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Theorem dchrisum0lem1 22724
Description: Lemma for dchrisum0 22728. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
Fin )
3 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  e. 
Fin )
4 elfznn 11474 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
5 elfzuz 11445 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
64, 5anim12i 563 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) ) )
8 elfzuz 11445 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
9 elfznn 11474 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
108, 9anim12ci 564 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) ) )
12 eluzelz 10866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
1312ad2antll 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1413zred 10743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
15 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
16 2z 10674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
17 rpexpcl 11880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
1815, 16, 17sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
1918rpred 11023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
2019adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
21 simprl 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
2221nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
2314, 20, 22lemuldivd 11068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  x.  d )  <_ 
( x ^ 2 )  <->  m  <_  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) )
2421nnred 10333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
2515rprege0d 11030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
26 flge0nn0 11662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
27 nn0p1nn 10615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
2825, 26, 273syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
2928adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN )
30 simprr 751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
31 eluznn 10921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
3229, 30, 31syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3332nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
3424, 20, 33lemuldiv2d 11069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  x.  d )  <_ 
( x ^ 2 )  <->  d  <_  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
3523, 34bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  d  <_  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
36 rpcn 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
3736adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
3837sqvald 12001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  =  ( x  x.  x
) )
3938adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  =  ( x  x.  x ) )
40 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
4140rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
42 reflcl 11642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
43 peano2re 9538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  x )  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
4441, 42, 433syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  RR )
45 fllep1 11647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
4641, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
47 eluzle 10869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <_  m
)
4847ad2antll 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <_  m
)
4941, 44, 14, 46, 48letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  m
)
5041, 14, 40lemul1d 11062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  <_  m 
<->  ( x  x.  x
)  <_  ( m  x.  x ) ) )
5149, 50mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  x.  x )  <_  (
m  x.  x ) )
5239, 51eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  <_  (
m  x.  x ) )
5320, 41, 33ledivmuld 11072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  <_  x 
<->  ( x ^ 2 )  <_  ( m  x.  x ) ) )
5452, 53mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  /  m )  <_  x
)
55 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  RR )
5655ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
5720, 32nndivred 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR )
58 letr 9464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d  e.  RR  /\  ( ( x ^
2 )  /  m
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  /\  ( (
x ^ 2 )  /  m )  <_  x )  ->  d  <_  x ) )
5956, 57, 41, 58syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  <_  ( ( x ^ 2 )  /  m )  /\  (
( x ^ 2 )  /  m )  <_  x )  -> 
d  <_  x )
)
6054, 59mpan2d 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  ->  d  <_  x ) )
6135, 60sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  ->  d  <_  x ) )
6261pm4.71rd 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  ( d  <_  x  /\  m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
63 nnge1 10344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN  ->  1  <_  d )
6463ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  1  <_  d
)
65 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
66 0lt1 9858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
6765, 66pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
6922rpregt0d 11029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  < 
d ) )
7018adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR+ )
7170rpregt0d 11029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( x ^ 2 ) ) )
72 lediv2 10218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( d  e.  RR  /\  0  < 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( x ^
2 ) ) )  ->  ( 1  <_ 
d  <->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) ) )
7368, 69, 71, 72syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( 1  <_ 
d  <->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) ) )
7464, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) )
7520recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
7675div1d 10095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
1 )  =  ( x ^ 2 ) )
7774, 76breqtrd 4313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
x ^ 2 ) )
78 simpl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  -> 
d  e.  NN )
79 nndivre 10353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR )
8019, 78, 79syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  e.  RR )
81 letr 9464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( m  <_  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  /  d )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  m  <_  ( x ^
2 ) ) )
8214, 80, 20, 81syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  <_  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  /  d )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  m  <_  ( x ^
2 ) ) )
8377, 82mpan2d 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  ->  m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
8435, 83sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  ->  m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
8584pm4.71rd 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  <->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
8635, 62, 853bitr3d 283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  <_  x  /\  m  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  <->  ( m  <_  ( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
87 fznnfl 11697 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
8887baibd 895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
d  <_  x )
)
8941, 21, 88syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
d  <_  x )
)
9080flcld 11644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  ZZ )
