Theorem dchrisum0lem2 22782

Description: Lemma for dchrisum0 22784. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )
dchrisum0lem2.k	|- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrisum0lem2.e	|- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0lem2.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
dchrisum0lem2.3	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   E, d, m, x, y   m, K, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   T, d, m, x, y   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   T( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   E( a)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   K( x, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 10409	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
2		rpcn 11014	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
3	2	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
4		fzfid 11810	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
5		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
6		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
7		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
8		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
9		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
10		ssrab2 3452	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
11	9, 10	eqsstri 3401	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
12		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
13	11, 12	sseldi 3369	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
14	13	eldifad 3355	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
16		elfzelz 11468	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
17	16	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. ZZ )
18	5, 6, 7, 8, 15, 17	dchrzrhcl 22599	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
19		elfznn 11493	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
20	19	nnrpd 11041	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
21	20	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
22	21	rpcnd 11044	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. CC )
23	21	rpne0d 11047	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m =/= 0 )
24	18, 22, 23	divcld 10122	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
25	4, 24	fsumcl 13225	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
26	3, 25	mulcld 9421	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC )
27		rpssre 11016	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
28		2cn 10407	. . . . 5 |- 2 e. CC
29		o1const 13112	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
30	27, 28, 29	mp2an 672	. . . 4 |- ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1)
31	30	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
32	27	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
33		1red 9416	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
34		dchrisum0lem2.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
35		elrege0 11407	. . . . . 6 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( E e. RR /\ 0 <_ E ) )
36	35	simplbi 460	. . . . 5 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) -> E e. RR )
37	34, 36	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
38	3, 25	absmuld 12955	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
39		rprege0 11020	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
40	39	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
41		absid 12800	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
42	40, 41	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` x ) = x )
43	42	oveq1d 6121	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
44	38, 43	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
45	44	adantrr 716	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
46	25	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
47	46	subid1d 9723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
48	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
49		fveq2 5706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
50	49	fveq2d 5710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> a = m )
52	50, 51	oveq12d 6124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
53		dchrisum0lem2.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
54		ovex 6131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) e. _V
55	52, 53, 54	fvmpt3i 5793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
56	48, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
57	56	adantlrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
58		rpregt0 11019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
59	58	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
60	59	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
61		simprr 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
62		flge1nn 11682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
63	60, 61, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
64		nnuz 10911	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
65	63, 64	syl6eleq 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66	24	adantlrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
67	57, 65, 66	fsumser 13222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
68		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
69		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .1. = ( 0g ` G )
70		eldifsni 4016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. ( D \ { .1. } ) -> X =/= .1. )
71	13, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X =/= .1. )
72		dchrisum0lem2.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
73		dchrisum0lem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
74	6, 8, 68, 5, 7, 69, 14, 71, 53, 34, 72, 73, 9	dchrvmaeq0 22768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X e. W <-> T = 0 ) )
75	12, 74	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T = 0 )
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> T = 0 )
77	76	eqcomd 2448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 = T )
78	67, 77	oveq12d 6124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
79	47, 78	eqtr3d 2477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
80	79	fveq2d 5710	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
81		1re 9400	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
82		elicopnf 11400	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
84	60, 61, 83	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. ( 1 [,) +oo ) )
85	73	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
86		fveq2 5706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` x ) )
87	86	fveq2d 5710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
88	87	oveq1d 6121	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
89	88	fveq2d 5710	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
90		oveq2 6114	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( E / y ) = ( E / x ) )
91	89, 90	breq12d 4320	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
92	91	rspcv 3084	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
93	84, 85, 92	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) )
94	80, 93	eqbrtrd 4327	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) )
95	46	abscld 12937	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR )
96	37	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> E e. RR )
97		lemuldiv2 10227	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR /\ E e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
98	95, 96, 59, 97	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
99	94, 98	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
100	45, 99	eqbrtrd 4327	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
101	32, 26, 33, 37, 100	elo1d 13029	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. O(1) )
102	1, 26, 31, 101	o1mul2 13117	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O(1) )
103		fzfid 11810	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. Fin )
104	21	rpsqrcld 12913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
105	104	rpcnd 11044	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
106	104	rpne0d 11047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
107	18, 105, 106	divcld 10122	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
108	107	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
109		elfznn 11493	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
110	109	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. NN )
111	110	nnrpd 11041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. RR+ )
112	111	rpsqrcld 12913	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
113	112	rpcnd 11044	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
114	112	rpne0d 11047	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
115	108, 113, 114	divcld 10122	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
