Theorem dchrisum0lem1 23827

Description: Lemma for dchrisum0 23831. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem1	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12086	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		fzfid 12086	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) e. Fin )
3		fzfid 12086	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) e. Fin )
4		elfznn 11739	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
5		elfzuz 11709	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
6	4, 5	anim12i 566	. . . . . 6 |- ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
8		elfzuz 11709	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
9		elfznn 11739	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
10	8, 9	anim12ci 567	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
12		eluzelz 11115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> m e. ZZ )
13	12	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
14	13	zred 10990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR )
15		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
16		2z 10917	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
17		rpexpcl 12188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
18	15, 16, 17	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
19	18	rpred 11281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
21		simprl 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. NN )
22	21	nnrpd 11280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR+ )
23	14, 20, 22	lemuldivd 11326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
24	21	nnred 10571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
25	15	rprege0d 11288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
26		flge0nn0 11957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
27		nn0p1nn 10856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
28	25, 26, 27	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
30		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
31		eluznn 11177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
32	29, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. NN )
33	32	nnrpd 11280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR+ )
34	24, 20, 33	lemuldiv2d 11327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
35	23, 34	bitr3d 255	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
36		rpcn 11253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
38	37	sqvald 12310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
40		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR+ )
41	40	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
42		reflcl 11936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
43		peano2re 9770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( |_ ` x ) e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
44	41, 42, 43	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
45		fllep1 11941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
46	41, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
47		eluzle 11118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
48	47	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
49	41, 44, 14, 46, 48	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ m )
50	41, 14, 40	lemul1d 11320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ m <-> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) ) )
51	49, 50	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) )
52	39, 51	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) )
53	20, 41, 33	ledivmuld 11330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x <-> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) ) )
54	52, 53	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x )
55		nnre 10563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN -> d e. RR )
56	55	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
57	20, 32	nndivred 10605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR )
58		letr 9695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
59	56, 57, 41, 58	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
60	54, 59	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> d <_ x ) )
61	35, 60	sylbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> d <_ x ) )
62	61	pm4.71rd 635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
63		nnge1 10582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> 1 <_ d )
64	63	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> 1 <_ d )
65		1re 9612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
66		0lt1 10096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
67	65, 66	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
69	22	rpregt0d 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 < d ) )
70	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
71	70	rpregt0d 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) )
72		lediv2 10455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( d e. RR /\ 0 < d ) /\ ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
73	68, 69, 71, 72	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
74	64, 73	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) )
75	20	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
76	75	div1d 10333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / 1 ) = ( x ^ 2 ) )
77	74, 76	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) )
78		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> d e. NN )
79		nndivre 10592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
80	19, 78, 79	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
81		letr 9695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
82	14, 80, 20, 81	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
83	77, 82	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
84	35, 83	sylbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
85	84	pm4.71rd 635	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
86	35, 62, 85	3bitr3d 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
87		fznnfl 11992	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
88	87	baibd 909	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
89	41, 21, 88	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
90	80	flcld 11938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ )
91		elfz5 11705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
92	30, 90, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
93		flge 11945	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
94	80, 13, 93	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
95	92, 94	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
96	89, 95	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
97	20	flcld 11938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ )
98		elfz5 11705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
99	30, 97, 98	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
100		flge 11945	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
101	20, 13, 100	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
102	99, 101	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
103		fznnfl 11992	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
104	103	baibd 909	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
105	57, 21, 104	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
106	102, 105	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
107	86, 96, 106	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
108	107	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) ) )
109	7, 11, 108	pm5.21ndd 354	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
110		ssun2 3664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
111	28	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
112		nnuz 11141	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
113	111, 112	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
114		dchrisum0lem1a 23797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) )
115	114	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
116		fzsplit2 11735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
117	113, 115, 116	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
118	110, 117	syl5sseqr 3548	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
119	118	sselda 3499	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
120		rpvmasum2.g	. . . . . . . . 9 |- G = (DChr ` N )
121		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
122		rpvmasum2.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( Base ` G )
123		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Z )
124		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
125		ssrab2 3581	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
126	124, 125	eqsstri 3529	. . . . . . . . . . . 12 |- W C_ ( D \ { .1. } )
127		dchrisum0.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. W )
128	126, 127	sseldi 3497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
129	128	eldifad 3483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. D )
130	129	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> X e. D )
131		elfzelz 11713	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ZZ )
132	131	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
133	120, 121, 122, 123, 130, 132	dchrzrhcl 23646	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
134		elfznn 11739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. NN )
135	134	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. NN )
136	135	nnrpd 11280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
137	136	rpsqrtcld 13255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