91 elfz5 11441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  <->  m  <_  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
9230, 90, 91syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
93 flge 11651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
9480, 13, 93syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  m  <_  ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
9592, 94bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  <-> 
m  <_  ( (
x ^ 2 )  /  d ) ) )
9689, 95anbi12d 705 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  /\  m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( d  <_  x  /\  m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
9720flcld 11644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( x ^ 2 ) )  e.  ZZ )
98 elfz5 11441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  ( |_ `  ( x ^
2 ) )  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  <->  m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
9930, 97, 98syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
100 flge 11651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  (
x ^ 2 )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
10120, 13, 100syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  <->  m  <_  ( |_
`  ( x ^
2 ) ) ) )
10299, 101bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
103 fznnfl 11697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
104103baibd 895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  /  m
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  <-> 
d  <_  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )
10557, 21, 104syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  <-> 
d  <_  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )
106102, 105anbi12d 705 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  <->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
10786, 96, 1063bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  /\  m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
108107ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  -> 
( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) ) )
1097, 11, 108pm5.21ndd 354 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  <-> 
( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
110 ssun2 3517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
11128adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
112 nnuz 10892 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
113111, 112syl6eleq 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
114 dchrisum0lem1a 22694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  /\  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) ) )
115114simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
116 fzsplit2 11470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ) )
117113, 115, 116syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ) )
118110, 117syl5sseqr 3402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
119118sselda 3353 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
120 rpvmasum2.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
121 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
122 rpvmasum2.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
123 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
124 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
125 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
126124, 125eqsstri 3383 . . . . . . . . . . . 12  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
127 dchrisum0.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
128126, 127sseldi 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
129128eldifad 3337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
130129ad3antrrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
131 elfzelz 11449 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
132131adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
133120, 121, 122, 123, 130, 132dchrzrhcl 22543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
134 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
135134adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
136135nnrpd 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
137136rpsqrcld 12894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
138137rpcnd 11025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
139137rpne0d 11028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
140133, 138, 139divcld 10103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
1414adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
142141nnrpd 11022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
143142rpsqrcld 12894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
144143rpcnne0d 11032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
145144adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
146145simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
147145simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
148140, 146, 147divcld 10103 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
149119, 148syldan 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
150149anasss 642 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
1511, 2, 3, 109, 150fsumcom2 13237 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
152151mpteq2dva 4375 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
15365a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
154 2cn 10388 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
15515rpsqrcld 12894 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
156155rpcnd 11025 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
157 mulcl 9362 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC )
158154, 156, 157sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
159143rprecred 11034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  RR )
1601, 159fsumrecl 13207 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  RR )
161160recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
162161, 158subcld 9715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  e.  CC )
163 2re 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
164 dchrisum0.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
165 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
166164, 165sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
167166simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
168 remulcl 9363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
169163, 167, 168sylancr 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
170169adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  RR )
171170, 155rerpdivcld 11050 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
172171recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
173158, 162, 172adddird 9407 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) ) ) )
174158, 161pncan3d 9718 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )
175174oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
176 2cnd 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
177176, 156, 172mulassd 9405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sqr `  x )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
178170recnd 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  CC )
179155rpne0d 11028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  =/=  0
)
180178, 156, 179divcan2d 10105 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  C ) )
181180oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  x )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
182177, 181eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
183182oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  +  ( (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
