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Theorem dchrisum0lem2a 22650
Description: Lemma for dchrisum0 22653. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
dchrisum0lem2.h  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
dchrisum0lem2.u  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y    U, m, x    x, W   
m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    U( y, a, d)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    H( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11778 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 simpl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ph )
3 elfznn 11464 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 ssrab2 3425 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
108, 9eqsstri 3374 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1210, 11sseldi 3342 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1312eldifad 3328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1413adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
15 nnz 10655 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1615adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
174, 5, 6, 7, 14, 16dchrzrhcl 22468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
18 nnrp 10987 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
1918adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2019rpsqrcld 12881 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
2120rpcnd 11016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
2220rpne0d 11019 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
2317, 21, 22divcld 10094 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
242, 3, 23syl2an 474 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
251, 24fsumcl 13193 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
26 dchrisum0lem2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
27 rlimcl 12964 . . . . 5  |-  ( H  ~~> r  U  ->  U  e.  CC )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2928adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  U  e.  CC )
30 0xr 9417 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
31 0lt1 9849 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
32 df-ioo 11291 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
33 df-ico 11293 . . . . . . . . . 10  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
34 xrltletr 11118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  w )  ->  0  <  w
) )
3532, 33, 34ixxss1 11305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (
1 [,) +oo )  C_  ( 0 (,) +oo ) )
3630, 31, 35mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  ( 0 (,) +oo )
37 ioorp 11360 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
3836, 37sseqtri 3376 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
39 resmpt 5144 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
4138sseli 3340 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
423adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
43 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
4443fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
45 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  m
) )
4644, 45oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
47 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
48 ovex 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) )  e.  _V
4946, 47, 48fvmpt3i 5766 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
5042, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
5141, 50sylanl2 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
52 1re 9372 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
53 elicopnf 11372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
55 flge1nn 11650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
5654, 55sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  NN )
5756adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
58 nnuz 10883 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2523 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6041, 24sylanl2 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
6151, 59, 60fsumser 13190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )
6261mpteq2dva 4366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |-> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) ) )
6340, 62syl5eq 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )
64 fveq2 5679 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( |_ `  x )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )
65 rpssre 10988 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
6738, 66syl5ss 3355 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
68 1zzd 10664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6946cbvmptv 4371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7047, 69eqtri 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7123, 70fmptd 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
7271ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
7358, 68, 72serf 11817 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
7473feqmptd 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m ) ) )
75 dchrisum0.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
7674, 75eqbrtrrd 4302 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m ) )  ~~>  S )
7773ffvelrnda 5831 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m
)  e.  CC )
7854simprbi 461 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
7978adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
8058, 64, 67, 68, 76, 77, 79climrlim2 13008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S )
81 rlimo1 13077 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1) )
8280, 81syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1) )
8363, 82eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) )
84 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
8525, 84fmptd 5855 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) ) : RR+ --> CC )
86 1red 9388 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
8785, 66, 86o1resb 13027 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O(1)  <->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) ) )
8883, 87mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O(1) )
89 o1const 13080 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  U  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  U )  e.  O(1) )
9065, 28, 89sylancr 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  U )  e.  O(1) )
9125, 29, 88, 90o1mul2 13085 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  e.  O(1) )
92 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
93 2z 10665 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
94 rpexpcl 11867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
9592, 93, 94sylancl 655 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
963nnrpd 11013 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  RR+ )
97 rpdivcl 11000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
9895, 96, 97syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
99 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
10099divsqrsumf 22258 . . . . . . . 8  |-  H : RR+
--> RR
101100ffvelrni 5830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+  ->  ( H `
 ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  e.  RR )
10298, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR )
103102recnd 9399 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  CC )
10424, 103mulcld 9393 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
1051, 104fsumcl 13193 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
10625, 29mulcld 9393 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  e.  CC )
10726ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  H  ~~> r  U
)
108107, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  U  e.  CC )
10924, 108mulcld 9393 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U )  e.  CC )
1101, 104, 109fsumsub 13237 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
11124, 103, 108subdid 9787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
112111sumeq2dv 13163 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
1131, 29, 24fsummulc1 13234 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) )
114113oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
115110, 112, 1143eqtr4d 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
116115mpteq2dva 4366 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) ) )
117103, 108subcld 9706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) )  -  U )  e.  CC )
11824, 117mulcld 9393 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  CC )
1191, 118fsumcl 13193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  e.  CC )
120119abscld 12905 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
121118abscld 12905 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  e.  RR )
1221, 121fsumrecl 13194 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
123 1red 9388 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
1241, 118fsumabs 13246 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) ) )
125 rprege0 10992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
126125adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
127126simpld 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
128 reflcl 11629 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
