Theorem dchrisum0lem2 21165

Description: Lemma for dchrisum0 21167. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )
dchrisum0lem2.k	|- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrisum0lem2.e	|- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0lem2.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
dchrisum0lem2.3	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O ( 1 ) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   E, d, m, x, y   m, K, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   T, d, m, x, y   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   T( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   E( a)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   K( x, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 10026	. . . 4 |- 2 e. CC
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
3		rpcn 10576	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
4	3	adantl 453	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
5		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
6		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
7		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
8		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
9		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
10		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
11		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
12	10, 11	eqsstri 3338	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
13		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
14	12, 13	sseldi 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
15	14	eldifad 3292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
16	15	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
17		elfzelz 11015	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
18	17	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. ZZ )
19	6, 7, 8, 9, 16, 18	dchrzrhcl 20982	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
20		elfznn 11036	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
21	20	nnrpd 10603	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
22	21	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
23	22	rpcnd 10606	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. CC )
24	22	rpne0d 10609	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m =/= 0 )
25	19, 23, 24	divcld 9746	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
26	5, 25	fsumcl 12482	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
27	4, 26	mulcld 9064	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC )
28		rpssre 10578	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
29		o1const 12368	. . . . 5 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O ( 1 ) )
30	28, 1, 29	mp2an 654	. . . 4 |- ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O ( 1 )
31	30	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O ( 1 ) )
32	28	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
33		1re 9046	. . . . 5 |- 1 e. RR
34	33	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
35		dchrisum0lem2.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
36		elrege0 10963	. . . . . 6 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( E e. RR /\ 0 <_ E ) )
37	36	simplbi 447	. . . . 5 |- ( E e. ( 0 [,) +oo ) -> E e. RR )
38	35, 37	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
39	4, 26	absmuld 12211	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
40		rprege0 10582	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
41	40	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
42		absid 12056	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` x ) = x )
44	43	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( abs ` x ) x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
45	39, 44	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
46	45	adantrr 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
47	26	adantrr 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
48	47	subid1d 9356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
49	20	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
50		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
51	50	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
52		id 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = m -> a = m )
53	51, 52	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
54		dchrisum0lem2.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
55		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) e. _V
56	53, 54, 55	fvmpt3i 5768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
57	49, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
58	57	adantlrr 702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( K ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
59		rpregt0 10581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
60	59	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
61	60	simpld 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
62		simprr 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
63		flge1nn 11181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
64	61, 62, 63	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
65		nnuz 10477	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
66	64, 65	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
67	25	adantlrr 702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) e. CC )
68	58, 66, 67	fsumser 12479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
69		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
70		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .1. = ( 0g ` G )
71		eldifsni 3888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. ( D \ { .1. } ) -> X =/= .1. )
72	14, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X =/= .1. )
73		dchrisum0lem2.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
74		dchrisum0lem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
75	7, 9, 69, 6, 8, 70, 15, 72, 54, 35, 73, 74, 10	dchrvmaeq0 21151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X e. W <-> T = 0 ) )
76	13, 75	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T = 0 )
77	76	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> T = 0 )
78	77	eqcomd 2409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 = T )
79	68, 78	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) - 0 ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
80	48, 79	eqtr3d 2438	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
81	80	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
82		elicopnf 10956	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
83	33, 82	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
84	61, 62, 83	sylanbrc 646	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. ( 1 [,) +oo ) )
85	74	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) )
86		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` x ) )
87	86	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) )
88	87	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) )
89	88	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) )
90		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( E / y ) = ( E / x ) )
91	89, 90	breq12d 4185	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
92	91	rspcv 3008	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) ) )
93	84, 85, 92	sylc 58	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` x ) ) - T ) ) <_ ( E / x ) )
94	81, 93	eqbrtrd 4192	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) )
95	47	abscld 12193	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR )
96	38	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> E e. RR )
97		lemuldiv2 9846	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. RR /\ E e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
98	95, 96, 60, 97	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E <-> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) <_ ( E / x ) ) )
99	94, 98	mpbird 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x x. ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
100	46, 99	eqbrtrd 4192	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) <_ E )
101	32, 27, 34, 38, 100	elo1d 12285	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. O ( 1 ) )
102	2, 27, 31, 101	o1mul2 12373	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
103		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. Fin )
