Theorem dchrisum0lem1 22724

Description: Lemma for dchrisum0 22728. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem1	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11791	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		fzfid 11791	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) e. Fin )
3		fzfid 11791	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) e. Fin )
4		elfznn 11474	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
5		elfzuz 11445	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
6	4, 5	anim12i 563	. . . . . 6 |- ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
8		elfzuz 11445	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
9		elfznn 11474	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
10	8, 9	anim12ci 564	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
12		eluzelz 10866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> m e. ZZ )
13	12	ad2antll 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
14	13	zred 10743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR )
15		simpr 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
16		2z 10674	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
17		rpexpcl 11880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
18	15, 16, 17	sylancl 657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
19	18	rpred 11023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
20	19	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
21		simprl 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. NN )
22	21	nnrpd 11022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR+ )
23	14, 20, 22	lemuldivd 11068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
24	21	nnred 10333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
25	15	rprege0d 11030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
26		flge0nn0 11662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
27		nn0p1nn 10615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
28	25, 26, 27	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
29	28	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
30		simprr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
31		eluznn 10921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
32	29, 30, 31	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. NN )
33	32	nnrpd 11022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR+ )
34	24, 20, 33	lemuldiv2d 11069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
35	23, 34	bitr3d 255	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
36		rpcn 10995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
37	36	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
38	37	sqvald 12001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
39	38	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
40		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR+ )
41	40	rpred 11023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
42		reflcl 11642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
43		peano2re 9538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( |_ ` x ) e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
44	41, 42, 43	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
45		fllep1 11647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
46	41, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
47		eluzle 10869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
48	47	ad2antll 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
49	41, 44, 14, 46, 48	letrd 9524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ m )
50	41, 14, 40	lemul1d 11062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ m <-> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) ) )
51	49, 50	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) )
52	39, 51	eqbrtrd 4309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) )
53	20, 41, 33	ledivmuld 11072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x <-> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) ) )
54	52, 53	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x )
55		nnre 10325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN -> d e. RR )
56	55	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
57	20, 32	nndivred 10366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR )
58		letr 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
59	56, 57, 41, 58	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
60	54, 59	mpan2d 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> d <_ x ) )
61	35, 60	sylbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> d <_ x ) )
62	61	pm4.71rd 630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
63		nnge1 10344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> 1 <_ d )
64	63	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> 1 <_ d )
65		1re 9381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
66		0lt1 9858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
67	65, 66	pm3.2i 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
69	22	rpregt0d 11029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 < d ) )
70	18	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
71	70	rpregt0d 11029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) )
72		lediv2 10218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( d e. RR /\ 0 < d ) /\ ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
73	68, 69, 71, 72	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
74	64, 73	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) )
75	20	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
76	75	div1d 10095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / 1 ) = ( x ^ 2 ) )
77	74, 76	breqtrd 4313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) )
78		simpl 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> d e. NN )
79		nndivre 10353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
80	19, 78, 79	syl2an 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
81		letr 9464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
82	14, 80, 20, 81	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
83	77, 82	mpan2d 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
84	35, 83	sylbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
85	84	pm4.71rd 630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
86	35, 62, 85	3bitr3d 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
87		fznnfl 11697	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
88	87	baibd 895	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
89	41, 21, 88	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
90	80	flcld 11644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ )
91		elfz5 11441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
92	30, 90, 91	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
93		flge 11651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
94	80, 13, 93	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
95	92, 94	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
96	89, 95	anbi12d 705	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
97	20	flcld 11644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ )
98		elfz5 11441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
99	30, 97, 98	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
100		flge 11651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
101	20, 13, 100	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
102	99, 101	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
103		fznnfl 11697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
104	103	baibd 895	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
105	57, 21, 104	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
106	102, 105	anbi12d 705	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
107	86, 96, 106	3bitr4d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
108	107	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) ) )
109	7, 11, 108	pm5.21ndd 354	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
110		ssun2 3517	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
111	28	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
112		nnuz 10892	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
113	111, 112	syl6eleq 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
114		dchrisum0lem1a 22694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) )
115	114	simprd 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
116		fzsplit2 11470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
117	113, 115, 116	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
118	110, 117	syl5sseqr 3402	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
119	118	sselda 3353	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
120		rpvmasum2.g	. . . . . . . . 9 |- G = (DChr ` N )
121		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
122		rpvmasum2.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( Base ` G )
123		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Z )
124		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
125		ssrab2 3434	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
126	124, 125	eqsstri 3383	. . . . . . . . . . . 12 |- W C_ ( D \ { .1. } )
127		dchrisum0.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. W )
128	126, 127	sseldi 3351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
129	128	eldifad 3337	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. D )
130	129	ad3antrrr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> X e. D )
131		elfzelz 11449	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ZZ )
132	131	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
133	120, 121, 122, 123, 130, 132	dchrzrhcl 22543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
134		elfznn 11474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. NN )
135	134	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. NN )
136	135	nnrpd 11022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
137	136	rpsqrcld 12894	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
138	137	rpcnd 11025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
139	137	rpne0d 11028	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
