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Theorem dchrisum0lem1 24354
Description: Lemma for dchrisum0 24358. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 12186 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 fzfid 12186 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
Fin )
3 fzfid 12186 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  e. 
Fin )
4 elfznn 11828 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
5 elfzuz 11796 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
64, 5anim12i 570 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) ) )
8 elfzuz 11796 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
9 elfznn 11828 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
108, 9anim12ci 571 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) ) )
12 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
1312ad2antll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1413zred 11040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
15 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
16 2z 10969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
17 rpexpcl 12291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
1815, 16, 17sylancl 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
1918rpred 11341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
2019adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
21 simprl 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
2221nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
2314, 20, 22lemuldivd 11387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  x.  d )  <_ 
( x ^ 2 )  <->  m  <_  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) )
2421nnred 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
2515rprege0d 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
26 flge0nn0 12054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
27 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
2928adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN )
30 simprr 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
31 eluznn 11229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
3229, 30, 31syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3332nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
3424, 20, 33lemuldiv2d 11388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  x.  d )  <_ 
( x ^ 2 )  <->  d  <_  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
3523, 34bitr3d 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  d  <_  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
36 rpcn 11310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
3736adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
3837sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  =  ( x  x.  x
) )
3938adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  =  ( x  x.  x ) )
40 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
4140rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
42 reflcl 12032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
43 peano2re 9806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  x )  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  RR )
45 fllep1 12037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
47 eluzle 11171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <_  m
)
4847ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <_  m
)
4941, 44, 14, 46, 48letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  m
)
5041, 14, 40lemul1d 11381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  <_  m 
<->  ( x  x.  x
)  <_  ( m  x.  x ) ) )
5149, 50mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  x.  x )  <_  (
m  x.  x ) )
5239, 51eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  <_  (
m  x.  x ) )
5320, 41, 33ledivmuld 11391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  <_  x 
<->  ( x ^ 2 )  <_  ( m  x.  x ) ) )
5452, 53mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  /  m )  <_  x
)
55 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  RR )
5655ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
5720, 32nndivred 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR )
58 letr 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d  e.  RR  /\  ( ( x ^
2 )  /  m
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  /\  ( (
x ^ 2 )  /  m )  <_  x )  ->  d  <_  x ) )
5956, 57, 41, 58syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  <_  ( ( x ^ 2 )  /  m )  /\  (
( x ^ 2 )  /  m )  <_  x )  -> 
d  <_  x )
)
6054, 59mpan2d 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  ->  d  <_  x ) )
6135, 60sylbid 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  ->  d  <_  x ) )
6261pm4.71rd 641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  ( d  <_  x  /\  m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
63 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN  ->  1  <_  d )
6463ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  1  <_  d
)
65 1re 9642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
66 0lt1 10136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
6765, 66pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
6922rpregt0d 11347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  < 
d ) )
7018adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR+ )
7170rpregt0d 11347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( x ^ 2 ) ) )
72 lediv2 10496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( d  e.  RR  /\  0  < 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( x ^
2 ) ) )  ->  ( 1  <_ 
d  <->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) ) )
7368, 69, 71, 72syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( 1  <_ 
d  <->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) ) )
7464, 73mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) )
7520recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
7675div1d 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
1 )  =  ( x ^ 2 ) )
7774, 76breqtrd 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
x ^ 2 ) )
78 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  -> 
d  e.  NN )
79 nndivre 10645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR )
8019, 78, 79syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  e.  RR )
81 letr 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( m  <_  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  /  d )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  m  <_  ( x ^
2 ) ) )
8214, 80, 20, 81syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  <_  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  /  d )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  m  <_  ( x ^
2 ) ) )
8377, 82mpan2d 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  ->  m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
8435, 83sylbird 239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  ->  m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
8584pm4.71rd 641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  <->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
8635, 62, 853bitr3d 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  <_  x  /\  m  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  <->  ( m  <_  ( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
87 fznnfl 12089 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
8887baibd 920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
d  <_  x )
)
8941, 21, 88syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
d  <_  x )
)
9080flcld 12034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  ZZ )
91 elfz5 11792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  <->  m  <_  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
9230, 90, 91syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
93 flge 12041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
9480, 13, 93syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  m  <_  ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
9592, 94bitr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  <-> 
m  <_  ( (
x ^ 2 )  /  d ) ) )
9689, 95anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  /\  m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( d  <_  x  /\  m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
9720flcld 12034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( x ^ 2 ) )  e.  ZZ )
98 elfz5 11792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  ( |_ `  ( x ^
2 ) )  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  <->  m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
9930, 97, 98syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
100 flge 12041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  (
x ^ 2 )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
10120, 13, 100syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  <->  m  <_  ( |_
`  ( x ^
2 ) ) ) )
10299, 101bitr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
103 fznnfl 12089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
104103baibd 920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  /  m
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  <-> 
d  <_  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )
10557, 21, 104syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  <-> 
d  <_  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )
106102, 105anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  <->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
10786, 96, 1063bitr4d 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  /\  m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
108107ex 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  -> 
( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) ) )
1097, 11, 108pm5.21ndd 356 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  <-> 
( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
110 ssun2 3598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
11128adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
112 nnuz 11194 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
113111, 112syl6eleq 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
114 dchrisum0lem1a 24324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  /\  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) ) )
115114simprd 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
116 fzsplit2 11824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ) )
117113, 115, 116syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ) )
118110, 117syl5sseqr 3481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
119118sselda 3432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
120 rpvmasum2.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
121 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
122 rpvmasum2.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
123 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
124 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
125 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
126124, 125eqsstri 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
127 dchrisum0.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
128126, 127sseldi 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
129128eldifad 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
130129ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
131 elfzelz 11800 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
132131adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
133120, 121, 122, 123, 130, 132dchrzrhcl 24173 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
