Theorem dchrisum0lem2 23829

Description: Lemma for dchrisum0 23831. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )
dchrisum0lem2.k	|- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrisum0lem2.e	|- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0lem2.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
dchrisum0lem2.3	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   E, d, m, x, y   m, K, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   T, d, m, x, y   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   T( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   E( a)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   K( x, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 10629	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
2		rpcn 11253	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
3	2	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
4		fzfid 12086	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
5		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
6		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
7		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
8		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
9		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
10		ssrab2 3581	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
11	9, 10	eqsstri 3529	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
12		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
13	11, 12	sseldi 3497	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
14	13	eldifad 3483	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
16		elfzelz 11713	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
17	16	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. ZZ )
18	5, 6, 7, 8, 15, 17	dchrzrhcl 23646	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
19		elfznn 11739	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
20	19	nnrpd 11280	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
21	20	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
22	21	rpcnd 11283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. CC )
23	21	rpne0d 11286	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m =/= 0 )
24	18, 22, 23	divcld 10341	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
25	4, 24	fsumcl 13567	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
26	3, 25	mulcld 9633	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC )
27		rpssre 11255	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
28		2cn 10627	. . . . 5 |- 2 e. CC
29		o1const 13454	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
30	27, 28, 29	mp2an 672	. . . 4 |- ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1)
31	30	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
32	27	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
33		1red 9628	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
34		dchrisum0lem2.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
35		elrege0 11652	. . . . . 6 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( E e. RR /\ 0 <_ E ) )
36	35	simplbi 460	. . . . 5 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) -> E e. RR )
37	34, 36	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
38	3, 25	absmuld 13297	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
39		rprege0 11259	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
40	39	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
41		absid 13141	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
42	40, 41	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` x ) = x )
43	42	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
44	38, 43	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
45	44	adantrr 716	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
46	25	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
47	46	subid1d 9939	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
48	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
49		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
50	49	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> a = m )
52	50, 51	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
53		dchrisum0lem2.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
54		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) e. _V
55	52, 53, 54	fvmpt3i 5960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
56	48, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
57	56	adantlrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
58		rpregt0 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
59	58	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
60	59	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
61		simprr 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
62		flge1nn 11958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
63	60, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
64		nnuz 11141	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
65	63, 64	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66	24	adantlrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
67	57, 65, 66	fsumser 13564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
68		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
69		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .1. = ( 0g ` G )
70		eldifsni 4158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. ( D \ { .1. } ) -> X =/= .1. )
71	13, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X =/= .1. )
72		dchrisum0lem2.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
73		dchrisum0lem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
74	6, 8, 68, 5, 7, 69, 14, 71, 53, 34, 72, 73, 9	dchrvmaeq0 23815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X e. W <-> T = 0 ) )
75	12, 74	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T = 0 )
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> T = 0 )
77	76	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 = T )
78	67, 77	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
79	47, 78	eqtr3d 2500	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
80	79	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
81		1re 9612	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
82		elicopnf 11645	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
84	60, 61, 83	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. ( 1 [,) +oo ) )
85	73	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
86		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` x ) )
87	86	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
88	87	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
89	88	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
90		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( E / y ) = ( E / x ) )
91	89, 90	breq12d 4469	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
92	91	rspcv 3206	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
93	84, 85, 92	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) )
94	80, 93	eqbrtrd 4476	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) )
95	46	abscld 13279	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR )
96	37	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> E e. RR )
97		lemuldiv2 10445	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR /\ E e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
98	95, 96, 59, 97	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
99	94, 98	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
100	45, 99	eqbrtrd 4476	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
101	32, 26, 33, 37, 100	elo1d 13371	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. O(1) )
102	1, 26, 31, 101	o1mul2 13459	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O(1) )
103		fzfid 12086	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. Fin )
104	21	rpsqrtcld 13255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