116	103, 115	fsumcl 13225	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
117	4, 116	fsumcl 13225	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
118		mulcl 9381	. . . 4 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
119	28, 26, 118	sylancr 663	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
120		2re 10406	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
121		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
122		2z 10693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
123		rpexpcl 11899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
124	121, 122, 123	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
125		rpdivcl 11028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
126	124, 20, 125	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
127	126	rpsqrcld 12913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR+ )
128	127	rpred 11042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
129		remulcl 9382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
130	120, 128, 129	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
131	130	recnd 9427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
132	107, 131	mulcld 9421	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. CC )
133	4, 116, 132	fsumsub 13270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
134	112	rpcnne0d 11051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
135		reccl 10016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
136	134, 135	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
137	103, 136	fsumcl 13225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
138	107, 137, 131	subdid 9815	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
139		fveq2 5706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
140	139	oveq2d 6122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
141	140	sumeq1d 13193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
142		fveq2 5706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
143	142	oveq2d 6122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 2 x. ( sqr ` y ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
144	141, 143	oveq12d 6124	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
145		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
146		ovex 6131	. . . . . . . . . . 11 |- ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) e. _V
147	144, 145, 146	fvmpt3i 5793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
148	126, 147	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
149	148	oveq2d 6122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
150	108, 113, 114	divrecd 10125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
151	150	sumeq2dv 13195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
152	103, 107, 136	fsummulc2 13266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
153	151, 152	eqtr4d 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
154	153	oveq1d 6121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
155	138, 149, 154	3eqtr4d 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
156	155	sumeq2dv 13195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
157		mulcl 9381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
158	28, 3, 157	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
159	4, 158, 24	fsummulc2 13266	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
160	1, 3, 25	mulassd 9424	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
161	158	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
162	161, 107, 105, 106	div12d 10158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
163	104	rpcnne0d 11051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
164		divdiv1 10057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X ` ( L ` m ) ) e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
165	18, 163, 163, 164	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
166	21	rprege0d 11049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( m e. RR /\ 0 <_ m ) )
167		remsqsqr 12761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
168	166, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
169	168	oveq2d 6122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
170	165, 169	eqtr2d 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
171	170	oveq2d 6122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
172	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
173	172	rprege0d 11049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
174		sqrdiv 12770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
175	173, 21, 174	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
176	39	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
177		sqrsq 12774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
178	176, 177	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
179	178	oveq1d 6121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
180	175, 179	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
181	180	oveq2d 6122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
182		2cnd 10409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
183	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
184		divass 10027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
185	182, 183, 163, 184	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
186	181, 185	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) )
187	186	oveq2d 6122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
188	162, 171, 187	3eqtr4d 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
189	188	sumeq2dv 13195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
190	159, 160, 189	3eqtr3d 2483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
191	190	oveq2d 6122	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
192	133, 156, 191	3eqtr4d 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) )
193	192	mpteq2dva 4393	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) )
194		dchrisum0lem1.f	. . . . 5 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
195		dchrisum0.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
196		dchrisum0.s	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
197		dchrisum0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
198		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
199	6, 8, 68, 5, 7, 69, 9, 12, 194, 195, 196, 197, 145, 198	dchrisum0lem2a 22781	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )
200	193, 199	eqeltrrd 2518	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) e. O(1) )
201	117, 119, 200	o1dif 13122	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O(1) ) )
202	102, 201	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2730   {crab 2734   \ cdif 3340   C_ wss 3343   {csn 3892   class class class wbr 4307   e. cmpt 4365   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298   + caddc 9300   x. cmul 9302   +oocpnf 9430   < clt 9433   <_ cle 9434   - cmin 9610   / cdiv 10008   NNcn 10337   2c2 10386   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876   RR+crp 11006   [,)cico 11317   ...cfz 11452   |_cfl 11655   seqcseq 11821   ^cexp 11880   sqrcsqr 12737   abscabs 12738   ~~> cli 12977   ~~> r crli 12978   O(1)co1 12979   sum_csu 13178   Basecbs 14189   0gc0g 14393   ZRHomczrh 17946  ℤ/nℤczn 17949  DChrcdchr 22586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-tpos 6760  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-omul 6940  df-er 7116  df-ec 7118  df-qs 7122  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-acn 8127  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ioc 11320  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-shft 12571  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-limsup 12964  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-o1 12983  df-lo1 12984  df-sum 13179  df-ef 13368  df-sin 13370  df-cos 13371  df-pi 13373  df-dvds 13551  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-divs 14462  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-mhm 15479  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-mulg 15563  df-subg 15693  df-nsg 15694  df-eqg 15695  df-ghm 15760  df-cntz 15850  df-od 16047  df-cmn 16294  df-abl 16295  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-cring 16663  df-oppr 16730  df-dvdsr 16748  df-unit 16749  df-invr 16779  df-dvr 16790  df-rnghom 16821  df-drng 16849  df-subrg 16878  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-lsp 17068  df-sra 17268  df-rgmod 17269  df-lidl 17270  df-rsp 17271  df-2idl 17329  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-zring 17899  df-zrh 17950  df-zn 17953  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-lp 18755  df-perf 18756  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-haus 18934  df-cmp 19005  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cncf 20469  df-limc 21356  df-dv 21357  df-log 22023  df-cxp 22024  df-dchr 22587

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  22783