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Theorem dchrisum0lem1b 24346
Description: Lemma for dchrisum0lem1 24347. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1b  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1b
StepHypRef Expression
1 fzfid 12183 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  e. 
Fin )
2 ssun2 3597 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
3 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
43rprege0d 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
5 flge0nn0 12051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN0 )
7 nn0p1nn 10906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
98adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
10 nnuz 11191 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10syl6eleq 2538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
12 dchrisum0lem1a 24317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  /\  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) ) )
1312simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
14 fzsplit2 11821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ) )
1511, 13, 14syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ) )
162, 15syl5sseqr 3480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
1716sselda 3431 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
18 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
19 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
20 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
21 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
22 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
23 ssrab2 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
2422, 23eqsstri 3461 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
25 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
2624, 25sseldi 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
2726eldifad 3415 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2827ad3antrrr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
29 elfzelz 11797 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
3029adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
3118, 19, 20, 21, 28, 30dchrzrhcl 24166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
32 elfznn 11825 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
3332adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3433nnrpd 11336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
3534rpsqrtcld 13466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
3635rpcnd 11340 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
3735rpne0d 11343 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
3831, 36, 37divcld 10380 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
3917, 38syldan 473 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
401, 39fsumcl 13792 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
4140abscld 13491 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
42 1zzd 10965 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4327adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
44 nnz 10956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
4544adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
4618, 19, 20, 21, 43, 45dchrzrhcl 24166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
47 nnrp 11308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
4847adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
4948rpsqrtcld 13466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
5049rpcnd 11340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
5149rpne0d 11343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
5246, 50, 51divcld 10380 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
53 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
54 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
5554fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
56 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  m
) )
5755, 56oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
5857cbvmptv 4494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
5953, 58eqtri 2472 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
6052, 59fmptd 6044 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
6160ffvelrnda 6020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
6210, 42, 61serf 12238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
6362ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  seq 1
(  +  ,  F
) : NN --> CC )
643rpregt0d 11344 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
6564adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
6665simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
67 1red 9655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
68 elfznn 11825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
6968adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
7069nnred 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR )
7169nnge1d 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  d )
723rpred 11338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
73 fznnfl 12086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
7574simplbda 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x )
7667, 70, 66, 71, 75letrd 9789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  x )
77 flge1nn 12052 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
7866, 76, 77syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
79 eluznn 11226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  NN  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  d ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  NN )
8078, 13, 79syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  NN )
8163, 80ffvelrnd 6021 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  e.  CC )
82 dchrisum0.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
83 climcl 13556 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S  ->  S  e.  CC )
8482, 83syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
8584ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  S  e.  CC )
8681, 85subcld 9983 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S )  e.  CC )
8786abscld 13491 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  e.  RR )
8863, 78ffvelrnd 6021 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  e.  CC )
8985, 88subcld 9983 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC )
9089abscld 13491 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( S  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR )
9187, 90readdcld 9667 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  e.  RR )
92 2re 10676 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
93 dchrisum0.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
94 elrege0 11735 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
9593, 94sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
9695simpld 461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
97 remulcl 9621 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
9892, 96, 97sylancr 668 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
9998adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  RR )
1003rpsqrtcld 13466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
10199, 100rerpdivcld 11366 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
102101adantr 467 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
103 ssun1 3596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
104103, 15syl5sseqr 3480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
105104sselda 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
106 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) )  e.  _V
10757, 53, 106fvmpt3i 5951 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
10833, 107syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
109105, 108syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
11078, 10syl6eleq 2538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
111105, 38syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
112109, 110, 111fsumser 13789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )
113112, 88eqeltrd 2528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
114113, 40pncan2d 9985 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  + 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
115 reflcl 12029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
11666, 115syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
117116ltp1d 10534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  x )  <  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
118 fzdisj 11823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  x )  <  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )  =  (/) )
119117, 118syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  =  (/) )
120 fzfid 12183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  e. 
