Theorem dchrisum0lem1 21163

Description: Lemma for dchrisum0 21167. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem1	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O ( 1 ) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11267	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		fzfid 11267	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) e. Fin )
3		fzfid 11267	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) e. Fin )
4		elfznn 11036	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> d e. NN )
5		elfzuz 11011	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
6	4, 5	anim12i 550	. . . . . 6 |- ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
8		elfzuz 11011	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
9		elfznn 11036	. . . . . . 7 |- ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) -> d e. NN )
10	8, 9	anim12ci 551	. . . . . 6 |- ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) -> ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
12		eluzelz 10452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> m e. ZZ )
13	12	ad2antll 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ZZ )
14	13	zred 10331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR )
15		simpr 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
16		2z 10268	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
17		rpexpcl 11355	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
18	15, 16, 17	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
19	18	rpred 10604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
20	19	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
21		simprl 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. NN )
22	21	nnrpd 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR+ )
23	14, 20, 22	lemuldivd 10649	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
24	21	nnred 9971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
25	15	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
26		flge0nn0 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
27		nn0p1nn 10215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
28	25, 26, 27	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
29	28	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
30		simprr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
31		nnuz 10477	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
32	31	uztrn2 10459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
33	29, 30, 32	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. NN )
34	33	nnrpd 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> m e. RR+ )
35	24, 20, 34	lemuldiv2d 10650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m x. d ) <_ ( x ^ 2 ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
36	23, 35	bitr3d 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
37		rpcn 10576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
38	37	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
39	38	sqvald 11475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
40	39	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) = ( x x. x ) )
41		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR+ )
42	41	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
43		reflcl 11160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
44		peano2re 9195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( |_ ` x ) e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
45	42, 43, 44	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
46		fllep1 11165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
47	42, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
48		eluzle 10454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
49	48	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ m )
50	42, 45, 14, 47, 49	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> x <_ m )
51	42, 14, 41	lemul1d 10643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x <_ m <-> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) ) )
52	50, 51	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x x. x ) <_ ( m x. x ) )
53	40, 52	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) )
54	20, 42, 34	ledivmuld 10653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x <-> ( x ^ 2 ) <_ ( m x. x ) ) )
55	53, 54	mpbird 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x )
56		nnre 9963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN -> d e. RR )
57	56	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
58	20, 33	nndivred 10004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR )
59		letr 9123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( d e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
60	57, 58, 42, 59	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) <_ x ) -> d <_ x ) )
61	55, 60	mpan2d 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> d <_ x ) )
62	36, 61	sylbid 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> d <_ x ) )
63	62	pm4.71rd 617	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
64		nnge1 9982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> 1 <_ d )
65	64	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> 1 <_ d )
66		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
67		0lt1 9506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
68	66, 67	pm3.2i 442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
70	22	rpregt0d 10610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. RR /\ 0 < d ) )
71	18	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
72	71	rpregt0d 10610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) )
73		lediv2 9856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( d e. RR /\ 0 < d ) /\ ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( x ^ 2 ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
74	69, 70, 72, 73	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( 1 <_ d <-> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) ) )
75	65, 74	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( ( x ^ 2 ) / 1 ) )
76	20	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
77	76	div1d 9738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / 1 ) = ( x ^ 2 ) )
78	75, 77	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) )
79		simpl 444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> d e. NN )
80		nndivre 9991	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
81	19, 79, 80	syl2an 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR )
82		letr 9123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. RR /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
83	14, 81, 20, 82	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( ( x ^ 2 ) / d ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
84	78, 83	mpan2d 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
85	36, 84	sylbird 227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) -> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
86	85	pm4.71rd 617	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
87	36, 63, 86	3bitr3d 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
88		fznnfl 11198	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ x ) ) )
89	88	baibd 876	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
90	42, 21, 89	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> d <_ x ) )
91	81	flcld 11162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ )
92		elfz5 11007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
93	30, 91, 92	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
