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Theorem dchrisum0lem1 24433
Description: Lemma for dchrisum0 24437. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 12224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 fzfid 12224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
Fin )
3 fzfid 12224 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  e. 
Fin )
4 elfznn 11854 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
5 elfzuz 11822 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
64, 5anim12i 576 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) ) )
8 elfzuz 11822 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
9 elfznn 11854 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
108, 9anim12ci 577 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) ) )
12 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
1312ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1413zred 11063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
15 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
16 2z 10993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
17 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
1815, 16, 17sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
1918rpred 11364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
2019adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
21 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
2221nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
2314, 20, 22lemuldivd 11410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  x.  d )  <_ 
( x ^ 2 )  <->  m  <_  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) )
2421nnred 10646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
2515rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
26 flge0nn0 12087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
27 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN )
30 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
31 eluznn 11252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
3229, 30, 31syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3332nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
3424, 20, 33lemuldiv2d 11411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  x.  d )  <_ 
( x ^ 2 )  <->  d  <_  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
3523, 34bitr3d 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  d  <_  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
36 rpcn 11333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
3837sqvald 12451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  =  ( x  x.  x
) )
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  =  ( x  x.  x ) )
40 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
4140rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
42 reflcl 12065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
43 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  x )  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  RR )
45 fllep1 12070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
47 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <_  m
)
4847ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <_  m
)
4941, 44, 14, 46, 48letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  m
)
5041, 14, 40lemul1d 11404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  <_  m 
<->  ( x  x.  x
)  <_  ( m  x.  x ) ) )
5149, 50mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  x.  x )  <_  (
m  x.  x ) )
5239, 51eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  <_  (
m  x.  x ) )
5320, 41, 33ledivmuld 11414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  <_  x 
<->  ( x ^ 2 )  <_  ( m  x.  x ) ) )
5452, 53mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  /  m )  <_  x
)
55 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  RR )
5655ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
5720, 32nndivred 10680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR )
58 letr 9745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d  e.  RR  /\  ( ( x ^
2 )  /  m
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  /\  ( (
x ^ 2 )  /  m )  <_  x )  ->  d  <_  x ) )
5956, 57, 41, 58syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  <_  ( ( x ^ 2 )  /  m )  /\  (
( x ^ 2 )  /  m )  <_  x )  -> 
d  <_  x )
)
6054, 59mpan2d 688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  ->  d  <_  x ) )
6135, 60sylbid 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  ->  d  <_  x ) )
6261pm4.71rd 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  ( d  <_  x  /\  m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
63 nnge1 10657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN  ->  1  <_  d )
6463ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  1  <_  d
)
65 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
66 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
6765, 66pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
6922rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  < 
d ) )
7018adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR+ )
7170rpregt0d 11370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( x ^ 2 ) ) )
72 lediv2 10518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( d  e.  RR  /\  0  < 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( x ^
2 ) ) )  ->  ( 1  <_ 
d  <->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) ) )
7368, 69, 71, 72syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( 1  <_ 
d  <->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) ) )
7464, 73mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) )
7520recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
7675div1d 10397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
1 )  =  ( x ^ 2 ) )
7774, 76breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
x ^ 2 ) )
78 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  -> 
d  e.  NN )
79 nndivre 10667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR )
8019, 78, 79syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  e.  RR )
81 letr 9745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( m  <_  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  /  d )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  m  <_  ( x ^
2 ) ) )
8214, 80, 20, 81syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  <_  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  /  d )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  m  <_  ( x ^
2 ) ) )
8377, 82mpan2d 688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  ->  m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
8435, 83sylbird 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  ->  m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
8584pm4.71rd 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  <->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
8635, 62, 853bitr3d 291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  <_  x  /\  m  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  <->  ( m  <_  ( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
87 fznnfl 12122 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
8887baibd 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
d  <_  x )
)
8941, 21, 88syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
d  <_  x )
)
9080flcld 12067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  ZZ )
91 elfz5 11818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  <->  m  <_  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
9230, 90, 91syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
93 flge 12074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
9480, 13, 93syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  m  <_  ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
9592, 94bitr4d 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  <-> 
m  <_  ( (
x ^ 2 )  /  d ) ) )
9689, 95anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  /\  m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( d  <_  x  /\  m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
9720flcld 12067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( x ^ 2 ) )  e.  ZZ )
98 elfz5 11818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  ( |_ `  ( x ^
2 ) )  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  <->  m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
9930, 97, 98syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
100 flge 12074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  (
x ^ 2 )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
10120, 13, 100syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  <->  m  <_  ( |_
`  ( x ^
2 ) ) ) )
10299, 101bitr4d 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
103 fznnfl 12122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
104103baibd 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  /  m
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  <-> 
d  <_  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )
10557, 21, 104syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  <-> 
d  <_  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )
106102, 105anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  <->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
10786, 96, 1063bitr4d 293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  /\  m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
108107ex 441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  -> 
( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) ) )
1097, 11, 108pm5.21ndd 361 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  <-> 
( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
110 ssun2 3589 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
11128adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
112 nnuz 11218 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
113111, 112syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
114 dchrisum0lem1a 24403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  /\  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) ) )
115114simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
116 fzsplit2 11850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ) )
117113, 115, 116syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ) )
118110, 117syl5sseqr 3467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
119118sselda 3418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
120 rpvmasum2.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
121 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
122 rpvmasum2.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
123 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
124 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
125 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
126124, 125eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . 12  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
127 dchrisum0.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
128126, 127sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
129128eldifad 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
130129ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
131 elfzelz 11826 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
