Theorem dchrisum0lem1 24354

Description: Lemma for dchrisum0 24358. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem1	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12186	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		fzfid 12186	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) e. Fin )
3		fzfid 12186	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) e. Fin )
4		elfznn 11828	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
5		elfzuz 11796	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
6	4, 5	anim12i 570	. . . . . 6 |- ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
8		elfzuz 11796	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
9		elfznn 11828	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
10	8, 9	anim12ci 571	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
12		eluzelz 11168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> m e. ZZ )
13	12	ad2antll 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
14	13	zred 11040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR )
15		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
16		2z 10969	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
17		rpexpcl 12291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
18	15, 16, 17	sylancl 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
19	18	rpred 11341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
20	19	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
21		simprl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. NN )
22	21	nnrpd 11339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR+ )
23	14, 20, 22	lemuldivd 11387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
24	21	nnred 10624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
25	15	rprege0d 11348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
26		flge0nn0 12054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
27		nn0p1nn 10909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
29	28	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
30		simprr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
31		eluznn 11229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
32	29, 30, 31	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. NN )
33	32	nnrpd 11339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR+ )
34	24, 20, 33	lemuldiv2d 11388	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
35	23, 34	bitr3d 259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
36		rpcn 11310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
37	36	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
38	37	sqvald 12413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
39	38	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
40		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR+ )
41	40	rpred 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
42		reflcl 12032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
43		peano2re 9806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( |_ ` x ) e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
45		fllep1 12037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
46	41, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
47		eluzle 11171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
48	47	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
49	41, 44, 14, 46, 48	letrd 9792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ m )
50	41, 14, 40	lemul1d 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ m <-> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) ) )
51	49, 50	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) )
52	39, 51	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) )
53	20, 41, 33	ledivmuld 11391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x <-> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) ) )
54	52, 53	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x )
55		nnre 10616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN -> d e. RR )
56	55	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
57	20, 32	nndivred 10658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR )
58		letr 9727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
59	56, 57, 41, 58	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
60	54, 59	mpan2d 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> d <_ x ) )
61	35, 60	sylbid 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> d <_ x ) )
62	61	pm4.71rd 641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
63		nnge1 10635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> 1 <_ d )
64	63	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> 1 <_ d )
65		1re 9642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
66		0lt1 10136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
67	65, 66	pm3.2i 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
69	22	rpregt0d 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 < d ) )
70	18	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
71	70	rpregt0d 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) )
72		lediv2 10496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( d e. RR /\ 0 < d ) /\ ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
73	68, 69, 71, 72	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
74	64, 73	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) )
75	20	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
76	75	div1d 10375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / 1 ) = ( x ^ 2 ) )
77	74, 76	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) )
78		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> d e. NN )
79		nndivre 10645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
80	19, 78, 79	syl2an 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
81		letr 9727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
82	14, 80, 20, 81	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
83	77, 82	mpan2d 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
84	35, 83	sylbird 239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
85	84	pm4.71rd 641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
86	35, 62, 85	3bitr3d 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
87		fznnfl 12089	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
88	87	baibd 920	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
89	41, 21, 88	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
90	80	flcld 12034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ )
91		elfz5 11792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
92	30, 90, 91	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
93		flge 12041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
94	80, 13, 93	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
95	92, 94	bitr4d 260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
96	89, 95	anbi12d 717	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
97	20	flcld 12034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ )
98		elfz5 11792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
99	30, 97, 98	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
100		flge 12041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
101	20, 13, 100	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
102	99, 101	bitr4d 260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
103		fznnfl 12089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
104	103	baibd 920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
105	57, 21, 104	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
106	102, 105	anbi12d 717	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
107	86, 96, 106	3bitr4d 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
108	107	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) ) )
109	7, 11, 108	pm5.21ndd 356	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
110		ssun2 3598	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
111	28	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
112		nnuz 11194	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
113	111, 112	syl6eleq 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
114		dchrisum0lem1a 24324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) )
115	114	simprd 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
116		fzsplit2 11824	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
117	113, 115, 116	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
118	110, 117	syl5sseqr 3481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
119	118	sselda 3432	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
120		rpvmasum2.g	. . . . . . . . 9 |- G = (DChr ` N )
121		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
122		rpvmasum2.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( Base ` G )
123		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Z )
124		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
125		ssrab2 3514	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
126	124, 125	eqsstri 3462	. . . . . . . . . . . 12 |- W C_ ( D \ { .1. } )
127		dchrisum0.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. W )
128	126, 127	sseldi 3430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
129	128	eldifad 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. D )
130	129	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> X e. D )
131		elfzelz 11800	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ZZ )
132	131	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
133	120, 121, 122, 123, 130, 132	dchrzrhcl 24173	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
134		elfznn 11828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. NN )
135	134	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. NN )
136	135	nnrpd 11339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
137	136	rpsqrtcld 13473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
138	137	rpcnd 11343	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
139	137	rpne0d 11346	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