94		flge 11169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / d ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
95	81, 13, 94	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) <-> m <_ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
96	93, 95	bitr4d 248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) <-> m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) )
97	90, 96	anbi12d 692	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( d <_ x /\ m <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
98	20	flcld 11162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ )
99		elfz5 11007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) /\ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
100	30, 98, 99	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
101		flge 11169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
102	20, 13, 101	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m <_ ( x ^ 2 ) <-> m <_ ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) )
103	100, 102	bitr4d 248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) <-> m <_ ( x ^ 2 ) ) )
104		fznnfl 11198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> ( d e. NN /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
105	104	baibd 876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR /\ d e. NN ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
106	58, 21, 105	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) <-> d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) )
107	103, 106	anbi12d 692	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) <-> ( m <_ ( x ^ 2 ) /\ d <_ ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
108	87, 97, 107	3bitr4d 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
109	108	ex 424	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) ) )
110	7, 11, 109	pm5.21ndd 344	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) <-> ( m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) ) )
111		ssun2 3471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
112	28	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
113	112, 31	syl6eleq 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
114		dchrisum0lem1a 21133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x <_ ( ( x ^ 2 ) / d ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) )
115	114	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
116		fzsplit2 11032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
117	113, 115, 116	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) u. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) )
118	111, 117	syl5sseqr 3357	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
119	118	sselda 3308	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) )
120		rpvmasum2.g	. . . . . . . . 9 |- G = (DChr ` N )
121		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
122		rpvmasum2.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( Base ` G )
123		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Z )
124		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
125		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
126	124, 125	eqsstri 3338	. . . . . . . . . . . 12 |- W C_ ( D \ { .1. } )
127		dchrisum0.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. W )
128	126, 127	sseldi 3306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
129	128	eldifad 3292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. D )
130	129	ad3antrrr 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> X e. D )
131		elfzelz 11015	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. ZZ )
132	131	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. ZZ )
133	120, 121, 122, 123, 130, 132	dchrzrhcl 20982	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
134		elfznn 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) -> m e. NN )
135	134	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. NN )
136	135	nnrpd 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> m e. RR+ )
137	136	rpsqrcld 12169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
138	137	rpcnd 10606	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
139	137	rpne0d 10609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
140	133, 138, 139	divcld 9746	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
141	4	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. NN )
142	141	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> d e. RR+ )
143	142	rpsqrcld 12169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. RR+ )
144	143	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
145	144	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. CC /\ ( sqr ` d ) =/= 0 ) )
146	145	simpld 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
147	145	simprd 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
148	140, 146, 147	divcld 9746	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
149	119, 148	syldan 457	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
150	149	anasss 629	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
151	1, 2, 3, 110, 150	fsumcom2 12513	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
152	151	mpteq2dva 4255	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
153	66	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR )
154		2cn 10026	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
155	15	rpsqrcld 12169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
156	155	rpcnd 10606	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
157		mulcl 9030	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( sqr ` x ) e. CC ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
158	154, 156, 157	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( sqr ` x ) ) e. CC )
159	143	rprecred 10615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
160	1, 159	fsumrecl 12483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. RR )
161	160	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
162	161, 158	subcld 9367	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
163		2re 10025	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
164		dchrisum0.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
165		elrege0 10963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
166	164, 165	sylib 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
167	166	simpld 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
168		remulcl 9031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
169	163, 167, 168	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. RR )
170	169	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. RR )
171	170, 155	rerpdivcld 10631	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
172	171	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
173	158, 162, 172	adddird 9069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
174	158, 161	pncan3d 9370	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) )
175	174	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) + ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
176	154	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
177	176, 156, 172	mulassd 9067	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
178	170	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. C ) e. CC )
179	155	rpne0d 10609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) =/= 0 )
180	178, 156, 179	divcan2d 9748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. C ) )
181	180	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` x ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
182	177, 181	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( 2 x. ( 2 x. C ) ) )