134 elfznn 11828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
135134adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
136135nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
137136rpsqrtcld 13473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
138137rpcnd 11343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
139137rpne0d 11346 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
140133, 138, 139divcld 10383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
1414adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
142141nnrpd 11339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
143142rpsqrtcld 13473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
144143rpcnne0d 11350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
145144adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
146145simpld 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
147145simprd 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
148140, 146, 147divcld 10383 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
149119, 148syldan 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
150149anasss 653 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
1511, 2, 3, 109, 150fsumcom2 13835 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
152151mpteq2dva 4489 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
15365a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
154 2cn 10680 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
15515rpsqrtcld 13473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
156155rpcnd 11343 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
157 mulcl 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC )
158154, 156, 157sylancr 669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
159143rprecred 11352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  RR )
1601, 159fsumrecl 13800 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  RR )
161160recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
162161, 158subcld 9986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  e.  CC )
163 2re 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
164 dchrisum0.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
165 elrege0 11738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
166164, 165sylib 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
167166simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
168 remulcl 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
169163, 167, 168sylancr 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
170169adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  RR )
171170, 155rerpdivcld 11369 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
172171recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
173158, 162, 172adddird 9668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) ) ) )
174158, 161pncan3d 9989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )
175174oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
176 2cnd 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
177176, 156, 172mulassd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sqr `  x )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
178170recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  CC )
179155rpne0d 11346 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  =/=  0
)
180178, 156, 179divcan2d 10385 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  C ) )
181180oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  x )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
182177, 181eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
183182oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  +  ( (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
184173, 175, 1833eqtr3d 2493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) ) ) )
185184mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
186 remulcl 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  C
) )  e.  RR )
187163, 169, 186sylancr 669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  e.  RR )
188187recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  e.  CC )
189188adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  e.  CC )
190162, 172mulcld 9663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )
191 rpssre 11312 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
192 o1const 13683 . . . . . 6  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
2  x.  ( 2  x.  C ) )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) ) )  e.  O(1) )
193191, 188, 192sylancr 669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) ) )  e.  O(1) )
194 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
195194divsqrsum 23907 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  dom  ~~> r
196 rlimdmo1 13681 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  dom  ~~> r  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
197195, 196mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
198178, 156, 179divrecd 10386 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  =  ( ( 2  x.  C
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) ) )
199198mpteq2dva 4489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  x.  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
200155rprecred 11352 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
201169recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  CC )
202 rlimconst 13608 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
2  x.  C )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  C
) )  ~~> r  ( 2  x.  C ) )
203191, 201, 202sylancr 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  C
) )  ~~> r  ( 2  x.  C ) )
204 sqrtlim 23898 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  0
205204a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  0 )
206170, 200, 203, 205rlimmul 13708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  x.  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C )  x.  0 ) )
207199, 206eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C )  x.  0 ) )
208 rlimo1 13680 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C
)  x.  0 )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  e.  O(1) )
209207, 208syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  O(1) )
210162, 172, 197, 209o1mul2 13688 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
211189, 190, 193, 210o1add2 13687 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C
) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
212185, 211eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
213160, 171remulcld 9671 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  RR )
2143, 149fsumcl 13799 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
2151, 214fsumcl 13799 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
216215abscld 13498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  RR )
217213recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  CC )
218217abscld 13498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
219214abscld 13498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  RR )
2201, 219fsumrecl 13800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  RR )
2211, 214fsumabs 13861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
222171adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
223159, 222remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  RR )
224119, 140syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
2253, 224fsumcl 13799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
226225abscld 13498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
227 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
228 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
229 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
230 dchrisum0.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
231 dchrisum0.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
232121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231dchrisum0lem1b 24353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )
233226, 222, 143, 232lediv1dd 11396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) )  <_  (
( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) )  /  ( sqr `  d
) ) )
234143rpcnd 11343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
235143rpne0d 11346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
236225, 234, 235absdivd 13517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) )  / 
( abs `  ( sqr `  d ) ) ) )
2373, 234, 224, 235fsumdivc 13847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
238237fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
239143rprege0d 11348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  d
) ) )
240 absid 13359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  d
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  d
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  d
) )  =  ( sqr `  d ) )
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sqr `  d
) )  =  ( sqr `  d ) )
242241oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( abs `  ( sqr `  d ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) ) )
243236, 238, 2423eqtr3rd 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) )  =  ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
244172adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
245244, 234, 235divrec2d 10387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
246233, 243, 2453brtr3d 4432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( (
1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )
2471, 219, 223, 246fsumle 13859 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
248159recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  CC )
2491, 172, 248fsummulc1 13846 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 1  / 
( sqr `  d
) )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) )
250247, 249breqtrrd 4429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_ 
( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
251216, 220, 213, 221, 250letrd 9792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )
252213leabsd 13476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
253216, 213, 218, 251, 252letrd 9792 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
254253adantrr 723 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_ 
( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
255153, 212, 213, 215, 254o1le 13716 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
256152, 255eqeltrrd 2530 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   {crab 2741    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   [,)cico 11637   ...cfz 11784   |_cfl 12026    seqcseq 12213   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296   abscabs 13297    ~~> cli 13548    ~~> r crli 13549   O(1)co1 13550   sum_csu 13752   Basecbs 15121   0gc0g 15338   ZRHomczrh 19071  ℤ/nczn 19074  DChrcdchr 24160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-o1 13554  df-lo1 13555  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-qus 15409  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-nsg 16815  df-eqg 16816  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-rnghom 17943  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-lidl 18397  df-rsp 18398  df-2idl 18456  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-zring 19040  df-zrh 19075  df-zn 19078  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507  df-dchr 24161
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  24357
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