140	133, 138, 139	divcld 10383	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
141	4	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
142	141	nnrpd 11339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
143	142	rpsqrtcld 13473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
144	143	rpcnne0d 11350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
145	144	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
146	145	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
147	145	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
148	140, 146, 147	divcld 10383	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
149	119, 148	syldan 473	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
150	149	anasss 653	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
151	1, 2, 3, 109, 150	fsumcom2 13835	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
152	151	mpteq2dva 4489	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
153	65	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR )
154		2cn 10680	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
155	15	rpsqrtcld 13473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
156	155	rpcnd 11343	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
157		mulcl 9623	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( sqr ` x ) e. CC ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
158	154, 156, 157	sylancr 669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
159	143	rprecred 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
160	1, 159	fsumrecl 13800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
161	160	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
162	161, 158	subcld 9986	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
163		2re 10679	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
164		dchrisum0.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
165		elrege0 11738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
166	164, 165	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
167	166	simpld 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
168		remulcl 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
169	163, 167, 168	sylancr 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. RR )
170	169	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
171	170, 155	rerpdivcld 11369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
172	171	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
173	158, 162, 172	adddird 9668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
174	158, 161	pncan3d 9989	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
175	174	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
176		2cnd 10682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
177	176, 156, 172	mulassd 9666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
178	170	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
179	155	rpne0d 11346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) =/= 0 )
180	178, 156, 179	divcan2d 10385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. C ) )
181	180	oveq2d 6306	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
182	177, 181	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
183	182	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
184	173, 175, 183	3eqtr3d 2493	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
185	184	mpteq2dva 4489	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
186		remulcl 9624	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 x. C ) e. RR ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
187	163, 169, 186	sylancr 669	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
188	187	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
189	188	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
190	162, 172	mulcld 9663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
191		rpssre 11312	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
192		o1const 13683	. . . . . 6 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O(1) )
193	191, 188, 192	sylancr 669	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O(1) )
194		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
195	194	divsqrsum 23907	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r
196		rlimdmo1 13681	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
197	195, 196	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
198	178, 156, 179	divrecd 10386	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
199	198	mpteq2dva 4489	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) )
200	155	rprecred 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
201	169	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. CC )
202		rlimconst 13608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. C ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
203	191, 201, 202	sylancr 669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
204		sqrtlim 23898	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0
205	204	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0 )
206	170, 200, 203, 205	rlimmul 13708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
207	199, 206	eqbrtrd 4423	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
208		rlimo1 13680	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
209	207, 208	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
210	162, 172, 197, 209	o1mul2 13688	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
211	189, 190, 193, 210	o1add2 13687	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
212	185, 211	eqeltrd 2529	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
213	160, 171	remulcld 9671	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
214	3, 149	fsumcl 13799	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
215	1, 214	fsumcl 13799	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
216	215	abscld 13498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
217	213	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
218	217	abscld 13498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR )
219	214	abscld 13498	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
220	1, 219	fsumrecl 13800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
221	1, 214	fsumabs 13861	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
222	171	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
223	159, 222	remulcld 9671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
224	119, 140	syldan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
225	3, 224	fsumcl 13799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
226	225	abscld 13498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
227		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
228		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . 11 |- .1. = ( 0g ` G )
229		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
230		dchrisum0.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
231		dchrisum0.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
232	121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231	dchrisum0lem1b 24353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) )
233	226, 222, 143, 232	lediv1dd 11396	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) <_ ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) )
234	143	rpcnd 11343	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
235	143	rpne0d 11346	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
236	225, 234, 235	absdivd 13517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) )
237	3, 234, 224, 235	fsumdivc 13847	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
238	237	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
239	143	rprege0d 11348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) )
240		absid 13359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
241	239, 240	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
242	241	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) )
243	236, 238, 242	3eqtr3rd 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
244	172	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
245	244, 234, 235	divrec2d 10387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
246	233, 243, 245	3brtr3d 4432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
247	1, 219, 223, 246	fsumle 13859	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
248	159	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
249	1, 172, 248	fsummulc1 13846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
250	247, 249	breqtrrd 4429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
251	216, 220, 213, 221, 250	letrd 9792	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
252	213	leabsd 13476	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
253	216, 213, 218, 251, 252	letrd 9792	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
254	253	adantrr 723	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
255	153, 212, 213, 215, 254	o1le 13716	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )
256	152, 255	eqeltrrd 2530	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   {crab 2741   \ cdif 3401   u. cun 3402   C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   [,)cico 11637   ...cfz 11784   |_cfl 12026   seqcseq 12213   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   abscabs 13297   ~~> cli 13548   ~~> r crli 13549   O(1)co1 13550   sum_csu 13752   Basecbs 15121   0gc0g 15338   ZRHomczrh 19071  ℤ/nℤczn 19074  DChrcdchr 24160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-o1 13554  df-lo1 13555  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-qus 15409  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-nsg 16815  df-eqg 16816  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-rnghom 17943  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-lidl 18397  df-rsp 18398  df-2idl 18456  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-zring 19040  df-zrh 19075  df-zn 19078  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507  df-dchr 24161

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  24357