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Theorem dchrisum0lem2a 22771
Description: Lemma for dchrisum0 22774. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
dchrisum0lem2.h  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
dchrisum0lem2.u  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y    U, m, x    x, W   
m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    U( y, a, d)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    H( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11800 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 simpl 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ph )
3 elfznn 11483 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 ssrab2 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
108, 9eqsstri 3391 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1210, 11sseldi 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1312eldifad 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
15 nnz 10673 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
174, 5, 6, 7, 14, 16dchrzrhcl 22589 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
18 nnrp 11005 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
1918adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2019rpsqrcld 12903 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
2120rpcnd 11034 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
2220rpne0d 11037 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
2317, 21, 22divcld 10112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
242, 3, 23syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
251, 24fsumcl 13215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
26 dchrisum0lem2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
27 rlimcl 12986 . . . . 5  |-  ( H  ~~> r  U  ->  U  e.  CC )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2928adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  U  e.  CC )
30 0xr 9435 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
31 0lt1 9867 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
32 df-ioo 11309 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
33 df-ico 11311 . . . . . . . . . 10  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
34 xrltletr 11136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  w )  ->  0  <  w
) )
3532, 33, 34ixxss1 11323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (
1 [,) +oo )  C_  ( 0 (,) +oo ) )
3630, 31, 35mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  ( 0 (,) +oo )
37 ioorp 11378 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
3836, 37sseqtri 3393 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,) +oo )  C_  RR+
39 resmpt 5161 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,) +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
4138sseli 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
423adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
43 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
4443fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
45 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  m
) )
4644, 45oveq12d 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
47 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
48 ovex 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) )  e.  _V
4946, 47, 48fvmpt3i 5783 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
5042, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
5141, 50sylanl2 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
52 1re 9390 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
53 elicopnf 11390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
55 flge1nn 11672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
5654, 55sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( |_
`  x )  e.  NN )
5756adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
58 nnuz 10901 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6041, 24sylanl2 651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
6151, 59, 60fsumser 13212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )
6261mpteq2dva 4383 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |-> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) ) )
6340, 62syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )
64 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( |_ `  x )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )
65 rpssre 11006 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
6665a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
6738, 66syl5ss 3372 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 [,) +oo )  C_  RR )
68 1zzd 10682 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6946cbvmptv 4388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7047, 69eqtri 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7123, 70fmptd 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
7271ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
7358, 68, 72serf 11839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
7473feqmptd 5749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m ) ) )
75 dchrisum0.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
7674, 75eqbrtrrd 4319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m ) )  ~~>  S )
7773ffvelrnda 5848 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  m
)  e.  CC )
7854simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  1  <_  x )
7978adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
8058, 64, 67, 68, 76, 77, 79climrlim2 13030 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S )
81 rlimo1 13099 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1) )
8280, 81syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1) )
8363, 82eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) )
84 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
8525, 84fmptd 5872 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) ) : RR+ --> CC )
86 1red 9406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
8785, 66, 86o1resb 13049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O(1)  <->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,) +oo ) )  e.  O(1) ) )
8883, 87mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O(1) )
89 o1const 13102 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  U  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  U )  e.  O(1) )
9065, 28, 89sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  U )  e.  O(1) )
9125, 29, 88, 90o1mul2 13107 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  e.  O(1) )
92 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
93 2z 10683 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
94 rpexpcl 11889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
9592, 93, 94sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
963nnrpd 11031 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  RR+ )
97 rpdivcl 11018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
9895, 96, 97syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
99 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
10099divsqrsumf 22379 . . . . . . . 8  |-  H : RR+
--> RR
101100ffvelrni 5847 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+  ->  ( H `
 ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  e.  RR )
10298, 101syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR )
103102recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  CC )
10424, 103mulcld 9411 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
1051, 104fsumcl 13215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
10625, 29mulcld 9411 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  e.  CC )
10726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  H  ~~> r  U
)
108107, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  U  e.  CC )
10924, 108mulcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U )  e.  CC )
1101, 104, 109fsumsub 13260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
11124, 103, 108subdid 9805 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
112111sumeq2dv 13185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
1131, 29, 24fsummulc1 13257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) )
114113oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
115110, 112, 1143eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
116115mpteq2dva 4383 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) ) )
117103, 108subcld 9724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) )  -  U )  e.  CC )
11824, 117mulcld 9411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  CC )
1191, 118fsumcl 13215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  e.  CC )
120119abscld 12927 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
121118abscld 12927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  e.  RR )
1221, 121fsumrecl 13216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
123 1red 9406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
1241, 118fsumabs 13269 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) ) )