Fin )
121119, 15, 120, 38fsumsplit 13799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  + 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) ) )
12280, 10syl6eleq 2538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
123108, 122, 38fsumser 13789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
124121, 123eqtr3d 2486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
125124, 112oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  + 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) ) )
126114, 125eqtr3d 2486 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )
127126fveq2d 5867 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) )  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) )
12881, 88, 85abs3difd 13515 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) ) )
129127, 128eqbrtrd 4422 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) ) )
13096ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
131 simplr 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
132131rpsqrtcld 13466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
133130, 132rerpdivcld 11366 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
134 2z 10966 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
135 rpexpcl 12288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
1363, 134, 135sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
137136adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
13869nnrpd 11336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
139137, 138rpdivcld 11355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  d )  e.  RR+ )
140139rpsqrtcld 13466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  RR+ )
141130, 140rerpdivcld 11366 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  e.  RR )
142136rpred 11338 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
143 nndivre 10642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR )
144142, 68, 143syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  d )  e.  RR )
14512simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  <_  ( ( x ^ 2 )  /  d ) )
14667, 66, 144, 76, 145letrd 9789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( ( x ^ 2 )  /  d ) )
147 1re 9639 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
148 elicopnf 11727 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( (
( x ^ 2 )  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
149147, 148ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  d )  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( ( ( x ^ 2 )  /  d )  e.  RR  /\  1  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
) ) )
150144, 146, 149sylanbrc 669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  d )  e.  ( 1 [,) +oo ) )
151 dchrisum0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
152151ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
153 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )
154153fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
155154oveq1d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S ) )
156155fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) )  -  S ) ) )
157 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )
158157oveq2d 6304 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  ( C  /  ( sqr `  y
) )  =  ( C  /  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
159156, 158breq12d 4414 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ) )
160159rspcv 3145 . . . . . 6  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  d )  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S ) )  <_  ( C  / 
( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ) )
161150, 152, 160sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
162132rpregt0d 11344 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  RR  /\  0  < 
( sqr `  x
) ) )
163140rpregt0d 11344 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  RR  /\  0  < 
( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
16495ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
165131rprege0d 11345 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
166139rprege0d 11345 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( x ^ 2 )  /  d )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )
167 sqrtle 13317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( ( ( x ^ 2 )  / 
d )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
168165, 166, 167syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
169145, 168mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  x )  <_  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )
170 lediv2a 10497 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( sqr `  x )  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  x ) )  /\  ( ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) )  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )  /\  ( sqr `  x )  <_  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  x
) ) )
171162, 163, 164, 169, 170syl31anc 1270 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  x
) ) )
17287, 141, 133, 161, 171letrd 9789 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  x ) ) )
17385, 88abssubd 13508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( S  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  S ) ) )
174 elicopnf 11727 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
175147, 174ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
17666, 76, 175sylanbrc 669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )
177 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
178177fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
179178oveq1d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  S ) )
180179fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  =  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  S ) ) )
181 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  x
) )
182181oveq2d 6304 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( C  /  ( sqr `  y
) )  =  ( C  /  ( sqr `  x ) ) )
183180, 182breq12d 4414 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) )  <->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  x ) ) ) )
184183rspcv 3145 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 [,) +oo )  ->  ( A. y  e.  ( 1 [,) +oo ) ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  S ) )  <_  ( C  / 
( sqr `  x
) ) ) )
185176, 152, 184sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  x ) ) )
186173, 185eqbrtrd 4422 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( S  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  x
) ) )
18787, 90, 133, 133, 172, 186le2addd 10229 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  <_ 
( ( C  / 
( sqr `  x
) )  +  ( C  /  ( sqr `  x ) ) ) )
188 2cnd 10679 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
18996adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
190189recnd 9666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
191190adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
192100rpcnne0d 11347 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0
) )
193192adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0
) )
194 divass 10285 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  (
( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) )  =  ( 2  x.  ( C  /  ( sqr `  x
) ) ) )
195188, 191, 193, 194syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  =  ( 2  x.  ( C  /  ( sqr `  x
) ) ) )
196133recnd 9666 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
1971962timesd 10852 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( C  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( ( C  / 
( sqr `  x
) )  +  ( C  /  ( sqr `  x ) ) ) )
198195, 197eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  =  ( ( C  /  ( sqr `  x ) )  +  ( C  / 
( sqr `  x
) ) ) )
199187, 198breqtrrd 4428 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )
20041, 91, 102, 129, 199letrd 9789 1  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   {crab 2740    \ cdif 3400    u. cun 3401    i^i cin 3402   (/)c0 3730   {csn 3967   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541   +oocpnf 9669    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   [,)cico 11634   ...cfz 11781   |_cfl 12023    seqcseq 12210   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13289   abscabs 13290    ~~> cli 13541   sum_csu 13745   Basecbs 15114   0gc0g 15331   ZRHomczrh 19064  ℤ/nczn 19067  DChrcdchr 24153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-ec 7362  df-qs 7366  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-rp 11300  df-ico 11638  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-imas 15400  df-qus 15402  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-nsg 16808  df-eqg 16809  df-ghm 16874  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-rnghom 17936  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-lidl 18390  df-rsp 18391  df-2idl 18449  df-cnfld 18964  df-zring 19033  df-zrh 19068  df-zn 19071  df-dchr 24154
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1  24347
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