Theorem dchrisum0lem2a 23430

Description: Lemma for dchrisum0 23433. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2a	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12047	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ph )
3		elfznn 11710	. . . . 5 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
4		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
6		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
7		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
8		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3585	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3534	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
12	10, 11	sseldi 3502	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
13	12	eldifad 3488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
14	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
15		nnz 10882	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
16	15	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
17	4, 5, 6, 7, 14, 16	dchrzrhcl 23248	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
18		nnrp 11225	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
19	18	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
20	19	rpsqrtcld 13202	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
21	20	rpcnd 11254	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
22	20	rpne0d 11257	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
23	17, 21, 22	divcld 10316	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
24	2, 3, 23	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
25	1, 24	fsumcl 13514	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
26		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
27		rlimcl 13285	. . . . 5 |- ( H ~~> r U -> U e. CC )
28	26, 27	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U e. CC )
29	28	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> U e. CC )
30		0xr 9636	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
31		0lt1 10071	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
32		df-ioo 11529	. . . . . . . . . 10 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
33		df-ico 11531	. . . . . . . . . 10 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
34		xrltletr 11356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ w ) -> 0 < w ) )
35	32, 33, 34	ixxss1 11543	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo ) )
36	30, 31, 35	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo )
37		ioorp 11598	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
38	36, 37	sseqtri 3536	. . . . . . 7 |- ( 1 [,) +oo ) C_ RR+
39		resmpt 5321	. . . . . . 7 |- ( ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
41	38	sseli 3500	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> x e. RR+ )
42	3	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
43		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
44	43	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
45		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( sqr ` a ) = ( sqr ` m ) )
46	44, 45	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
47		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
48		ovex 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) e. _V
49	46, 47, 48	fvmpt3i 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
50	42, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
51	41, 50	sylanl2 651	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
52		1re 9591	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
53		elicopnf 11616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
55		flge1nn 11919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
56	54, 55	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
57	56	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
58		nnuz 11113	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
59	57, 58	syl6eleq 2565	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	41, 24	sylanl2 651	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
61	51, 59, 60	fsumser 13511	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
62	61	mpteq2dva 4533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
63	40, 62	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
64		fveq2 5864	. . . . . . 7 |- ( m = ( |_ ` x ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
65		rpssre 11226	. . . . . . . . 9 |- RR+ C_ RR
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
67	38, 66	syl5ss 3515	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR )
68		1zzd 10891	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
69	46	cbvmptv 4538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
70	47, 69	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
71	23, 70	fmptd 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> CC )
72	71	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
73	58, 68, 72	serf 12099	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
74	73	feqmptd 5918	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) = ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) )
75		dchrisum0.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
76	74, 75	eqbrtrrd 4469	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) ~~> S )
77	73	ffvelrnda 6019	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) e. CC )
78	54	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> 1 <_ x )
79	78	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
80	58, 64, 67, 68, 76, 77, 79	climrlim2 13329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S )
81		rlimo1 13398	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O(1) )
82	80, 81	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O(1) )
83	63, 82	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O(1) )
84		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
85	25, 84	fmptd 6043	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) : RR+ --> CC )
86		1red 9607	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
87	85, 66, 86	o1resb 13348	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O(1) <-> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O(1) ) )
88	83, 87	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O(1) )
89		o1const 13401	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ U e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O(1) )
90	65, 28, 89	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O(1) )
91	25, 29, 88, 90	o1mul2 13406	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O(1) )
92		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
93		2z 10892	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
94		rpexpcl 12149	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
95	92, 93, 94	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
96	3	nnrpd 11251	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
97		rpdivcl 11238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
98	95, 96, 97	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
99		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
100	99	divsqrsumf 23038	. . . . . . . 8 |- H : RR+ --> RR
101	100	ffvelrni 6018	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
102	98, 101	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
103	102	recnd 9618	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. CC )
104	24, 103	mulcld 9612	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
105	1, 104	fsumcl 13514	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
106	25, 29	mulcld 9612	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
107	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> H ~~> r U )
108	107, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> U e. CC )
109	24, 108	mulcld 9612	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
110	1, 104, 109	fsumsub 13562	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
111	24, 103, 108	subdid 10008	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
112	111	sumeq2dv 13484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
113	1, 29, 24	fsummulc1 13559	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) )
114	113	oveq2d 6298	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
115	110, 112, 114	3eqtr4d 2518	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
116	115	mpteq2dva 4533	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) )
117	103, 108	subcld 9926	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) e. CC )
118	24, 117	mulcld 9612	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
119	1, 118	fsumcl 13514	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
120	119	abscld 13226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
121	118	abscld 13226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
122	1, 121	fsumrecl 13515	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
123		1red 9607	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. RR )
