Theorem dchrisum0lem2 24435

Description: Lemma for dchrisum0 24437. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )
dchrisum0lem2.k	|- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrisum0lem2.e	|- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0lem2.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
dchrisum0lem2.3	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   E, d, m, x, y   m, K, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   T, d, m, x, y   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   T( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   E( a)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   K( x, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 10704	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
2		rpcn 11333	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
3	2	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
4		fzfid 12224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
5		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
6		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
7		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
8		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
9		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
10		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
11	9, 10	eqsstri 3448	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
12		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
13	11, 12	sseldi 3416	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
14	13	eldifad 3402	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
15	14	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
16		elfzelz 11826	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
17	16	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. ZZ )
18	5, 6, 7, 8, 15, 17	dchrzrhcl 24252	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
19		elfznn 11854	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
20	19	nnrpd 11362	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
21	20	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
22	21	rpcnd 11366	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. CC )
23	21	rpne0d 11369	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m =/= 0 )
24	18, 22, 23	divcld 10405	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
25	4, 24	fsumcl 13876	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
26	3, 25	mulcld 9681	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC )
27		rpssre 11335	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
28		2cn 10702	. . . . 5 |- 2 e. CC
29		o1const 13760	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
30	27, 28, 29	mp2an 686	. . . 4 |- ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1)
31	30	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
32	27	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
33		1red 9676	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
34		dchrisum0lem2.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
35		elrege0 11764	. . . . . 6 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( E e. RR /\ 0 <_ E ) )
36	35	simplbi 467	. . . . 5 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) -> E e. RR )
37	34, 36	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
38	3, 25	absmuld 13593	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
39		rprege0 11339	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
40	39	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
41		absid 13436	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` x ) = x )
43	42	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
44	38, 43	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
45	44	adantrr 731	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
46	25	adantrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
47	46	subid1d 9994	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
48	19	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
49		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
50	49	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> a = m )
52	50, 51	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
53		dchrisum0lem2.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
54		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) e. _V
55	52, 53, 54	fvmpt3i 5968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
57	56	adantlrr 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
58		rpregt0 11338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
59	58	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
60	59	simpld 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
61		simprr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
62		flge1nn 12088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
63	60, 61, 62	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
64		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
65	63, 64	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66	24	adantlrr 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
67	57, 65, 66	fsumser 13873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
68		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
69		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .1. = ( 0g ` G )
70		eldifsni 4089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. ( D \ { .1. } ) -> X =/= .1. )
71	13, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X =/= .1. )
72		dchrisum0lem2.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
73		dchrisum0lem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
74	6, 8, 68, 5, 7, 69, 14, 71, 53, 34, 72, 73, 9	dchrvmaeq0 24421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X e. W <-> T = 0 ) )
75	12, 74	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T = 0 )
76	75	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> T = 0 )
77	76	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 = T )
78	67, 77	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
79	47, 78	eqtr3d 2507	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
80	79	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
81		1re 9660	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
82		elicopnf 11755	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
84	60, 61, 83	sylanbrc 677	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. ( 1 [,) +oo ) )
85	73	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
86		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` x ) )
87	86	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
88	87	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
89	88	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
90		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( E / y ) = ( E / x ) )
91	89, 90	breq12d 4408	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
92	91	rspcv 3132	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
93	84, 85, 92	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) )
94	80, 93	eqbrtrd 4416	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) )
95	46	abscld 13575	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR )
96	37	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> E e. RR )
97		lemuldiv2 10509	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR /\ E e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
98	95, 96, 59, 97	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
99	94, 98	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
100	45, 99	eqbrtrd 4416	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
101	32, 26, 33, 37, 100	elo1d 13677	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. O(1) )
102	1, 26, 31, 101	o1mul2 13765	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O(1) )
103		fzfid 12224	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. Fin )
