Theorem dchrisum0lem2a 21164

Description: Lemma for dchrisum0 21167. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2a	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O ( 1 ) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11267	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		simpl 444	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ph )
3		elfznn 11036	. . . . 5 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
4		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
6		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
7		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
8		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3338	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
12	10, 11	sseldi 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
13	12	eldifad 3292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
14	13	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
15		nnz 10259	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
16	15	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
17	4, 5, 6, 7, 14, 16	dchrzrhcl 20982	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
18		nnrp 10577	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
19	18	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
20	19	rpsqrcld 12169	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
21	20	rpcnd 10606	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
22	20	rpne0d 10609	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
23	17, 21, 22	divcld 9746	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
24	2, 3, 23	syl2an 464	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
25	1, 24	fsumcl 12482	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
26		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
27		rlimcl 12252	. . . . 5 |- ( H ~~> r U -> U e. CC )
28	26, 27	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U e. CC )
29	28	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> U e. CC )
30		0xr 9087	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
31		0lt1 9506	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
32		df-ioo 10876	. . . . . . . . . 10 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
33		df-ico 10878	. . . . . . . . . 10 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
34		xrltletr 10703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ w ) -> 0 < w ) )
35	32, 33, 34	ixxss1 10890	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo ) )
36	30, 31, 35	mp2an 654	. . . . . . . 8 |- ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo )
37		ioorp 10944	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
38	36, 37	sseqtri 3340	. . . . . . 7 |- ( 1 [,) +oo ) C_ RR+
39		resmpt 5150	. . . . . . 7 |- ( ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
40	38, 39	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
41	38	sseli 3304	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> x e. RR+ )
42	3	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
43		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
44	43	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
45		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( sqr ` a ) = ( sqr ` m ) )
46	44, 45	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
47		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
48		ovex 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) e. _V
49	46, 47, 48	fvmpt3i 5768	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
50	42, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
51	41, 50	sylanl2 633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
52		1re 9046	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
53		elicopnf 10956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
54	52, 53	ax-mp 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
55		flge1nn 11181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
56	54, 55	sylbi 188	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
57	56	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
58		nnuz 10477	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
59	57, 58	syl6eleq 2494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	41, 24	sylanl2 633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
61	51, 59, 60	fsumser 12479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
62	61	mpteq2dva 4255	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
63	40, 62	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
64		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( m = ( |_ ` x ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
65		rpssre 10578	. . . . . . . . 9 |- RR+ C_ RR
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
67	38, 66	syl5ss 3319	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR )
68		1z 10267	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
70	46	cbvmptv 4260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
71	47, 70	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
72	23, 71	fmptd 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> CC )
73	72	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
74	58, 69, 73	serf 11306	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
75	74	feqmptd 5738	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) = ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) )
76		dchrisum0.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
77	75, 76	eqbrtrrd 4194	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) ~~> S )
78	74	ffvelrnda 5829	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) e. CC )
79	54	simprbi 451	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> 1 <_ x )
80	79	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
81	58, 64, 67, 69, 77, 78, 80	climrlim2 12296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S )
82		rlimo1 12365	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O ( 1 ) )
83	81, 82	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O ( 1 ) )
84	63, 83	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O ( 1 ) )
85		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
86	25, 85	fmptd 5852	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) : RR+ --> CC )
87	52	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
88	86, 66, 87	o1resb 12315	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O ( 1 ) <-> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O ( 1 ) ) )
89	84, 88	mpbird 224	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O ( 1 ) )
90		o1const 12368	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ U e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O ( 1 ) )
91	65, 28, 90	sylancr 645	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O ( 1 ) )
92	25, 29, 89, 91	o1mul2 12373	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O ( 1 ) )
93		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
94		2z 10268	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
95		rpexpcl 11355	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
96	93, 94, 95	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
97	3	nnrpd 10603	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
98		rpdivcl 10590	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
99	96, 97, 98	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
100		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
101	100	divsqrsumf 20772	. . . . . . . 8 |- H : RR+ --> RR
102	101	ffvelrni 5828	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
103	99, 102	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
104	103	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. CC )
105	24, 104	mulcld 9064	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
106	1, 105	fsumcl 12482	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
107	25, 29	mulcld 9064	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
108	26	ad2antrr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> H ~~> r U )
109	108, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> U e. CC )
110	24, 109	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
111	1, 105, 110	fsumsub 12526	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
112	24, 104, 109	subdid 9445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
113	112	sumeq2dv 12452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
114	1, 29, 24	fsummulc1 12523	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) )
115	114	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
116	111, 113, 115	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
117	116	mpteq2dva 4255	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) )
118	104, 109	subcld 9367	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) e. CC )
119	24, 118	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