183	182	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. ( sqr ` x ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
184	173, 175, 183	3eqtr3d 2444	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
185	184	mpteq2dva 4255	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
186		remulcl 9031	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 x. C ) e. RR ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
187	163, 169, 186	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. RR )
188	187	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
189	188	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC )
190	162, 172	mulcld 9064	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
191		rpssre 10578	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
192		o1const 12368	. . . . . 6 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. ( 2 x. C ) ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O ( 1 ) )
193	191, 188, 192	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( 2 x. C ) ) ) e. O ( 1 ) )
194		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) )
195	194	divsqrsum 20773	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r
196		rlimdmo1 12366	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. dom ~~> r -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
197	195, 196	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
198	178, 156, 179	divrecd 9749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
199	198	mpteq2dva 4255	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) )
200	155	rprecred 10615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( sqr ` x ) ) e. RR )
201	169	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. CC )
202		rlimconst 12293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR+ C_ RR /\ ( 2 x. C ) e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
203	191, 201, 202	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. C ) ) ~~> r ( 2 x. C ) )
204		sqrlim 20764	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0
205	204	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r 0 )
206	170, 200, 203, 205	rlimmul 12393	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
207	199, 206	eqbrtrd 4192	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) )
208		rlimo1 12365	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ~~> r ( ( 2 x. C ) x. 0 ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O ( 1 ) )
209	207, 208	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. O ( 1 ) )
210	162, 172, 197, 209	o1mul2 12373	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
211	189, 190, 193, 210	o1add2 12372	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 2 x. ( 2 x. C ) ) + ( ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` x ) ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
212	185, 211	eqeltrd 2478	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. O ( 1 ) )
213	160, 171	remulcld 9072	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
214	3, 149	fsumcl 12482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
215	1, 214	fsumcl 12482	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) e. CC )
216	215	abscld 12193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
217	213	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
218	217	abscld 12193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR )
219	214	abscld 12193	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
220	1, 219	fsumrecl 12483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. RR )
221	1, 214	fsumabs 12535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
222	171	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
223	159, 222	remulcld 9072	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
224	119, 140	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
225	3, 224	fsumcl 12482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
226	225	abscld 12193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
227		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
228		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . 11 |- .1. = ( 0g ` G )
229		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
230		dchrisum0.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
231		dchrisum0.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
232	121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231	dchrisum0lem1b 21162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) )
233	226, 222, 143, 232	lediv1dd 10658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) <_ ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) )
234	143	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) e. CC )
235	143	rpne0d 10609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` d ) =/= 0 )
236	225, 234, 235	absdivd 12212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) )
237	3, 234, 224, 235	fsumdivc 12524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) = sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) )
238	237	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
239	143	rprege0d 10611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) )
240		absid 12056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` d ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` d ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
241	239, 240	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` d ) ) = ( sqr ` d ) )
242	241	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` d ) ) ) = ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) )
243	236, 238, 242	3eqtr3rd 2445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) )
244	172	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) e. CC )
245	244, 234, 235	divrec2d 9750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) / ( sqr ` d ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
246	233, 243, 245	3brtr3d 4201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
247	1, 219, 223, 246	fsumle 12533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
248	159	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` d ) ) e. CC )
249	1, 172, 248	fsummulc1 12523	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) = sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
250	247, 249	breqtrrd 4198	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
251	216, 220, 213, 221, 250	letrd 9183	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) )
252	213	leabsd 12172	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
253	216, 213, 218, 251, 252	letrd 9183	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
254	253	adantrr 698	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) x. ( ( 2 x. C ) / ( sqr ` x ) ) ) ) )
255	153, 212, 213, 215, 254	o1le 12401	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / d ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O ( 1 ) )
256	152, 255	eqeltrrd 2479	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) ... ( |_ ` ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) / ( sqr ` d ) ) ) e. O ( 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   \ cdif 3277   u. cun 3278   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   seq cseq 11278   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   ~~> cli 12233   ~~> r crli 12234   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434   Basecbs 13424   0gc0g 13678   ZRHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736  DChrcdchr 20969

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  21166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-dchr 20970