104	21	rpsqrtcld 13550	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
105	104	rpcnd 11366	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
106	104	rpne0d 11369	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
107	18, 105, 106	divcld 10405	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
108	107	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
109		elfznn 11854	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
110	109	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. NN )
111	110	nnrpd 11362	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. RR+ )
112	111	rpsqrtcld 13550	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
113	112	rpcnd 11366	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
114	112	rpne0d 11369	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
115	108, 113, 114	divcld 10405	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
116	103, 115	fsumcl 13876	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
117	4, 116	fsumcl 13876	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
118		mulcl 9641	. . . 4 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
119	28, 26, 118	sylancr 676	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
120		2re 10701	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
121		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
122		2z 10993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
123		rpexpcl 12329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
124	121, 122, 123	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
125		rpdivcl 11348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
126	124, 20, 125	syl2an 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
127	126	rpsqrtcld 13550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR+ )
128	127	rpred 11364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
129		remulcl 9642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
130	120, 128, 129	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
131	130	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
132	107, 131	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. CC )
133	4, 116, 132	fsumsub 13926	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
134	112	rpcnne0d 11373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
135		reccl 10299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
137	103, 136	fsumcl 13876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
138	107, 137, 131	subdid 10095	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
139		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
140	139	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
141	140	sumeq1d 13844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
142		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
143	142	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 2 x. ( sqr ` y ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
144	141, 143	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
145		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
146		ovex 6336	. . . . . . . . . . 11 |- ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) e. _V
147	144, 145, 146	fvmpt3i 5968	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
148	126, 147	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
149	148	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
150	108, 113, 114	divrecd 10408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
151	150	sumeq2dv 13846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
152	103, 107, 136	fsummulc2 13922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
153	151, 152	eqtr4d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
154	153	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
155	138, 149, 154	3eqtr4d 2515	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
156	155	sumeq2dv 13846	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
157		mulcl 9641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
158	28, 3, 157	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
159	4, 158, 24	fsummulc2 13922	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
160	1, 3, 25	mulassd 9684	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
161	158	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
162	161, 107, 105, 106	div12d 10441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
163	104	rpcnne0d 11373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
164		divdiv1 10340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X ` ( L ` m ) ) e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
165	18, 163, 163, 164	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
166	21	rprege0d 11371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( m e. RR /\ 0 <_ m ) )
167		remsqsqrt 13397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
169	168	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
170	165, 169	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
171	170	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
172	124	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
173	172	rprege0d 11371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
174		sqrtdiv 13406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
175	173, 21, 174	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
176	39	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
177		sqrtsq 13410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
178	176, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
179	178	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
180	175, 179	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
181	180	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
182		2cnd 10704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
183	3	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
184		divass 10310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
185	182, 183, 163, 184	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
186	181, 185	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) )
187	186	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
188	162, 171, 187	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
189	188	sumeq2dv 13846	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
190	159, 160, 189	3eqtr3d 2513	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
191	190	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
192	133, 156, 191	3eqtr4d 2515	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) )
193	192	mpteq2dva 4482	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) )
194		dchrisum0lem1.f	. . . . 5 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
195		dchrisum0.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
196		dchrisum0.s	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
197		dchrisum0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
198		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
199	6, 8, 68, 5, 7, 69, 9, 12, 194, 195, 196, 197, 145, 198	dchrisum0lem2a 24434	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )
200	193, 199	eqeltrrd 2550	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) e. O(1) )
201	117, 119, 200	o1dif 13770	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O(1) ) )
202	102, 201	mpbird 240	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   \ cdif 3387   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,)cico 11662   ...cfz 11810   |_cfl 12059   seqcseq 12251   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373   abscabs 13374   ~~> cli 13625   ~~> r crli 13626   O(1)co1 13627   sum_csu 13829   Basecbs 15199   0gc0g 15416   ZRHomczrh 19148  ℤ/nℤczn 19151  DChrcdchr 24239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-od 17250  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-dchr 24240

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  24436