130129, 92rerpdivcld 11041 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  e.  RR )
131 simplr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
132131rprecred 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
13324abscld 12905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
13496rpsqrcld 12881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
135134adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
136135rprecred 11025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  RR )
137117abscld 12905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  RR )
138135, 131rpdivcld 11031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR+ )
13965, 138sseldi 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR )
14024absge0d 12913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) ) )
141117absge0d 12913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )
1422, 3, 17syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
143135rpcnd 11016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
144135rpne0d 11019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
145142, 143, 144absdivd 12924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) ) )
146135rprege0d 11021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  m
) ) )
147 absid 12768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  m
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
149148oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
150145, 149eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( sqr `  m ) ) )
151142abscld 12905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  e.  RR )
152 1red 9388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
153 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
15413ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
155 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
156155nnnn0d 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1575, 153, 7znzrhfo 17821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
158 fof 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
159156, 157, 1583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
160159adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
161 elfzelz 11439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  ZZ )
162 ffvelrn 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
163160, 161, 162syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
1644, 6, 5, 153, 154, 163dchrabs2 22485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  <_  1
)
165151, 152, 135, 164lediv1dd 11068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
166150, 165eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
16799, 107divsqrsum2 22260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
16898, 167mpdan 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
16995rprege0d 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) ) )
170 sqrdiv 12738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
171169, 96, 170syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
172125ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
173 sqrsq 12742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  =  x )
174172, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  =  x )
175174oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( x ^
2 ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
176171, 175eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
177176oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 1  /  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
178 rpcnne0 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
179178ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
180135rpcnne0d 11023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
181 recdiv 10024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
182179, 180, 181syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
183177, 182eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
184168, 183breqtrd 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
( sqr `  m
)  /  x ) )
185133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184lemul12ad 10262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
( 1  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( sqr `  m )  /  x
) ) )
18624, 117absmuld 12923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  =  ( ( abs `  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) ) )
187 1cnd 9389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
188 dmdcan 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( sqr `  m )  /  x )  x.  ( 1  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( 1  /  x ) )
189180, 179, 187, 188syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( 1  /  x
) )
190138rpcnd 11016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  CC )
191 reccl 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
192180, 191syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
193190, 192mulcomd 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
194189, 193eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
195185, 186, 1943brtr4d 4310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
1  /  x ) )
1961, 121, 132, 195fsumle 13244 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x ) )
197 flge0nn0 11649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
198 hashfz1 12100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
199126, 197, 1983syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_ `  x ) )
200199oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
20192rpreccld 11024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
202201rpcnd 11016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
203 fsumconst 13239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
2041, 202, 203syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) ) )
205129recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
206178adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
207206simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
208206simprd 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
209205, 207, 208divrecd 10097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
210200, 204, 2093eqtr4d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  /  x ) )
211196, 210breqtrd 4304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
( ( |_ `  x )  /  x
) )
212 flle 11632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
213127, 212syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  x
)
214127recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
215214mulid1d 9390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
216213, 215breqtrrd 4306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) )
217 rpregt0 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
218217adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
219 ledivmul 10192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
220129, 123, 218, 219syl3anc 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( |_ `  x
)  /  x )  <_  1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
221216, 220mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  <_  1
)
222122, 130, 123, 211, 221letrd 9515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
223120, 122, 123, 124, 222letrd 9515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
224223adantrr 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
22566, 119, 86, 86, 224elo1d 12997 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  O(1) )
226116, 225eqeltrrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )  e.  O(1) )
227105, 106, 226o1dif 13090 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) )  e.  O(1) ) )
22891, 227mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3313    C_ wss 3316   {csn 3865   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    |` cres 4829   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274   +oocpnf 9402   RR*cxr 9404    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   RR+crp 10978   (,)cioo 11287   [,)cico 11289   ...cfz 11423   |_cfl 11623    seqcseq 11789   ^cexp 11848   #chash 12086   sqrcsqr 12705   abscabs 12706    ~~> cli 12945    ~~> r crli 12946   O(1)co1 12947   sum_csu 13146   Basecbs 14156   0gc0g 14360   ZRHomczrh 17772  ℤ/nczn 17775  DChrcdchr 22455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-ec 7091  df-qs 7095  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-o1 12951  df-lo1 12952  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-dvds 13518  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-divs 14429  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-mhm 15446  df-submnd 15447  df-grp 15524  df-minusg 15525  df-sbg 15526  df-mulg 15527  df-subg 15657  df-nsg 15658  df-eqg 15659  df-ghm 15724  df-cntz 15814  df-od 16011  df-cmn 16258  df-abl 16259  df-mgp 16565  df-rng 16579  df-cring 16580  df-ur 16581  df-oppr 16648  df-dvdsr 16666  df-unit 16667  df-invr 16697  df-dvr 16708  df-rnghom 16739  df-drng 16757  df-subrg 16786  df-lmod 16873  df-lss 16935  df-lsp 16974  df-sra 17174  df-rgmod 17175  df-lidl 17176  df-rsp 17177  df-2idl 17235  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-zring 17725  df-zrh 17776  df-zn 17779  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-cxp 21893  df-dchr 22456
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  22651
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