105	104	rpcnd 11283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
106	104	rpne0d 11286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
107	18, 105, 106	divcld 10341	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
108	107	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
109		elfznn 11739	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
110	109	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. NN )
111	110	nnrpd 11280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. RR+ )
112	111	rpsqrtcld 13255	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
113	112	rpcnd 11283	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
114	112	rpne0d 11286	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
115	108, 113, 114	divcld 10341	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
116	103, 115	fsumcl 13567	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
117	4, 116	fsumcl 13567	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
118		mulcl 9593	. . . 4 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
119	28, 26, 118	sylancr 663	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
120		2re 10626	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
121		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
122		2z 10917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
123		rpexpcl 12188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
124	121, 122, 123	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
125		rpdivcl 11267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
126	124, 20, 125	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
127	126	rpsqrtcld 13255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR+ )
128	127	rpred 11281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
129		remulcl 9594	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
130	120, 128, 129	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
131	130	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
132	107, 131	mulcld 9633	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. CC )
133	4, 116, 132	fsumsub 13615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
134	112	rpcnne0d 11290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
135		reccl 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
136	134, 135	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
137	103, 136	fsumcl 13567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
138	107, 137, 131	subdid 10033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
139		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
140	139	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
141	140	sumeq1d 13535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
142		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
143	142	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 2 x. ( sqr ` y ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
144	141, 143	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
145		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
146		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) e. _V
147	144, 145, 146	fvmpt3i 5960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
148	126, 147	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
149	148	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
150	108, 113, 114	divrecd 10344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
151	150	sumeq2dv 13537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
152	103, 107, 136	fsummulc2 13611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
153	151, 152	eqtr4d 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
154	153	oveq1d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
155	138, 149, 154	3eqtr4d 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
156	155	sumeq2dv 13537	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
157		mulcl 9593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
158	28, 3, 157	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
159	4, 158, 24	fsummulc2 13611	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
160	1, 3, 25	mulassd 9636	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
161	158	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
162	161, 107, 105, 106	div12d 10377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
163	104	rpcnne0d 11290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
164		divdiv1 10276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X ` ( L ` m ) ) e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
165	18, 163, 163, 164	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
166	21	rprege0d 11288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( m e. RR /\ 0 <_ m ) )
167		remsqsqrt 13102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
168	166, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
169	168	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
170	165, 169	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
171	170	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
172	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
173	172	rprege0d 11288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
174		sqrtdiv 13111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
175	173, 21, 174	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
176	39	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
177		sqrtsq 13115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
178	176, 177	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
179	178	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
180	175, 179	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
181	180	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
182		2cnd 10629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
183	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
184		divass 10246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
185	182, 183, 163, 184	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
186	181, 185	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) )
187	186	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
188	162, 171, 187	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
189	188	sumeq2dv 13537	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
190	159, 160, 189	3eqtr3d 2506	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
191	190	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
192	133, 156, 191	3eqtr4d 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) )
193	192	mpteq2dva 4543	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) )
194		dchrisum0lem1.f	. . . . 5 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
195		dchrisum0.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
196		dchrisum0.s	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
197		dchrisum0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
198		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
199	6, 8, 68, 5, 7, 69, 9, 12, 194, 195, 196, 197, 145, 198	dchrisum0lem2a 23828	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )
200	193, 199	eqeltrrd 2546	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) e. O(1) )
201	117, 119, 200	o1dif 13464	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O(1) ) )
202	102, 201	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811   \ cdif 3468   C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   [,)cico 11556   ...cfz 11697   |_cfl 11930   seqcseq 12110   ^cexp 12169   sqrcsqrt 13078   abscabs 13079   ~~> cli 13319   ~~> r crli 13320   O(1)co1 13321   sum_csu 13520   Basecbs 14644   0gc0g 14857   ZRHomczrh 18664  ℤ/nℤczn 18667  DChrcdchr 23633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-o1 13325  df-lo1 13326  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-qus 14926  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-od 16680  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-dchr 23634

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  23830