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Theorem dchrisum0lem2 24435
Description: Lemma for dchrisum0 24437. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
dchrisum0lem2.h  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
dchrisum0lem2.u  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
dchrisum0lem2.k  |-  K  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrisum0lem2.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0lem2.t  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  T )
dchrisum0lem2.3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    E, d, m, x, y    m, K, y   
m, N, x, y    ph, d, m, x    T, d, m, x, y    S, d, m, x, y    U, m, x    x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    T( a)    U( y, a, d)    .1. ( a,
d)    E( a)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    H( x, y, m, a, d)    K( x, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 10704 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
2 rpcn 11333 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
32adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
4 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
5 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
6 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
7 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
9 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
10 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
119, 10eqsstri 3448 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
12 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1311, 12sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1413eldifad 3402 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1514ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
16 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  ZZ )
1716adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
185, 6, 7, 8, 15, 17dchrzrhcl 24252 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
19 elfznn 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
2019nnrpd 11362 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  RR+ )
2120adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
2221rpcnd 11366 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  CC )
2321rpne0d 11369 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  =/=  0 )
2418, 22, 23divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
254, 24fsumcl 13876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
263, 25mulcld 9681 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
27 rpssre 11335 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
28 2cn 10702 . . . . 5  |-  2  e.  CC
29 o1const 13760 . . . . 5  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O(1) )
3027, 28, 29mp2an 686 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O(1)
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O(1) )
3227a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
33 1red 9676 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
34 dchrisum0lem2.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 [,) +oo ) )
35 elrege0 11764 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( E  e.  RR  /\  0  <_  E ) )
3635simplbi 467 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  E  e.  RR )
3734, 36syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
383, 25absmuld 13593 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )
39 rprege0 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
4039adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
41 absid 13436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  x )  =  x )
4342oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )
4438, 43eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )
4544adantrr 731 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
4625adantrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m )  e.  CC )
4746subid1d 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  -  0 )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
4819adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
49 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
5049fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
5250, 51oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
53 dchrisum0lem2.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
54 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a )  e. 
_V
5552, 53, 54fvmpt3i 5968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  ( K `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
5756adantlrr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
58 rpregt0 11338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
5958ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
6059simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
61 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
62 flge1nn 12088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
6360, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
64 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6563, 64syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6624adantlrr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
6757, 65, 66fsumser 13873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) ) )
68 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
69 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
70 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
7113, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
72 dchrisum0lem2.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  T )
73 dchrisum0lem2.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y ) )
746, 8, 68, 5, 7, 69, 14, 71, 53, 34, 72, 73, 9dchrvmaeq0 24421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  T  =  0 ) )
7512, 74mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =  0 )
7675adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  T  =  0 )
7776eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  =  T )
7867, 77oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  -  0 )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )
7947, 78eqtr3d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )
8079fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) ) )
81 1re 9660 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
82 elicopnf 11755 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
8460, 61, 83sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )
8573adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  A. y  e.  (
1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y ) )
86 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
8786fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) ) )
8887oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )
8988fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) ) )
90 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( E  /  y )  =  ( E  /  x
) )
9189, 90breq12d 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )  <_ 
( E  /  x
) ) )
9291rspcv 3132 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y )  -> 
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  x ) ) )
9384, 85, 92sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  x ) )
9480, 93eqbrtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  <_  ( E  /  x ) )
9546abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  e.  RR )
9637adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  E  e.  RR )
97 lemuldiv2 10509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  <_  E  <->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )  <_  ( E  /  x ) ) )
9895, 96, 59, 97syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  <_  E  <->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )  <_  ( E  /  x ) ) )
9994, 98mpbird 240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  <_  E
)
10045, 99eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  <_  E
)
10132, 26, 33, 37, 100elo1d 13677 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  e.  O(1) )
1021, 26, 31, 101o1mul2 13765 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
103 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  e. 