140	133, 138, 139	divcld 10103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
141	4	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
142	141	nnrpd 11022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
143	142	rpsqrcld 12894	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
144	143	rpcnne0d 11032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
145	144	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
146	145	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
147	145	simprd 460	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
148	140, 146, 147	divcld 10103	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
149	119, 148	syldan 467	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
150	149	anasss 642	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
151	1, 2, 3, 109, 150	fsumcom2 13237	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
152	151	mpteq2dva 4375	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
153	65	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR )
154		2cn 10388	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
155	15	rpsqrcld 12894	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
156	155	rpcnd 11025	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
157		mulcl 9362	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( sqr ` x ) e. CC ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
158	154, 156, 157	sylancr 658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
159	143	rprecred 11034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
160	1, 159	fsumrecl 13207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
161	160	recnd 9408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
162	161, 158	subcld 9715	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
163		2re 10387	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
164		dchrisum0.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
165		elrege0 11388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
166	164, 165	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
167	166	simpld 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
168		remulcl 9363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
169	163, 167, 168	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. RR )
170	169	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
171	170, 155	rerpdivcld 11050	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
172	171	recnd 9408	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
173	158, 162, 172	adddird 9407	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
174	158, 161	pncan3d 9718	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
175	174	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
176		2cnd 10390	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
177	176, 156, 172	mulassd 9405	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
178	170	recnd 9408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
179	155	rpne0d 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) =/= 0 )
180	178, 156, 179	divcan2d 10105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. C ) )
181	180	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
182	177, 181	eqtrd 2473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
183	182	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
184	173, 175, 183	3eqtr3d 2481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
185	184	mpteq2dva 4375	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
186		remulcl 9363	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 x. C ) e. RR ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
187	163, 169, 186	sylancr 658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
188	187	recnd 9408	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
189	188	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
190	162, 172	mulcld 9402	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
191		rpssre 10997	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
192		o1const 13093	. . . . . 6 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O(1) )
193	191, 188, 192	sylancr 658	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O(1) )
194		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
195	194	divsqrsum 22334	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r
196		rlimdmo1 13091	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
197	195, 196	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
198	178, 156, 179	divrecd 10106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
199	198	mpteq2dva 4375	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) )
200	155	rprecred 11034	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
201	169	recnd 9408	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. CC )
202		rlimconst 13018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. C ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
203	191, 201, 202	sylancr 658	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
204		sqrlim 22325	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0
205	204	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0 )
206	170, 200, 203, 205	rlimmul 13118	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
207	199, 206	eqbrtrd 4309	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
208		rlimo1 13090	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
209	207, 208	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O(1) )
210	162, 172, 197, 209	o1mul2 13098	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
211	189, 190, 193, 210	o1add2 13097	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
212	185, 211	eqeltrd 2515	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O(1) )
213	160, 171	remulcld 9410	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
214	3, 149	fsumcl 13206	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
215	1, 214	fsumcl 13206	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
216	215	abscld 12918	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
217	213	recnd 9408	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
218	217	abscld 12918	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR )
219	214	abscld 12918	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
220	1, 219	fsumrecl 13207	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
221	1, 214	fsumabs 13260	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
222	171	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
223	159, 222	remulcld 9410	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
224	119, 140	syldan 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
225	3, 224	fsumcl 13206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
226	225	abscld 12918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
227		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
228		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . 11 |- .1. = ( 0g ` G )
229		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
230		dchrisum0.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
231		dchrisum0.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
232	121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231	dchrisum0lem1b 22723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) )
233	226, 222, 143, 232	lediv1dd 11077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) <_ ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) )
234	143	rpcnd 11025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
235	143	rpne0d 11028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
236	225, 234, 235	absdivd 12937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) )
237	3, 234, 224, 235	fsumdivc 13249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
238	237	fveq2d 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
239	143	rprege0d 11030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) )
240		absid 12781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
241	239, 240	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
242	241	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) )
243	236, 238, 242	3eqtr3rd 2482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
244	172	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
245	244, 234, 235	divrec2d 10107	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
246	233, 243, 245	3brtr3d 4318	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
247	1, 219, 223, 246	fsumle 13258	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
248	159	recnd 9408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
249	1, 172, 248	fsummulc1 13248	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
250	247, 249	breqtrrd 4315	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
251	216, 220, 213, 221, 250	letrd 9524	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
252	213	leabsd 12897	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
253	216, 213, 218, 251, 252	letrd 9524	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
254	253	adantrr 711	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
255	153, 212, 213, 215, 254	o1le 13126	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )
256	152, 255	eqeltrrd 2516	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   \ cdif 3322   u. cun 3323   C_ wss 3325   {csn 3874   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   +oocpnf 9411   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   [,)cico 11298   ...cfz 11433   |_cfl 11636   seqcseq 11802   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   abscabs 12719   ~~> cli 12958   ~~> r crli 12959   O(1)co1 12960   sum_csu 13159   Basecbs 14170   0gc0g 14374   ZRHomczrh 17890  ℤ/nℤczn 17893  DChrcdchr 22530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-o1 12964  df-lo1 12965  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-divs 14443  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-rnghom 16796  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-lidl 17233  df-rsp 17234  df-2idl 17292  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zrh 17894  df-zn 17897  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968  df-dchr 22531

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  22727