132131adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
133120, 121, 122, 123, 130, 132dchrzrhcl 24252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
134 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
135134adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
136135nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
137136rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
138137rpcnd 11366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
139137rpne0d 11369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
140133, 138, 139divcld 10405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
1414adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
142141nnrpd 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
143142rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
144143rpcnne0d 11373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
145144adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
146145simpld 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
147145simprd 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
148140, 146, 147divcld 10405 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
149119, 148syldan 478 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
150149anasss 659 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
1511, 2, 3, 109, 150fsumcom2 13912 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
152151mpteq2dva 4482 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
15365a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
154 2cn 10702 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
15515rpsqrtcld 13550 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
156155rpcnd 11366 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
157 mulcl 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC )
158154, 156, 157sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
159143rprecred 11375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  RR )
1601, 159fsumrecl 13877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  RR )
161160recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
162161, 158subcld 10005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  e.  CC )
163 2re 10701 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
164 dchrisum0.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
165 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
166164, 165sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
167166simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
168 remulcl 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
169163, 167, 168sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
170169adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  RR )
171170, 155rerpdivcld 11392 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
172171recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
173158, 162, 172adddird 9686 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) ) ) )
174158, 161pncan3d 10008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )
175174oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
176 2cnd 10704 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
177176, 156, 172mulassd 9684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sqr `  x )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
178170recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  CC )
179155rpne0d 11369 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  =/=  0
)
180178, 156, 179divcan2d 10407 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  C ) )
181180oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  x )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
182177, 181eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
183182oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  +  ( (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
184173, 175, 1833eqtr3d 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) ) ) )
185184mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
186 remulcl 9642 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  C
) )  e.  RR )
187163, 169, 186sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  e.  RR )
188187recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  e.  CC )
189188adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  e.  CC )
190162, 172mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )
191 rpssre 11335 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
192 o1const 13760 . . . . . 6  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
2  x.  ( 2  x.  C ) )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) ) )  e.  O(1) )
193191, 188, 192sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) ) )  e.  O(1) )
194 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
195194divsqrsum 23986 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  dom  ~~> r
196 rlimdmo1 13758 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  dom  ~~> r  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
197195, 196mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
198178, 156, 179divrecd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  =  ( ( 2  x.  C
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) ) )
199198mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  x.  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
200155rprecred 11375 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
201169recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  CC )
202 rlimconst 13685 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
2  x.  C )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  C
) )  ~~> r  ( 2  x.  C ) )
203191, 201, 202sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  C
) )  ~~> r  ( 2  x.  C ) )
204 sqrtlim 23977 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  0
205204a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  0 )
206170, 200, 203, 205rlimmul 13785 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  x.  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C )  x.  0 ) )
207199, 206eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C )  x.  0 ) )
208 rlimo1 13757 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C
)  x.  0 )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  e.  O(1) )
209207, 208syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  O(1) )
210162, 172, 197, 209o1mul2 13765 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
211189, 190, 193, 210o1add2 13764 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C
) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )  e.  O(1) )
212185, 211eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  e.  O(1) )
213160, 171remulcld 9689 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  RR )
2143, 149fsumcl 13876 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
2151, 214fsumcl 13876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
216215abscld 13575 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  RR )
217213recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  CC )
218217abscld 13575 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
219214abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  RR )
2201, 219fsumrecl 13877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  RR )
2211, 214fsumabs 13938 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
222171adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
223159, 222remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  RR )
224119, 140syldan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
2253, 224fsumcl 13876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
226225abscld 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
227 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
228 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
229 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
230 dchrisum0.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
231 dchrisum0.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,) +oo )
( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) ) )
232121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231dchrisum0lem1b 24432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )
233226, 222, 143, 232lediv1dd 11419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) )  <_  (
( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) )  /  ( sqr `  d
) ) )
234143rpcnd 11366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
235143rpne0d 11369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
236225, 234, 235absdivd 13594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) )  / 
( abs `  ( sqr `  d ) ) ) )
2373, 234, 224, 235fsumdivc 13924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
238237fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
239143rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  d
) ) )
240 absid 13436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  d
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  d
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  d
) )  =  ( sqr `  d ) )
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sqr `  d
) )  =  ( sqr `  d ) )
242241oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( abs `  ( sqr `  d ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) ) )
243236, 238, 2423eqtr3rd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) )  =  ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
244172adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
245244, 234, 235divrec2d 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
246233, 243, 2453brtr3d 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( (
1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )
2471, 219, 223, 246fsumle 13936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
248159recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  CC )
2491, 172, 248fsummulc1 13923 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 1  / 
( sqr `  d
) )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) )
250247, 249breqtrrd 4422 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_ 
( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
251216, 220, 213, 221, 250letrd 9809 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )
252213leabsd 13553 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
253216, 213, 218, 251, 252letrd 9809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
254253adantrr 731 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_ 
( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
255153, 212, 213, 215, 254o1le 13793 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
256152, 255eqeltrrd 2550 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   [,)cico 11662   ...cfz 11810   |_cfl 12059    seqcseq 12251   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373   abscabs 13374    ~~> cli 13625    ~~> r crli 13626   O(1)co1 13627   sum_csu 13829   Basecbs 15199   0gc0g 15416   ZRHomczrh 19148  ℤ/nczn 19151  DChrcdchr 24239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-qus 15487  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-zn 19155  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-dchr 24240
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  24436
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