Theorem dchrisum0lem2a 22771

Description: Lemma for dchrisum0 22774. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2a	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11800	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ph )
3		elfznn 11483	. . . . 5 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
4		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
6		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
7		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
8		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3442	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3391	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
12	10, 11	sseldi 3359	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
13	12	eldifad 3345	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
14	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
15		nnz 10673	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
16	15	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
17	4, 5, 6, 7, 14, 16	dchrzrhcl 22589	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
18		nnrp 11005	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
19	18	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
20	19	rpsqrcld 12903	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
21	20	rpcnd 11034	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
22	20	rpne0d 11037	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
23	17, 21, 22	divcld 10112	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
24	2, 3, 23	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
25	1, 24	fsumcl 13215	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
26		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
27		rlimcl 12986	. . . . 5 |- ( H ~~> r U -> U e. CC )
28	26, 27	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> U e. CC )
29	28	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> U e. CC )
30		0xr 9435	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
31		0lt1 9867	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
32		df-ioo 11309	. . . . . . . . . 10 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
33		df-ico 11311	. . . . . . . . . 10 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
34		xrltletr 11136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ w ) -> 0 < w ) )
35	32, 33, 34	ixxss1 11323	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo ) )
36	30, 31, 35	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo )
37		ioorp 11378	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
38	36, 37	sseqtri 3393	. . . . . . 7 |- ( 1 [,) +oo ) C_ RR+
39		resmpt 5161	. . . . . . 7 |- ( ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
41	38	sseli 3357	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> x e. RR+ )
42	3	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
43		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
44	43	fveq2d 5700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
45		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( sqr ` a ) = ( sqr ` m ) )
46	44, 45	oveq12d 6114	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
47		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
48		ovex 6121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) e. _V
49	46, 47, 48	fvmpt3i 5783	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
50	42, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
51	41, 50	sylanl2 651	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
52		1re 9390	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
53		elicopnf 11390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
55		flge1nn 11672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
56	54, 55	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
57	56	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
58		nnuz 10901	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
59	57, 58	syl6eleq 2533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	41, 24	sylanl2 651	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
61	51, 59, 60	fsumser 13212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
62	61	mpteq2dva 4383	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
63	40, 62	syl5eq 2487	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
64		fveq2 5696	. . . . . . 7 |- ( m = ( |_ ` x ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
65		rpssre 11006	. . . . . . . . 9 |- RR+ C_ RR
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
67	38, 66	syl5ss 3372	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR )
68		1zzd 10682	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
69	46	cbvmptv 4388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
70	47, 69	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
71	23, 70	fmptd 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> CC )
72	71	ffvelrnda 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
73	58, 68, 72	serf 11839	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
74	73	feqmptd 5749	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) = ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) )
75		dchrisum0.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
76	74, 75	eqbrtrrd 4319	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) ~~> S )
77	73	ffvelrnda 5848	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) e. CC )
78	54	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> 1 <_ x )
79	78	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
80	58, 64, 67, 68, 76, 77, 79	climrlim2 13030	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S )
81		rlimo1 13099	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O(1) )
82	80, 81	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O(1) )
83	63, 82	eqeltrd 2517	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O(1) )
84		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
85	25, 84	fmptd 5872	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) : RR+ --> CC )
86		1red 9406	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
87	85, 66, 86	o1resb 13049	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O(1) <-> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O(1) ) )
88	83, 87	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O(1) )
89		o1const 13102	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ U e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O(1) )
90	65, 28, 89	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O(1) )
91	25, 29, 88, 90	o1mul2 13107	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O(1) )
92		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
93		2z 10683	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
94		rpexpcl 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
95	92, 93, 94	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
96	3	nnrpd 11031	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
97		rpdivcl 11018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
98	95, 96, 97	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
99		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
100	99	divsqrsumf 22379	. . . . . . . 8 |- H : RR+ --> RR
101	100	ffvelrni 5847	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
102	98, 101	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
103	102	recnd 9417	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. CC )
104	24, 103	mulcld 9411	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
105	1, 104	fsumcl 13215	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
106	25, 29	mulcld 9411	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
107	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> H ~~> r U )
108	107, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> U e. CC )
109	24, 108	mulcld 9411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
110	1, 104, 109	fsumsub 13260	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
111	24, 103, 108	subdid 9805	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
112	111	sumeq2dv 13185	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
113	1, 29, 24	fsummulc1 13257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) )
114	113	oveq2d 6112	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
115	110, 112, 114	3eqtr4d 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
116	115	mpteq2dva 4383	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) )
117	103, 108	subcld 9724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) e. CC )
118	24, 117	mulcld 9411	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
119	1, 118	fsumcl 13215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
120	119	abscld 12927	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
121	118	abscld 12927	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
122	1, 121	fsumrecl 13216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
123		1red 9406	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. RR )
124	1, 118	fsumabs 13269	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
