Proof of Theorem dchrisum0lem2
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2cnd 10682 |
. . 3
 

  |
2 | | rpcn 11310 |
. . . . 5

  |
3 | 2 | adantl 468 |
. . . 4
 

  |
4 | | fzfid 12186 |
. . . . 5
 

          |
5 | | rpvmasum2.g |
. . . . . . 7
DChr   |
6 | | rpvmasum.z |
. . . . . . 7
ℤ/nℤ   |
7 | | rpvmasum2.d |
. . . . . . 7
     |
8 | | rpvmasum.l |
. . . . . . 7
 RHom   |
9 | | rpvmasum2.w |
. . . . . . . . . . 11
                |
10 | | ssrab2 3514 |
. . . . . . . . . . 11
   
           
  |
11 | 9, 10 | eqsstri 3462 |
. . . . . . . . . 10

  |
12 | | dchrisum0.b |
. . . . . . . . . 10
   |
13 | 11, 12 | sseldi 3430 |
. . . . . . . . 9
     |
14 | 13 | eldifad 3416 |
. . . . . . . 8
   |
15 | 14 | ad2antrr 732 |
. . . . . . 7
            
  |
16 | | elfzelz 11800 |
. . . . . . . 8
           |
17 | 16 | adantl 468 |
. . . . . . 7
            
  |
18 | 5, 6, 7, 8, 15, 17 | dchrzrhcl 24173 |
. . . . . 6
            
          |
19 | | elfznn 11828 |
. . . . . . . . 9
           |
20 | 19 | nnrpd 11339 |
. . . . . . . 8
           |
21 | 20 | adantl 468 |
. . . . . . 7
            
  |
22 | 21 | rpcnd 11343 |
. . . . . 6
            
  |
23 | 21 | rpne0d 11346 |
. . . . . 6
            
  |
24 | 18, 22, 23 | divcld 10383 |
. . . . 5
            
            |
25 | 4, 24 | fsumcl 13799 |
. . . 4
 

                      |
26 | 3, 25 | mulcld 9663 |
. . 3
 

                        |
27 | | rpssre 11312 |
. . . . 5
 |
28 | | 2cn 10680 |
. . . . 5
 |
29 | | o1const 13683 |
. . . . 5
          |
30 | 27, 28, 29 | mp2an 678 |
. . . 4

     |
31 | 30 | a1i 11 |
. . 3
        |
32 | 27 | a1i 11 |
. . . 4
   |
33 | | 1red 9658 |
. . . 4
   |
34 | | dchrisum0lem2.e |
. . . . 5
      |
35 | | elrege0 11738 |
. . . . . 6
   
    |
36 | 35 | simplbi 462 |
. . . . 5
   
  |
37 | 34, 36 | syl 17 |
. . . 4
   |
38 | 3, 25 | absmuld 13516 |
. . . . . . 7
 

                                                          |
39 | | rprege0 11316 |
. . . . . . . . . 10

    |
40 | 39 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
 

    |
41 | | absid 13359 |
. . . . . . . . 9
         |
42 | 40, 41 | syl 17 |
. . . . . . . 8
 

      |
43 | 42 | oveq1d 6305 |
. . . . . . 7
 

                                                          |
44 | 38, 43 | eqtrd 2485 |
. . . . . 6
 

                                                      |
45 | 44 | adantrr 723 |
. . . . 5
 
                                                         |
46 | 25 | adantrr 723 |
. . . . . . . . . 10
 
                         |
47 | 46 | subid1d 9975 |
. . . . . . . . 9
 
                         
                     |
48 | 19 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . 13
            
  |
49 | | fveq2 5865 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
           |
50 | 49 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                   |
51 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   |
52 | 50, 51 | oveq12d 6308 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       |
53 | | dchrisum0lem2.k |
. . . . . . . . . . . . . 14
             |
54 | | ovex 6318 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           |
55 | 52, 53, 54 | fvmpt3i 5953 |
. . . . . . . . . . . . 13
                 |
56 | 48, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
            
                |
57 | 56 | adantlrr 727 |
. . . . . . . . . . 11
     
                         |
58 | | rpregt0 11315 |
. . . . . . . . . . . . . . 15

    |
59 | 58 | ad2antrl 734 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
       |
60 | 59 | simpld 461 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
  
  |
61 | | simprr 766 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
  
  |
62 | | flge1nn 12055 |
. . . . . . . . . . . . 13
         |
63 | 60, 61, 62 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
64 | | nnuz 11194 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
65 | 63, 64 | syl6eleq 2539 |
. . . . . . . . . . 11
 
             |
66 | 24 | adantlrr 727 |
. . . . . . . . . . 11
     
                     |
67 | 57, 65, 66 | fsumser 13796 |
. . . . . . . . . 10
 
                                   |
68 | | rpvmasum.a |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
69 | | rpvmasum2.1 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     |
70 | | eldifsni 4098 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    |
71 | 13, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  |
72 | | dchrisum0lem2.t |
. . . . . . . . . . . . . 14
      |
73 | | dchrisum0lem2.3 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                     
    |
74 | 6, 8, 68, 5, 7, 69, 14, 71, 53, 34, 72, 73, 9 | dchrvmaeq0 24342 |
. . . . . . . . . . . . 13
     |
75 | 12, 74 | mpbid 214 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
76 | 75 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
 