125 rprege0 11010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
126125adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
127126simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
128 reflcl 11651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
130129, 92rerpdivcld 11059 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  e.  RR )
131 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
132131rprecred 11043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
13324abscld 12927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
13496rpsqrcld 12903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
135134adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
136135rprecred 11043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  RR )
137117abscld 12927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  RR )
138135, 131rpdivcld 11049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR+ )
13965, 138sseldi 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR )
14024absge0d 12935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) ) )
141117absge0d 12935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )
1422, 3, 17syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
143135rpcnd 11034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
144135rpne0d 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
145142, 143, 144absdivd 12946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) ) )
146135rprege0d 11039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  m
) ) )
147 absid 12790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  m
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
149148oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
150145, 149eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( sqr `  m ) ) )
151142abscld 12927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  e.  RR )
152 1red 9406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
153 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
15413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
155 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
156155nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1575, 153, 7znzrhfo 17985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
158 fof 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
159156, 157, 1583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
160159adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
161 elfzelz 11458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  ZZ )
162 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
163160, 161, 162syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
1644, 6, 5, 153, 154, 163dchrabs2 22606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  <_  1
)
165151, 152, 135, 164lediv1dd 11086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
166150, 165eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
16799, 107divsqrsum2 22381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
16898, 167mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
16995rprege0d 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) ) )
170 sqrdiv 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
171169, 96, 170syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
172125ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
173 sqrsq 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  =  x )
174172, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  =  x )
175174oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( x ^
2 ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
176171, 175eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
177176oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 1  /  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
178 rpcnne0 11013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
179178ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
180135rpcnne0d 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
181 recdiv 10042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
182179, 180, 181syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
183177, 182eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
184168, 183breqtrd 4321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
( sqr `  m
)  /  x ) )
185133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184lemul12ad 10280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
( 1  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( sqr `  m )  /  x
) ) )
18624, 117absmuld 12945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  =  ( ( abs `  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) ) )
187 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
188 dmdcan 10046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( sqr `  m )  /  x )  x.  ( 1  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( 1  /  x ) )
189180, 179, 187, 188syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( 1  /  x
) )
190138rpcnd 11034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  CC )
191 reccl 10006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
192180, 191syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
193190, 192mulcomd 9412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
194189, 193eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
195185, 186, 1943brtr4d 4327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
1  /  x ) )
1961, 121, 132, 195fsumle 13267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x ) )
197 flge0nn0 11671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
198 hashfz1 12122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
199126, 197, 1983syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_ `  x ) )
200199oveq1d 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
20192rpreccld 11042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
202201rpcnd 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
203 fsumconst 13262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
2041, 202, 203syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) ) )
205129recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
206178adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
207206simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
208206simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
209205, 207, 208divrecd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
210200, 204, 2093eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  /  x ) )
211196, 210breqtrd 4321 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
( ( |_ `  x )  /  x
) )
212 flle 11654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
213127, 212syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  x
)
214127recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
215214mulid1d 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
216213, 215breqtrrd 4323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) )
217 rpregt0 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
218217adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
219 ledivmul 10210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
220129, 123, 218, 219syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( |_ `  x
)  /  x )  <_  1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
221216, 220mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  <_  1
)
222122, 130, 123, 211, 221letrd 9533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
223120, 122, 123, 124, 222letrd 9533 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
224223adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
22566, 119, 86, 86, 224elo1d 13019 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  O(1) )
226116, 225eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )  e.  O(1) )
227105, 106, 226o1dif 13112 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) )  e.  O(1) ) )
22891, 227mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   {crab 2724    \ cdif 3330    C_ wss 3333   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    |` cres 4847   -->wf 5419   -onto->wfo 5421   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   [,)cico 11307   ...cfz 11442   |_cfl 11645    seqcseq 11811   ^cexp 11870   #chash 12108   sqrcsqr 12727   abscabs 12728    ~~> cli 12967    ~~> r crli 12968   O(1)co1 12969   sum_csu 13168   Basecbs 14179   0gc0g 14383   ZRHomczrh 17936  ℤ/nczn 17939  DChrcdchr 22576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-o1 12973  df-lo1 12974  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-divs 14452  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-od 16037  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-rnghom 16811  df-drng 16839  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-rsp 17261  df-2idl 17319  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-zn 17943  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cxp 22014  df-dchr 22577
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  22772
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