68, 72	serf 11817	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
74	73	feqmptd 5732	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) = ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) )
75		dchrisum0.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
76	74, 75	eqbrtrrd 4302	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) ~~> S )
77	73	ffvelrnda 5831	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) e. CC )
78	54	simprbi 461	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> 1 <_ x )
79	78	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
80	58, 64, 67, 68, 76, 77, 79	climrlim2 13008	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S )
81		rlimo1 13077	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O(1) )
82	80, 81	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O(1) )
83	63, 82	eqeltrd 2507	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O(1) )
84		eqid 2433	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
85	25, 84	fmptd 5855	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) : RR+ --> CC )
86		1red 9388	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
87	85, 66, 86	o1resb 13027	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O(1) <-> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O(1) ) )
88	83, 87	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O(1) )
89		o1const 13080	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ U e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O(1) )
90	65, 28, 89	sylancr 656	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O(1) )
91	25, 29, 88, 90	o1mul2 13085	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O(1) )
92		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
93		2z 10665	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
94		rpexpcl 11867	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
95	92, 93, 94	sylancl 655	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
96	3	nnrpd 11013	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
97		rpdivcl 11000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
98	95, 96, 97	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
99		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
100	99	divsqrsumf 22258	. . . . . . . 8 |- H : RR+ --> RR
101	100	ffvelrni 5830	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
102	98, 101	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
103	102	recnd 9399	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. CC )
104	24, 103	mulcld 9393	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
105	1, 104	fsumcl 13193	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
106	25, 29	mulcld 9393	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
107	26	ad2antrr 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> H ~~> r U )
108	107, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> U e. CC )
109	24, 108	mulcld 9393	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
110	1, 104, 109	fsumsub 13237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
111	24, 103, 108	subdid 9787	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
112	111	sumeq2dv 13163	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
113	1, 29, 24	fsummulc1 13234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) )
114	113	oveq2d 6096	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
115	110, 112, 114	3eqtr4d 2475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
116	115	mpteq2dva 4366	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) )
117	103, 108	subcld 9706	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) e. CC )
118	24, 117	mulcld 9393	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
119	1, 118	fsumcl 13193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
120	119	abscld 12905	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
121	118	abscld 12905	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
122	1, 121	fsumrecl 13194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
123		1red 9388	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. RR )
124	1, 118	fsumabs 13246	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
125		rprege0 10992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
126	125	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
127	126	simpld 456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
128		reflcl 11629	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
130	129, 92	rerpdivcld 11041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) e. RR )
131		simplr 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
132	131	rprecred 11025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) e. RR )
133	24	abscld 12905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
134	96	rpsqrcld 12881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
135	134	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
136	135	rprecred 11025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. RR )
137	117	abscld 12905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. RR )
138	135, 131	rpdivcld 11031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR+ )
139	65, 138	sseldi 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR )
140	24	absge0d 12913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
141	117	absge0d 12913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) )
142	2, 3, 17	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
143	135	rpcnd 11016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
144	135	rpne0d 11019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
145	142, 143, 144	absdivd 12924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) )
146	135	rprege0d 11021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) )
147		absid 12768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
149	148	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
150	145, 149	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
151	142	abscld 12905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) e. RR )
152		1red 9388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
153		eqid 2433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
154	13	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
155		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. NN )
156	155	nnnn0d 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. NN0 )
157	5, 153, 7	znzrhfo 17821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
158		fof 5608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
159	156, 157, 158	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
160	159	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
161		elfzelz 11439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
162		ffvelrn 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ m e. ZZ ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