104	22	rpsqrcld 12169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
105	104	rpcnd 10606	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
106	104	rpne0d 10609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
107	19, 105, 106	divcld 9746	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
108	107	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
109		elfznn 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
110	109	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. NN )
111	110	nnrpd 10603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> d e. RR+ )
112	111	rpsqrcld 12169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
113	112	rpcnd 10606	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
114	112	rpne0d 10609	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
115	108, 113, 114	divcld 9746	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
116	103, 115	fsumcl 12482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
117	5, 116	fsumcl 12482	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
118		mulcl 9030	. . . 4 |- ( ( 2 e. CC /\ ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) e. CC ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
119	1, 27, 118	sylancr 645	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) e. CC )
120		2re 10025	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
121		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
122		2z 10268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
123		rpexpcl 11355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
124	121, 122, 123	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
125		rpdivcl 10590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
126	124, 21, 125	syl2an 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
127	126	rpsqrcld 12169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR+ )
128	127	rpred 10604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
129		remulcl 9031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
130	120, 128, 129	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. RR )
131	130	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
132	107, 131	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. CC )
133	5, 116, 132	fsumsub 12526	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
134	112	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
135		reccl 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
136	134, 135	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
137	103, 136	fsumcl 12482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
138	107, 137, 131	subdid 9445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
139		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
140	139	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
141	140	sumeq1d 12450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
142		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
143	142	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( 2 x. ( sqr ` y ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
144	141, 143	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( x ^ 2 ) / m ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
145		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
146		ovex 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) e. _V
147	144, 145, 146	fvmpt3i 5768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
148	126, 147	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
149	148	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
150	108, 113, 114	divrecd 9749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
151	150	sumeq2dv 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
152	103, 107, 136	fsummulc2 12522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
153	151, 152	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) )
154	153	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
155	138, 149, 154	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
156	155	sumeq2dv 12452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
157		mulcl 9030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
158	1, 4, 157	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
159	5, 158, 25	fsummulc2 12522	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) )
160	2, 4, 26	mulassd 9067	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. x ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) )
161	158	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
162	161, 107, 105, 106	div12d 9782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
163	104	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
164		divdiv1 9681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X ` ( L ` m ) ) e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
165	19, 163, 163, 164	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) )
166	22	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( m e. RR /\ 0 <_ m ) )
167		remsqsqr 12017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
168	166, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) = m )
169	168	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( ( sqr ` m ) x. ( sqr ` m ) ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) )
170	165, 169	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
171	170	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( 2 x. x ) x. ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
172	124	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
173	172	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
174		sqrdiv 12026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
175	173, 22, 174	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
176	40	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
177		sqrsq 12030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
178	176, 177	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
179	178	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
180	175, 179	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
181	180	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
182	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
183	4	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
184		divass 9652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. CC /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
185	182, 183, 163, 184	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) = ( 2 x. ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
186	181, 185	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) )
187	186	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( 2 x. x ) / ( sqr ` m ) ) ) )
188	162, 171, 187	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
189	188	sumeq2dv 12452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 2 x. x ) x. ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
190	159, 160, 189	3eqtr3d 2444	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) )
191	190	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
192	133, 156, 191	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) )
193	192	mpteq2dva 4255	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) )
194		dchrisum0lem1.f	. . . . 5 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
195		dchrisum0.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
196		dchrisum0.s	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
197		dchrisum0.1	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
198		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
199	7, 9, 69, 6, 8, 70, 10, 13, 194, 195, 196, 197, 145, 198	dchrisum0lem2a 21164	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
200	193, 199	eqeltrrd 2479	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
201	117, 119, 200	o1dif 12378	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O ( 1 ) <-> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( x x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / m ) ) ) ) e. O ( 1 ) ) )
202	102, 201	mpbird 224	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O ( 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   \ cdif 3277   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   seq cseq 11278   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   ~~> cli 12233   ~~> r crli 12234   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736  DChrcdchr 20969

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  21166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-dchr 20970