125		rprege0 11010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
126	125	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
127	126	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
128		reflcl 11651	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
130	129, 92	rerpdivcld 11059	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) e. RR )
131		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
132	131	rprecred 11043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) e. RR )
133	24	abscld 12927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
134	96	rpsqrcld 12903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
135	134	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
136	135	rprecred 11043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. RR )
137	117	abscld 12927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. RR )
138	135, 131	rpdivcld 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR+ )
139	65, 138	sseldi 3359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR )
140	24	absge0d 12935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
141	117	absge0d 12935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) )
142	2, 3, 17	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
143	135	rpcnd 11034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
144	135	rpne0d 11037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
145	142, 143, 144	absdivd 12946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) )
146	135	rprege0d 11039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) )
147		absid 12790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
149	148	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
150	145, 149	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
151	142	abscld 12927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) e. RR )
152		1red 9406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
153		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
154	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
155		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. NN )
156	155	nnnn0d 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. NN0 )
157	5, 153, 7	znzrhfo 17985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
158		fof 5625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
159	156, 157, 158	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
160	159	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
161		elfzelz 11458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
162		ffvelrn 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ m e. ZZ ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
163	160, 161, 162	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
164	4, 6, 5, 153, 154, 163	dchrabs2 22606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ 1 )
165	151, 152, 135, 164	lediv1dd 11086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
166	150, 165	eqbrtrd 4317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
167	99, 107	divsqrsum2 22381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
168	98, 167	mpdan 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
169	95	rprege0d 11039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
170		sqrdiv 12760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
171	169, 96, 170	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
172	125	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
173		sqrsq 12764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
174	172, 173	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
175	174	oveq1d 6111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
176	171, 175	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
177	176	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
178		rpcnne0 11013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
179	178	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
180	135	rpcnne0d 11041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
181		recdiv 10042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
182	179, 180, 181	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
183	177, 182	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
184	168, 183	breqtrd 4321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( ( sqr ` m ) / x ) )
185	133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184	lemul12ad 10280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
186	24, 117	absmuld 12945	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
187		1cnd 9407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
188		dmdcan 10046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
189	180, 179, 187, 188	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
190	138	rpcnd 11034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. CC )
191		reccl 10006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
192	180, 191	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
193	190, 192	mulcomd 9412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
194	189, 193	eqtr3d 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
195	185, 186, 194	3brtr4d 4327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( 1 / x ) )
196	1, 121, 132, 195	fsumle 13267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) )
197		flge0nn0 11671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
198		hashfz1 12122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
199	126, 197, 198	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
200	199	oveq1d 6111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
201	92	rpreccld 11042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
202	201	rpcnd 11034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. CC )
203		fsumconst 13262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( 1 / x ) e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
204	1, 202, 203	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
205	129	recnd 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. CC )
206	178	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
207	206	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
208	206	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
209	205, 207, 208	divrecd 10115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
210	200, 204, 209	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( |_ ` x ) / x ) )
211	196, 210	breqtrd 4321	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( |_ ` x ) / x ) )
212		flle 11654	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
213	127, 212	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
214	127	recnd 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
215	214	mulid1d 9408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. 1 ) = x )
216	213, 215	breqtrrd 4323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) )
217		rpregt0 11009	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
218	217	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
219		ledivmul 10210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
220	129, 123, 218, 219	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
221	216, 220	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 )
222	122, 130, 123, 211, 221	letrd 9533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
223	120, 122, 123, 124, 222	letrd 9533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
224	223	adantrr 716	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
225	66, 119, 86, 86, 224	elo1d 13019	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. O(1) )
226	116, 225	eqeltrrd 2518	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) e. O(1) )
227	105, 106, 226	o1dif 13112	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O(1) ) )
228	91, 227	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   {crab 2724   \ cdif 3330   C_ wss 3333   {csn 3882   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   |` cres 4847   -->wf 5419   -onto->wfo 5421   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422   < clt 9423   <_ cle 9424   - cmin 9600   / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   [,)cico 11307   ...cfz 11442   |_cfl 11645   seqcseq 11811   ^cexp 11870   #chash 12108   sqrcsqr 12727   abscabs 12728   ~~> cli 12967   ~~> r crli 12968   O(1)co1 12969   sum_csu 13168   Basecbs 14179   0gc0g 14383   ZRHomczrh 17936  ℤ/nℤczn 17939  DChrcdchr 22576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-o1 12973  df-lo1 12974  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-divs 14452  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-od 16037  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-rnghom 16811  df-drng 16839  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-rsp 17261  df-2idl 17319  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-zn 17943  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cxp 22014  df-dchr 22577

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  22772