Fin )
10421rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
105104rpcnd 11366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
106104rpne0d 11369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
10718, 105, 106divcld 10405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
108107adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
109 elfznn 11854 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
110109adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
111110nnrpd 11362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
112111rpsqrtcld 13550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
113112rpcnd 11366 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
114112rpne0d 11369 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
115108, 113, 114divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
116103, 115fsumcl 13876 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
1174, 116fsumcl 13876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
118 mulcl 9641 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  e.  CC )
11928, 26, 118sylancr 676 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  e.  CC )
120 2re 10701 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
121 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
122 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
123 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
124121, 122, 123sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
125 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
126124, 20, 125syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
127126rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR+ )
128127rpred 11364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR )
129 remulcl 9642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  RR )
130120, 128, 129sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  RR )
131130recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
132107, 131mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  CC )
1334, 116, 132fsumsub 13926 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
134112rpcnne0d 11373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
135 reccl 10299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  d
)  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  CC )
137103, 136fsumcl 13876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
138107, 137, 131subdid 10095 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x. 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
139 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
140139oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
141140sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )
142 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
143142oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
144141, 143oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
145 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
146 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) )  e.  _V
147144, 145, 146fvmpt3i 5968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+  ->  ( H `
 ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
148126, 147syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
149148oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
150108, 113, 114divrecd 10408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
151150sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
152103, 107, 136fsummulc2 13922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x. 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
153151, 152eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
154153oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  -  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
155138, 149, 1543eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
156155sumeq2dv 13846 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
157 mulcl 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
15828, 3, 157sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  x )  e.  CC )
1594, 158, 24fsummulc2 13922 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 2  x.  x )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
1601, 3, 25mulassd 9684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( 2  x.  ( x  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) ) )
161158adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  x )  e.  CC )
162161, 107, 105, 106div12d 10441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( 2  x.  x )  /  ( sqr `  m ) ) ) )
163104rpcnne0d 11373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
164 divdiv1 10340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  m ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  m ) ) ) )
16518, 163, 163, 164syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  m
) ) ) )
16621rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( m  e.  RR  /\  0  <_  m ) )
167 remsqsqrt 13397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  -> 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  m ) )  =  m )
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  m
) )  =  m )
169168oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
170165, 169eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
171170oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( 2  x.  x )  x.  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) ) )
172124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
173172rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) ) )
174 sqrtdiv 13406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
175173, 21, 174syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
17639ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
177 sqrtsq 13410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  =  x )
178176, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  =  x )
179178oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( x ^
2 ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
180175, 179eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
181180oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 2  x.  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
182 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
1833adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
184 divass 10310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  (
( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( 2  x.  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
185182, 183, 163, 184syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  /  ( sqr `  m
) )  =  ( 2  x.  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
186181, 185eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( 2  x.  x
)  /  ( sqr `  m ) ) )
187186oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( 2  x.  x )  /  ( sqr `  m ) ) ) )
188162, 171, 1873eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) )
189188sumeq2dv 13846 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 2  x.  x )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) )
190159, 160, 1893eqtr3d 2513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
191190oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
192133, 156, 1913eqtr4d 2515 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) ) )
193192mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) ) ) )
194 dchrisum0lem1.f . . . . 5  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
195 dchrisum0.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
196 dchrisum0.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
197 dchrisum0.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
198 dchrisum0lem2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
1996, 8, 68, 5, 7, 69, 9, 12, 194, 195, 196, 197, 145, 198dchrisum0lem2a 24434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) )
200193, 199eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) ) )  e.  O(1) )
201117, 119, 200o1dif 13770 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O(1)  <->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )  e.  O(1) ) )
202102, 201mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,)cico 11662   ...cfz 11810   |_cfl 12059    seqcseq 12251   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373   abscabs 13374    ~~> cli 13625    ~~> r crli 13626   O(1)co1 13627   sum_csu 13829   Basecbs 15199   0gc0g 15416   ZRHomczrh 19148  ℤ/nczn 19151  DChrcdchr 24239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-od 17250  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-dchr 24240
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  24436
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