163	160, 161, 162	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
164	4, 6, 5, 153, 154, 163	dchrabs2 22485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ 1 )
165	151, 152, 135, 164	lediv1dd 11068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
166	150, 165	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
167	99, 107	divsqrsum2 22260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
168	98, 167	mpdan 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
169	95	rprege0d 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
170		sqrdiv 12738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
171	169, 96, 170	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
172	125	ad2antlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
173		sqrsq 12742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
174	172, 173	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
175	174	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
176	171, 175	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
177	176	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
178		rpcnne0 10995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
179	178	ad2antlr 719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
180	135	rpcnne0d 11023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
181		recdiv 10024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
182	179, 180, 181	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
183	177, 182	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
184	168, 183	breqtrd 4304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( ( sqr ` m ) / x ) )
185	133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184	lemul12ad 10262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
186	24, 117	absmuld 12923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
187		1cnd 9389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
188		dmdcan 10028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
189	180, 179, 187, 188	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
190	138	rpcnd 11016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. CC )
191		reccl 9988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
192	180, 191	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
193	190, 192	mulcomd 9394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
194	189, 193	eqtr3d 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
195	185, 186, 194	3brtr4d 4310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( 1 / x ) )
196	1, 121, 132, 195	fsumle 13244	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) )
197		flge0nn0 11649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
198		hashfz1 12100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
199	126, 197, 198	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
200	199	oveq1d 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
201	92	rpreccld 11024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
202	201	rpcnd 11016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. CC )
203		fsumconst 13239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( 1 / x ) e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
204	1, 202, 203	syl2anc 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
205	129	recnd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. CC )
206	178	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
207	206	simpld 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
208	206	simprd 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
209	205, 207, 208	divrecd 10097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
210	200, 204, 209	3eqtr4d 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( |_ ` x ) / x ) )
211	196, 210	breqtrd 4304	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( |_ ` x ) / x ) )
212		flle 11632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
213	127, 212	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
214	127	recnd 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
215	214	mulid1d 9390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. 1 ) = x )
216	213, 215	breqtrrd 4306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) )
217		rpregt0 10991	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
218	217	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
219		ledivmul 10192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
220	129, 123, 218, 219	syl3anc 1211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
221	216, 220	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 )
222	122, 130, 123, 211, 221	letrd 9515	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
223	120, 122, 123, 124, 222	letrd 9515	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
224	223	adantrr 709	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
225	66, 119, 86, 86, 224	elo1d 12997	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. O(1) )
226	116, 225	eqeltrrd 2508	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) e. O(1) )
227	105, 106, 226	o1dif 13090	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O(1) ) )
228	91, 227	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   =/= wne 2596   A.wral 2705   {crab 2709   \ cdif 3313   C_ wss 3316   {csn 3865   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   |` cres 4829   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   + caddc 9272   x. cmul 9274   +oocpnf 9402   RR*cxr 9404   < clt 9405   <_ cle 9406   - cmin 9582   / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   RR+crp 10978   (,)cioo 11287   [,)cico 11289   ...cfz 11423   |_cfl 11623   seqcseq 11789   ^cexp 11848   #chash 12086   sqrcsqr 12705   abscabs 12706   ~~> cli 12945   ~~> r crli 12946   O(1)co1 12947   sum_csu 13146   Basecbs 14156   0gc0g 14360   ZRHomczrh 17772  ℤ/nℤczn 17775  DChrcdchr 22455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-ec 7091  df-qs 7095  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-o1 12951  df-lo1 12952  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-dvds 13518  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-divs 14429  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-mhm 15446  df-submnd 15447  df-grp 15524  df-minusg 15525  df-sbg 15526  df-mulg 15527  df-subg 15657  df-nsg 15658  df-eqg 15659  df-ghm 15724  df-cntz 15814  df-od 16011  df-cmn 16258  df-abl 16259  df-mgp 16565  df-rng 16579  df-cring 16580  df-ur 16581  df-oppr 16648  df-dvdsr 16666  df-unit 16667  df-invr 16697  df-dvr 16708  df-rnghom 16739  df-drng 16757  df-subrg 16786  df-lmod 16873  df-lss 16935  df-lsp 16974  df-sra 17174  df-rgmod 17175  df-lidl 17176  df-rsp 17177  df-2idl 17235  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-zring 17725  df-zrh 17776  df-zn 17779  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-cxp 21893  df-dchr 22456

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  22651