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Theorem dchrisum0lem2 23829
Description: Lemma for dchrisum0 23831. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
dchrisum0lem2.h  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
dchrisum0lem2.u  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
dchrisum0lem2.k  |-  K  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrisum0lem2.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0lem2.t  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  T )
dchrisum0lem2.3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    E, d, m, x, y    m, K, y   
m, N, x, y    ph, d, m, x    T, d, m, x, y    S, d, m, x, y    U, m, x    x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    T( a)    U( y, a, d)    .1. ( a,
d)    E( a)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    H( x, y, m, a, d)    K( x, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 10629 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
2 rpcn 11253 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
32adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
4 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
5 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
6 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
7 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
9 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
10 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
119, 10eqsstri 3529 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
12 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1311, 12sseldi 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1413eldifad 3483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
16 elfzelz 11713 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  ZZ )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
185, 6, 7, 8, 15, 17dchrzrhcl 23646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
19 elfznn 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
2019nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  RR+ )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
2221rpcnd 11283 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  CC )
2321rpne0d 11286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  =/=  0 )
2418, 22, 23divcld 10341 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
254, 24fsumcl 13567 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
263, 25mulcld 9633 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
27 rpssre 11255 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
28 2cn 10627 . . . . 5  |-  2  e.  CC
29 o1const 13454 . . . . 5  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O(1) )
3027, 28, 29mp2an 672 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O(1)
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O(1) )
3227a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
33 1red 9628 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
34 dchrisum0lem2.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 [,) +oo ) )
35 elrege0 11652 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( E  e.  RR  /\  0  <_  E ) )
3635simplbi 460 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  E  e.  RR )
3734, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
383, 25absmuld 13297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )
39 rprege0 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
41 absid 13141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  x )  =  x )
4342oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )
4438, 43eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )
4544adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
4625adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m )  e.  CC )
4746subid1d 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  -  0 )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
4819adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
49 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
5049fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
5250, 51oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
53 dchrisum0lem2.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
54 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a )  e. 
_V
5552, 53, 54fvmpt3i 5960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  ( K `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
5648, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
5756adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
58 rpregt0 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
5958ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
6059simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
61 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
62 flge1nn 11958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
6360, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
64 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6563, 64syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6624adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
6757, 65, 66fsumser 13564 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) ) )
68 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
69 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
70 eldifsni 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
7113, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
72 dchrisum0lem2.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  T )
73 dchrisum0lem2.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y ) )
746, 8, 68, 5, 7, 69, 14, 71, 53, 34, 72, 73, 9dchrvmaeq0 23815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  T  =  0 ) )
7512, 74mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =  0 )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  T  =  0 )
7776eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  =  T )
7867, 77oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  -  0 )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )
7947, 78eqtr3d 2500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )
8079fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) ) )
81 1re 9612 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
82 elicopnf 11645 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
8460, 61, 83sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )
8573adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  A. y  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y ) )
86 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
8786fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) ) )
8887oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )
8988fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) ) )
90 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( E  /  y )  =  ( E  /  x
) )
9189, 90breq12d 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )  <_ 
( E  /  x
) ) )
9291rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y )  -> 
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  x ) ) )
9384, 85, 92sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  x ) )
9480, 93eqbrtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  <_  ( E  /  x ) )
9546abscld 13279 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  e.  RR )
9637adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  E  e.  RR )
97 lemuldiv2 10445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  <_  E  <->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )  <_  ( E  /  x ) ) )
9895, 96, 59, 97syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  <_  E  <->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )  <_  ( E  /  x ) ) )
9994, 98mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  <_  E
)
10045, 99eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  <_  E
)
10132, 26, 33, 37, 100elo1d 13371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  e.  O(1) )
1021, 26, 31, 101o1mul2 13459 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
103 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  e. 