  
  |
77 | 76 | eqcomd 2457 |
. . . . . . . . . 10
 
     |
78 | 67, 77 | oveq12d 6308 |
. . . . . . . . 9
 
                                       |
79 | 47, 78 | eqtr3d 2487 |
. . . . . . . 8
 
                                     |
80 | 79 | fveq2d 5869 |
. . . . . . 7
 
                                             |
81 | | 1re 9642 |
. . . . . . . . . 10
 |
82 | | elicopnf 11730 |
. . . . . . . . . 10
    
     |
83 | 81, 82 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
   
    |
84 | 60, 61, 83 | sylanbrc 670 |
. . . . . . . 8
 
  
     |
85 | 73 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
 
   
 
                 
    |
86 | | fveq2 5865 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
87 | 86 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . . 12
                       |
88 | 87 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . . . . 11
                           |
89 | 88 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . . . 10
                                   |
90 | | oveq2 6298 |
. . . . . . . . . 10
       |
91 | 89, 90 | breq12d 4415 |
. . . . . . . . 9
                 
 
                     |
92 | 91 | rspcv 3146 |
. . . . . . . 8
   
 
                   
                 
     |
93 | 84, 85, 92 | sylc 62 |
. . . . . . 7
 
                  
    |
94 | 80, 93 | eqbrtrd 4423 |
. . . . . 6
 
                               |
95 | 46 | abscld 13498 |
. . . . . . 7
 
                             |
96 | 37 | adantr 467 |
. . . . . . 7
 
  
  |
97 | | lemuldiv2 10487 |
. . . . . . 7
                                                       
   
                   
     |
98 | 95, 96, 59, 97 | syl3anc 1268 |
. . . . . 6
 
                             
   
                   
     |
99 | 94, 98 | mpbird 236 |
. . . . 5
 
                               |
100 | 45, 99 | eqbrtrd 4423 |
. . . 4
 
                               |
101 | 32, 26, 33, 37, 100 | elo1d 13600 |
. . 3
  
                           |
102 | 1, 26, 31, 101 | o1mul2 13688 |
. 2
                                |
103 | | fzfid 12186 |
. . . . 5
            
                |
104 | 21 | rpsqrtcld 13473 |
. . . . . . . . 9
            
      |
105 | 104 | rpcnd 11343 |
. . . . . . . 8
            
      |
106 | 104 | rpne0d 11346 |
. . . . . . . 8
            
      |
107 | 18, 105, 106 | divcld 10383 |
. . . . . . 7
            
                |
108 | 107 | adantr 467 |
. . . . . 6
   

                       
                |
109 | | elfznn 11828 |
. . . . . . . . . 10
                 |
110 | 109 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
   

                       
  |
111 | 110 | nnrpd 11339 |
. . . . . . . 8
   

                       
  |
112 | 111 | rpsqrtcld 13473 |
. . . . . . 7
   

                       
      |
113 | 112 | rpcnd 11343 |
. . . . . 6
   

                       
      |
114 | 112 | rpne0d 11346 |
. . . . . 6
   

                       
      |
115 | 108, 113,
114 | divcld 10383 |
. . . . 5
   

                       
                      |
116 | 103, 115 | fsumcl 13799 |
. . . 4
            
                                      |
117 | 4, 116 | fsumcl 13799 |
. . 3
 

                                                |
118 | | mulcl 9623 |
. . . 4
  
                                                |
119 | 28, 26, 118 | sylancr 669 |
. . 3
 

  
                       |
120 | | 2re 10679 |
. . . . . . . . . 10
 |
121 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

  |
122 | | 2z 10969 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 |
123 | | rpexpcl 12291 |
. . . . . . . . . . . . . 14
         |
124 | 121, 122,
123 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

      |
125 | | rpdivcl 11325 |
. . . . . . . . . . . . 13
               |
126 | 124, 20, 125 | syl2an 480 |
. . . . . . . . . . . 12
            
        |
127 | 126 | rpsqrtcld 13473 |
. . . . . . . . . . 11
            
            |
128 | 127 | rpred 11341 |
. . . . . . . . . 10
            
            |
129 | | remulcl 9624 |
. . . . . . . . . 10
                           |
130 | 120, 128,
129 | sylancr 669 |
. . . . . . . . 9
            
              |
131 | 130 | recnd 9669 |
. . . . . . . 8
            
              |
132 | 107, 131 | mulcld 9663 |
. . . . . . 7
            
                              |
133 | 4, 116, 132 | fsumsub 13849 |
. . . . . 6
 

                                                                                                                                                                    |
134 | 112 | rpcnne0d 11350 |
. . . . . . . . . . 11
   

                       
            |
135 | | reccl 10277 |
. . . . . . . . . . 11
                   |
136 | 134, 135 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
   