120	1, 119	fsumcl 12482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
121	120	abscld 12193	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
122	119	abscld 12193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
123	1, 122	fsumrecl 12483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
124	52	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. RR )
125	1, 119	fsumabs 12535	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
126		rprege0 10582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
127	126	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
128	127	simpld 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
129		reflcl 11160	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
130	128, 129	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
131	130, 93	rerpdivcld 10631	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) e. RR )
132		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
133	132	rprecred 10615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) e. RR )
134	24	abscld 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
135	97	rpsqrcld 12169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
136	135	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
137	136	rprecred 10615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. RR )
138	118	abscld 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. RR )
139	136, 132	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR+ )
140	65, 139	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR )
141	24	absge0d 12201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
142	118	absge0d 12201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) )
143	2, 3, 17	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
144	136	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
145	136	rpne0d 10609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
146	143, 144, 145	absdivd 12212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) )
147	136	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) )
148		absid 12056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
149	147, 148	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
150	149	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
151	146, 150	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
152	143	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) e. RR )
153	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
154		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
155	13	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
156		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. NN )
157	156	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. NN0 )
158	5, 154, 7	znzrhfo 16783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
159		fof 5612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
160	157, 158, 159	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
161	160	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
162		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
163		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ m e. ZZ ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
164	161, 162, 163	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
165	4, 6, 5, 154, 155, 164	dchrabs2 20999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ 1 )
166	152, 153, 136, 165	lediv1dd 10658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
167	151, 166	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
168	100, 108	divsqrsum2 20774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
169	99, 168	mpdan 650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
170	96	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
171		sqrdiv 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
172	170, 97, 171	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
173	126	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
174		sqrsq 12030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
175	173, 174	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
176	175	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
177	172, 176	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
178	177	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
179		rpcnne0 10585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
180	179	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
181	136	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
182		recdiv 9676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
183	180, 181, 182	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
184	178, 183	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
185	169, 184	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( ( sqr ` m ) / x ) )
186	134, 137, 138, 140, 141, 142, 167, 185	lemul12ad 9909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
187	24, 118	absmuld 12211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
188		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
189	188	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
190		dmdcan 9680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
191	181, 180, 189, 190	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
192	139	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. CC )
193		reccl 9641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
194	181, 193	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
195	192, 194	mulcomd 9065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
196	191, 195	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
197	186, 187, 196	3brtr4d 4202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( 1 / x ) )
198	1, 122, 133, 197	fsumle 12533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) )
199		flge0nn0 11180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
200		hashfz1 11585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
201	127, 199, 200	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
202	201	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
203	93	rpreccld 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
204	203	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. CC )
205		fsumconst 12528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( 1 / x ) e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
206	1, 204, 205	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
207	130	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. CC )
208	179	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
209	208	simpld 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
210	208	simprd 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
211	207, 209, 210	divrecd 9749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
212	202, 206, 211	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( |_ ` x ) / x ) )
213	198, 212	breqtrd 4196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( |_ ` x ) / x ) )
214		flle 11163	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
215	128, 214	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
216	128	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
217	216	mulid1d 9061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. 1 ) = x )
218	215, 217	breqtrrd 4198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) )
219		rpregt0 10581	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
220	219	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
221		ledivmul 9839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
222	130, 124, 220, 221	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
223	218, 222	mpbird 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 )
224	123, 131, 124, 213, 223	letrd 9183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
225	121, 123, 124, 125, 224	letrd 9183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
226	225	adantrr 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
227	66, 120, 87, 87, 226	elo1d 12285	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. O ( 1 ) )
228	117, 227	eqeltrrd 2479	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) e. O ( 1 ) )
229	106, 107, 228	o1dif 12378	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O ( 1 ) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O ( 1 ) ) )
230	92, 229	mpbird 224	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O ( 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   \ cdif 3277   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   |` cres 4839   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   seq cseq 11278   ^cexp 11337   #chash 11573   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   ~~> cli 12233   ~~> r crli 12234   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736  DChrcdchr 20969

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  21165

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-dchr 20970