124	1, 118	fsumabs 13574	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
125		rprege0 11230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
126	125	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
127	126	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
128		reflcl 11897	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
130	129, 92	rerpdivcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) e. RR )
131		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
132	131	rprecred 11263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) e. RR )
133	24	abscld 13226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
134	96	rpsqrtcld 13202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
135	134	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
136	135	rprecred 11263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. RR )
137	117	abscld 13226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. RR )
138	135, 131	rpdivcld 11269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR+ )
139	65, 138	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR )
140	24	absge0d 13234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
141	117	absge0d 13234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) )
142	2, 3, 17	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
143	135	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
144	135	rpne0d 11257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
145	142, 143, 144	absdivd 13245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) )
146	135	rprege0d 11259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) )
147		absid 13088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
149	148	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
150	145, 149	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
151	142	abscld 13226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) e. RR )
152		1red 9607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
153		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
154	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
155		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. NN )
156	155	nnnn0d 10848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. NN0 )
157	5, 153, 7	znzrhfo 18353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
158		fof 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
159	156, 157, 158	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
160	159	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
161		elfzelz 11684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
162		ffvelrn 6017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ m e. ZZ ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
163	160, 161, 162	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
164	4, 6, 5, 153, 154, 163	dchrabs2 23265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ 1 )
165	151, 152, 135, 164	lediv1dd 11306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
166	150, 165	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
167	99, 107	divsqrtsum2 23040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
168	98, 167	mpdan 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
169	95	rprege0d 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
170		sqrtdiv 13058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
171	169, 96, 170	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
172	125	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
173		sqrtsq 13062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
174	172, 173	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
175	174	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
176	171, 175	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
177	176	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
178		rpcnne0 11233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
179	178	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
180	135	rpcnne0d 11261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
181		recdiv 10246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
182	179, 180, 181	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
183	177, 182	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
184	168, 183	breqtrd 4471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( ( sqr ` m ) / x ) )
185	133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184	lemul12ad 10484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
186	24, 117	absmuld 13244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
187		1cnd 9608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
188		dmdcan 10250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
189	180, 179, 187, 188	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
190	138	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. CC )
191		reccl 10210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
192	180, 191	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
193	190, 192	mulcomd 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
194	189, 193	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
195	185, 186, 194	3brtr4d 4477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( 1 / x ) )
196	1, 121, 132, 195	fsumle 13572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) )
197		flge0nn0 11918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
198		hashfz1 12383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
199	126, 197, 198	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
200	199	oveq1d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
201	92	rpreccld 11262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
202	201	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. CC )
203		fsumconst 13564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( 1 / x ) e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
204	1, 202, 203	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
205	129	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. CC )
206	178	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
207	206	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
208	206	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
209	205, 207, 208	divrecd 10319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
210	200, 204, 209	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( |_ ` x ) / x ) )
211	196, 210	breqtrd 4471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( |_ ` x ) / x ) )
212		flle 11900	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
213	127, 212	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
214	127	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
215	214	mulid1d 9609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. 1 ) = x )
216	213, 215	breqtrrd 4473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) )
217		rpregt0 11229	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
218	217	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
219		ledivmul 10414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
220	129, 123, 218, 219	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
221	216, 220	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 )
222	122, 130, 123, 211, 221	letrd 9734	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
223	120, 122, 123, 124, 222	letrd 9734	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
224	223	adantrr 716	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
225	66, 119, 86, 86, 224	elo1d 13318	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. O(1) )
226	116, 225	eqeltrrd 2556	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) e. O(1) )
227	105, 106, 226	o1dif 13411	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O(1) ) )
228	91, 227	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   \ cdif 3473   C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   |` cres 5001   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   ...cfz 11668   |_cfl 11891   seqcseq 12071   ^cexp 12130   #chash 12369   sqrcsqrt 13025   abscabs 13026   ~~> cli 13266   ~~> r crli 13267   O(1)co1 13268   sum_csu 13467   Basecbs 14486   0gc0g 14691   ZRHomczrh 18304  ℤ/nℤczn 18307  DChrcdchr 23235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-o1 13272  df-lo1 13273  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-divs 14760  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-nsg 15994  df-eqg 15995  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-od 16349  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-rnghom 17148  df-drng 17181  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-lidl 17603  df-rsp 17604  df-2idl 17662  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308  df-zn 18311  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673  df-dchr 23236

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  23431