                       
        |
137 | 103, 136 | fsumcl 13799 |
. . . . . . . . 9
            
                        |
138 | 107, 137,
131 | subdid 10074 |
. . . . . . . 8
            
                                                                                                                          |
139 | | fveq2 5865 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                       |
140 | 139 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . . 13
                               |
141 | 140 | sumeq1d 13767 |
. . . . . . . . . . . 12
                                               |
142 | | fveq2 5865 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       |
143 | 142 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . 12
                           |
144 | 141, 143 | oveq12d 6308 |
. . . . . . . . . . 11
                                
                                    |
145 | | dchrisum0lem2.h |
. . . . . . . . . . 11
                           |
146 | | ovex 6318 |
. . . . . . . . . . 11
 
                       |
147 | 144, 145,
146 | fvmpt3i 5953 |
. . . . . . . . . 10
      
                                                |
148 | 126, 147 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
            
                                                |
149 | 148 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . 8
            
                                                                                |
150 | 108, 113,
114 | divrecd 10386 |
. . . . . . . . . . 11
   

                       
                                            |
151 | 150 | sumeq2dv 13769 |
. . . . . . . . . 10
            
                                                                            |
152 | 103, 107,
136 | fsummulc2 13845 |
. . . . . . . . . 10
            
                                                                              |
153 | 151, 152 | eqtr4d 2488 |
. . . . . . . . 9
            
                                                   
                        |
154 | 153 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . 8
            
 
                                                                                
                                                     |
155 | 138, 149,
154 | 3eqtr4d 2495 |
. . . . . . 7
            
                                                                                              |
156 | 155 | sumeq2dv 13769 |
. . . . . 6
 

                                                                                                                  |
157 | | mulcl 9623 |
. . . . . . . . . 10
 
     |
158 | 28, 3, 157 | sylancr 669 |
. . . . . . . . 9
 

    |
159 | 4, 158, 24 | fsummulc2 13845 |
. . . . . . . 8
 

                                                  |
160 | 1, 3, 25 | mulassd 9666 |
. . . . . . . 8
 

                          
                       |
161 | 158 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
            
    |
162 | 161, 107,
105, 106 | div12d 10419 |
. . . . . . . . . 10
            
                                                  |
163 | 104 | rpcnne0d 11350 |
. . . . . . . . . . . . 13
            
            |
164 | | divdiv1 10318 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                                         |
165 | 18, 163, 163, 164 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . . 12
            
                                          |
166 | 21 | rprege0d 11348 |
. . . . . . . . . . . . . 14
            
    |
167 | | remsqsqrt 13320 |
. . . . . . . . . . . . . 14
               |
168 | 166, 167 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
            
            |
169 | 168 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . 12
            
                                |
170 | 165, 169 | eqtr2d 2486 |
. . . . . . . . . . 11
            
                                |
171 | 170 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . 10
            
                                        |
172 | 124 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
            
      |
173 | 172 | rprege0d 11348 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
            
            |
174 | | sqrtdiv 13329 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
      
                                |
175 | 173, 21, 174 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . . . 14
            
                          |
176 | 39 | ad2antlr 733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
            
    |
177 | | sqrtsq 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
             |
178 | 176, 177 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
            
          |
179 | 178 | oveq1d 6305 |
. . . . . . . . . . . . . 14
            
                      |
180 | 175, 179 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . . . . . . 13
            
                  |
181 | 180 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . . . 12
            
                      |
182 | | 2cnd 10682 |
. . . . . . . . . . . . 13
            
  |
183 | 3 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . 13
            
  |
184 | | divass 10288 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                             |
185 | 182, 183,
163, 184 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . . 12
            
                  |
186 | 181, 185 | eqtr4d 2488 |
. . . . . . . . . . 11
            
                      |
187 | 186 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . 10
            
                                                      |
188 | 162, 171,
187 | 3eqtr4d 2495 |
. . . . . . . . 9
            
                                            |
189 | 188 | sumeq2dv 13769 |
. . . . . . . 8
 

                                                                |
190 | 159, 160,
189 | 3eqtr3d 2493 |
. . . . . . 7
 

  
                                                             |
191 | 190 | oveq2d 6306 |
. . . . . 6
 

                                                                         
         
                                                                            |
192 | 133, 156,
191 | 3eqtr4d 2495 |
. . . . 5
 

                                                                                                              |
193 | 192 | mpteq2dva 4489 |
. . . 4
                                                                                                                   |
194 | | dchrisum0lem1.f |
. . . . 5
                 |
195 | | dchrisum0.c |
. . . . 5
      |
196 | | dchrisum0.s |
. . . . 5
      |
197 | | dchrisum0.1 |
. . . . 5
                     
        |
198 | | dchrisum0lem2.u |
. . . . 5
    |
199 | 6, 8, 68, 5, 7, 69, 9, 12, 194, 195, 196, 197, 145, 198 | dchrisum0lem2a 24355 |
. . . 4
                                            |
200 | 193, 199 | eqeltrrd 2530 |
. . 3
                                                                                |
201 | 117, 119,
200 | o1dif 13693 |
. 2
                                                    
                                |
202 | 102, 201 | mpbird 236 |
1
            
                                         |