Fin )
10421rpsqrtcld 13255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
105104rpcnd 11283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
106104rpne0d 11286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
10718, 105, 106divcld 10341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
108107adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
109 elfznn 11739 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
110109adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
111110nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
112111rpsqrtcld 13255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
113112rpcnd 11283 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
114112rpne0d 11286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
115108, 113, 114divcld 10341 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
116103, 115fsumcl 13567 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
1174, 116fsumcl 13567 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
118 mulcl 9593 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  e.  CC )
11928, 26, 118sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  e.  CC )
120 2re 10626 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
121 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
122 2z 10917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
123 rpexpcl 12188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
124121, 122, 123sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
125 rpdivcl 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
126124, 20, 125syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
127126rpsqrtcld 13255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR+ )
128127rpred 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR )
129 remulcl 9594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  RR )
130120, 128, 129sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  RR )
131130recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
132107, 131mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  CC )
1334, 116, 132fsumsub 13615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
134112rpcnne0d 11290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
135 reccl 10235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  d
)  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  CC )
137103, 136fsumcl 13567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
138107, 137, 131subdid 10033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x. 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
139 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
140139oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
141140sumeq1d 13535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )
142 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
143142oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
144141, 143oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
145 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
146 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) )  e.  _V
147144, 145, 146fvmpt3i 5960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+  ->  ( H `
 ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
148126, 147syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
149148oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
150108, 113, 114divrecd 10344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
151150sumeq2dv 13537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
152103, 107, 136fsummulc2 13611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x. 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
153151, 152eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
154153oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  -  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
155138, 149, 1543eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
156155sumeq2dv 13537 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
157 mulcl 9593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
15828, 3, 157sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  x )  e.  CC )
1594, 158, 24fsummulc2 13611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 2  x.  x )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
1601, 3, 25mulassd 9636 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( 2  x.  ( x  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) ) )
161158adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  x )  e.  CC )
162161, 107, 105, 106div12d 10377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( 2  x.  x )  /  ( sqr `  m ) ) ) )
163104rpcnne0d 11290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
164 divdiv1 10276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  m ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  m ) ) ) )
16518, 163, 163, 164syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  m
) ) ) )
16621rprege0d 11288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( m  e.  RR  /\  0  <_  m ) )
167 remsqsqrt 13102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  -> 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  m ) )  =  m )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  m
) )  =  m )
169168oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
170165, 169eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
171170oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( 2  x.  x )  x.  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) ) )
172124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
173172rprege0d 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) ) )
174 sqrtdiv 13111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
175173, 21, 174syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
17639ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
177 sqrtsq 13115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  =  x )
178176, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  =  x )
179178oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( x ^
2 ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
180175, 179eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
181180oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 2  x.  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
182 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
1833adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
184 divass 10246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  (
( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( 2  x.  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
185182, 183, 163, 184syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  /  ( sqr `  m
) )  =  ( 2  x.  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
186181, 185eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( 2  x.  x
)  /  ( sqr `  m ) ) )
187186oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( 2  x.  x )  /  ( sqr `  m ) ) ) )
188162, 171, 1873eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) )
189188sumeq2dv 13537 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 2  x.  x )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) )
190159, 160, 1893eqtr3d 2506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
191190oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
192133, 156, 1913eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) ) )
193192mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) ) ) )
194 dchrisum0lem1.f . . . . 5  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
195 dchrisum0.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
196 dchrisum0.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
197 dchrisum0.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
198 dchrisum0lem2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
1996, 8, 68, 5, 7, 69, 9, 12, 194, 195, 196, 197, 145, 198dchrisum0lem2a 23828 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
200193, 199eqeltrrd 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) ) )  e.  O(1) )
201117, 119, 200o1dif 13464 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O(1)  <->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) ) )
202102, 201mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   [,)cico 11556   ...cfz 11697   |_cfl 11930    seqcseq 12110   ^cexp 12169   sqrcsqrt 13078   abscabs 13079    ~~> cli 13319    ~~> r crli 13320   O(1)co1 13321   sum_csu 13520   Basecbs 14644   0gc0g 14857   ZRHomczrh 18664  ℤ/nczn 18667  DChrcdchr 23633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-o1 13325  df-lo1 13326  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-qus 14926  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-od 16680  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-dchr 23634
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  23830
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