184173, 175, 1833eqtr3d 2481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) ) ) )
185184mpteq2dva 4375 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
186 remulcl 9363 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  C
) )  e.  RR )
187163, 169, 186sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  e.  RR )
188187recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  e.  CC )
189188adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  e.  CC )
190162, 172mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )
191 rpssre 10997 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
192 o1const 13093 . . . . . 6  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
2  x.  ( 2  x.  C ) )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) ) )  e.  O(1) )
193191, 188, 192sylancr 658 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) ) )  e.  O(1) )
194 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
195194divsqrsum 22334 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  dom  ~~> r
196 rlimdmo1 13091 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  dom  ~~> r  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
197195, 196mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
198178, 156, 179divrecd 10106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  =  ( ( 2  x.  C
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) ) )
199198mpteq2dva 4375 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  x.  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
200155rprecred 11034 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
201169recnd 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  CC )
202 rlimconst 13018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
2  x.  C )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  C
) )  ~~> r  ( 2  x.  C ) )
203191, 201, 202sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  C
) )  ~~> r  ( 2  x.  C ) )
204 sqrlim 22325 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  0
205204a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  0 )
206170, 200, 203, 205rlimmul 13118 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  x.  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C )  x.  0 ) )
207199, 206eqbrtrd 4309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C )  x.  0 ) )
208 rlimo1 13090 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C
)  x.  0 )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  e.  O(1) )
209207, 208syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  O(1) )
210162, 172, 197, 209o1mul2 13098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
211189, 190, 193, 210o1add2 13097 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C
) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
212185, 211eqeltrd 2515 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
213160, 171remulcld 9410 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  RR )
2143, 149fsumcl 13206 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
2151, 214fsumcl 13206 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
216215abscld 12918 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  RR )
217213recnd 9408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  CC )
218217abscld 12918 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
219214abscld 12918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  RR )
2201, 219fsumrecl 13207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  RR )
2211, 214fsumabs 13260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
222171adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
223159, 222remulcld 9410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  RR )
224119, 140syldan 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
2253, 224fsumcl 13206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
226225abscld 12918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
227 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
228 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
229 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
230 dchrisum0.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
231 dchrisum0.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
232121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231dchrisum0lem1b 22723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )
233226, 222, 143, 232lediv1dd 11077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) )  <_  (
( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) )  /  ( sqr `  d
) ) )
234143rpcnd 11025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
235143rpne0d 11028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
236225, 234, 235absdivd 12937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) )  / 
( abs `  ( sqr `  d ) ) ) )
2373, 234, 224, 235fsumdivc 13249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
238237fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
239143rprege0d 11030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  d
) ) )
240 absid 12781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  d
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  d
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  d
) )  =  ( sqr `  d ) )
241239, 240syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sqr `  d
) )  =  ( sqr `  d ) )
242241oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( abs `  ( sqr `  d ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) ) )
243236, 238, 2423eqtr3rd 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) )  =  ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
244172adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
245244, 234, 235divrec2d 10107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
246233, 243, 2453brtr3d 4318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( (
1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )
2471, 219, 223, 246fsumle 13258 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
248159recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  CC )
2491, 172, 248fsummulc1 13248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 1  / 
( sqr `  d
) )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) )
250247, 249breqtrrd 4315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_ 
( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
251216, 220, 213, 221, 250letrd 9524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )
252213leabsd 12897 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
253216, 213, 218, 251, 252letrd 9524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
254253adantrr 711 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_ 
( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
255153, 212, 213, 215, 254o1le 13126 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
256152, 255eqeltrrd 2516 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717    \ cdif 3322    u. cun 3323    C_ wss 3325   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   [,)cico 11298   ...cfz 11433   |_cfl 11636    seqcseq 11802   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   abscabs 12719    ~~> cli 12958    ~~> r crli 12959   O(1)co1 12960   sum_csu 13159   Basecbs 14170   0gc0g 14374   ZRHomczrh 17890  ℤ/nczn 17893  DChrcdchr 22530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-divs 14443  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-rnghom 16796  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-lidl 17233  df-rsp 17234  df-2idl 17292  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zrh 17894  df-zn 17897  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968  df-dchr 22531
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  22727
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