138	137	rpcnd 11283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
139	137	rpne0d 11286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
140	133, 138, 139	divcld 10341	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
141	4	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
142	141	nnrpd 11280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
143	142	rpsqrtcld 13255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
144	143	rpcnne0d 11290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
145	144	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
146	145	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
147	145	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
148	140, 146, 147	divcld 10341	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
149	119, 148	syldan 470	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
150	149	anasss 647	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
151	1, 2, 3, 109, 150	fsumcom2 13601	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
152	151	mpteq2dva 4543	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
153	65	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR )
154		2cn 10627	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
155	15	rpsqrtcld 13255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
156	155	rpcnd 11283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
157		mulcl 9593	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( sqr ` x ) e. CC ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
158	154, 156, 157	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
159	143	rprecred 11292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
160	1, 159	fsumrecl 13568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
161	160	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
162	161, 158	subcld 9950	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
163		2re 10626	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
164		dchrisum0.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
165		elrege0 11652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
166	164, 165	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
167	166	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
168		remulcl 9594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
169	163, 167, 168	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. RR )
170	169	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
171	170, 155	rerpdivcld 11308	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
172	171	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
173	158, 162, 172	adddird 9638	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
174	158, 161	pncan3d 9953	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
175	174	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
176		2cnd 10629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
177	176, 156, 172	mulassd 9636	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
178	170	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
179	155	rpne0d 11286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) =/= 0 )
180	178, 156, 179	divcan2d 10343	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. C ) )
181	180	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
182	177, 181	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
183	182	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
184	173, 175, 183	3eqtr3d 2506	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
185	184	mpteq2dva 4543	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
186		remulcl 9594	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 x. C ) e. RR ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
187	163, 169, 186	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
188	187	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
189	188	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
190	162, 172	mulcld 9633	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
191		rpssre 11255	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
192		o1const 13454	. . . . . 6 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O(1) )
193	191, 188, 192	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O(1) )
194		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
195	194	divsqrsum 23437	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r
196		rlimdmo1 13452	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
197	195, 196	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
198	178, 156, 179	divrecd 10344	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
199	198	mpteq2dva 4543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) )
200	155	rprecred 11292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
201	169	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. CC )
202		rlimconst 13379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. C ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
203	191, 201, 202	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
204		sqrtlim 23428	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0
205	204	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0 )
206	170, 200, 203, 205	rlimmul 13479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
207	199, 206	eqbrtrd 4476	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
208		rlimo1 13451	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
209	207, 208	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
210	162, 172, 197, 209	o1mul2 13459	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
211	189, 190, 193, 210	o1add2 13458	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
212	185, 211	eqeltrd 2545	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
213	160, 171	remulcld 9641	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
214	3, 149	fsumcl 13567	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
215	1, 214	fsumcl 13567	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
216	215	abscld 13279	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
217	213	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
218	217	abscld 13279	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR )
219	214	abscld 13279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
220	1, 219	fsumrecl 13568	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
221	1, 214	fsumabs 13627	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
222	171	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
223	159, 222	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
224	119, 140	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
225	3, 224	fsumcl 13567	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
226	225	abscld 13279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
227		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
228		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . 11 |- .1. = ( 0g ` G )
229		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
230		dchrisum0.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
231		dchrisum0.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
232	121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231	dchrisum0lem1b 23826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) )
233	226, 222, 143, 232	lediv1dd 11335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) <_ ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) )
234	143	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
235	143	rpne0d 11286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
236	225, 234, 235	absdivd 13298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) )
237	3, 234, 224, 235	fsumdivc 13613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
238	237	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
239	143	rprege0d 11288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) )
240		absid 13141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
241	239, 240	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
242	241	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) )
243	236, 238, 242	3eqtr3rd 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
244	172	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
245	244, 234, 235	divrec2d 10345	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
246	233, 243, 245	3brtr3d 4485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
247	1, 219, 223, 246	fsumle 13625	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
248	159	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
249	1, 172, 248	fsummulc1 13612	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
250	247, 249	breqtrrd 4482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
251	216, 220, 213, 221, 250	letrd 9756	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
252	213	leabsd 13258	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
253	216, 213, 218, 251, 252	letrd 9756	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
254	253	adantrr 716	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
255	153, 212, 213, 215, 254	o1le 13487	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )
256	152, 255	eqeltrrd 2546	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   [,)cico 11556   ...cfz 11697   |_cfl 11930   seqcseq 12110   ^cexp 12169   sqrcsqrt 13078   abscabs 13079   ~~> cli 13319   ~~> r crli 13320   O(1)co1 13321   sum_csu 13520   Basecbs 14644   0gc0g 14857   ZRHomczrh 18664  ℤ/nℤczn 18667  DChrcdchr 23633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-o1 13325  df-lo1 13326  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-qus 14926  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-dchr 23634

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  23830